广东省普通高中学2023-2024学年高考数学押题试卷含解析

广东省普通高中学2023-2024学年高考数学押题试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知整数尤。满足必+/<io,记点口的坐标为（x,y）,则点〃满足x+y20的概率为（）

L71

2.如图，四面体ABC。中，面版和面5CD都是等腰直角三角形，AB=0NBAD=NCBD=—,且二面角

2

A-血-C的大小为望，若四面体ABC。的顶点都在球。上，则球。的表面积为（）

3.如图，正四面体P—ABC的体积为V,底面积为S,。是高/W的中点，过。的平面a与棱%、PB、PC分

别交于。、E、F,设三棱锥P-£>石户的体积为％,截面三角形DEF的面积为So,则（）

B.V<8%,524so

C.V28%,S<4S0D.V28%,524so

4.2021年部分省市将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、

政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

11

A.-B.-

84

11

C.—D.一

62

5.若数列｛4｝满足％=15且3%+1=3%-2,则使％」以+]<0的左的值为（）

A.21B.22C.23D.24

6.下列选项中，说法正确的是（）

w

A.3x0GR,x；-不<0"的否定是"Hr。eR,x；-x>0”

B.若向量a/满足。为<0，则a与b的夹角为钝角

C.若am2&bm2，则aWb

D.“xe（AU3）”是“xe（A3）”的必要条件

7.如图，长方体A3CD—中，2A3=344=6,AlP=2PB1,点7在棱AA1上，若7P,平面尸5c.则

UUUUUL

TPBlB=（）

8.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有

一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略

不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）

x-y<0,

9.若x,V满足约束条件（x+y«2,,则z=4x+y的取值范围为（）

x+1>0,

A.[-5,-1]B.[-5,5]C.[-1,5]D.[-7,3]

10.正三棱柱ABC-A3cl中，AAl=^j2AB,。是的中点，则异面直线AD与4。所成的角为（）

7171兀71

A.B.—c.D.—

6432

22i22

11.设双曲线三—a=1（。>0,6>0）的一条渐近线与抛物线y=必+§有且只有一个公共点，且椭圆与+£=1

的焦距为2,则双曲线的标准方程为（）

12.已知a=log38,Z?=ln3,c=2~°",则”,b,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题

小李都会的概率为.

14.根据如图的算法，输出的结果是.

（1V

15.3必+：的展开式中二项式系数最大的项的系数为（用数字作答）.

16.如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC,。为半圆的圆心，OC=1,残缺部分位于过点C的竖直

线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在ABC中，内角A氏C的对边分别为"c,且8cos—2cos2A=3

2

（1）求A；

（2）若a=2,且ABC面积的最大值为出，求.ABC周长的取值范围.

_1,

18.(12分)已知函数/(x)=/依+(l—Q)x—lnx,〃wR.

(1)讨论/(九)的单调性；

(2)若ae(-oo/)，设g(x)=xe*-x-ln_x+a,证明：Vxte(0,2],3x2e(0,+co),^/(%1)-g(j;2)＞2-ln2.

19.(12分)已知函数/(x)=ln(x+l)+^|x2.

(1)当a=—1时，求/(%)的单调区间；

X+2

(2)若函数/(九)有两个极值点%，/，且不＜%，/(九)为“X)的导函数，设7〃=/(9)+‘「"'(为+1),

8

求机的取值范围，并求相取到最小值时所对应的，的值.

20.(12分)已知函数/(%)=5必+mx+lnx.

(1)若函数/(x)不存在单调递减区间，求实数m的取值范围；

(2)若函数y=/(%)的两个极值点为菁/(玉＜X2)，求%)一/(%2)的最小值.

21.(12分)随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲

击”的新征程.4城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人口大约为1300万.

近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的

相关数据如下：

来4城市发展的理由人数合计

1.森林城市，空气清新200

自然环境300

2.降水充足，气候怡人100

3.城市服务到位150

人文环境4.创业氛围好300700

5.开放且包容250

合计10001000

(1)根据以上数据，预测400万25~44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人；

(2)从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再

选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率；

(3)在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的

理由的700人中有400名男性；请填写下面2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文

环境”的选择有关？

自然环境人文环境合计

男

女

合计

5?n(ad-bc\

附：K—/、/、/、/一a+b+c+d・

P(K*k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

22.（10分）AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c已知/+°2+缶。=尸，7SsinA+cosB=0.

（1）求cosC；

（2）若AABC的面积S=*,求心

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.

【详解】

因为九,y是整数，所以所有满足条件的点M（X,y）是位于圆V+y2=10（含边界）内的整数点，满足条件X2+y2<10

的整数点有(0,0),(0,±1),(0,±2),(0,±3),(±1,0),

(±2,0),(±3,0),(±1,±1),(±2,±1),(±3,±1),(+1,+2),(±2,±2),(±1,±3)共37个，

满足x+的整数点有7个，则所求概率为三.

故选：D.

【点睛】

本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.

2、B

【解析】

分别取6。、CD的中点M、N,连接A"、MN、AN,利用二面角的定义转化二面角A—5D—C的平面角为

2%

ZAM2V=—,然后分别过点〃作平面ABD的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点。，在中计算出

OM,再利用勾股定理计算出Q4,即可得出球。的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案.

【详解】

如下图所示，

分别取6。、CD的中点M、N,连接AM、MN、AN,

由于AABD是以N&4D为直角等腰直角三角形，〃为5。的中点，

JT

:NCBD=—,且〃、N分别为BD、CD的中点，所以，MN//BC,所以，MN1BD,所以二面角A—5£>—C

2

27r

的平面角为NAMN=《-,

AB=AD=-41>则BD=y/AB。+AD?'=2，且BC=2，所以，AM=^BD=1,MN=^BC=1,

&WD是以NMD为直角的等腰直角三角形，所以，及丽的外心为点"，同理可知，AHCD的外心为点N,

分别过点M作平面河的垂线与过点N作平面5CD的垂线交于点。，则点。在平面4WN内，如下图所示,

27r7171

由图形可知，ZOMN=ZAMN-ZAMO=------=-,

326

广八”MN273

在RtAOMN中,3=CGSNOMN=皂,二°/=丁，

0M2—

2

所以，=也,

3

所以，球。的半径为氏=亘，因此，球。的表面积为4〃R2=4〃X（叵］=生工.

3I3J3

故选：B.

【点睛】

本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等

题.

3、A

【解析】

设A5=2,取所与重合时的情况，计算出S。以及％的值，利用排除法可得出正确选项.

【详解】

如图所示，利用排除法，取所与重合时的情况.

B

不妨设AB=2,延长ME＞到N,使得PN//AM.

PO=OH,:.PN=MH,AH=2MH,AM=3MH=3PN,则一=-,

AD3

由余弦定理得§£>2+245.40352=22+[9]-2x2x-x-=—,

3。224

DM=^BD--BM7=-,S=-x2x-=-,

20n222

又S=4~x方=小，：.，=壬=26>1,

4SV3

当平面。瓦7/平面ABC时，S=4S0,:.S<4S0,排除B、D选项；

因为空=工，二匕二!丫，此时，处公=2>1,

AD34V

当平面。瓦7/平面ABC时，8%=V,.•.8%2V,排除C选项.

故选：A.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、

推理能力与计算能力，属于难题.

4、B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有C；C：=12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有C；=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率尸=—=—,

124

故选B.

5、C

【解析】

因为%-4=-；2，所以｛4｝是等差数列，且公差d=-：2冯=15,贝(]4=21524-7所

以由题设以・矶<。可得(2-?+4?7)(-2(+£45)<0=三45<"<千47，则6=23,应选答案C

6、D

【解析】

2w

对于A根据命题的否定可得：叼xoGR,X()2RW0”的否定是“VxGR,x-x>0,即可判断出；对于5若向量q加满足

a-b<0>则。与b的夹角为钝角或平角；对于C当机=0时，满足””於《历〃2,但是aM，不一定成立；对于。根据元素

与集合的关系即可做出判断.

【详解】

选项A根据命题的否定可得：叼xoWR,的否定是“VxCR,x2-x>0n,因此A不正确；

选项3若向量a“满足。心<0,则。与6的夹角为钝角或平角，因此不正确.

选项C当m-Q时，满足am2<bm2,但是a<b不一定成立，因此不正确；

选项O若0"，则xeA且xe瓦所以一定可以推出“xe(AUB)”，因此“xe(AU5)”是B)"

的必要条件，故正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等,

属于简单题.

7、D

【解析】

根据线面垂直的性质，可知7Pl.PB;结合4尸=2PBi即可证明△尸必=MPB],进而求得小.由线段关系及平

UUULU1

面向量数量积定义即可求得TPBXB.

【详解】

长方体ABCD—AB[C[D]中，2AB=3A4]=6,

点T在棱44]上，若7P，平面尸

则7P_L~B，4尸=2尸耳

则ZPTA!=NBPB[,所以^PTA{=ABPB1,

则TA^=PBy=1,

uiruuirIUITIuuir

所以TP.g5="•BiBcosZPTX

(]、

=A/22+12x2x—/=—2,

I4^)

故选：D.

【点睛】

本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.

8、C

【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定

此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.

【详解】

当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.

此时椭圆长轴长为«展+62=66，短轴长为6,

故选：C

【点睛】

本题考查了楠圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.

9、B

【解析】

根据约束条件作出可行域，找到使直线y=Tx+z的截距取最值得点，相应坐标代入z=4x+y即可求得取值范围.

【详解】

画出可行域，如图所示：

由图可知，当直线z=4x+y经过点A(—L—1)时，z取得最小值一5；经过点3(1,1)时，z取得最大值5,故—5麴k5.

故选：B

【点睛】

本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.

10、C

【解析】

取用G中点E，连接AE，CE,根据正棱柱的结构性质，得出A£〃A。，则NCAE即为异面直线A。与AC所

CE

成角'求出tanN*E=溟'即可得出结果.

【详解】

解：如图，取用G中点E,连接AE,CE,

由于正三棱柱ABC-，则BB]1底面,

而AEu底面4与G，所以5月，4E,

由正三棱柱的性质可知，E4G为等边三角形，

所以4旧，与G，且AEB©=E,

所以AE，平面54GC，

而ECU平面BBgC,则\E1EC,

则AE〃AD,NAEC=90°,

/CAE即为异面直线AO与4。所成角，

设AB=2,则71^=20,AE=6,CE-3,

CEr-

则tanZCA[E=-^=-j3==y/3,

7T

：.AC\E=~.

故选：C.

【点睛】

本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.

11、B

【解析】

设双曲线的渐近线方程为y=依，与抛物线方程联立，利用A=0,求出左的值，得到人的值，求出关系，进而判

b

V2y2

断大小,结合椭圆'+=1的焦距为2,即可求出结论.

ab2

【详解】

设双曲线的渐近线方程为y=kx,

代入抛物线方程得x2-kx+-=0,

3

42

依题意A=A_]=0,左=±不，

22_______

二椭圆++与=1的焦距2而万=2，

ab

—b2—b2=—b1=I,/?2=3,«2=4,

33

22

双曲线的标准方程为土=1.

43

故选:B.

【点睛】

本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.

12、A

【解析】

根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.

【详解】

因为班=：，

log3A/2<log3

所以a<L

2

因为3>e,

所以b=ln3〉lne=l,

因为0>-0.99>—1,y=2、为增函数,

所以!<C=2499<1

2

所以Z?>c>a,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13、一

2

【解析】

从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.

【详解】

由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有C；=6种，

小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有=3种，

所以其概率为；•

2

故答案为：—

2

【点睛】

此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.

14、55

【解析】

根据该For语句的功能，可得S=l+2+3+...+10,可得结果

【详解】

根据该For语句的功能，可得S=l+2+3+...+10

皿(1+10)x10

则$=^^-----1——=55

2

故答案为：55

【点睛】

本题考查For语句的功能，属基础题.

15、5670

【解析】

根据二项式展开的通项，可得二项式系数的最大项，可求得其系数.

【详解】

二项展开式一共有9项，所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项，系数为34=5670.

故答案为：5670

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式的应用，由通项公式求二项式系数，属于中档题.

16、正

2

【解析】

分两种情况讨论：(D斜边在8C上，设NPBC=e,则(2)若在若一条直角边在8C上，设NPOH=。,

则6e,进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值.

【详解】

(1)斜边在8C上，设NPBC=e,贝!

则P6=gose,PC=ysin^,

_„116八16.八64.cc,64

从fl而8=----cos”——sin"=—sin23<——.

2552525

当8=5时，5皿=||此时/3〃=|，符合•

(2)若一条直角边在上，设/POH=6,贝!0,g,

贝！|PW=2sin6>,OH=2.cos0,

Aa

由OHwoc=《知cosewm.

/.S(9)=g(2+2cos9>2sin。=2sin9(l+cos9),

S'(e)=2(cosg+l)(2cosg—l)

当时，s")>o,s⑻单调递增，

当日［?弓］时，s'(e)<°，s(e)单调递减，

1

当。=£7r,即cosd=5时，S®)最大.

故答案为：空.

2

【点睛】

此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

JT

17、(1)A=—(2)(4,6]

3

【解析】

⑴利用二倍角公式及三角形内角和定理，将8cos2"2cos2A=3化简为4cos24+4cosA—3=0,求出

2

cosA的值，结合Ae(0,»),求出A的值；

(2)写出三角形的面积公式，由其最大值为行求出Ac,,4.由余弦定理，结合a=2,A=|,求出匕+c的范围，注

意Z?+c>a=2.进而求出周长的范围.

【详解】

解：(1)8COS2^^--2COS2A=3

2

/.4(1+cos(B+C))—2cos2A=3

整理得4cos之A+4cosA—3=0

13

解得cosA=—或cosA=——(舍去)

22

又人£(0,»)

(2)

由题意知5AAec=：6csinA=-6c〈班

be,,4,

又/+(?一/=2Z?ccosA,a=2,

/.b1+c2=4+Z7c，

(Z?+c)2=4+3Z?G,16

又/?+c>2

.,.2</?+c<4

.,.4<a+b+G,6

.•拈ABC周长的取值范围是(4,6]

【点睛】

本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.

18、(1)见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)/(x)=(ax+l)a—l)a〉0),分—1<。<0,a=-i,。<一1四种情况讨论即可；

X

(2)问题转化为/(彳L―8(力皿>2-山2,利用导数找到/⑺强与gfXU即可证明.

【详解】

(QX+1)(X1

(1)/1(x)=Qx+(l-a)--=-\x>0).

XX

①当。之。时，办+1>0恒成立，

当0<%<1时，/'(X)<0；

当尤>1时，/'(x)>0,所以，

/(九)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数.

②当-i<a<o时，口〉i,一山一【一：)](1).

Q/⑺二-------------------------------------------

当Ovxvl时，/(%)<O；

当1<%<--时，f(x)>0；

当X〉—：时，f(x)<0,所以，

/(%)在(0,1)上是减函数，在［1,一：)上是增函数,

在一：,+8上是减函数.

1

③当a=—1时，/(%)=7(5-J_<0,

则/(x)在(0,+“)上是减函数.

④当a<-l时，---<1,

a

当0<x<—4时，/(%)<0；

a

当一4<x<l时，/'(x)>0；

当尤>1时，r(x)<o,

所以，/(X)在上是减函数,

(1、

在一一,1上是增函数，在(L+8)上是减函数.

\a)

⑵由题意,得了⑺,-g(x)1nhi>2-山2.

由(1)知，当°<一1,xe(0,2］时,小山⑵卜

"2)=-In

1Y—2

令/z(x)=-ln%+Q九一l+ln2,XG(0,1),/Z"(X)=——<0

故〃(%)在(0,1)上是减函数，有/?(X)>/?(1)=In2-1=In>0,

所以3<〃2),从而〃力111m=〃2)=2Tn2.

g(x)=xex—x—lnx+a,xe(0,+oo),

则g（%）=（X+1）/一3

令G（x）=e，-,，显然G（x）在（0,+。）上是增函数,

X

且=2＜0,G（l）=e-l＞0,

所以存在使G(x°)=eM—，=O,

且g(x)在(0,%)上是减函数，

在(％,+8)上是增函数，

g(x)min=g(毛)=/e%_/_In/+a=1+a<0,

所以g(x).+2-ln2=l+a+2-ln2<2-In2,

所以〃力皿＞8（大需+2一足2,命题成立.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道较难的题.

19、（1）单调递增区间为1-1,与土］,单调递减区间为（2）〃?的取值范围是+ln21；对

I2JI2J124J

应的。的值为g.

【解析】

（1）当a=—1时，求/Xx）的导数可得函数的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点看，%2,且不＜々，利用导

函数广（x）=」一+办=竺士巴工，可得a的范围，再表达%=/（尤,）+工）・广（再+1），构造新函数可求加的取值范

围，从而可求m取到最小值时所对应的a的值.

【详解】

（1）函数y（x）=/〃（尤+i）+£f

由条件得函数的定义域：{幻》＞-1},

当a=—1时，/（X）=ZM（X+1）-1X2,

1—Y—V+1

所以：/口)=：-尤='：+'

x+1x+1

r(©=。时，*=垦:

2

当了©(-1,咛当时，/'(x)>0,当xe(3二L+⑹时，/(x)<0,

则函数/■(*)的单调增区间为：(-1,】")，单调递减区间为：(与L+8);

(2)由条件得：x>-l,r(x)='+or=竺士&11,

x+lX+1

由条件得。(%)=以2+以+1=0有两根：再，x2,满足一1<玉<九2，

••△>0,可得：avO或〃>4；

由々・0(—1)>。，可得：a>0.

a>4,

函数。(%)的对称轴为x=-g,-1<<x2,

所以：x2G(——,0)•

3+1=0,可得：a=---—―,

WG+D

f(x2)=ln(x2+1)+—xf=ln(x2+1)---———,

%+%2=—19则：尤1=1%2—1，

2

所以：吟.((再+1)=上/广(-%)ax2-ax2+1_1

-

OO84(X2+1)

所以：m=ln{x2+1)-”为2八+"1八=ln(x2+1)-:、,

2(X2+1)4(X2+1)4(X2+1)

,2x-31

令h(x)=Inx------,x=x2+1G(―,1),

ml7、134x—3

则〃⑶G一行=▼,

3］33

因为："(尤)=0时，x=-,所以：饵犬)在g,J上是单调递减，在(11)上单调递增,

因为：h(j)=l-bi2,h(1)=~,/?(—)=—+9/2(—)>h(1),

.13

所以/z(x)£［万+历］,1—Zn2)；

即加的取值范围是：耳1+历3:，1一仇2)；

33

x=一,所以有％=々+1=:，

44

E1116

则"-忘而=了；

所以当机取到最小值时所对应的a的值为E；

3

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于

难题.

3

20、(1)[-2,+co)(2)--ln2

【解析】

分析：(1)先求导，再令/'(£)“在(0,+8)上恒成立，得到x+’N-m在(0,+。)上恒成立，利用基本不等式得到

X

2

m的取值范围.⑵先由,(x)=x+工+m=厂+吧+1=0得到

X]+X,=-祖,%々=1,再求得/(xj-/"(%2)=山三一[五—三，再构造函数

X

x22(%2\)

令五=t,g(t)=lnt-\t-：](0<t<l),再利用导数求其最小值.

X?乙1LJ

详解：(1)由函数/(力=3尤2+如+11n有意义，则X>0,即定义域为(0,+8)

由/'(力=1+根+工,且〃龙)不存在单调递减区间，则/'(X”0在(0,转)上恒成立,

X

/.x+—>一m在(0,+“)上恒成立

X

x>0,x+工22a=2,当且仅当x=1时取到最小值2

X

恒成立，解得mN-2

m的取值范围为[-2,+8)

(2)由⑴知f(x)定义域为(0,+%)f(x)=x+、+m,

X

2

Ax1x+mx+l八日口21八

令f(x)=x+—+m=---------=0，即％+mx+l=。

xx

由/(%)有两个极值点%，入2(°<%<九2)

故%],%2为方程/+mx+l=0的两根,

二.%I+%2=一加,七%2-I，

X2

加=一(玉+%2)，\=­,^2=—

:2+nvc+lnxj

则f(Xl)-f(X2)=+叫+1叫-222

2

=--x2^+m(x1-%2)+ln-

2x2

=[(X]2_々2)_(玉2—々Zj+ln土

乙%2

=山上一；(x；_々2)

v

x22)

=]n%一•！无i电

X?2西,

由0<玉<Z，令~~~='，g(%)=In/—\~贝llo<t<i,

九？21

由g'(x)=；_3+』=_gk<0'

则g(。在(0,1)上单调递减

0乙乙12广

母/3A/2日0/、,30

又m<———,即一（犬1+工2）工———

、30

••X+%22

9

（玉+%2）=玉2+々2+2%1%2=—~+2=/H—1-22

x2%t2

15

..t-\—之一

t2

:.t>2或/<—

2

由0<。<1知0<，4工

2

・••g（x"g出Tn/ggTl-lnZ

综上所述，/（%）—/（9）的最小值为山2.

点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值,考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识

的掌握水平和分析推理能力.⑵本题的难点有两个，其一是求出了(xj-，(％2)=111五-!五-三，其二是构造函数

%21%%1)

令:=t,g(t)=Int--；］(0<t