云南省通海三中2024届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

云南省通海三中2024届高三第五次模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的。即相继出世，其功能也是五花八门.某大学为

了调查在校大学生使用a即的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如

图所示，现有如下说法：

①可以估计使用。即主要听音乐的大学生人数多于主要看社区新闻、资讯的大学生人数;

②可以估计不足10%的大学生使用。勿主要玩游戏；

③可以估计使用。加主要找人聊天的大学生超过总数的

4

其中正确的个数为（）

「找人碑天

[44SDIft礼区.新闻、资讯

XI上~1玩游戊

「「力。-In视狼、国片

5炳）—I听等乐

|“T—1我附近的人

[i找共同兴趣的人

A.0B.1C.2D.3

2.已知i是虚数单位，若z=l+a"G=2,则实数。=（）

A.—近或6B.-1或1C.1D.V2

3.在A6c中，点尸为BC中点，过点尸的直线与AB,A『在直线分别交于点"，N,若

AN=z/AC（2〉0,〃〉0）,则X+〃的最小值为（）

57

A.—B.2C.3D.一

42

4.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损

益”结合的计算过程，若输入的x的值为1,输出的x的值为（）

gg

/输

8

A32cD

6416一

一-

279

8127

5.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上

7.00-8:00之间.用4表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为％,小张离开家的时间为V,

(x，y)看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率尸(A)等于()

5237

A.-B.—C.—D.一

8558

6.已知向量8夹角为30。，叫小亚)，恸=2,则［"0=()

A.2B.4C.273D.2s

7.已知向量AB=(3,2),AC=(5,-1),则向量A3与的夹角为()

A.45°B.60°C.90°D.120°

8.已知函数/(x)=x—石(％>0),g(x)=x+e*,"(%)=%+111%(%>0)的零点分别为七，x2,x3,则()

A.x1<x2<x3B.x2<x1<x3

C.x2<x3<x.D.x3<x,<x2

9.正项等差数列｛4｝的前”和为S“，已知%+%-％+15=0,则Sg=()

A.35B.36C.45D.54

n57r

10.如图是函数y=Asin（s:+。）xeR,A>0,^>0,0<^<—在区间上的图象，为了得到这个函数的

~6,~6

图象，只需将y=sinx（%£R）的图象上的所有的点（）

JI1

A.向左平移g个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的一，纵坐标不变

32

B.向左平移g个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

C.向左平移?个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的纵坐标不变

O2

D.向左平移?个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

O

11.如图是计算:+工+!值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（

）

246810

A.k>5

B.k<5

C.k>5

D.k<6

12.在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若。=1,c=2g，6sinA=asin["—,贝!jsinC=

()

A.正B.叵C.叵D.叵

771219

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知/("="+*是偶函数，则/(%)的最小值为.

14.观察下列式子，ln2>1,ln3>1+|,ln4>|+1+|,……，根据上述规律，第九个不等式应该为.

15.已知「无3公=",则(尤+y+D"展开式中的系数为—

16.将函数/(%)=Sinx的图象向右平移个单位长度后得到y=g(x)函数的图象，则函数y=/(x)•g(无)的最大值

为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知点P在抛物线C：d=2〃y(p〉0)上，且点尸的横坐标为2,以尸为圆心，归。|为半径的圆(。为

原点)，与抛物线C的准线交于M,N两点，且|MN|=2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若抛物线的准线与y轴的交点为H.过抛物线焦点F的直线I与抛物线C交于A,5,且A5，求|A刊-忸丹

的值.

18.(12分)已知函数/(x)=(l+6tanx)cos2x.

(I)若a是第二象限角，且sina=/，求/(1)的值；

(II)求函数/(%)的定义域和值域.

19.(12分)已知动圆过定点方(0,1),且与直线/：y=-1相切，动圆圆心的轨迹为C,过b作斜率为-左/0)的直线

机与C交于两点A,3,过A,3分别作C的切线，两切线的交点为尸，直线PR与C交于两点M,N.

(1)证明：点P始终在直线/上且。尸，A3；

(2)求四边形AMBN的面积的最小值.

20.(12分)如图所示，四棱锥P-A3C。中，PCL^ABCD,PC^CD=2,E为A3的中点，底面四边形ABC。

满足NAOC=NOC8=90。，AD=1,BC=1.

(I)求证：平面PDE_L平面PAC,

(II)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值;

(III)求二面角D-PE-B的余弦值.

21.（12分）在底面为菱形的四棱柱ABCD-4月。|口中，AB=AAl=2,\B=\D,ABAD=60°,ACBD=O,AO1^

面ABD.

ft.....

Jiry

/二二一*

Aa

(1)证明：BC平面ABD；

(2)求二面角5-A4]-。的正弦值.

22.(10分)已知。为坐标原点，点耳(—0,0),鸟(0,0),5(372,0),动点N满足|M；|+|NS|=4jL点P

为线段Nf；的中点，抛物线C：/=2机y(m〉0)上点A的纵坐标为灰,0Aos=6瓜

(1)求动点尸的轨迹曲线W的标准方程及抛物线C的标准方程；

11

(2)若抛物线C的准线上一点。满足OPLOQ,试判断不才+3中是否为定值，若是，求这个定值；若不是，

请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据利用硬P主要听音乐的人数和使用。勿主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用

。加主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用。卬主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③

的正误.综合得出结论.

【详解】

使用a即主要听音乐的人数为5380,使用。加主要看社区、新闻、资讯的人数为4450,所以①正确；

Q130

使用。即主要玩游戏的人数为8130,而调查的总人数为56290,-------»0.14,故超过10%的大学生使用。物主

56290

要玩游戏，所以②错误；

使用。即主要找人聊天的大学生人数为16540,因为变竺〉工，所以③正确.

562904

故选：C.

【点睛】

本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.

2、B

【解析】

由题意得，z』=(l+az)(l—力)=1+片，然后求解即可

【详解】

•z=1+ai,••zz=(l+ai)(1—az')=1+a~♦又•zz=2，♦•1.+a~=2,••ci—il•

【点睛】

本题考查复数的运算，属于基础题

3、B

【解析】

11

由"，P,N三点共线，可得;+丁=1,转化2+〃=(/1+〃)—+—,利用均值不等式，即得解.

272T2以(242//)

【详解】

因为点尸为中点，所以=+

22

又因为AM=XA3，AN=/JAC,

所以AP=JAM+：-AN

222〃

因为以，P,N三点共线,

11,

所以五十9=1'

、

(11)11(2巴1,1c

所以x+〃=(4+〃)—~+—=­I——+H—..Id—X2=2，

2//221〃222

X_〃

〃2'

当且仅当即％=4=1时等号成立,

11

一+——=1

222〃

所以彳+〃的最小值为1.

故选：B

【点睛】

本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于

中档题.

4、B

【解析】

根据循环语句，输入x=l,执行循环语句即可计算出结果.

【详解】

输入X=l,由题意执行循环结构程序框图，可得：

2

第1次循环：x=j,z=2<4,不满足判断条件；

Q

第2次循环：x=—,»=3<4,不满足判断条件；

9

3232

第4次循环：x=—,z=4>4,满足判断条件；输出结果1=一.

2727

故选：B

【点睛】

本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判

定语句，本题较为基础.

5、D

【解析】

这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.

【详解】

解：事件A发生，需满足即事件A应位于五边形BCD所内

7

尸（4）=222

18

故选：D

【点睛】

考查几何概型，是基础题.

6、A

【解析】

根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.

【详解】

由于2a—b=—b）=^4a-4a-b+b=J4x3—4x5/3x2x+4=2,

故选：A.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.

7、C

【解析】

求出=AC—A5=（2,-3）,进而可求ABBC=3x2+2x（-3）=0，即能求出向量夹角.

【详解】

解：由题意知，BC=AC—AB=(2,—3).则AB.5C=3x2+2x(—3)=0

所以A3LBC，则向量A3与的夹角为90。.

故选:C.

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos(a，M=3《进行计算.

\a\\b\

8,C

【解析】

转化函数f(x)=x-4x(x>0),g(x)=x+e*,1(x)=x+lnx(x>0)的零点为/=尤与y=W(x>0)，>=一短,

y=-lnx(x>0)的交点，数形结合，即得解.

【详解】

函数/(%)=x-y/x(x>0),g(x)=x+e',/?(%)=x+lnx(x>0)的零点，即为,=%与>=>fx(x>0),y=-ex,

y=-lnx(%>0)的交点，

作出V=*与y=4(x〉0),y--ex,y=—lnx(x>0)的图象，

如图所示，可知苫2<x3<%!

故选:C

【点睛】

本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.

9、C

【解析】

由等差数列｛4｝通项公式得%+。7-%2+15=0,求出应，再利用等差数列前〃项和公式能求出S9.

【详解】

正项等差数列｛4｝的前n项和S,,

%+%—药+15=0,

—2%—15=0,

解得%=5或。5=-3(舍),

9

Sg=5(q+%)=9a5=9x5=45,故选C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质

4+4=4”+4=2%(。+4=772+〃=2升)与前几项和的关系.

10、A

【解析】

由函数的最大值求出A,根据周期求出。，由五点画法中的点坐标求出9,进而求出丁=45皿(啰％+0)的解析式，与

y=sin宜%eR)对比结合坐标变换关系，即可求出结论.

【详解】

由图可知A=1,7=不，0=2,

_兀乃

又---a)+(p=2k兀(kGZ),:,(p-2k兀H■一(左wz),

63

XO<^<—,：.(p=—9y=sin[2x+]J,

「•为了得到这个函数的图象，

只需将y=sinx(xeR)的图象上的所有向左平移q个长度单位，

得到y=sin[x+g]的图象，

再将>=sin[x+gj的图象上各点的横坐标变为原来的;(纵坐标不变)即可.

故选:A

【点睛】

本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.

11、B

【解析】

根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等

式.

【详解】

因为该程序图是计算-+-+I+-+工值的一个程序框圈

246810

所以共循环了5次

所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,

即判断框内的不等式应为kN6或k>5

所以选C

【点睛】

本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题.

12、B

【解析】

利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan5=苴，可得出8=2,然后利用余弦定理求出b的值，最后利用

36

正弦定理可求出sinC的值.

【详解】

Z?sinA=«sin(--B\=^-acosB——asinB,

UJ22

即sinAsinB=——sinAcosB——sinAsinB，即3sinAsinB=^3sinAcosA，

22

Py兀

sinA>0,，3sinB=gcosjB，得tanB=——，0<B<7iB=—.

3f6

由余弦定理得Z?=J/+。2—2accos§=J1+12-2X1X2A/3X^-=币，

由正弦定理二^=<4,因此，sinC.任辿—始:2_叵.

sinCsinBS111c--rj_7

故选：B.

【点睛】

本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运

算求解能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解析】

由偶函数性质可得;■⑴=7(-1),解得。=-1,再结合基本不等式即可求解

【详解】

令=得a=—1,所以/(x)=/+葭N2归•晨=2,当且仅当％=0时取等号.

故答案为：2

【点睛】

考查函数的奇偶性、基本不等式，属于基础题

14>ln(n+l)>—+—+H-----------

'7352xn+l

【解析】

根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案.

【详解】

解：根据题意，对于第一个不等式，ln2>1,则有+，

对于第二个不等式，ln3〉:+),贝！|有ln(2+l)><+亍劣丁

对于第三个不等式，ln4>—+—+—,则有ln(2+l)>J+!+^―,

357332义3+1

依此类推：

第九个不等式为：ln(“+l)>[+：+

352x〃+l

故答案为ln(〃+l)>g+g++J7r

【点睛】

本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律.

15、1.

【解析】

由题意求定积分得到〃的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中/y的系数.

【详解】

042

・・•已知公=一=4=〃，贝！|(jr+y+1)"=(犬+y+1)4,

240.

它表示4个因式(x+y+1)的乘积.

故其中有2个因式取X,一个因式取y,剩下的一个因式取1,可得-y的项.

故展开式中x2y的系数C；・C：=12.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题.

【解析】

由三角函数图象相位变换后表达g(x)函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理/(x)g(x)的表达式，进而

由三角函数值域求得最大值.

【详解】

将函数/(x)=SinX的图象向右平移g个单位长度后得到y=g(x)=sinL-|j函数的图象，

Isin^-^sinxcosx

则y=F(x)g(x)=sinx=sinx

2222

—sin2x

所以，当cos(2x—g]=-l函数最大，最大值为工

〈3)424

1.3

故答案为：一

4

【点睛】

本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)x2=4y(2)4

【解析】

(1)将点尸横坐标代入抛物线中求得点尸的坐标，利用点尸到准线的距离d和勾股定理列方程求出p的值即可；(2)

设4、5点坐标以及直线A8的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算

目-忸同的值即可.

【详解】

,2

(1)将点尸横坐标与=2代入V=2py中，求得力=一,

P

：.P(2,2),|0P「=W+4,

PP

72p

点尸到准线的距离为d=一+2,

P2

解得p2=4,....=2,

.••抛物线C的方程为：x2=4y；

（2）抛物线公=4》的焦点为p（0,1）,准线方程为y=—l,H（0,-l）；

设AU,必）,3（尤2，%），

直线AB的方程为y^kx+1,代入抛物线方程可得好一4日—4=0，

:.西+%2=4左，玉犬2=一4，・・•①

由可得匕记•左HB=T，

,,X—11%+1

又^AB=^AF=，-，

X]x2

...OT,匕+1=i,

xxx2，

•••（乂-1）（%+1）+%%=0，

片Xj+—（x；-X；）-1+=0,…②

把①代入②得，x^-xl=16,

贝!||4/|—|5/|=%+1—%一1=；（才一只）=：乂16=4.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

18、（I）匕4（II）函数〃尤）的定义域为＜xxeR,且XH左力+（左eZ值域为—

【解析】

（1）由々为第二象限角及sin。的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosa及tanc的值，再代入/（九）中即

可得到结果.

（2）函数/（九）解析式利用二倍角和辅助角公式将/（%）化为一个角的正弦函数，根据x的范围，即可得到函数值域.

【详解】

解：（1）因为。是第二象限角，且sina=YE，

3

所以cosa=-^1-sin2a-

3

sinar-

所以tana=----=一,2,

cosa

所以/（a）=（l_gx亚）

k）

jr

（2）函数〃x）的定义域为＜%xwR,且丘丘+于左金%＞.

化简，得）=（1+Gtanx）=cos2%

/+百皿。

ICOSX）

=cos2x+^3sinxcosx

1+cos2xv3.-

=----------1---sin2x

22

=sinf2x+—+—,

I6j2

—71

因为％cR,且%。左》+一,keZ,

2

rr77r

所以2x+生/2版■+△,

66

所以-l＜sin（2x+工］＜1.

i3

所以函数/(%)的值域为-于5•

(注：或许有人会认为“因为"版•+",所以〃x)wO”，其实不然，因为5=0.)

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和

辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.

19、(1)见解析(2)最小值为L

【解析】

(1)根据抛物线的定义，判断出C的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹C的方程.设出A,3两点的坐标，利用导数求得

切线的方程，由此求得P点的坐标.写出直线机的方程，联立直线心的方程和曲线C的方程，根据韦达定理求

得P点的坐标，并由此判断出P始终在直线/上，且P产，A3.

(2)设直线的倾斜角为戊，求得目的表达式，求得的表达式，由此求得四边形的面积的表达式

进而求得四边形AMBN的面积的最小值.

【详解】

⑴..•动圆过定点厂(0,1),且与直线/：y=-1相切，,动圆圆心到定点厂(0,1)和定直线y=-1的距离相等，动圆圆

心的轨迹C是以尸(0,1)为焦点的抛物线，.•.轨迹C的方程为：/=4y,

设3(々,多，--%2=4y,...直线24的方程为：yW(x—西)，即：分=2中-X；①,

同理，直线心的方程为：4y=2%%-舅②，

由①②可得：P(百上三,也)，

24

直线a方程为：y=kx+l,联立'：一履+1可得：犬―4履—4=0,:.P(2k,—1),

［尤=4y

:•kpFxk=——xk——I,/.点P始终在直线I上且PFJ_AB；

k

22

(2)设直线AB的倾斜角为a,由(1)可得：IAB1=^1+1%1-x21=4(1+k)=4(1+tan«)=,

COScc

:\MN|二

cos2(a+90°)sin2a

io32

...四边形AMBN的面积为：-x\AB\x\MN\^--------.>32,当且仅当。=45或135，即左=±1时

2sin~acos~asin2a

取等号，四边形4WBN的面积的最小值为1.

【点睛】

本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查

运算求解能力，属于中档题.

20、(I)证明见解析(II)(III)-勺47.

317

【解析】

(I)由题知如图以点C为原点，直线CD、CB、CP分别为了、八z轴，建立空间直角坐标系，计算

DEAC=O>证明DEAC，从而DEI■平面MC,即可得证；

(II)求解平面PDE的一个法向量〃，计算COS〈氏CP)，即可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值；

(IU)求解平面P3E的一个法向量加，计算cos(相，力，即可得二面角O-PE-5的余弦值.

【详解】

(I)PC±^ABCD,:.DE工PC,

如图以点。为原点，直线CD、CB、CP分别为不y、z轴，建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,3,0),P(0,0,2),A(2,l,0),E(1,2,0),

DE=(-1,2,0),AC=(-2-1,0)，,DE.AC=0,

DELAC,又CP\C4=C,..r)E_L平面

••DEu平面PDE,：.平面平面PAC；

(.II)设〃=(尤1，%，4)为平面产。£：的一个法向量，

又P£=(1,2,—2),DE=(-1,2,0),CP=(0,0,2),

n-DE--x+2y=0

则11，取％=1，得〃=（2,1,2）

n-PE=石+2%—24=0

nCP2

cos(n,CP

HM*

2

•••直线PC与平面PDE所成角的正弦值§；

（in）设7〃=（%,%*2）为平面尸防的一个法向量,

又PB=(0,3,-2),EB=(-1,1,0),

m•PB=3y—2z=0

则22,取％=2,得初=（2,2,3）,

n-EB=—x2+%=0

n-m4A/17

/.cos(m,n

|n|-|m|17

二二面角D-PE-B的余弦值-Ml

17

【点睛】

本题主要考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成角的计算，二面角大小的求解，考查了空间向量在立体几何中的

应用，考查了学生的空间想象能力与运算求解能力.

21、（1）证明见解析；（2）巫

7

【解析】

（1）由已知可证与c〃a。，即可证明结论;

（2）根据已知可证4。,平面ABCD,建立空间直角坐标系，求出A4,3,。坐标,进而求出平面\AB和平面AXAD

的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.

【详解】

方法一：（1）依题意，也AB,豆AB&CD,：.AB也CD,

：.四边形AB。是平行四边形，B.C//4。,

•.•百。仁平面43。，4。匚平面4台。，

BtC平面ABD.

(2)•.•40,平面ABD,.•.AO,A。，

•.,45=4。且。为5。的中点，，4。，5。，

VAO.6。u平面ABC。且AOBD=O,

A。，平面ABCO,

以。为原点，分别以04,08,04,为x轴、y轴、Z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,

则A(g,O,O),5(0,1,0),0(0,—1,0),4(o,o,i),

: