（江苏专用）高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 直线、平面的判定与性质

8.3直线、平面平行的判定与性质

基础知识自主学习

H知识梳理

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线和这个平

•・•/〃&

面内的一条直线平行,那么这条

判定定理Z__7aua,l(la,

直线和这个平面平行（简记为

：.1//o

“线线平行=线面平行”）

如果一条直线和一个平面平行，

1//a,7c

经过这条直线的平面与这个平

%<%>/旦,

性质定理面相交，那么这条直线就和交线

。GB=b,

平行（简记为“线面平行n线线

：.l//b

平行”）

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面内有两条

,〃£,力〃B,

相交直线都平行于另一

aCb=P,

判定定理个平面，那么这两个平

口aua,bua,

面平行（简记为“线面

：.a//0

平行=面面平行”）

•：Q〃B、aCly

如果两个平行平面同时

=a,

性质定理和第三个平面相交,那

BCy=b,

么所得的两条交线平行

：.a//b

【知识拓展】

重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a,a±B,则。〃£；

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a_L。，Z?±a,则a〃方;

(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若万，£〃/,则。〃九

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(X)

(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(X)

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(X)

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(V)

(5)若直线a与平面a内无数条直线平行，则a〃a.(X)

⑹若a〃力，直线a〃。，则a〃万.(X)

2考点自测--------------------------

1.(教材改编)下列命题中不正确的有_______.

①若a,6是两条直线，且且〃6,那么a平行于经过6的任何平面；

②若直线a和平面a满足a〃*那么a与a内的任何直线平行；

③平行于同一条直线的两个平面平行；

④若直线a,。和平面。满足a〃4a//a,Ma,则6〃a.

答案①②③

解析①中，a可以在过6的平面内；②中，a与a内的直线可能异面；③中，两平面可相

交；④中，由直线与平面平行的判定定理知，b//a,正确.

2.设/，必为直线，a,£为平面，且/ua,归£,则“/n而=。”是“a〃夕’的

条件.

答案必要不充分

解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“Em=0”是“a〃尸”的必

要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，二/C勿=。是的必要

不充分条件.

3.如图，在正方体或一484〃中，AB=2,点£为/〃的中点，点尸在口上.若牙〃平面

ARC,则线段〃的长度为.

4fi,

答案^2

解析因为直线必〃平面466EFu平面ABCD,

且平面AB6平面ABCD=AC,所以EF//AC,

又£是物的中点，所以产是ZT的中点，

由中位线定理可得EF^AC,

又在正方体ABCD-ABCR中，AB=2,

所以,0=2*,所以EF=^.

4.（教材改编）如图，在正方体四"一48G"中，£为必的中点，则初与平面4团的位置关

系为一.

答案平行

解析连结劭，没BDCAC=0,

连结式，在△应力中，。为6〃的中点，所以£0为△切%的中位线，

则必〃而做Q平面4龙，比t平面/%

所以劭〃平面ACE.

5.过三棱柱/8C—481G任意两条棱的中点作直线，其中与平面/微4平行的直线共有

________条.

答案6

解析各中点连线如图，只有面硒汨与面力能4平行，在四边形断附中有6条符合题意.

题型分类深度剖析

题型一直线与平面平行的判定与性质

命题点1直线与平面平行的判定

例1如图，四棱锥P—ABCD中,AD//BC,AB=BC，AD,E,F,〃分别为线段力〃，PC,CD

的中点，与应1交于。点，G是线段加上一点.

(1)求证：/P〃平面庞先

(2)求证：M〃平面必〃

证明(1)连结

'：AD//BC,BC^AD,

:.BC糠AE,

四边形46位是平行四边形，

，0为4C的中点.

又是尸C的中点，〃［只

66t平面BEF,4H平面BEF,

〃平面BEF.

⑵连结777,0H,

,:F,〃分别是AG5的中点，

C.FH//PD,〃平面为〃

又是欧的中点，〃是0的中点,

，OH//AD,：.0H//平面PAD.

又FHCOH=H,

平面平面PAD.

又：白仁平面OHF,

平面PAD.

命题点2直线与平面平行的性质

例2(2017•镇江月考)如图，四棱锥夕一月四的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均

为2旧.点G,E,F,〃分别是棱阳，AB,CD,户C上共面的四点，平面面施平面

比〃平面GEFH.

(1)证明：GH//EF-,

(2)若项=2,求四边形同力的面积.

(1)证明因为BC//平面GEFH,BCu平面PBC,

且平面Wn平面GEFH=GH,

所以GH//BC.

同理可证EF//BC,因此GII//EF.

⑵解如图，连结然，6〃交于点0,劭交断于点4,连结能GK.

因为必=?<7,。是的中点，所以尸0L/G

同理可得P0LBD.

又劭n4C=〃，且｛C,做都在底面内,

所以夕0,底面/8效

又因为平面G以巩L平面ABCD,

且/W平面GEFH,所以如〃平面GEFH.

因为平面〃加A平面GEFH=GK,

所以PO//GK,且GALL底面ABCD,

从而GKVEF.

所以胡是梯形GEFH的高.

由AB=8,EB=2得EB：AB=KB：DB=1：4,

从而KB=%)B=；OB,即K为阳的中点.

再由PQ//GK'得GK^PO,

即G是阳的中点，且GH=；Bg4.

由已知可得08=舶

PgyjPE-OE=#68-32=6,

所以GK=3.

GH+EF

故四边形位R/的面积S=f—•GK

思维升华判断或证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点)；

(2)利用线面平行的判定定理(Ma,be.a,a〃-a〃a)；

(3)利用面面平行的性质定理(a〃£,au"=a〃⑶；

(4)利用面面平行的性质(。〃£,血a,匈£,alla0aH.

跟踪训练1如图所示，CD,4?均与平面威阳平行，E,F,G,〃分别在皮)，BC,AC,ADh,

且5求证：四边形跖第是矩形.

AB

证明:CD//*WEFGH,

而平面目物。平面BCD=EF,

：.CD//EF.

同理的〃如，：.EF//HG.

同理他〃阳

...四边形如67/为平行四边形.

C.CD//EF,HE//AB,

/Zffi尸为异面直线切和48所成的角.

又‘：CDLAB,：.HELEF.

平行四边形加67/为矩形.

题型二平面与平面平行的判定与性质

例3(2016•镇江模拟)如图所示，在三棱柱48C—45G中，E,F,G,〃分别是46,AC,45,

4G的中点，求证：

(1)氏C,H,G四点共面；

(2)平面夕%〃平面BCIIG.

证明(1)V(?,〃分别是4国4G的中点,

是8G的中位线，

:.GH〃B、C\.

又,：B\C\〃BC,J.GH//BC,

:.B,C,H,G四点共面.

⑵尸分别是4氏4c的中点,

C.EF//BC.

：£两平面BCIIG,BCu平面BCIIG,

.•.哥'〃平面BCHG.

■触EB,

：.四边形是平行四边形，

：.AxE//GB.

平面阅％,GBu平面BC"G,

平面BCHG.

；A、ECEF=E,

平面EFA\//平面BCHG.

引申探究

1.在本例条件下，若〃为6G的中点，求证：仞〃平面4瓜掰.

证明如图所示，连结期，AB

•.•〃为6G的中点，〃为4G的中点，

：.HD//AxB,

又施平面AMSA,

4代平面ABBA,

〃平面A&BA.

2.在本例条件下，若4,〃分别为84,%的中点，求证：平面4能〃平面力GA

证明如图所示，连结4c交AG于点M,

•.•四边形44制是平行四边形，

."V是4C的中点，连结助9,

・"为比'的中点，

：.AxB//DM.

,:A庆平面4必，

〃施平面AxBDy,

犷〃平面AM

又由三棱柱的性质知，DxC^BD,

四边形BDCD为平行四边形,

：.DCJ/BDy.

又％《平面4孙初u平面49，

；.阳〃平面AM

又,：DC、CDM=D,DC„〃化平面/

.•.平面4能〃平面AQD.

思维升华证明面面平行的方法

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个

平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.

跟踪训练2(2016•盐城模拟)如图，四棱柱4时一464〃的底面/以力是正方形，。是底面

中心，40_L底面/及/，AB=AA产木.

⑴证明：平面4勿〃平面勿3；

(2)求三棱柱ABD-AxBM的体积.

⑴证明由题设知，阴锹如，

；.四边形能〃〃是平行四边形，，劭〃8几

又加I平面CXB、，BRu平面CDB,

〃平面CDxBx.

'：AxDy^BxC^BC,

四边形AM是平行四边形，

：.AxB//DxC.

又4所平面以台，DGu平面CDB,

.♦.46〃平面ClXBy.

又BDCA4B,，平面4劭〃平面CIKBx.

⑵解平面"G9,

是三棱柱ABD-A^Dy的高.

XAO=^AC=1,44=木,

*'"A\O=y）A/tCM=1.又S&Mt>=aXX=1»

,',%棱柱ABO-48自—SAABD40—1.

题型三平行关系的综合应用

例4（2016•盐城模拟）如图所示，在三棱柱/比■一48£中，〃是棱CG的中点，问在棱A?

上是否存在一点反使庞,〃平面464?若存在，请确定点6的位置；若不存在，请说明理由.

解方法一存在点反且£为四的中点时，应〃平面4SG.

下面给出证明：

如图，取阳的中点凡连结始

则DF//B\C\,

的中点为反连结〃，ED,

则跖〃/旦，BCCAB\=B',

平面DEF”平■面ABC.

而DEu平面DEF,

；.然〃平面ABC.

方法二假设在棱48上存在点£,

使得小〃平面阳G,

如图，取烟的中点凡连结勿1,EF,ED,则加1〃笈G,

又4Q平面AGu平面4KG,

.〃平面ABC,

又DE//平面ABC,

DECDF=D,

.•.平面侬〃平面ABxCx,

；EFu平面DEF,二跖〃平面仍G,

又,/EFu平面ABB、,平面ABRC平面ABC=AB\,

:.EF//AB、,

.点尸是防的中点，.,.点6是46的中点.

即当点£是四的中点时，龙〃平面ABC.

思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常

用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.

跟踪训练3（2016•南京模拟）如图所示，在四面体48（力中，截面功第平行于对棱和CD,

试问截面在什么位置时其截面面积最大？

解•:AB〃平面EFGH,

平面砒■〃与平面和平面4班分别交于尾，EH.

：.AB//FG,AB//EH,

：.FG//EH,同理可证9,

.•.截面分浏是平行四边形.

设48=a,CD^b,4FGH=a（a即为异面直线48和勿所成的角或其补角）.

文蚊FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得;=%

1=第两式相加得\+]=1,即y=((a—x),

:•£的=FG•GH9sino

b、^Osina/、

=x•~•\za—x)•sin。=-------x{a~x).

aa

^r>0,a-x>0且x+(a—x)—a为定值，

...如U』x(a-x)W但产，当且仅当x=a-x时等号成立.

a4

,,,ab

此时x=~,/=-.

即当截面斫6■〃的顶点区F、G、〃分别为棱49、AC.BC、劭的中点时截面面积最大.

答题模板系列

5.立体几何中的探索性问题

典例（14分）如图，在四棱锥S-1时中，已知底面18（力为直角梯形，其中ABAD

2

=90°,底面]8力，SA=AB=BC=2,tanN的=鼻.

O

（1）求四棱锥s—4?切的体积;

⑵在棱园上找一点E,使方〃平面必反并证明.

规范解答

2

解（1）'.•%J_底面/比》,tan/泌=彳，幺=2,

.,./〃=3.[2分]

由题意知四棱锥S—4腼的底面为直角梯形，

且SA—AB—BC—2,

h如=；-S4-1-(BC+A力・AB

=1x2x|x(2+3)X2=y.[6分]

(2)当点£位于棱助上靠近〃的三等分点处时，

证明如下：

取助上靠近〃的三等分点为笈取必上靠近4的三等分点为£连结龙，EF,BF,

22

则£7•锹g",BC吗AD,

:.BC糠EF,：.CE//BF.[12分]

又,：BFu平面SAB,烟平面SAB,

〃平面SAB.[14分]

解决立体几何中的探索性问题的步骤

第一步：写出探求的最后结论；

第二步：证明探求结论的正确性；

第三步：给出明确答案；

第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.

课时作业

1.(2016•南通模拟)有下列命题：

①若直线/平行于平面。内的无数条直线，则直线，〃。；

②若直线a在平面a外，则a〃a：

③若直线a//b,b//a,则a〃a；

④若直线a〃4b//a,则a平行于平面。内的无数条直线.

其中真命题的个数是.

答案1

解析命题①，/可以在平面a内，不正确；命题②，直线a与平面。可以是相交关系，

不正确；命题③，a可以在平面a内，不正确；命题④正确.

2.（2016•苏北四校联考）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形4腼是正方形，E,F

分别为必，如的中点.在此几何体中，给出下列四个结论：

①直线与直线是异面直线；

②直线硬与直线4尸是异面直线；

③直线"1〃平面如G

④平面6c及L平面PAD.

其中正确结论的序号为.

答案②③

解析因为AD<^BC,所以加1触;8G所以其B,C,尸四点共面，所以应与〃

共面，所以①错误；因为4足平面为〃EG平面力。，反直线/£唐平面必〃，所以跖与

4户是异面直线，所以②正确；因为EF//BC,即平面PBC,BCu平面PBC,所以砰〃平面PBC,

所以③正确；由于不能推出线面垂直，故平面颇工平面必〃不成立，所以④错误.

3.设/为直线，a,灯是两个不同的平面.下列命题中正确的是.

①若1//a,/〃£,则aH队

②若7±a,718,则。〃£:

③若7±a,1//£,则a〃£；

④若aVP,1//a,则/J.B.

答案②

解析，则。与£可能平行，也可能相交，故①错；由“同垂直于一条直线

的两个平面平行”可知②正确；由/〃£可知a邛,故③错；由a1//a

可知/与£可能平行，也可能/u8,也可能相交，故④错.

4.（2016•苏锡常联考）下列关于互不相同的直线加1,c和平面。，£的四个命题：

①若归a,点眼〃，则/与m不共面；

②若m,，是异面直线，1"a、mHo,且〃_!_/,则〃_Lo；

③若/〃。，加〃£,。〃£,则/〃俄

④若/ua,归a,ir\m=Ai1//0,m//B,则a〃£.

其中假命题是.（填序号）

答案③

5.已知平面。〃平面B,〃是a,B外一点，过点〃的直线0与a,£分别交于4C两

点，过点P的直线〃与4,£分别交于〃，〃两点，且阳=6,力。=9,PD=89则劭的长为

答案24或

5

解析由。〃尸得四〃成

分两种情况：

PAPR

若点户在*B的同侧，则犷而，

1624

/.PB=—,:.BD=­\

55

PAPR

若点尸在a,£之间，则瓦三而

:,PB=16,：.BD=24,

6.（2016•全国甲卷）。，£是两个平面，加，〃是两条直线，有下列四个命题：

①如果R_L〃，/n.La,〃〃£,那么〃_L£；

②如果R_La,n//o,那么"J_〃；

③如果Q〃B、ga,那么加〃£；

④如果加〃〃，。〃£,那么/〃与。所成的角和〃与£所成的角相等.

其中正确的命题有.

答案②③④

解析当mA,小〃〃£时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④

均正确，故正确答案为②③④.

7.设£,7是三个不同的平面，叫〃是两条不同的直线，在命题“。门£=而，〃uy,

且________,则勿〃〃”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.

①。〃y,仁8；②加〃y,〃〃£；@n//B,归y.

可以填入的条件有______.

答案①或③

解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当〃〃£,/时，〃和加在同一平面内，且

没有公共点，所以平行，③正确.

8.如图，在正四棱柱加5一48C"（底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱）中，E、F、G、H

分别是棱CG、C\。、0tD、切的中点，抨是6c的中点，动点M在四边形牙纺上及其内部运动，

则材满足条件时，有用］〃平面无物.

答案祚线段咫

解析因为用V〃被，HF//DIX,所以平面力物〃平面台应族，故线段）上任意点"与N相连,

都有松〃平面48必.（答案不唯一）

9.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命

题称为“可换命题”.给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行：③平行于同一直线的两

直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是.（填命题的序

号）

答案①③

解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题,

故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不

是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，

故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命

题，故④不是“可换命题”.

10.在四面体缪中，机N分别是△/5，△8CD的重心，则四面体的四个面中与加V平行

的是________.

答案平面力劭与平面

解析如图，取切的中点及连结力£,BE.

A

则以/：屈4=1：2,EN\BN=\：2,

所以MN//AB.

所以肱必平面4切，鹿V〃平面/欧

11.在三棱锥S—力比■中，△力a1是边长为6的正三角形，融=5»=SOM5,平面第汨分别与

AB,BC,SC,必交于点〃，E,F,H.D,£分别是46,%的中点，如果直线第〃平面第以

那么四边形Z®刃的面积为_______.

j45

答案~

解析如图，取的中点G,

连结SG,BG.

易知SGLAC,BGX.AC,SGDBG=G,

故4CL平面SGB,

所以ACLSB.

因为胡〃平面DEFH,SBC平面SAB,平面SABO平面DEFI{=HD,

则SB//HD.

同理SB//FE.

又D,K分别为力反外的中点，

则//,/也为/S,SC的中点，

从而得切啜法触DE,

所以四边形刃/为平行四边形.

又/C_LS8,SB//HD,DE//AC,

所以DEI.HD,

所以四边形颁/为矩形，

其面积S—HF-HQ=岑.

12.如图，E、F、G、〃分别是正方体/8力-4AG4的