江西省九江市修水县2024届中考适应性考试数学试题含解析

江西省九江市修水县2024届中考适应性考试数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知。O的半径为5,弦AB=6,P是AB上任意一点，点C是劣弧A8的中点，若△POC为直角三角形，则PB

的长度（）

B.5C.1或5D.2或4

2.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）

4.多项式ax?-4ax-12a因式分解正确的是（）

A.a(x-6)(x+2)B.a(x-3)(x+4)C.(x2-4x-12)D.a(x+6)(x-2)

5.正比例函数y=2履的图象如图所示，则y=（A-2）x+l一左的图象大致是（）

6.如图，I是AABC的内心，AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BLBD,DC下列说法中错误的一项

是（）

-----sJ

I

/77C

D

A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合

B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI熏合

C.NCAD绕点A顺时针旋转一定能与NDAB重合

D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合

7.如图，0是一ABC的外接圆，已知NABO=50，则/ACB的大小为（）

A.40B.30C.45D.50

8.如图所示，把直角三角形纸片沿过顶点B的直线（BE交CA于E）折叠，直角顶点C落在斜边AB上，如果折叠

后得等腰AEBA,那么结论中：①NA=30。；②点C与AB的中点重合；③点E到AB的距离等于CE的长，正确的

个数是（）

9.小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是

1Y—1X—

§（-1+x）=l-=一，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是X=5,于

是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（）

A.2B.3C.4D.5

10.“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组

共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是()

A.x(x+1)=210B.x(x-1)=210

C.2x(x-1)=210D.-x(x-1)=210

2

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.如图，已知一块圆心角为270。的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是

60cm,则这块扇形铁皮的半径是cm.

12.若a-3有平方根，则实数a的取值范围是.

13.已知抛物线y=x2-x+3与y轴相交于点M,其顶点为N,平移该抛物线，使点M平移后的对应点M，与点N重合,

则平移后的抛物线的解析式为.

14.计算：673->/27=

22

15.四张背面完全相同的卡片上分别写有0、3、邪、及、亍四个实数，如果将卡片字面朝下随意放在桌子上，

任意取一张，那么抽到有理数的概率为.

16.如图，一束光线从点4(3,3)出发，经过y轴上点C反射后经过点3(1,0),则光线从点A到点3经过的路径长为

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4这四个数

字中任取3个数，组成无重复数字的三位数.

(1)请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；

(2)甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜.你认为这个游戏公平吗？

试说明理由.

18.(8分)如图，在。O的内接四边形ABCD中，ZBCD=120°,CA平分/BCD.

(1)求证：AABD是等边三角形;

(2)若BD=3,求。。的半径.

19.(8分)如图1,在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,经过点O的直线与边AB相交于点E,

与边CD相交于点F.

(1)求证：OE=OF；

(2)如图2,连接DE,BF,当DELAB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于^BD的所有的等腰

2

三角形.

20.(8分)如图，已知D是AC上一点，AB=DA,DE〃AB,ZB=ZDAE.求证：BC=AE.

21.(8分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2“x+c(其中a、c为常数，且“<0)与x轴交于点A(-3,0),

与y轴交于点3,此抛物线顶点C到*轴的距离为1.

(1)求抛物线的表达式

(2)求NCA3的正切值；

(3)如果点尸是x轴上的一点，且NA8P=NCA0,直接写出点尸的坐标.

4-

3

2

1

12344

-1

22.(10分)综合与探究

如图，抛物线y=-且f—延％+

有与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,直线1经过

33

B,C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM,将线段MC绕点M顺时针旋转

90。得到线段MD,连接CD,BD.设点M运动的时间为t请解答下列问题:

(1)求点A的坐标与直线1的表达式;

(2)①直接写出点D的坐标(用含t的式子表示)，并求点D落在直线1上时的t的值;

②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值;

(3)在点M运动的过程中,在直线1上是否存在点P,使得△BDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标;

若不存在，请说明理由.

AC、BD相交于点O,点E在AO上，且OE=OC.求

证：Z1=Z2；连结BE、DE,判断四边形BCDE的形状，并说明理由.

24.“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式,

并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

扇颜榴鼎统十图

(1)接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为度；

(2)请补全条形统计图；

(3)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”

程度的总人数.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

由点C是劣弧AB的中点，得到OC垂直平分AB,求得DA=DB=3,根据勾股定理得到OD==1,若APOC为直角三

角形，只能是NOPC=90。，则根据相似三角形的性质得到PD=2,于是得到结论.

【详解】

•••点C是劣弧AB的中点，

AOC垂直平分AB,

.\DA=DB=3,

OD=^52—32=4，

若APOC为直角三角形，只能是NOPC=90。,

则4POD-^ACPD,

.PD_CD

••OD—PDf

.*.PD2=4xl=4,

j,.PD=2,

，PB=3-2=1,

根据对称性得，

当P在OC的左侧时，PB=3+2=5,

APB的长度为1或5.

故选C.

【点睛】

考查了圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键.

2、C

【解析】

由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱.故选C.

3、B

【解析】

按照分式运算规则运算即可，注意结果的化简.

【详解】

解：原式=「—2+3=£11=1,故选择B.

x+lX+1

【点睛】

本题考查了分式的运算规则.

4、A

【解析】

试题分析：首先提取公因式a,进而利用十字相乘法分解因式得出即可.

解：ax2-4ax-12a

=a(x2-4x-12)

=a(x-6)(x+2).

故答案为a(x-6)(x+2).

点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键.

5、B

【解析】

试题解析：由图象可知，正比函数尸2质的图象经过二、四象限，

：.2k<0,得kO,

4―2<0,1—左>0,

二函数产(《-2)x+lH图象经过一、二、四象限，

故选B.

6^D

【解析】

解：；/是△ABC的内心，.•.4/平分N5AC,5/平分NABC,/.ZBAD=ZCAD,ZABITZCBI,故C正确，不符合

题意；

BD=CD'•,-BD=CD,故A正确，不符合题意；

•:NDAC=NDBC,：.NBAD=NDBC.NIBD=NIBC+NDBC,ZBID^ZABI+ZBAD,：.ZDBI=ZDIB,：.BD^DI,

故B正确，不符合题意.

故选D.

点睛：本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等.

7、A

【解析】

解：AAOB中，OA=OB,NABO=30。；

ZAOB=180°-2ZABO=120°；

/.ZACB=ZAOB=60°；故选A.

8、D

【解析】

根据翻折变换的性质分别得出对应角相等以及利用等腰三角形的性质判断得出即可.

【详解】

•.•把直角三角形纸片沿过顶点B的直线（BE交CA于E）折叠，直角顶点C落在斜边AB上，折叠后得等腰AEBA,

/.ZA=ZEBA,ZCBE=ZEBA,

；.NA=NCBE=NEBA,

VZC=90°,

:.NA+NCBE+NEBA=90。，

/.ZA=ZCBE=ZEBA=30°,故①选项正确；

VZA=ZEBA,ZEDB=90°,

/.AD=BD,故②选项正确；

VZC=ZEDB=90°,NCBE=NEBD=30。，

/.EC=ED（角平分线上的点到角的两边距离相等），

...点E到AB的距离等于CE的长，故③选项正确，

故正确的有3个.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了翻折变换的性质以及角平分线的性质和等腰三角形的性质等知识，利用折叠前后对应角相等是解题关

键.

9、D

【解析】

设这个数是a,把x=l代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可.

【详解】

设这个数是a,

把x=l代入得：一1（-2+1）=1-5^—a,

33

解得：a=l.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得出一个关于a的方程

是解此题的关键.

10、B

【解析】

设全组共有X名同学，那么每名同学送出的图书是(XT)本；

则总共送出的图书为X(x-l)；

又知实际互赠了210本图书，

则x(x-l)=210.

故选：B.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11>40cm

【解析】

首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可.

【详解】

,圆锥的底面直径为60cm,

二圆锥的底面周长为607rcm,

，扇形的弧长为60ncm,

设扇形的半径为r,

270万「

贝！1-------=60TT,

180

解得：r=40cm,

故答案为:40cm.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解.

12、a>l.

【解析】

根据平方根的定义列出不等式计算即可.

【详解】

根据题意，得。―320.

解得：a>3.

故答案为a23.

【点睛】

考查平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0,负数没有平方根.

13、y=(x-1)2+|

【解析】

直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出M、N点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平

移后解析式.

【详解】

解：y=x2-x+3=（X-—）2+—,

24

••・N点坐标为：（工,—）,

24

令x=0,则y=3,

点的坐标是（0,3）.

••・平移该抛物线，使点M平移后的对应点与点N重合，

.•.抛物线向下平移-个单位长度，再向右平移-个单位长度即可，

42

•••平移后的解析式为：y=（x-l）2+1.

故答案是：y=（x-l）2+1.

【点睛】

此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键.

14、373

【解析】

按照二次根式的运算法则进行运算即可.

【详解】

66-07=66-36=36

【点睛】

本题考查的知识点是二次根式的运算，解题关键是注意化简算式.

3

15、-

4

【解析】

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.

【详解】

2222

•••在0・3、亚、6、亍这四个实数种，有理数有Op、邪、亍这3个，

3

二抽到有理数的概率为:，

4

3

故答案为了.

【点睛】

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

件A的概率P(A)=—.

n

16、2

【解析】

延长AC交x轴于B，.根据光的反射原理，点B、B，关于y轴对称，CB=CB\路径长就是AB，的长度.结合A点坐

标，运用勾股定理求解.

【详解】

延长AC交x轴于B，.则点B、B，关于y轴对称，CB=CB\作AD，x轴于D点.则AD=3,DB，=3+1=1.

由勾股定理ABf=2

AAC+CB=AC+CBr=AB=2.即光线从点A到点B经过的路径长为2.

考点：解直角三角形的应用

点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)见解析(2)不公平。理由见解析

【解析】

解：(1)画树状图得：

开始

所有得到的三位数有24个，分别为：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,

321,324,341,342,412,,413,421,423,431,432。

(2)这个游戏不公平。理由如下：

\•组成的三位数中是“伞数”的有：132,142,143,231,241,243,341,342,共有8个,

二甲胜的概率为・,乙胜的概率为»

•.•甲胜的概率#乙胜的概率，...这个游戏不公平。

(1)首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有可能得到的三位数。

(2)由(1),可求得甲胜和乙胜的概率，比较是否相等即可得到答案。

18、(1)详见解析；(2)瓜

【解析】

(1)因为AC平分/BCD,NBCD=120。，根据角平分线的定义得：/ACD=NACB=60。，根据同弧所对的圆周角

相等，得NACD=NABD,ZACB=ZADB,NABD=NADB=60。.根据三个角是60。的三角形是等边三角形得△ABD

是等边三角形.(2)作直径DE,连结BE,由于△ABD是等边三角形，则NBAD=60。，由同弧所对的圆周角相等，

得NBED=NBAD=60。.根据直径所对的圆周角是直角得，ZEBD=90°,则/EDB=30。，进而得到DE=2BE.设EB

=x,则ED=2x,根据勾股定理列方程求解即可.

【详解】

解：(1)VZBCD=120°,CA平分/BCD,

.\ZACD=ZACB=60°,

由圆周角定理得，NADB=NACB=60。，ZABD=ZACD=60°,

.,.△ABD是等边三角形；

(2)连接OB、OD,作OH_LBD于H,

皿13

贝！］DH=—BD=一,

22

ZBOD=2ZBAD=120°,

...NDOH=60°,

“»DH

在RtAODH中,OD=----------------=J3r,

sinZDOH

，。0的半径为也.

D

【点睛】

本题是一道圆的简单证明题，以圆的内接四边形为背景，圆的内接四边形的对角互补，在圆中往往通过连结直径构造

直角三角形，再通过三角函数或勾股定理来求解线段的长度.

19、(1)证明见解析；(2)ADOF,△FOB,△EOB,ADOE.

【解析】

(1)由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC,AB//CD,贝！I可证得△AOE丝ZkCOF(ASA),继而证得OE=OF；

(2)证明四边形DEBF是矩形，由矩形的性质和等腰三角形的性质即可得出结论.

【详解】

(1)I•四边形ABCD是平行四边形，

/.OA=OC,AB〃CD,OB=OD,

:.ZOAE=ZOCF,

在小。人£和4OCF中，

"NOAE=ZOCF

<OA=OC,

ZAOE=ZCOF

/.△AOE^ACOF(ASA),

.\OE=OF；

(2)VOE=OF,OB=OD,

二四边形DEBF是平行四边形，

VDE±AB,

/.ZDEB=90°,

二四边形DEBF是矩形，

；.BD=EF,

1

:.OD=OB=OE=OF=-BD,

2

二腰长等于，BD的所有的等腰三角形为△DOF,AFOB,△EOB,ADOE.

2

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质与平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与平行四边形的性质.

20、见解析

【解析】

证明：VDE/7AB,/.ZCAB=ZADE.

ZCAB=ZADE

在△ABC和△DAE中，V{AB=DA,

ZB=ZDAE

/.△ABC^ADAE(ASA).

,*.BC=AE.

【点睛】

根据两直线平行，内错角相等求出NCAB=NADE,然后利用“角边角”证明△ABC和△DAE全等，再根据全等三角形

对应边相等证明即可.

21、(4)-x4-4x+3；(4)I；(3)点尸的坐标是(4,0)

【解析】

(4)先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a(x+4)4+4,将点(-3,0)代入求得a

的值即可；

(4)先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB,AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证

明NABC=90。,最后,依据锐角三角函数的定义求解即可；

(3)连接3C,可证得ZA05是等腰直角三角形，AACBsABPO,可得微|=器代入个数据可得OP的值，可得P

点坐标.

【详解】

2a

解：(4)由题意得，抛物线y="4+4ax+c的对称轴是直线*=—=-1,

2a

Va<0,抛物线开口向下，又与x轴有交点，

二抛物线的顶点C在x轴的上方，

由于抛物线顶点C到x轴的距离为4,因此顶点C的坐标是(-4,4).

可设此抛物线的表达式是y=a(x+4)4+4,

由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是(-3,0),可得。=-4.

因此，抛物线的表达式是-x4-4x+3.

(4)如图4,

...△A5C为直角三角形，ZABC=90°,

所以tanZCAB=^^-=-.

AB3

即NCA5的正切值等于

(3)如图4,连接BC,

"：OA=OB=3,ZAOB=9Q°,

・・・AAOB是等腰直角三角形,

:.ZBAP=ZABO=45°9

*:ZCAO=ZABP9

:・NCAB=NOBP,

■:ZABC=ZBOP=9Q09

:.AACBsABPO,

.AB_OB

''~BC~~OP

.•.半=二,吁4,

V2OP

点尸的坐标是(4,0).

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质，综合性大.

22、(1)A(-3,0),y=-6x+垂)；(2)①D(t-3+6，t-3),②CD最小值为灰；(3)P(2,-百)，理

由见解析.

【解析】

(1)当y=0时，炉—正x+6=。，解方程求得A(-3,0),B(1,0),由解析式得C(0,上),待定系

33

数法可求直线1的表达式；

(2)分当点M在AO上运动时，当点M在OB上运动时，进行讨论可求D点坐标，将D点坐标代入直线解析式求

得t的值；线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，根据勾股定理可求点M运动的过程中

线段CD长度的最小值；

(3)分当点M在AO上运动时，即0VtV3时，当点M在OB上运动时，即3夕"时，进行讨论可求P点坐标.

【详解】

(1)当y=0时，~炉一冬巨x+框=0,解得xi=LX2=-3,

33

•.•点A在点B的左侧，

AA(-3,0),B(1,0),

由解析式得C(0,石)，

设直线1的表达式为y=kx+b,将B,C两点坐标代入得b=百mk-6,

故直线1的表达式为y=-6x+百；

(2)当点M在AO上运动时，如图:

由题意可知AM=t,OM=3-t,MC1MD,过点D作x轴的垂线垂足为N,

ZDMN+ZCMO=90°,ZCMO+ZMCO=90°,

/.ZMCO=ZDMN,

在小MCO与4DMN中，

MD=MC

[ZDCM=ADMN,

ZCOM=ZMND

/.△MCO^ADMN,

/.MN=OC=V3>DN=OM=3-t,

•"•D(t-3+s/3，t-3)；

同理，当点M在OB上运动时，如图，

OM=t-3,△MCO^ADMN,MN=OC=GON=t-3+BDN=OM=t-3,

AD(t-3+73,t-3).

综上得，D(t-3+6,t-3).

将D点坐标代入直线解析式得t=6-2若，

线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小,

；M在AB上运动,

.•.当CM_LAB时，CM最短，CD最短，即CM=CO=6,根据勾股定理得CD最小指

(3)当点M在AO上运动时，如图，即0Vt<3时,

..oc

•tanNCBO=-----=J3r,

OB、

AZCBO=60°,

VABDP是等边三角形，

AZDBP=ZBDP=60°,BD=BP,

LLDN

：.ZNBD=60°,DN=3-t,AN=t+J3，NB=4-t-百，tanZNBO=—