2024届高三数学独立作业9试卷含答案

2024届高三独立作业(9)

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的)

2-z

1,2023-(、7)

A.2B.41C.5D.75

2.已知集合M={yeZ|y=——2x},N={x|y=ln(—x)},则M口N=()

A.。B.{-1}C.{(1,-1)}D.[-l,0)

3.已知关于x的不等式(x-«)(x-2)>0成立的一个充分不必要条件是-1<x<1.则a的取值范

围是()

A.(-oo,-l]B.(-oo,0)C,[1,+co)D.[2,+oo)

—fff兀—f-fff

4.已知非零向量a,6满足|6|=2,<4]>=§,若(a—6)_La，则向量。在向量方向上的投

影向量为()

J43—f2-f4J43一f4-f

A.43(a+3Z?)B.^j(a+3Z))C.——-—(a+3Z?)D.—((2+3b)

IT

5.已知函数/(x)=cos(a)x+°)(。〉0,0<°〈万)图象的一条对称轴与一个对称中心的距离为一，

4

JT

当G取最小值时，将/(X)的图象向右平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区

6

间[生,红]上是增函数，则。的取值范围为()

24

TC5万、7l2万_,TC3兀、

A.[—,—]B.[r―,——]C.[r—,——]D.[r—,—]

62363344

6.已知定义在R上的函数/(x)满足对任意实数x有〃x+2)=〃x+l)-“X),若y=/(2x)的图像

1

关于直线X=5对称，/⑴=2,则Z//)=()

2左=i

A.2B.lC.-1D.-2

7.已知a=e°m,b=ln(L03e),c=7E5^,则()

A.C>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

8.在AA5c中，已知45・4。=9,5吊5=005/5111。，5"50=6,尸为线段45上的一点，且

CB11

+.V•一，则一+一的最小值为（

\CB\xy

A.1-+虫B.12C.-D.9+也

1233124

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程。16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、

一元四次方程的解法。研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元次复系数多项式方

程/（x）=0至少有一个复数根。请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程

办4+加+℃2+〃+e=o（aW0）在复数集。内的根为西,马,工3，》4，则下列结论正确的是（）

1O.Z],Z2，Z3为复数，Z,70,下列命题中的真命题有（）

A.若匕2国Z3I，则Z2=±Z3B.若Z/2=k/，则Z]=Z2

C.若ZR=2/3,则Z2=Z3D.若4=23,则由?|=匕色|

11.点分别是A48C的外心、垂心，则下列选项正确的是（）

A.尸为A48C平面内一点，则5AMe方+5Y”•丽+正

B.若2而=诙+部，且28=2，则就•薪=4

TT-----*-----»------*

C.若NB=—,OB=mOA+nOC,则加+〃的取值范围为[—2,1]

3

—»—.._,Jio

D.右2HA+3HB+4HC=。，贝hos/8/fC=--------

5

\X71\X

12.已知函数/（x）=2sin—+:+2cos—,则下列说法正确的是（）

<36J3

77

A.直线X=1为函数/（X）图象的一条对称轴B.函数/（X）的最小值为1

C.函数/（x）在上单调递增D./（x）23的解集为[31万，3k7i+7i],keZ

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.平面向量48=(%/)，把刀绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量方，贝！二

14已知同=1,W=亚，标=—1，若Z+正与R+B的夹角为锐角，则实数/的取值范

围________。

15.已知ee[0,2〃)，。终边上有一点尸(sin2+cos2,cos2-sin2),贝!]。=。

sin2m,x<0

16.设aeR,函数/(x)=<,,若/(x)在区间(-a,+s)内恰有4个零点，则

x~-4x+7-4a,x>0

a的取值范围是o

四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分10分)函数y=/sin(ox+e)(Z>0,忸|<|)的一段图像如图所示，

(1)求函数v=/(x)的解析式；

jr

(2)将函数y=/(x)的图像向右平移1个单位，得到y=g(x)图像，求函数y=/(x)+g(x)在

xe(0,J]T)值域.

18.(本题满分12分)在AABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且

acosA+acos(5-C)=2^Z?cos(〃-Z)sinC

(1)求角A的大小；

(2)若点M为8c的中点，点N满足AN=^AC,AB=2,AC=6点P为AM与BN的交点,

求/MW的余弦值.

19.（本题满分12分）某企业为响应国家号召，研发出一款特殊产品，计划生产投入市场.已知该产

品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一台该产品需另投入450元.设该企业一年内生产该

产品X（0<X«50）万台并委托一家销售公司全部售完.根据销售合同，0<xW2时，销售公司按

零售价支付货款给企业；2<xV50时，销售公司按批发价支付货款给企业.已知每万台产品的销售

收入为/（x）万元，满足：

2(x-l)ex-2+2,0<x<2

蛆)=44。+理-曾,2K5。

、xx

（1）写出年利润尸（x）（单位：万元）关于年产量X的函数关系式；

（利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本）

（2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？并求出此时的最大利润.

20.（本题满分12分）A48c的内角4民。的对边分别为a,"c,AD为/氏4c的平分线,

c:AD:b=M：2:2也

（1）求44；

（2）AD上有点ZBMC=90°tanZABM.

21.(本小题满分12分)^E(l)c(sinA-sinC)=(«-Z?)(sinA+sinB),(2)2bcosA+a=2c,

③王acsin3=/+c2.〃三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答

3

(1)求角B的大小；

(2)如图所示，当sinZ+sinC取最大值时，若在A48c所在平面内取一点。(。与5在ZC两

侧)，使得线段Z»C=2,D4=1,求A5CD面积的最大值.

22.(本题满分12分)已知函数/(x)=axlnx-x?+(3-a)x+l(aeR),

(1)当时。=1,求曲线/(x)在。J⑴)处的切线方程;

(2)若/(X)存在两个极值点看广2区＜X2),

①求。的取值范围；②当红取得最小时，求〃的值.

2024届高三数学独立作业9

总分：150分时间：120分钟命题人：钟旭

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2-i_

L[2023-()

A.2B.6C.5D.y[5

【答案】D

2.已知集合"={yeZ|y=_?-2x},N={,y=ln(-x)},则()

A.0B.{-1}C.{(1,-1)}D.[-1,0)

【答案】B

【详解】N={x|x<0},而〃=卜€2|丫=(工一1)2-1),因为y=故MN={T},

故选：B.

3,已知关于%的不等式(x-a)(x-2)>0成立的一个充分不必要条件是则。的取值范围是

()

A.(-8,-1]B.(-8,0)C.口,+⑹D.[2,+8)

【答案】C

【详解】解：设4=卜|(*-〃)(》-2)>0},B=

当a>2时，不等式(了一。)(十一2)>。的解集为(口,2)1,(°,y),即A=(—,2)」(a,s),

当a=2时，不等式(x-a)(x-2)>0,gp(x-2)2>0,则解集为(—,2)U(2,”),即

A=(F,2)U(2,+oo),

当a<2时，不等式(x—a)(x—2)>0的解集为(一®,a)U(2,y),艮口A=(f,a)U(2,收)，

不等式(尤-a)(x-2)>0成立的一个充分不必要条件是.1B冬A,所以14a<2或a=2或

a>2,

综上可得a21,即ae[l,+8);故选：C.

1

__TT_

4.已知非零向量〃，〃满足|〃|=2,<a,b>=-,若则向量〃在向量。+3,方向上的投

影向量为()

x/43-24^/43-_4

A------(a+3〃)B.—(a+36)C--------(〃+3万)D.—(a+3b)

43434343

【答案】C

又(a—b)J_a,；・(a—b)•a=|a|2—a•b=0,即a•b=|a|2,

|a|I,cos£=|a12,得|a|=1.

o

(a+3>>a=l+312-g=4,|。+3川=，1+9・4+612・(=屈

,..,,.41二一门口/心目、1II(a+3/7),au+3b4

向量sa在7向量〃+36万向上的投影向量为I。I’------------------------=—(a+3b)

\a+3b\\a\\a+3b\43

TT

5.已知函数/(尤)=cos(8+0)O>O,Ov0V%)图象的一条对称轴与一个对称中心的距离为一，当3取最小

4

值时’将八X)的图象向右平移段个单位长度得到函数ga)的图象'若函数ga)在区间言上是增函

6

数，则。的取值范围为

7171715万712万713万

A.B.C.D.

?，-6"7

TkT7tllri(2k+l)TTI._.._.

【详解】由题意可得函数/(%)的周期T满足1+万=—,所以-------二一,解传G=4k+2,当左=0时

444

⑷取得最小值2,则〃x)=cos(2x+°),将了3的图象向右平移v个单位长度得到函数g(x)的图象，可

£，苧，—g71+与2»+。,7?%+。,函数g(“)的图象在

得g(x)=1cost2x-^+(p\,由xG

24336

万+2上万wg+e

3万

T上是增函数'故,解得—+2左1<(p<—+2k7i,由OV0V/,当左=0

区间36

I—(pQ27r+2kjr

时，(pe，故选：B.

36

6.已知定义在R上的函数满足对任意实数%有〃x+2)=〃x+l)-〃x),若y=/(2x)的图象关于

123

直线x对称，/(1)=2,则£/出=()

2k=i

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】C

【详解】因为〃％+2)=/(%+1)-〃十),所以/(%+3)=/(%+2)—

2

从而可得;'(x+3)=-/(x),所以〃x+6)=〃x),所以函数/(x)的一个周期为6.

因为y=〃2x)的图象关于直线x=；对称，

所以『(l-2x)=『(l+2x),即函数的图象关于直线x=l对称.

又〃1)=2,/(2)=/(1)-/(0),

所以〃2)=〃0)=1,所以〃3)=-〃0)=-1,〃4)=—〃1)=-2,〃5)=—〃2)=—1,〃6)=〃0)=1,

所以〃1)+〃2)+…+"6)=0.由于23除以6余5,

23

所以工/(幻=川)+〃2)+-+/(5)=_/(6)=-1.故选：C.

女=1

7.已知夕:已。。"b=ln(1.03e),c=J1.06,则()

A.c>a>bB.a>c>b

C.b>a>cD.a>b>c

【答案】B

【详解】由题意a=eos,&=ln(1.03e)=ln(l+0.03)+l,c=7fo6=71+2x0.03,

下面先证明e—x+1,设函数e(x)=e'—x—l,则。(x)=e-1,

当%>0时，"(x)>0,夕(x)在(O,+。)内单调递增，

当％<0时，"(x)<0,夕⑴在(一8,0)内单调递减，

所以。(%"夕(。)=。，所以当x>0时，e%>%+1,

________产_1

设于(%)=x+1—+2%,x>0,令/=Jl+2%>1,贝[]>¥=—-—,

所以/(x)=/z(r)=-一-+l-t=«T,

22

所以元+1>Jl+2x①，

所以e0°3>0.03+l〉J1+2XO.O3=A/T丽,即〃〉c.

再设g(x)=ln(l+x)+l-V^(x>。)，83=币一屁玄=(x+l)Jl+2x，

又由①知/(力<0,所以g@)在(0,+8)内单调递减,所以g(x)<g(o)=o,

所以In(1+%)+1vJl+2x,

3

所以如(1+0.03)+1<,1+2x0.03，EPln(1.03e)<Vl.06,所以〃<c.

综上，a>c>b.故选：B.

8.在中，已知AQ.AC=9，sinB=COSAsinC,SABC=6,F为线段AB上的一点，且

「八CACB11

CP=X'\7A+y,\7^'则一+一的最小值为()

CA\CB\xy

A.2_+@B.12C.-D.，也

1233124

【答案】A

【详解】在ABC中，设AB=c,BC=a,AC=b,

：sinB=cosAsinC,即sin(A+C)=cosAsinC,即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,/.sinAcosC=0,

厂7C

0<A<TT,/.sinA>0,.\cosC=0,0<C<7r,：.C,

2

ABAC=9,即仍cosA=9,又SMe==hcsinA=6,/.tanA===£

'2becosA3b

a4r

S22

.ABC=-ab=6,则a)=12,所以，<63,解得/,c=>Ja+b=5-

2,10=3

ab-1O2

以AC所在的直线为光轴，以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

则C(0,0)、4(3,0)、3(0,4),

P为线段A3上的一点，则存在实数几使得

AP=2A5=2(-3,4)=(-32,42)(0<2<1),

.-.CP=C4+CB=(3-3A,42),

CACB|一|।.

设"=网，弓=同’则M卜同二L二弓=。，。），e2=（0,l）,

CD同CA+».CB同*/、4[^x=43—23Z，消去几得23…2,.二x十上v八

11

所以,-+—

1y

当且仅当x=1y时，等号成立，

2

因此，工+工的最小值为且+二.故选：A.

Xy312

4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四

次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元nN*)次复系数多项式方程"X)=。至少

有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程公，+加+/+公+e=0

(«*0),在复数集C内的根为々，X》形，/，则下列结论正确的是()

“b

A.再+/+元3+4=---

a

c

XXX=

B.X1X2X3+X1X2X4+西七七+234——

a

-e

C.x{x2x3x4--

a

d

D.+石44+元243+%2%4+%3%4=一

'''a

【答案】AC教材P82

41

【详解】由题设知：ax+CX+dx+e=tz(x-^)(x-x2)(x-^)(x-x4),

,2

/.ax[+bx+dx+e=dc^+x2)x+jqx2][x-(A^+^)X+^A^],

ax4+b£+ex2+dx+e=

XXXXX?++

一(％+%2+毛+%)%3+(番%2+%七+%2七+芯%+24+34)一(石工2%3石玉%3%+%2%3%4)%+X^X^]

bd

+x2+x3+x4=——，XyX2+XyX3+x2x3+x,x4+x2x4+x3x4=—,x1x2x3+x1x2x4+x,%3%4+x2x3x4=-

aaa

取243元4-—•故选：AC

a

10.4*2*3为复数，Z]W0,下列命题中的真命题有()

A.若Iz2|—IZ3I,则z?=土Z3

B.若Z/24Z]I,则Z]=z2

C.若Z]Z2-z/3,则z2—Z3

D.若z2=Z3,则|z/2|=|z/3I

【解答】解:设zi="i+bi3Z2=az+bzi,23=43+63"若|z2|=|z31,则Jaj+b弃

5

此时Z2=±Z3不一定成立，故/错误；若Z1Z2=Z1Z3，贝！Jzi（Z2-Z3）=0,又因Zl70,所以Z2=Z3，故。正

确；若^2=Z3'则。2=田b2=-所以|Z1Z2I2+j途2+221>1）2,

2,

所以区⑶尸区肉，故。正确；当z2Gl时，ZjZ2=IZ1I此时Z1=Z2不一定成立，故8错误.

故选：CD.

1L点O,H分别是..A3C的外心、垂心，则下列选项正确的是（）

A.P为:ABC平面内一点，贝1sAp809+3.0尸笈+33尸。=0

B.若2BO=B4+8C，且AB=2,贝IJACAB=4

C.若=OB=mOA+nOC,则必+”的取值范围为[一2,1]

D.^2HA+3HB+4HC=O,贝IJcosZBHC=-回■

5

【答案】BD

【详解】A.尸在A2C外时，不满足，故A错误;

B.若2B0=84+BC，则点。是AC的中点，点。又是ABC的外心,

所以NA3C=9O,ACAB=|AC||Afi|cosA=\AB^=4,故B正确;

C.因为/8=[,所以NAOC=?,如图，建立平面直角坐标系,

3J

y

、

e1，2兀

设C（r,0）,A-Jr,专,B（rcos^,rsin,0

7

rcos0=m-+nr

因为。右=加。4+m9。，所以<

rsin0=m-—r

2

得机=*sin6,n=cos8+9sing,

m+n=cose+V^sin6=2sin[6，

6

e+qe］不sin^0+—j6-1,—j,贝2,1),故C错误;

D.因为A〃_L6C，所以AH.8C=0,

即AH«HC-HB)=AH•HC-AH•HB=0,则HA-HC=HA-HB，

同理，HAHC=HCHB，所以HA,HC=HA-HB=HB,HC，

设HA-HC=HA-HB=HB-HC=x，

因为2HA+39+4HC=0,所以3HB=-2HA-4HC，

即3HB2=-2HA-HB-4HCHB=-6x，则|期=，

4HC=-2HA-3HB：即4HC=-2HAHC-3HBHC=-5x，

cosNBHC=cos(HB,HC、=普胃==-眄西cf施

'/网阳15,x<0,故D正确.

故选:BD

12.已知函数/。)=2411仁+3+23=,则下列说法正确的是()

\3673

A.直线1为函数/(")图象的一条对称轴B.函数/(%)的最小值为1

1\jr137r

C.函数八)在上单调递增D./(%)23的解集为［3左万,3左万+%］,左£2

xX71

【详解】•「/(x+3〃)=2sin—+—+^-|+2cos—+^-=2sin—+—+2cos—/«,故x=3万为函数

363363

/⑴的一个周期；因为/(x+gJ=2sin5+qJ+2cosK+A

所以了仆+m=2卜ng+f—X7C

+2cos-------1

36

所以/卜+£|=/1彳+3,故函数/卜+|^为偶函数，所以直线x=］为函数〃%)图象的一条对称轴,

故A正确；当XC-3,不时，,1+^e0,耳,又/(x)=2++2cos5,

223o2363<3bJ3

x.x冗Ax.兀、x

所以/(x)=2sin—d■—+2cos—=2sin—cos——I-2cos—sin——i-2cos—,

(36)336363

所以/。)=后呜+33；=2氐，：+1^,当xe时，|eX712n

—+—G

36

7

称图时,做"2＜3,当Y，1时,由2岛ixn

当工£sin-+—23解得。＜无＜%,所以

22337

/(1)23的解集为［3左万,3左万+万］,左£2,故D正确，故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.平面向量A8=®y),把相绕其起点沿逆时针方向旋转e角得到向量"，则

AP=________________

【答案】(xcos。一ysina%sin6+ycos。)教材P53

14.已知H=l,M=也，a-b=-l.若a+仍与s+5的夹角为锐角，则实数/的取值范围

(a+tb)­(td+b)

又cosa+tb,ta+b=

【详解】因为a+为与s+6的夹角为锐角|«+zZ?|-|^+Z?|

所以(3+tb),(应+b)—/之+(1+/2)个+仍?>o,

又，卜1,W=V^,a.b=-1，所以，一(1+/2)+21=一/+3/-1>0,

解得匕

又因Q+仍/a+6£[0,兀],

22

8

当4+/•瓦箱+6=0时，也满足m+必）•（纭+很）〉0,此时不合题意,

一\\=ut

当3+仍与，口+^共线同向时，有r@+仍="（纭+人），从而得到《,解得才=±1,

又_1<匕后，所以实数/的取值范围是

2

故答案为:

15.已知。€[0,2»),夕终边上有一点尸(sin2+cos2,cos2—sin2),贝ije=

【答案】--2

4

【详解】因为tan9=B^2U=LW22=tan（日—2）又6e[0,2»）,尸在第四象限

sin2+cos21+tan24

:.0=--2+27T=--2

44

Isin2TLX%v0

16.设aeR,函数/（尤）={2_,若〃x）在区间（-a,+s）内恰有4个零点，则。的取值范

Ix^TX+/4a,x>u

围是.

【答案】]I，|M：，2

sin2JLX尤v0

【详解】作出/。）=2,',/八的图像，左侧是正弦型函数的，右侧是开口向上，可以上下平

1%—4%+7-4々,%>0

移对称轴为x=2的二次函数.

A<0

①当在区间（-。,0）有4个零点且在区间（0,+8）没有零点时，满足5°,无解;

—V—〃<—2

[2

A>0

②当〃尤）在区间（-a,0）有3个零点且在区间（0,+8）有1个零点时，满足</(0)<0

-2<-a<

2

[A=0

7

或者,3解得丁屋2;

-2<-a<——

2

③当〃x）在区间（-a,0）有2个零点且在区间（0,+8）有2个零点时,

9

A>0

满足〃0"0,解得(1,|]

3一

——<-a<-\

[2

综上所述，a的取值范围是［1,钏；2

2

故答案为：R|M^

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

函数y=4sin（0x+°）［A>,0>O,|d<_|）的一段图象如图所示

⑴求函数y=〃x)的解析式；

⑵将函数y=的图象向右平移g个单位，得到y=g(x)图象，求函数y=〃x)+g(x)在相呜)值域.

【答案】(l)〃x)=2sin(2x+J)；⑵(—1,2].

6

【详解】⑴观察图象，得4=2,函数/(x)的周期7=史-(-乌)=无="，解得。=2,即

1212a)

f(x)=2sin(2%+(/)),

由/(-乌)=2sin(一四+夕)=0,得一4+夕=阮，即夕=E+$,ZeZ,而|0|<四，则夕=巴，

1266626

所以函数y=/(x)的解析式是/«=2sin(2x+*.

TT'llTT

(2)由(1)得g(%)=2sin[2(x——)+—]=2sin(2x——)=-2cos2x,

362

兀J31

贝【Jy=/(x)+g(x)=2sin(2xH■—)-2cos2x=2(——sin2x-\■—cos2x)~2cos2x

622

=sin2x-cos2x=2sin(2x--),当0<%<g时，一四<2不一色〈多,

62666

1ITjr

有——<sin(2x——)<1,于是一l<2sin(2x——)<2,

233

所以所求值域为（T2］.

10

18.(本小题满分12分)

在jASC中，内角A氏C所对的边分别为,且acosA+〃cos(b—C)=2百Z?cos(兀一A)sinC.

⑴求角力的大小；

⑵若点M为3c中点，点N满足4V=gAC,AB=2,AC=6,点P为邮与BN交点，求/余弦值.

【答案】⑴斗⑵叵教材P53

【详解】⑴由已知得—acos(5+C)+«cos(B-C)=一2百〃cosAsinC,

即2^sinBsinC二-2后7cosAsinC•

由正弦定理得sinAsinBsinC=-V3sinBcosAsinC.

因为在中，sinB>0,sinC>0,所以tanA=—6-

因为Ae(O,?i),所以A..

(2)设A^l=a,AB=6,所以AC=3°,

1131

因为Af为5c的中点，所以AM=万A6+5AC=万之+万方，

又BN=a-b，

27r

由（1）知，A=茎，AB=2,AC=6,

故忖=2,忖=2,4力=瓦口卜05日=一2,

^AMBN=^a-^a-b+^ab-^b2=6+2-2=6.

I…I192_3；1~2F-

AM—/—ciH—a，bT—a=，7,

IIA\424

|BN^=ya-la-b+b^=A/12=2指,

c/……AMBN6V2T

所以cosZMPN=UN〉=~,

11

所以的余弦值为国.

7

19.（本小题满分12分）

某企业为响应国家号召，研发出一款特殊产品，计划生产投入市场.已知该产品的固定研发成本为180万

元，此外，每生产一台该产品需另投入450元.设该企业一年内生产该产品x（OvxV5O）万台并委托一家

销售公司全部售完.根据销售合同，0<xV2时，销售公司按零售价支付货款给企业;2<xW50时，销售公

司按批发价支付货款给企业.已知每万台产品的销售收入为/⑺万元，满足：

2(x-l)e%-2+2,0<x<2

/(x)=<30509000

440+,2<x<50

⑴写出年利润尸（矶单位:万元）关于年产量x（单位:万台）的函数关系式;

（利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本）

（2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大，并求出此时的最大利润.

2x(x-l)ex-2-448x-180,0<x<2

【答案】⑴尸（x）=，

-10x-型四+2870,2<x<50

X

⑵当年产量为30万台时，该企业获利最大，且此时的最大利润为2270万元

【详解】(1)当0<xV2时，P(x)=x[2(x-l)ev-2+2]-(180+450%)=2x(x-l)e^2-448x-180,

当2<x450时，P(X)=X(440+KW-»^)-(180+450X)=440X+3050-丝5^-180-450X

XXX

=-10x-^^+2870,

X

2x(x-l)ex-2-448^-180,0<x<2

所以，尸（无）=<

-10x-^^+2870,2<x<50

X

(2)当0<xV2时，Z(x)=2(x-l)eJ-2+2,

令r=x-2jc(-2,0],则/(x)=2(x-l)e、"2+2转化为。⑺=2(/+l)e'+2,

则"⑺=2(f+2)e\当他(-2,0)时,。'⑺>0,。⑺在(-2,0)上单调递增,

。⑺的最大值为。（0）=4,即当x=2时，/（x）取得最大值4万元,

此时销售收入远小于投入，企业亏损，所以最大获利一定在2<x<5时取得,

90009000

此时P(x)=-10x-+2870=-10x++2870

xx

12

V—2JlOx•2她+2870=-600+2870=2270,当且仅当10工=史也，即x=30（负值舍去）时等号成立,

XX

此时p（x）取得最大值，且最大值为2270（万元）,

所以，当年产量为30万台时，该企业获利最大，且此时的最大利润为2270万元.

20.（本小题满分12分）

—ABC的内角A,8,C的对边分别为«,b,C,AD为/BAC平分线,c;AD:b=6：2：2栏.

⑴求/A；⑵AD上有点/BMC=90,求tanNABAf.

【答案】呜⑵一++\/11

4

【详解】⑴设c=Ck,AD=2k,b=2四>SABC—SABD+S、ADC，

/.—Z?csinA=—IAD\-csin—+—IAD\'bsm—,

221122112