2024届江苏泰州省初中毕业升学考试模拟卷数学卷含解析

2024届江苏泰州省泰中附中毕业升学考试模拟卷数学卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图所示，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E

处，点B落在点D处，则BD两点间的距离为（）

A.2B.2&C.屈D.2逐

2.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b,x-y,x+y,a+b,x?-y2,a?-b2分别

对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2-y2）a?-（x2-y2）b?因式分解，结果呈现的密码信息可能是

（）

A.我爱美B.宜晶游C.爱我宜昌D.美我宜昌

3.如图所示，数轴上两点A,B分别表示实数a,b,则下列四个数中最大的一个数是（）

-101

11

A.aB.bC.-D・一

〃b

4.在同一平面直角坐标系中，一次函数7=丘-24和二次函数y=-«，+2*-4（左是常数且时0）的图象可能是（）

5.已知二次函数y=（x+m）2T的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=—的图象可能是（）

6.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线.不考虑空气阻力，足球距离地

足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且他们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数

表达式为y=x2+6x+m,则m的值是()

A.-4或・14B.-4或14C.4或-14D.4或14

8.二次函数产卡2.4/5的最大值是（)

A.-7B.5C.0D.9

9.如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分丕能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是

B.乙

C.丙D.丁

10.如图，AABC中，NCAB=65。，在同一平面内，将AABC绕点A旋转到AAED的位置，使得DC〃AB,则NBAE

等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

2"+]

11.已知反比例函数丁=----的图像经过点（2,-1）,那么左的值是

x

12.如图，AB为。0的弦，AB=6,点C是。0上的一个动点，且NACB=45。，若点M、N分别是AB、BC的中点,

则MN长的最大值是.

13.如图，边长为,-的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形

一边长为4,则另一边长为4

14.已知x1=日2是方程组ax｛-+by=-5]的解，则a-b的值鼠--------

15.关于x的一元二次方程好―6%+b=o有两个不相等的实数根，则实数人的取值范围是.

16.分解因式：mx2-6mx+9m=.

17.在我国著名的数学书《九章算术》中曾记载这样一个数学问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不

足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，

问合伙人数、羊价各是多少？设羊价为x钱，则可列关于x的方程为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标

有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样.规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后

摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，

某顾客刚好消费200元.

(1)该顾客至少可得到____元购物券，至多可得到_______元购物券；

(2)请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率.

19.(5分)如图，矩形ABCD绕点C顺时针旋转90。后得到矩形CEFG,连接DG交EF于H,连接AF交DG于M；

(1)求证：AM=FM；

若NAMD=a.求证：---=cosa.

AF

BCG

20.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经

过点A、C、B的抛物线的一部分Ci与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线已知点C的坐标为(0,3),点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m(m<0)的顶点.

八。

(1)求A、B两点的坐标；

(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得APBC的面积最大？若存在，求出APBC面积的最大值；若不存在,

请说明理由；

(3)当ABDM为直角三角形时，求m的值.

21.(10分)如图，在四边形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，EA1AB,EC1BC,且EA=EC.求证：AD=CD.

22.(10分)如图1,NS4c的余切值为2,AB=2^5,点D是线段AB上的一动点(点D不与点A、B重合)，以

点D为顶点的正方形。跳G的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG,并延长BG,

交射线EC于点P.

(1)点D在运动时，下列的线段和角中，是始终保持不变的量(填序号)；

①AF；②EP；③BP；④/BDG；⑤NG4C；@ZBPA-,

(2)设正方形的边长为x,线段AP的长为y,求y与x之间的函数关系式，并写出定义域;

(3)如果APFG与AAFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长.

B

D^\G

AEFPCAc

23.(12分)如图，经过点C(0,-4)的抛物线丁=以2+法+。(a/0)与x轴相交于A(-2,0),B两点.

(1)a0,三-I,；.-0(填“>”或“<”)；

(2)若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；

(3)在(2)的条件下，连接AC,E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,

使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明

理由.

24.(14分)如图，已知。O中，AB为弦，直线PO交。O于点M、N,POLAB于C,过点B作直径BD,连接AD、

BM、AP.

(1)求证：PM/7AD；

(2)若NBAP=2/M,求证：PA是。。的切线；

(3)若AD=6,tanZM=—,求OO的直径.

2

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、C

【解析】

解：连接50.在△ABC中，；NC=90。，AC=4,BC=3,.•.48=2.1,将AA5C绕点A逆时针旋转，使点C落在线段

AB上的点E处，点8落在点D处，...Ag%DE=3,：.BE=2.在RtABED中,BD=[BE+DE2=A/F+37=痴.故

选C.

点睛:本题考查了勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系.题

目整体较为简单，适合随堂训练.

2、C

【解析】

试题分析：(X?-y?)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b),因为x-y,x+y,a+b,

a-b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C.

考点：因式分解.

3、D

【解析】

•.•负数小于正数，在(0,D上的实数的倒数比实数本身大.

11

A-<a<b<-,

ab

故选D.

4、C

【解析】

根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可.

【详解】

解：4、由一次函数图象可知，兀>0,二...二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；

21

B、由一次函数图象可知，左>0,二-左<0,-------=—>0,...二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，

-2kk

故5选项不合题意；

21

C、由一次函数图象可知，*<0,-*>0,-------=—<0,,...二次函数的图象开口向上，且对称轴在X轴的负半轴,

-2kk

一次函数必经过点(2,0),当x=2时，二次函数值y=-4«>0,故C选项符合题意；

21

。、由一次函数图象可知，上V0,...-上>0,-------=—<0,,...二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴,

-2kk

一次函数必经过点(2,0),当x=2时，二次函数值y=-4左>0,故。选项不合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记图象的性质，此外，还要主要二次函数的对称轴、

两图象的交点的位置等.

5、C

【解析】

试题解析：观察二次函数图象可知：mg,90,

rnri

二一次函数产“的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=——的图象在第二、四象限.

x

故选D.

6、B

【解析】

试题解析：由题意，抛物线的解析式为尸ax(x-9),把(1,8)代入可得a=T,.R=-修+94-(/-4.5)2+20.25,

足球距离地面的最大高度为20.25%，故①错误，.•.抛物线的对称轴U4.5,故②正确，•.”=9时，y=0,.•.足球被踢

出9s时落地，故③正确，•.•UL5时，j=11.25,故④错误，.•.正确的有②③，故选B.

7、D

【解析】

根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的

方程，解方程即可求得.

【详解】

;一条抛物线的函数表达式为y=x2+6x+m,

这条抛物线的顶点为(-3,m-9),

.,・关于x轴对称的抛物线的顶点(-3,9-m),

•.•它们的顶点相距10个单位长度.

|m-9-(9-m)|=10,

:.2m-18=±10,

当2m-18=10时，m=l,

当2m-18=-10时，m=4,

，m的值是4或1.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换,

关于x轴对称的点和抛物线的关系.

8、D

【解析】

直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案.

【详解】

y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,

即二次函数y=-x2-4x+5的最大值是9,

故选D.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键.

9、D

【解析】

解：将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的

是丁.故选D.

10、C

【解析】

试题分析：VDC/7AB,.,.ZDCA=ZCAB=65°.

VAABC绕点A旋转至!)△AED的位置，AZBAE=ZCAD,AC=AD.

AZADC=ZDCA="65°.".*.ZCAD=180o-ZADC-ZDCA="50°.".".ZBAE=50°.

故选C.

考点：1.面动旋转问题；2.平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

,3

11->k——

2

【解析】

2k+\

将点的坐标代入，可以得到-1=」^-,然后解方程，便可以得到k的值.

2

【详解】

・・•反比例函数y=——的图象经过点（2,・1）,

x

2左+1

.*.-1=--------

2

Ak=--；

2

3

故答案为k=-7.

2

【点睛】

本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答

12、3夜

【解析】

根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值.

【详解】

解：因为点M、N分别是AB、BC的中点,

由三角形的中位线可知：MN=-AC,

2

所以当AC最大为直径时，MN最大.这时NB=90。

又因为NACB=45。，AB=6解得AC=6j]

MN长的最大值是3夜.

故答案为：372.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大,

难度不大.

13、2m+4

【解析】

因为大正方形边长为m+4,小正方形边长为m,所以剩余的两个直角梯形的上底为m,下底为m+4,所以矩形的

另一边为梯形上、下底的和：m+4+m=2/71+4.

14、4;

【解析】

"x=22a+b=5®

试题解析：把，代入方程组得：〜，…，

[y=l2b+a=l②

①x2-②得：3a=9,即a=3,

把a=3代入②得：b=-l,

则a-b=3+l=4,

15、b<9

【解析】

由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出A=36-劭>0,解之即可得出实数b的取值范围.

【详解】

解：方程f-6x+b=0有两个不相等的实数根，

；.A=(—6)2—46=36—46>0，

解得：b<9.

【点睛】

本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是牢记“当A>0时，方程有两个不相等的实数根”.

16、m(x-3)1.

【解析】

先把二提出来，然后对括号里面的多项式用公式法分解即可。

【详解】

UU—oii-j+yu

=二(二;-6二+月

=□(□—开

【点睛】

解题的关键是熟练掌握因式分解的方法。

x-45x-3

17、------=-----

57

【解析】

设羊价为工钱，根据题意可得合伙的人数为二y*或丁1,由合伙人数不变可得方程.

【详解】

设羊价为x钱，

x—45x—3

根据题意可得方程：

5

故答案为：二y日：x—3

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、解：（1）10,50；

（2）解法一（树状图）：

30

1020

4050

从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果,

99

因此P（不低于30元）*；

解法二（列表法）：

欠

0102030

第二

0102030

10103040

20203050

7

30304050

（以下过程同“解法一”）

【解析】

试题分析：（1）由在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0”元，“10”元，“20”元和“30”元的字样,

规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以再箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）.即可求得

答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与顾客所获得购物券的金额不低于30元的

情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

试题解析：（1）10,50；

⑵解法一（树状图）:

第一次/K/1N0/2K0

第二次102030020300103001020'

和102030103040203050304050

从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果,

82

因此P（不低于30元）=一=—；

123

解法二（列表法）：

0102030

0--102030

1010--3040

202030--50

30304050--

从上表可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，

82

因此P（不低于30元）=一=—；

123

考点：列表法与树状图法.

【详解】

请在此输入详解！

19、（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由旋转性质可知：AD=FG,DC=CG,可得NCGD=45。，可求NFGH=NFHG=45。，则HF=FG=AD,所以可证

AADM^AMHF,结论可得.

(2)作FN_LDG垂足为N,且MF=FG,可得HN二GN,且DM=MH,可证2MN=DG,由第一问可得2MF=AF,由

MN

cosa=cosZFMG=------，代入可证结论成立

MF

【详解】

(1)由旋转性质可知：

CD=CG且NDCG=90。，

，NDGC=45。从而NDGF=45。，

VZEFG=90°,

.\HF-=FG=AD

又由旋转可知，AD//EF,

Z.ZDAM=ZHFM,

又・.・NDMA=NHMF,

.•.△ADM^AFHM

AAM=FM

(2)作FN_LDG垂足为N

1

ADM=MH,AM=MF=-AF

2

VFH=FG,FN±HG

AHN=NG

VDG=DM+HM+HN+NG=2(MH+HN)

1

AMN=-DG

2

MN

VcosZFMG=

MF

2MN_DG

:.cosZAMD=2MF~~\F

.DG

..-----=cosa

AF

【点睛】

本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，三角函数，关键是构造直角三角形.

20、(1)A(_1,0)、B(3,0).

27

(2)存在.SAPBC最大值为—

16

(3)m=-X—或加=一1时，ABDM为直角三角形.

2

【解析】

(1)在丫=mx2-2mx-3m中令y=0,即可得到A、B两点的坐标.

(2)先用待定系数法得到抛物线Cl的解析式，由SAPBC=SAPOC+SABOLSABOC得到△PBC面积的表达式，根据二次

函数最值原理求出最大值.

(3)先表示出DM2,BD2,MB2,再分两种情况：①NBMD=90。时；②NBDM=90。时，讨论即可求得m的值.

【详解】

解：(1)令y=0,贝Umx?-2mx-3m=0，

x?—2x—3=0，解得：X]=-1,x2—3.

•*.A(-l，0)、B(3,0).

(2)存在.理由如下：

•••设抛物线Ci的表达式为y=a(x+l)(x-3)(a/0),

31

把C(0,——)代入可得，a=-.

22

113

二Ci的表达式为：y=-(x+l)(x-3),即y=—x?—x--.

1。3

设P(p,—p—p—),

22

.3.227

••SAPBC=SAPOC+SABOP-SABOC=~—_.

3327

a=----<0,二当p=一时，SAPBC最大值为—.

4216

(3)由C2可知：B(3,0),D(0,—3m),M(1,-4m),

222222

.*.BD=9m+9，BM=16m+4,DM=m+l.

,/NMBD<90°,...讨论NBMD=90°和NBDM=90°两种情况：

当NBMD=90°时，BM2+DM2=BD2,BP16m2+4+m2+1=9m2+9»

解得：mi==?■(舍去).

22

当NBDM=90。时，BD2+DM2=BM2,BP9m2+9+m2+1=16m2+4,

解得：mi=-1,m2=l(舍去).

Ji

综上所述，m=-2或加=—1时，ABDM为直角三角形.

2

21、证明见解析

【解析】

根据垂直的定义和直角三角形的全等判定，再利用全等三角形的性质解答即可.

【详解】

VEA±AB,EC±BC,

/.ZEAB=ZECB=90o,

在RtAEAB与RtAECB中

EA=EC

‘EB=EB，

/.RtAEABRtAECB,

/.AB=CB,ZABE=ZCBE,

VBD=BD,

在4ABD与4CBD中

AB=CB

[NABE=NCBE,

BD=BD

.,.△ABD^ACBD,

.\AD=CD.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定及性质，根据垂直的定义和直角三角形的全等判定是解题的关键.

2尤75

22、(1)④⑤；(2)y=——(1„%<2)；(3)一或一.

2-x54

【解析】

(1)作于M,交DG于N,如图，利用三角函数的定义得到4"=2,设=则40=23利用

BM

勾股定理得(24+/=(2行产，解得[=2,即3N=2,AM=4,设正方形的边长为x,则AE=2x,AF=3x,

GF1

由于tanNGAE=—=-,则可判断NG4b为定值；再利用DG//AP得到NQG=NB4C,则可判断N5DG为

AF3

定值；在RtABMP中，利用勾股定理和三角函数可判断。8在变化，NBPM在变化,PF在变化；

(2)易得四边形Z)£W为矩形，则==证明ABDGsAfiAP,利用相似比可得到y与x的关系式；

(3)由于NAFG=NP/G=90°，AP尸G与AAFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=,讨论：当点P

在点F点右侧时，则AP=；x,所以^=；x,当点P在点F点左侧时，则AP=?x,所以^=；X,然

32-x332-x3

后分别解方程即可得到正方形的边长.

【详解】

(1)如图，作5MLAC于M,交。G于N,

在RtAABM中，VcotABAC==2,

BM

设BM=t,则AM=2t,

AM2+BM2=AB^

...(2/)2+/=(2行)2,解得f=2,

:.BM=2,AM^4,

设正方形的边长为x,

在RtAADE中，***cotZ.DAE—=2,

DE

.*•AE=2x9

AF—3x9

z^r]

在RtAGAf1中，tanNGAF=-----=—=—,

AF3x3

.••NG4F为定值；

DG//AP,

:.ZBDG=/BAC,

...N5OG为定值；

在RtABMP中，PB=yj22-PM2>

而PA/在变化，

二Pfi在变化，NBEW在变化，

；•尸产在变化，

所以N30G和/G4c是始终保持不变的量;

故答案为：④⑤

(2)VMN±AP,DEFG是正方形,

二四边形。矶W为矩形，

NM=DE=x,

'：DG//AP,

:.ABDGs^BAP,

.DG_BN

，y=-...(L,x<2)

2-x

(3)'：ZAFG=ZPFG=90°，APFG与AAFG相似，且面积不相等,

.GFPFxPF

•.----=----,即一=----,

AFGF3x%

：.PF=-x,

3

当点P在点F点右侧时，AP=AF+PF=-x+3x=-x,

33

.2x10

••----——X,

2-x3

7

解得x=g，

1Q

当点P在点F点左侧时，AP=AF—PF=3x—x=—X,

33

2%8

..---=—x,

2-x3

解得x=3,

4

【点睛】

本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质.

14Lr-

23、(1)>,>；(2)y=-x0--x-4；(3)E(4,-4)或(2+2夜,4)或(2-2J7,4).

【解析】

(1)由抛物线开口向上，且与X轴有两个交点，即可做出判断；

(2)根据抛物线的对称轴及A的坐标，确定出B的坐标，将A,B,C三点坐标代入求出a,b,c的值，即可确定出

抛物线解析式；

(3)存在，分两种情况讨论：(i)假设存在点E使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C

作CE〃x轴，交抛物线于点E,过点E作EF〃AC,交x轴于点F,如图1所示；

(ii)假设在抛物线上还存在点E，，使得以A,C,F',E，为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E，作E，F，〃AC

交x轴于点F，，则四边形ACF'E，即为满足条件的平行四边形，可得AC=E，F，，AC〃E，F，，如图2,过点E，作ECx

轴于点G,分别求出E坐标即可.

【详解】

(1)a>0,；>0；

(2)•.,直线x=2是对称轴，A(-2,0),

AB(6,0),

•.,点C(0,-4),

14

将A,B,C的坐标分别代入y=奴2+6x+c,解得：a--,b=--,c=T,

1,4

...抛物线的函数表达式为V=-^2-JX-4；

(3)存在，理由为：(i)假设存在点E使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE〃x

轴，交抛物线于点E,过点E作EF〃AC,交x轴