2023-2024学年高一年级下册数学同步单元练习（人教A版2019）平面向量及其应用（含答案解析）

02平面向量及其应用（培优提升题）-2023-2024学年高一

下学期数学同步单元练习（人教A版，2019新版）

一、单选题

1.（2023下.福建漳州•高一福建省诏安第一中学校考期末）如图，圆E为的外接

圆，AB=4,AC=6,。为边的中点，则AO.AE=（）

九uumuum

2.（2023下•福建莆田•高一统考期末）在，ABC中，NBAC=§,AD=2DB,P为8上一

点，且满足AP=XAC+gAB.若|AC|=2,|AB|=3,则网的值为（）

A.1B.72C.6D.2

3.（2023下•福建南平•高一统考期末）在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为

b,c,bcosC+ccosB=2«cosA,b=2,c=3,贝!J。=（）

A.1B.V7C.aD.V19

4.（2023下•福建厦门•高一统考期末）在平行四边形ABC。中，BE=2EC，DF=FC，

设A3=a,AD=b，贝1石尸=（）

11,117

A.——a+—bB.一aH—b

2323

-11,117

C.——a——bD.—a——b

2323

已知向量与垂直，若（）忖=且

5.（2023下•福建漳州•高一统考期末）ab0=6,-8,5,6

与向量（1,0）的夹角是锐角，则6=（）

A.（4,3）B.（T—3）C.（3,4）D.（-3«）

6.（2023下•福建南平•高一统考期末）在中，BP=2PA，贝I（）

31

A.OP=-AB——AOB.OP=-AB--AO

4433

C.OP=-AB-AOD.OP^-AB-AO

43

7.（2023下•福建漳州•高一统考期末）已知向量4=（4,2）1=（羽3），且4//6,则尤=（）

A.9B.8C.6D.3

8.（2023下•福建泉州•高一福建省永春第一中学校考期末）已知平面向量°,方满足

⑺=1,⑹=2且对V/eR,有出+纭以方恒成立,则24-〃与〃的夹角为（）

,2兀一兀一兀一兀

A.—B.—C.—D.一

3236

9.（2023下•福建莆田•高一统考期末）已知向量〃=（1㈤]=（2,3）,c=（-2,2）,且

4〃（〃一/?）,贝1_]k=（）

A.4B.-4C.2D.-2

10.（2023下•福建龙岩・高一统考期末）已知向量〃，b,满足卜|=3,忖=4,〃与人的

3

夹角的余弦值为;，则向量a在向量b上的投影向量为（）

4

99

A.aB.3aC.—bD.—b

H.（2023下•福建宁德•高一统考期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相

距20nmile的5处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告

知位于甲船南偏西30。，且与甲船相距lOnmile的。处的乙船.乙船也立即朝着渔船前

往营救，则sinNACB=（）

A.叵B.五C.BD.五

7773

二、多选题

12.（2023下・福建福州•高一福州四中校考期末）在,.ABC中，角A,8,C的对边分别是

a,b,c,则能确定8为钝角的是（）

A.sin2A+sin2C<sin2BB.AB-BC<0

C.—<cosAD.0<tanAtanC<1

b

13.（2023下•福建漳州•高一统考期末）已知，ABC的重心为G,外心为0,内心为/,

垂心为则下列说法正确的是（）

A.若/是3c中点，则AG:GW=2:1

B.若|AB|=1,贝!]AB-AO=；

试卷第2页，共6页

ABAC

C.AH与不共线

AB\COSBIACICOSC

D.|AB|=1,|AC|=2,ABAC=^TI,AI=AAB+JUAC(A,//eR),贝l|%+〃=

三、填空题

14.（2023下•福建・高一福建师大附中校考期末）在,ABC中，AC=2AB=4,ZB4C=60。.

若点。在边BC上，且满足器=1,贝1'

15.（2023下•福建福州•高一福建省福州延安中学校考期末）向量。=（1,2）,向量

b=（-l,0）,贝Ub在a上的投影向量是.

16.（2023下•福建福州•高一福建省福州屏东中学校考期末）如图，在四边形A2CD中，

17.（2023下・福建福州・高一福州三中校考期末）已知。=（-2,1）"=（〃2,4）,若打小刀,

贝U机=.

18.（2023下・福建莆田•高一统考期末）在正三角形A3C中，D为8c上的点，

CD=2DB,DE±AB,垂足为E,DF〃A3,且交AC于点尸，DA=ADE+juDF,则

2+〃的值是.

19.（2023下•福建漳州•高一统考期末）龙文塔位于漳州市龙文区步文镇鹤鸣山，是漳

州古城的标志性建筑，某研究性学习小组想利用正弦定理测量龙文塔的高度，他们在塔

底B点的正西处的C点测得塔顶A点的仰角为30,然后沿着东偏南67的方向行进了

64m后到达。点（三点位于同一水平面内），且8点在。点北偏东37方向上，

由此可得龙文塔的高度为m.（参考数据：取sin53=0.8）

A

D

20.（2023下•福建漳州•高一统考期末）「TIBC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,

若a=4,A=30,试写出一个6值,使该三角形有两解,则满足题意的b的值可以是.

21.（2023下•福建南平•高一统考期末）在,ABC中，点。在边BC上，ZADB=6Oa,AD=2,

AR

BD=2CD.当7K取得最小值时，BD=.

AC-

22.（2023下•福建南平•高一统考期末）已知平面向量:=（1,-2）,且写出满足条

件的一个非零向量6=.

四、解答题

23.（2023下•福建福州•高一福州日升中学校考期末）已知向量a/满足

|a|=1,|ZJ|=V2,（2fl-b）•（a+2b）-1.

（1）求。与b的夹角，；

⑵求卜-2司的值.

24.（2023下•福建福州•高一福州三中校考期末）已知a,b,c分别为ABC的三个内角

A,B,C的对边，且----=y/3sinC+cosC.

a

⑴求角A；

⑵若°=3,ABC的外心为。，求|02+20q的值.

25.（2023下•福建厦门•高一厦门外国语学校校考期末）在Rt^ABC中，内角A,B,C

的对边分别为a,b,c已知----=——--------.

ab+c

⑴求角A；

⑵已知cw2b,〃=点P,。是边AC上的两个动点（尸，。不重合），记NPBQ=6.

①当。时，设,心。的面积为S,求S的最小值：

6

②记/BPQ=a,=£.问：是否存在实常数。和匕对于所有满足题意的a,4，

试卷第4页，共6页

都有$血2£+$出26+左=4心也。5出£成立?若存在，求出©和左的值；若不存在，说明

理由.

26.（2023下•福建厦门•高一厦门外国语学校校考期末）如图，已知OA=”，OB=b，

任意点M关于点A的对称点为S,S关于8的对称点为N.

⑴用a,b表示向量MN;

⑵己知31M4卜41-4，连接AN,BM交于G点，若NMGN=g求的余弦值.

27.（2023下•福建福州•高一福建省福州第一中学校考期末）在.ABC中，内角A,B,

。对的边分别为。，b,c,若sin2A+3sin25=5sin2c.

（1）求cos。的最小值；

⑵若.ABC的面积为二,求tanC的值.

28.（2023下•福建漳州•高一统考期末）ABC的内角A民。所对的边分别为。，"c.若

b=S.a=^cosC+csinB.

⑴求3；

（2）求2a+c的最大值.

29.（2023下•福建漳州•高一统考期末）如图，在MBC中，，点E是8的

中点，i^AB=a,AC=b,

⑴用a,b表示CD,AE；

（2）如果。=3忖，C2AE有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.

30.（2023下•福建南平•高一统考期末）如图，在平面四边形48CZ）中，AD+CD=8,

/ADC=120。，且△ADC的面积为4』.

B

D

(1)求A,C两点间的距离；

⑵设ABC的角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且2而sinC=6(〃+c?一⑹.

作,ABC的内切圆，求这个内切圆面积的最大值.

31.(2023下•福建南平・高一统考期末)已知向量04="，OB=b，ZAOB=120°,且

忖=什=4.

⑴求匕在a上的投影向量；

(2)求°与a+6的夹角.

32.(2023下•福建宁德•高一统考期末)已知a,b为平面向量，且二=。,2).

⑴若》=(1,1),且左a-6与a垂直，求实数上的值；

⑵若£//b，且忖=2石，求向量6的坐标.

33.(2023下•福建厦门•高一统考期末)已知ASC的内解ABC所对的边分别为4瓦。,

满足ZJCOSA-acos3=a.

⑴求证：B=2A；

⑵若。为A8上一点，且3D=3C=2,求,ACD的面积的最大值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【分析】由中点关系可得AO=g(A3+AC),利用E为ABC的外接圆的圆心，可得

1

X2-8

AEAB=-\AB^=2-ZL同理可得AE-AC=L|AC|2=18,即可得出结论.

【详解】由于。是5C边的中点，可得AO=g(A3+AC),

石是ABC的外接圆的圆心，

11

AEAB=\AE\\AB\cosZBAE=-\ABf9=-x429=S,

22

同理可得AE.AC=；|ACf=18,

,AD-AE=i(AB+AC)AE=-AEAB+-AEAC=-x8+-x18=13.

22222

故选：B

2.C

【分析】根据三点共线的结论结合平面向量基本定理可得力=;,再利用数量积的定义与运

算律求解.

uunuumlUun,iuumii

【详解】由题意可得：AB.AC=|AB|-|AC|cosZBAC=3x2x-=3,

UUUULIIUULUU

因为C尸,。三点共线，则AP=xAC+yAD,且x+y=l,

uunuumiumuumi3uumuum1UIM

又因为AP=4AC+—A3=/L4C+—x—=+—

3322

则x=X,y=g,可得2+g=l,解得4=；,

uun1uum1uun

可得”=—AC+—AB,

23

uutt21uutth1uunuum1UUH2111|UUH|

所以AP=-AC+-ABAC+-AB=-x4+-x3+-x9=3,即AP=j3.

439439II

答案第1页，共20页

3.B

【分析】由正弦定理结合角度转化可得A的大小，再由余弦定理解出边〃的值.

［详解】因为bcosC+ccosB=2acosA,由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA

所以sin（3+C）=sinA=2sinAcosA,又入£（0,兀），所以sinAwO

1兀

贝Ul=2cosA,BPcosA=—,贝ljA=—

23

由余弦定理可得。2=&2+c2-2Z?ccosA=4+9-2x2x3x1=7,所以a=.

故选：B.

4.A

【分析】根据向量的线性运算结合平行四边形的性质运算求解.

uimuumuimiutiniuunirir

【详角单】由题意可得：EF=EC+CF=-BC+-CD=--a+-b.

故选：A.

【分析】根据题意，设6=（x,y）,由条件列出方程，代入计算，即可得到结果.

【详解】设匕=（x,y）,因为向量a与6垂直，且a=（6,-8）,忖=5,

6x-8y=0

则可得

Jx2+y2=5

又因为b与向量。,0）的夹角是锐角,

a-b-4八

当6=（T,-3）时，叼叫=丽二■,故舍去，

4

当八（4,3）时，cos（W标=5>0>满足.

故选：A

答案第2页，共20页

6.D

【分析】根据向量的线性运算求解即可.

【详解】BP=2PA，：•BA=3PA，

：.-AB=3(OA-OP)=3(-AO-OP),：.OP=^AB-AO.

故选：D.

7.C

【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.

【详解】因为向量d=(4,2)力=(x,3),且a//6,

所以4x3—2x=0,解得x=6.

故选：C.

8.A

【分析】将1+加上卜-4两边平方，根据v，$R,有人+优上忸-q恒成立，可求得两向量

夹角，再结合夹角余弦公式即可求得.

【详解】由仅之伍一展开得+2口.在一“一2々必)之。,

对V/cR,有卜+相,忸一4恒成立,

即4=4(〃为)2+4。2(/一2〃•力<0,即(J一々.“<0,

所以可得/-Q,。=J-卜上忖cos=0,所以解得cos

^e[0,7i],所以(。涉)=三，则〃力=|«|-|b|cosa,b)=1,

所以|2。_可二彼片-4a.b+b?=’4同之-4<2-Z?+|/?|=2,

{la-b^-b-.2

则2a-b与人的夹角余弦值cos(2a-4b2a-b-b-21

|2(2-Z?||Z?|442

答案第3页，共20页

所以与b的夹角为y.

故选：A.

9.A

【分析】由向量减法的坐标运算和向量共线的坐标表示，列方程求解.

【详解】向量〃=(1,k),6=(2,3),0=(—2,2),则有a-b=(—1,左一3),

由e〃(a-b),得—2(03)=2x(-L),解得左=4.

故选：A.

10.D

【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接计算即可

【详解】因为向量”，b,满足忖=3,W=4,一与6的夹角的余弦值为

所以向量£在向量b上的投影向量为

abb|4WC0S(a^)<3X4X：9

W\b\W416

故选：D

11.A

【分析】由余弦定理求得CB,进而由正弦定理求得答案.

由题意NC4B=120。,AC=10,=20,

由余弦定理得，CB2=AC2+AB2-2AC-ABcosZCAB=700,:・CB=\OB

CBAB1。出20r-

由正弦定理得,即73sinZACB-解得sinNAC8=^.

sinZCAB~sinZACB

T

故选：A.

12.ACD

【分析】选项A,利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，可得cosB<0；

答案第4页，共20页

选项B,由AB-BC=—|A8|・|8C|cosB<0,可得cosB>0；

选项C,利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，化简可得cos3<0；

选项D,根据同角三角函数的商数关系，两角和的余弦公式，化简可得cosB<0.

【详解】选项A,由正弦定理及siYA+sinZCvsinZB,知4+02<62,

由余弦定理得，COSB=?+L）<0,由340,兀），所以8为钝角，即选项A正确；

lac

选项B,ABBC=\AB||BC|cos（n-B）=-|AB|-|BC|cosB<0,贝Ijcos3>0,显然8不可

能为钝角，即选项B错误；

选项C,由正弦定理及;<cosA,得J上<cosA,

bsinB

由3«0,兀），sinB>0,所以sinC<sinBcosA,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB<0,

由A£（0,7i）,sinA>0,所以cos3<0,由兀），所以3为钝角，即选项C正确;

、心v—।,—y心八sinAsinC

选项D,由0<tanAtanC<l,知。<--------<1,

cosAcosC

由A£(0,7i),CG(0,TI),贝ljsinAsinC>0,有cosAcosC>0

所以cosAcosC—sinAsinC>0,即cos(A+C)=—cosB>0,

所以cosBvO,由B£（0,兀），所以3为钝角，即选项D正确.

故选：ACD.

13.ABD

【分析】连接CG交48于。点，得OW//AC,DM=^-AC,根据三角形相似可判断A；取A3

2

的中点N得NOLAB,所以|AO|cosNMLO=|4V|,再AB•49=|AB,4。卜05/乂40可判断B；

/\

点H为垂心得利用rn——+|—I——=0得

\AB\COSB\AC\COSC

/、

ABACABAC

BCL,可得A”与丽加+回嬴共线可判断C；分别做

\AB\COSBIACICOSC

IFLAB./E_LAC交A3、AC于尸、E点,设内切圆半径为厂得|A/|sinZBAP=|/=乙

答案第5页，共20页

r

二一〃,

利用AB-AI=AABAB+juAB-AC^耳4ACAI=AAC-AB+//AC-AC得

2r2rr

=一〃，从而求出，再由余弦定理可得忸c|=S，再利用

忑4+44=

SABC=||X|AC|siny=|(|AB|+\AC\+|BC|)r,求出厂可判断D.

【详解】对于A,连接CG交AB于。点，则点。是A8的中点，M是3C中点，连接DM,

所以O0//AC,所以。M=，4C,可得47:6河=4。:。河=2:1,故A正确;

2

对于B,取A3的中点N,连接A。、NO,因为点。为外心，所以NO_LAB,

所以|4。|««4^。=|河|,若|丽=1,则|AN|=g,

所以42.40=,@.,0卜05/^40=,@.|3|=3，故B正确；

对于C,因为点H为垂心，所以A”_L8C，

/\

1_,、］“ABACBCAB!BCAC

因为।।----+1---------i------------

ABcosBACcosC\AB\COSBIACICOSC

ABCOS(TI-B)BC-ACCOSC._.

冈----------+1UI--------=-\BC\+\BC\=0

ABcosBACcosC1111

ABAC

所以5C,।

IABICOSBIACICOSC

ABAC

而A”_L8C，所以AH与共线，故C错误;

AB\COSBIACICOSC

答案第6页，共20页

A

对于D,分别做ZFLAB、花，AC交A3、AC于尸、瓦点，

7T

连接A/延长交BC于尸点，可得ZBAP=NCA尸=§,设内切圆半径为广,

贝U|/同=|/国=厂，所以|A^sinNBAP=\lF\=r,

AB-AI=AB-^AB+JUAC^AAB-AB+JUAB-AC,所以

r71rli2c-11

AB|-|A/|COS-|=|AB|----------COS—=-7==AX1+£/X2X------=A,—LI

.兀3G2

sm—7°

3

即5-〃①,

AC-AI=AC-AB+〃AC)=AAC-AB+〃AC.AC,所以

r712roe—1_n

|AC|-|A/|COS^=|AC|-------cos—=_7==Ax2x----F//x22=—A+4//

.兀3G2

sin—、”

3

即定=一％+4〃②，由①②可得几=$!,〃=三

在ABC中由余弦定理可得

\BC\=JAB|2+|AC|2-2|AB|x|AC|cosy=Jl+4+2xlx2x；=近,

因为5诙=。”34牛缶^=3(恒可+恒。+忸0小

所以中斗++=吕=67^上学-故D正确.

，3，33+，72

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：在选项D中，解题的关键点是利用AB-A/=XAB-AB+〃AB-AC、

ACA/=XAC・A3+〃AC-AC求出入、〃，考查了学生的思维能力及运算能力.

答案第7页，共20页

14,逑/〃

33

【分析】根据向量加减、数乘的几何意义得AO=：2A5+g1AC,再应用向量数量积的运算律

求模长，即可得结果.

11?1

【详解】由AO=A5+5D=A3+—3C=A3+—(AC—A3)=—A3+—AC,

3333

-24・24-——-1-244148

所以AD=-AB+-ABAC+-AC=-x4+-x2x4xcos60°+-xl6=—,

9999999

故|皿=半.

故答案为：逋

3

【分析】根据投影向量的定义写出6在。上的投影向量.

■、注力...,,.

nBa-balx(-l)+2x0八/z12、

【详斛】b在a上的投影向里为-------=-----/=-：----(1,2)=.

⑷⑷诉255

12

故答案为：

16.1

【分析】利用向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则即可得出.

【详解】YE为3C的中点，・,・5石=：5C,

XBC=BA+AD+DC=-AB+AD+-AB=--AB+AD,

33

BE=-\--AB+AD\=--AB+-AD,

213)32

AE=AB+BE=AB--AB+-AD=-AB+-AD.

3232

工21

而AE1=xAB+yAD,,・x=一,y=—.

32

.・・3x-2y=2-l=l.

故答案为：1.

17.—/—0.5

2

【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为〃=(一2,1),b=(m,4),贝1].一人=(一2-九一3),且

答案第8页，共20页

贝！J—2x（—2—祖）+1x（—3）=0,解得m=—g.

故答案为：-2

2

9

18.-/2.25

4

<uunuum<uura

【分析】根据题意分析可得AE=一。/，结合平面向量的线性运算可得=+=

44

进而可得结果.

12

【详解】由题意可知：BD=-BC,CD=-BC,

因为且/3=60。，可得台后=,8。=！8。=’48,

266

355

又因为。尸，⑷5,贝（jA3=—0/，所以AE=二A3=土。产.

264

uunuumurumn5uun5

因为。4=。6+切=。石+—。产，则2=1,4=—，

44

所以2+以=1+:5=彳9.

44

9

故答案为：—.

4

19.40

【分析】设龙文塔的高度为根据题意分别求得3c=也〃，ZCBD=53,ZCDB=60,

在△BCD中，利用正弦定理，即可求解.

【详解】设龙文塔的高度为加n,

在直角ABC中，ZACB=30,所以BC=6〃,

在△BCD中，ZBC£>=67,NCBD=90-37=53,

所以NC£>3=180-67-53=60,

由正弦定理^-------=---------,即，解得h=40m.

sinNCDBsinNCBDsin60sin53

故答案为：40.

20.写（4,8）间的任一实数都正确

答案第9页，共20页

b

【分析】根据题意，由正弦定理即可得到sinB=g,再由三角形有两解列出不等式，即可得

O

到结果.

【详解】由正弦定理可得，*7=上，即sinB=M4=[

sinAsmBa8

因为三角形有两解，所以5>A,

b>4

b>a

所以,即《b-所以4<A<8,

smB<1-<1

,8

故答案为：（4,8）间的任一实数.

21.2A/3-2

AB2

【分析】设比>=2co=2机>。，利用余弦定理表示出结合基本不等式即可得解.

AC7

【详解】设立>=2CD=2〃i>0,

则在△ABD中，AB2BD2+AD1-2BD-ADcosZADB=4m2+4-4m,

在,ACD中，AC2=CD1+AD2-2CD-ADcosZADC=/TI2+4+2m,

AB2_4m2+4-4%_4（m2+4+2机）-12。+机）

A12

所以AC2m2+4+2mm2+4+2m=4----------------

'7m+1

12

>4-=4-2石

2」（加+1〉3

V）m+l

3

当且仅当加+1=-^即加=出-1时，等号成立,

m+l

Afi

所以当黑取最小值时,BD=2由-2.

故答案为：2力-2.

22.（2,1）（答案不唯一，形如（2W?,"2）G"WO））

【分析】设出b的坐标，再利用向量垂直的坐标表示即可作答.

【详解】设。=（尤,y）,而向量a=（L-2）,S.a±b，因此尤-2y=0,即x=2y,又力力,

答案第10页，共20页

贝U令y=用力0,

所以。二(2加,加)(根wO),取机=1,得6=(2,1).

故答案为：(2,1)

71

23.(1)-

4

⑵石

【分析】(1)根据数量积的运算律可直接构造方程求出a-b,再由向量夹角公式直接计算可

得结果；

(2)由向量数量积运算律可求得卜-2b1，进而可得结果.

【详解】(1)(2a-Z?).(a+26)=2/+3。-2b?=2同~+3。-21|=2+3a-l>-4-1,

：.d'b=1

a-b172兀

c°s心丽=前=耳，又问0,4,心7

(2)卜-2司二a?一4々.A+4b之=1-4+8=5,卜-2.=6.

7T

24.⑴A=§

(2)|OB+2(9C|=3

【分析】(1)根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，然后结合三角恒等变换公式代入

计算，即可得到结果；

(2)根据题意，由正弦定理可得ABC的外接圆半径R,结合余弦定理可得cos/BOC,再

由平面向量的模长公式即可得到结果.

【详解】(1)由正弦定理得：sinB+smC=V3sinC+cosC

sinA

即

sin(A+C)+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC=百sinCsinA+sinAcosC,

所以cosAsinC+sinC=y/3sinCsinA

因为。£(0,兀)，所以sin。。。，所以cosA+l=0sinA

答案第11页，共20页

即6sinA-cosA=2sin[A-《]=1,所以sin[A—E]=；,

因为A£(0,7i),所以人一^^(一[，■],所以A—B=m，故A=g

oooy6o3

DR_a_3_)向

(2)设A5C的外接圆半径为H,则〜，解得：R=5

sin—

3

所以|0同=|0。=百

.222

又因为忸c|=3,所以cos/BOC」。同:一严」

2|OB|.|OC]2

所以

|OB+2OC|12=网2+4|OB|.|OC|COSNBOC+4|OC1=3+12x

所以|OB+2OC|=3.

71

25.(1)A=§

⑵①3(2-6)；②存在，k=^-

3乙

【分析】（1）先由正弦定理边角互化,由三角恒等变换、三角函数化简得解;

TT

⑵①先找到Y设NQ8C=x,xe0,-,在△Q8C和中，由正弦定理得

BQ=1jr

siJn")、,从而由S'BPBQsinz得解.

2o

②假设存在实常数凡上合题，由和差化积，积化和差化简可得:

2sin(a+£)cos(a—£)+左=2左[cos(a-£)-cos(a+£)],由sin(a+/7),cos(a+0是定值，整

理化简得到:

sin(a+〃)一左二0

2[sin(a+/7)—左]cos(a-£)+左[l+2cos(a+/7)]=0,故而左[l+2cos(a+0]=0，进而得解.

,、*/＜、E、rCOSACOSB+cosCcosB+cosC

【详解】(1)因为----=-----------,所以由正弦定理可得协

ab+csinB+sinC

所以sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,

所以sinAcosB-cosAsinB=cosAsinC-sinAcosC,所以sin(A-5)=sin(C—A),

因为A—5£(—兀,兀)，C-AG(—7l,7T),

答案第12页，共20页

所以=或(A叫+(C_A)=2x方或(A叫+%)=2x71

TT

即2A=5+C或。=6+兀(舍去)或5=。+兀(舍去)，又4+3+。=兀，所以A=1；

(2)①因为cw2Z?,所以5=3，又A=g，〃=20，所以c=2,b=4.

IT

如图，设/QBC=x,xe0,-,

BQBC

则在中，由正弦定理，得碇=昕有，

所以80=.(石工)

BP_BA-

在“P中，由正弦定理，得sinA募心”所以一;

S=-BPBQsin-=——7——1~7——v~；——之-----7~----

264$++仁卜中+方)-2cos(2x+j-可口肉2sin2x,

jr27r

因为XW0,y,所以2%£0,—,

故当2x=],即x=：时，5„,„=^^=3(2-73);

②假设存在实常数。，k,对于所有满足题意的a,B,都有sin2a+sin2/+左=44sinasin/?

成立,

则存在实常数。，k,对于所有满足题意的。，/?,

都有2sin(a+0cos(a-0+左=2左[cos(a-0-cos(a+£)],

由题意，。+/=兀一。是定值，所以sin(a+0,cos(a+/7)是定值,

2[sin(a+£)-打cos(a-6)+耳1+2cos(a+£)]=0对于所有满足题意的a,。成立,

sin(1+尸)一女=0

故有左[l+2cos(a+尸)]=0,

因为人=sin(a+£)w0,从而l+2cos(a+£)=0,即cos(cr+/?)=--

答案第13页，共20页

因为a，夕为V8PQ的内角，所以£+从而。=无-4=々，k=§.

333乙

【点睛】关键点睛：含参数的等式恒成立问题，只需通过参数整理，此题的关键是得到

sin(a+〃)一左二0

2[sin(a+尸)一女]cos(a—£)+左[l+2cos(a+尸)]=0,贝”<耳1+2cos(a+£)]=0'变量多，技巧

性较强.

26.(1)MN=2b-2a.

⑵

O

【分析】(1)根据图形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案;

(2)根据平面向量的基本性质，根据条件，求得模长之间的关系，利用数量积以及运算律,

建立方程，可得答案.

【详解】(1)由题意得A是MS的中点，8是NS的中点,

AB=；MN,：.MN=1AB=2{OB-OA^=1b-1a.

(2)取｛邢,M7V｝作为基底，由题意31M4卜4a|=4|AB|

uum4|Uuii|

MA=^MS,AB=；MN,3网=4网MS

TT

ZMGN=—,/.MBLAN,BPMBAN=0.

2

3为MS的中点，AMB=-MS+-MN.

22

AN=MN—MA=MN—；MS,：.+MN^-fW=0,

+|W|2+1|AW|IA/S|COSZNMS=0,

1lullinglUiurp1A2iuuiri2lUuirp1

22

-\MS\-\MN\——T\MN\-\MN\-X4-31

•CC。/NA/TS-2111___L_231____!!___L=2_________L

•“-2|uuir|iuuifl|1|UUT||Uuir,1=6