2023年高考考前押题密卷-数学（新高考Ⅰ卷）（全解全析）

2023年高考考前押题密卷（新高考I卷）

数学•全解全析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合2=卜I/-2x-8<o},B—{x|lg（x+2）>0},则Zc8=（）

A.（0,4）B.（-1,4）C.[-1,4）D.（-1,4]

【答案】B

【详解】解集合Z={xIJ—2x—8<0}n—2<x<4

解集合5={xIlg（x+2）>0}=>x+2>l=>x>-l

Ar>B=（-1,4）

故选:B.

a+bi

2.已知复数。+3i=4+bi,则=()

5+12i

【答案】A

【详解】根据待定系数法可得a=4,b=3

a+bi4+3i

则

5+1215+12?169169VU69JU69j13

故选：A.

3.某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台剧，

爵士舞，要求歌唱与民族舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目.则不同的演出

安排方案共有（）

A.720种B.3168种C.1296种D.5040种

【答案】D

【分析】根据每天演出项目的数量进行分类讨论，由此求得不同的演出安排方法数.

【详解】若三天演出项目数量为2,2,2,则安排方法数为：

C；C；C；义（A；丫-3xC；C；x（A；7=576.

若三天演出项目数量为3,2,1,则安排方法数为：

C：C；C：xA；x（A；xA；）-C4C3C；xA；x（A；xA；）-C；C；xA；x（A；xA；）=3168,

若三天演出项目数量为4,1,1,则安排方法数为：

C：xA；x（A：）-C：xA；x（A：）=1296,

试卷第1页，共21页

所以不同的演出安排方案共有576+3168+1296=5040种.

故选：D

4.若二项式+(〃eN*)的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有

理项中第左项的系数最大，贝醍=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

3

【分析】根据条件可得〃=12.写出展开式的通项©=c；,2―产子，则当「是偶数时，该项

为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出左的值.

【详解】由已知可得，力=12.根据二项式定理，知展开式的通项为

&i=G(2x广［土)=黑产’广乎，显然当『是偶数时，该项为有理项，

1212121099

r=0时，7；=C°22X=4096X；r=2时，7；=Cf22x=67584x；

866633

厂=4时，T5=C^22X=126720X；r=6时，7；=Cf22x=59136x；

4233

r=8时，7；=C^22=7920;厂=10时，Tjj=C；»2x-=264x-；

r=12时，q=C：；2°x"=x”.

经比较可得，r=4,即左=5时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大.

故选：A.

5.已知数列%=”-1+4也="=,若对任意的〃eN*，U-a")(2-幻<0,则实数2

2〃—12

的取值范围是()

【答案】B

【分析】求出与也的最值，由不等式恒成立，求出实数4的取值范围.

OO

【详解】当句>。“+1,有〃-1+^->n+-,由〃£N*,解得〃K2；

2n-l2n+l

QQ

当〃〃<an+\,有〃-1+------<n+-----,由〃£N*,解得n>3,

2n-l2〃+1

111Q1Q

a2=y,«3=y,a2>a3,所以a“的最小值为%=彳・

当b,〉b“7,有3言〃一一7>”3Tl—4，由"N*,解得〃"；

当”<加，有*，由〃eN*,解得"43,

试卷第2页，共21页

^4=|>4=：，">4，所以6,的最大值为“=|".

O2O

所以％的最小值大于6“的最大值，即a„>，恒成立,

所以(2-。")(几-，)<0解得，<2<。"，对任意的〃eN*,〃<2<。“恒成立，则有“<%<。3，

即实数2的取值范围是

故选：B

717T71

6.定义在R上的函数/(x)=2sinCOXH----(-oeN*)满足在区间内恰有两个零点和

3616

一个极值点，则下列说法正确的是()

A.“X)的最小正周期为]

B.将/(x)的图象向右平移g个单位长度后关于原点对称

C./(x)图象的一个对称中心为1,0；

D.〃x)在区间卜看,0)上单调递增

【答案】D

【分析】根据题意可求出。的值，从而可得到/(x)的解析式，再根据解析式逐项分析即可.

兀兀。71八

——<----+—<0

TTT263

【详解】依题可知:q<T,于是3<G<6于是

7169713万

71<——+—<——

632

4<a)<5二・刃=5,/(x)=2sin5x+—

对于A,由则的最小正周期为多，故A错误;

co55

对于B,将〃x)的图象向右平移三个单位长度后得g(x)=2sin(5x+1

贝Ijg⑼=2sin[g]=6,所以g(x)不关于原点对称，故B错误;

对于C,由dm=2sin[?]=-l,所以伍01不是/(无)图象的一个对称中心，故C错误;

-।-71y，所以〃x)在区间(十°)上单调递增，故口

对于D,由XE则+§£

正确.

故选：D.

试卷第3页，共21页

7.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习

惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征.其中沏茶、

饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是毋C,空气的

温度是嵋c,经过1分钟后物体的温度为＞c,满足公式。=4+（4-%卜小5，.现有一壶水

温为92。（2的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52。（3时口感最佳，若空气的温度为12。（3,那

从沏茶开始，大约需要（）分钟饮用口感最佳.（参考数据；ln3al.O99,ln2®0.693）

A.2.57B.2.77C.2.89D.3.26

【答案】B

【分析】有题意，根据公式。=%+（4-%）e-g代入数据得52=12+（92-12）e《25，，变形、

化简即可得出答案.

【详解】由题意得8=4+（4-%）e«g,代入数据得52=12+（92-12）e

整理得e425，=L,即一0.25/=m!=一11122—0.693,解得,处2.77；

22

所以若空气的温度为12。。从沏茶开始，大约需要2.77分钟饮用口感最佳.

故选：B.

8.刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，

一为鳖席，阳马居二，鳖席居一，不易之率也."意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同

的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖席，两者

体积比为2：1,这个比率是不变的.如图所示的三视图是一个鳖席的三视图，则其分割前

的长方体的体积为（）

【答案】D

【分析】根据鳖席的三视图确定长方体的长宽高，计算体积即可.

【详解】根据鳖席的正视图得原长方体的长为3,根据鳖席的俯视图得原长方体的宽为2,

根据鳖席的侧视图得原长方体的高为4,所以长方体的体积厂=3x2x4=24.

故选：D

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

试卷第4页，共21页

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆M的方程为：x2+y2+ax+ay-2a-4=0,(aeR),点尸(1,1),给出以下结论,

其中正确的有()

A.过点尸的任意直线与圆M都相交

B.若圆M与直线x+y+2=0无交点，贝

C.圆M面积最小时的圆与圆0：f+y2+6x_ioy+16=0有三条公切线

D.无论。为何值，圆M都有弦长为2后的弦，且被点P平分

【答案】ACD

【分析】根据点与圆的位置关系判断A选项，通过几何法判断直线与圆的位置关系判断B

选项，根据圆与圆的位置关系判断公切线的条数判断C选项，根据半径的最小值及垂直弦

平分弦判断D选项.

【详解】因为点代入入圆的方程得12+F+q+a_2"4=-2<0,所以尸(U)在圆M内，

所以过点P的任意直线与圆M都相交,A选项正确；

圆M圆心病」,上]/=荷+/+8“+16=也.+8。+16(_3_勺直线

(22)22122；

aa

------------F2

x+y+2=022

a=——/—

QQc

——+2/

若圆M与直线x+y+2=0无交点，7.22)rj2/+8a+16,

"在+F>’-2

aa

----------H2/-------------I-------------]

22A//+4a+8,|-a+2|>Va2+4a+8,a2-4a+4>a2+4a+8,a<—,B选项错

-#77/-2

误；

圆Mr=也匚±但土笆，当。=一2时，圆M半径最小则面积最小，

2

圆。：x2+j^2+6x-10y+16=0,2(-3,5),R=+1°^~4xl-=3,

\MQ\^J(1+3)2+(1-5)2=4亚=R+r=8+30,

圆M面积最小时的圆M与圆。外切所以有三条公切线,C选项正确；

无论。为何值，「=+8。+16小.+2)-+8=上,2.上2e,所以圆M都有弦长为272

22

试卷第5页，共21页

的弦,

d242+8a+16

r=-------------------

2

d=g『+'+16_2铲+,+8=卜2+2“+k=\MP\,

因为垂直弦平分弦，圆河都有弦长为2亚的弦，且被点尸平分，故D选项正确.

故选:ACD.

10.直角三角形48c中，尸是斜边3C上一点，且满足而=2正，点M，N在过点尸的直线

上，若屈=/您,左=〃就,(%>0,〃>0),则下列结论正确的是()

1215

A.一+一为常数B.冽，〃的值可以为：m=-,n=-

mn22

C.〃z+2〃的最小值为3D.2如的最小值为《

ABC9

【答案】ACD

【分析】作出图形，由而=2PC可得出力尸=+根据三点共线的结论得出

12

—+—=3,由此判断A,B,结合基本不等式可判断CD.

mn

【详解】如下图所示：

由丽=2玩，可得/P-NB=2(/C-/P),

—-1--2--

...AP=-AB+-AC,

33

若两=〃7万,而="就,(%>0,">0),

—►1——►—►1—►

贝！j=—AM,AC=—AN,

mn

:.AP=—AM+—AN,

3m3n

试卷第6页，共21页

・•・M、尸、N三点共线,

3m3nmn

故A正确；

当加=：1,5时，1-+2-=14v^^所以B错误；

22mn5

cc/2、2〃2m5,l2n2m5.

Qm+2n=(m+2n)\----1=1------1——>2J----------Fy3，

13冽)3m3n3N3m3n3

当且仅当加=〃=1时，等号成立，C正确；

的面积"AW的面积,

SvAM•AN

所以‘^AMN=--------=mn,

SNABCAB.AC

因为±1+4?=3,所以2fjl~L~?343,当且仅当冽=2:4时等号成立，

mn\mn33

824

即加几,当且仅当加=§〃=］时等号成立，

248

所以当冽=§/=］时，加〃取最小值，最小值为

所以》”的最小值为D正确；

%ABC9

故选：ACD.

11.如图，棱长为2的正四面体N8C。中，M,N分别为棱的中点，O为线段跖V的

中点，球。的表面正好经过点M,则下列结论中正确的是()

A./O_L平面BCD

B.球O的体积为正兀

3

4

C.球。被平面截得的截面面积为§兀

D.球。被正四面体/BCD表面截得的截面周长为巴8兀

3

试卷第7页，共21页

【答案】ABD

【分析】设瓦尸分别为N8,CD的中点，连接建,用,液,叱,跖,/阳。可，根据线面垂直

的判定定理可判断A；求出球的半径，计算球的体积，判断B；求出球。被平面5co截得

的截面圆的半径，可求得截面面积，判断C；结合C的分析，利用圆的周长公式可判断D.

【详解】设及尸分别为",CD的中点，^ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,

讽EM〃BD,NF//BD,EM=-BD,NF=，

22

故EM〃NF,EM=NF,则四边形MEVF为平行四边形，

故EF,MN交于一点,且互相平分，即。点也为E尸的中点，

XAB=AC,DB=DC,故ANLBC,DNLBC,

ANCDN=N,AN,DNU平茴AND,故8C_Z,平面/ND,

由于OeMMMNu平面/ND,则ZOu平面/ND,

故8C，/。，结合O点也为E尸的中点，同理可证DC，/。，

BC^DC=C,BC,DCBCD,故/O,平面3cD,A正确；

由球O的表面正好经过点M,则球O的半径为0M,

棱长为2的正四面体48CD中，AN=DN=6,〃■为的中点，

则故MN=NND2-MD2=41^=①,

则aw=交，所以球o的体积为，^（交了=1兀，B正确;

23323

由5C/平面/ND,8Cu平面BCD,故平面可VO_L平面8CD,

平面ZNDc平面2CD=DV,由于NO_L平面3a）,

延长40交平面3s于G点，则。G,平面3c0,垂足G落在ON上，

16

且G为正△BCD的中心，故NG=±ND=空,

33

试卷第8页，共21页

故球。被平面8co截得的截面圆的半径为，字）2_（B）2=g,

则球。被平面8co截得的截面圆的面积为兀X（@）2=巴，C错误；

33

由A的分析可知，。也为棱中点连线的中点，

则球。与每条棱都交于棱的中点，结合C的分析可知，

球O被正四面体/BCD的每个面截得的截面都为圆，且圆的半径都为必，

3

故球。被正四面体/BCD表面截得的截面周长为4*2兀*且=迪兀，D正确，

33

故选：ABD

12.已知定义在R上的函数〃x）,对于给定集合A,若VX”X2€R,当士-马€工时都有

〃西）-/仇）€/,则称/（X）是“A封闭”函数.则下列命题正确的是（）

A./（无）=尤2是“卜1,1]封闭”函数

B.定义在R上的函数〃尤）都是“｛0｝封闭”函数

C.若〃尤）是“｛1｝封闭”函数，则“X）一定是“｛左｝封闭”函数（LeN*）

D.若是“[a回封闭”函数（a,beN*）,则/'（x）不一定是"｛"｝封闭”函数

【答案】BC

【分析】A特殊值占=4,%=3判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据定义

得至1」\/尤€11者1有/（》+1）=/（幻+1,再判断所给定区间里是否有/（9+斤）-/（%）=左成立即

可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项的正误.

【详解】对A：当%=4,%=3时，玉-乙=1€[-1,1],而/（再）-/。2）=16-9=7任[-1,1],

A错误；

对B：对于集合｛0｝,\/网,马€口使占一3=0,即网=%,必有/（X]）-y（X2）=0，

所以定义在R上的函数/（无）都是“｛0｝封闭”函数，B正确；

对C：对于集合｛1｝,\/为/2€口使尤1-尤2©｛1｝，则再=%+1,

而/（X）是“｛1｝封闭”函数，则/（芍+1）-/（%）=1，即VxeR都有〃x+l）=/（x）+l,

对于集合肽｝,也户2eR使再-尤2e因，则网=迎+左，左eN*,

而/（工2+A）=/（工2+上—D+1f（x2+k-Y）=f（x2+k—2）-\-l,/（x2+1）=/（x2）+1,

所^以/（X2+后）+/（%2+左一1）+…+/（%2+1）=/（%2+/—1）+/（%2+左-2）+…+f（X2）+k-,

即/（%+斤）=/&）+左，故/&+左）-/（%）=斤，"X）一定是“伏｝封闭，，函数^eN*）,c

试卷第9页，共21页

正确;

对D,其逆否命题为，若〃x)是“｛副｝封闭”函数，则“X)不是封闭”函数(a,6eN*),

只需判断出其逆否命题的正误即可，

Vx15x2£R使再一%2,贝!1/(再)-/(不)=血

ab>a

若必£[a,b],则vabKb,

a<b

由解得。W1,因为awN*，所以。=1,

即,x2£R使$—%2=6£[〃,可，则/(xj—/(x2)=ab=be[a,b^,

满足/(X)是“[凡目封闭”函数(。,6eN*),

故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：对于C,根据给定的条件得到VxeR都有/(x+l)=/(x)+l,VxeR

有/(x+a)=/(x)+6恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图是函数/'(xhsinWx+eldv])的部分图像，则〃x)的单调递增区间为.

【答案】^7t-7y,^7l+12'kwZ

【分析】运用三角函数的周期公式及五点法求得0、夕的值，结合同增异减求得其单调递增

区间.

【详解】由图知，。==一(一?)=£，解得：7=兀，

41264

7JT

所以|。|=不=2,解得：。=±2,

①当g=-2时，/(x)=sin(-2x+(p),

TTTT?7T

则一2x—(p——卜2kjt,kwZ,解得：(p=—+2kn,kwZ,

1223

又因为I0卜

试卷第10页，共21页

所以。无解，故舍去；

②当④=2时，/(%)=sin(2x+9),

TTTTJT

则2x—+(p=—+2kn,左eZ,解得：0=—+2而，keZ,

1223

又因为⑷<5，

所以片;,

综述：0=2且9=1,

TT

所以/(x)=sin(2x+―),

TT7T

-----\-2左兀W2xH—W—F2左兀，k£Z,

232

57r7i

解得：----F左兀《x«----Fk7i,k£Z,

1212

所以小)的单调递增区间为-净加*+左兀］,左eZ.

故答案为：一\+伍"+"兀］，keZ.

14.某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图(如图),

【答案】107

【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可.

【详解】由直方图知：平均成绩为

(95x0.03+105x0.04+115x0.015+125x0.01+135x0.005)x10=107分.

故答案为：107

15.圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线,

经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点.如图,

试卷第11页，共21页

一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，/P是它的一条对称轴，厂是它的一个焦点，一光

线从焦点厂发出，射到镜面上点8,反射光线是BC,若NPFB=12Q°,DFBC=90°,则该

【答案】V3+1/1+V3

【分析】反射光线3c的反向延长线经过双曲线的另一个焦点与，由题中条件可得

ZBFF,=60°,AFBFX=90°,在直角三角形耳时中，忸用=小,忸可=c,由双曲线的定

义可得忸片班|=2°,所以J§c—c=2a,即可求得答案.

反射光线BC的反向延长线经过双曲线的另一个焦点片，

由ZPFB=120°,DFBC=90°,可得乙处片=60°,NFBR=90°,

在直角三角形片即中，忸团=|招F卜in60。=6：,忸下|=|耳目cos60。=°,

由双曲线的定义可得忸叫-|跳1=2。，所以百c-c=2a，BP(A/3-1)C=2«,

所以e，=Y^=G+1,

a<3-1

故答案为：V3+1.

16.已知函数/(x)=6+2x-2a,若曲线^=一必+2X上存在点(%,%)使得/(/(%))=%,

则a的取值范围是.

【答案】［0』

【分析】设/(%)=，，则/«)=%,换元将问题转化为/(x)=Ju+2x_2a=X有解的问题,

即可得出答案.

【详解】若曲线y=-―+2x上存在点(%,%),故为=-/2+2/VI,

设/(%)=，，则〃。=为，即(“。)、仇,。都在了=/(x)图象上，不难发现该两点关于V=x

试卷第12页，共21页

对称，故=为卜«0,1])有解

n/一—+2%=2〃(％£[0』])有解，

令〃(x)=丁_工2+2]=>〃，(％)=3/-2x+2,A=22-4x2x3<0，即〃'(X)>0=在[0,1]

上单调递增，所以2ae仅⑼,/!⑴]=(0,2]nae[0,1]

故答案为：[0』

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知数列｛%｝中，q=l,%=$，〃eN*.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

数列的前〃项和S“，求证：S“＜；

⑵设6“=log?+3〃

n(n-V)

【答案】⑴。=2丁

(2)证明见解析

【分析】(1)由察=%SeN*),得到&包=2"(〃eN*),再利用累乘法求解;

(2)由(1)易得=再利用裂项相消法求解.

【详解】⑴解:因为q=1,货。"("CN*),

所以也=2"("cN’),

an

二匚、〃一"〃"〃T%«(n-l)

J/T"141—“1_n«-ly-2,1i_)1+2+--•+(«-1)_)2

an-\an-2a\一”,乙..乙1一乙一乙

当”=1时，4=1满足条件，

〃(〃一1)

所以%=2=；

(2)因为a=log2d+3〃=〃(〃+2),

所以二=早一工)

所以“加+2)2SJn+2,

eci1,o111111IZ1111、1，311.

所以…+；rE)=5Ci+5_Q_；7i)=5(5_Q_；7i)

3

所以.

试卷第13页，共21页

18.在①QCOS：=bsin/；②^^^台二加山/；③+=2+6这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中，并给出解答.

7T

问题：在“8C中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,A=-,6=后，且______,求

“BC的面积.

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

【答案】条件选择见解析，答案见解析

【分析】若选①，利用正弦定理求出角B的值，分析可知“3C是边长为亚的等边三角形,

结合三角形的面积公式可求得该三角形的面积；

若选②，利用正弦定理可得出tanB的值，结合角3的取值范围可求得角B的值，求出sinC

的值，利用三角形的面积公式可求得结果；

若选③，利用两角差的公司结合角&的取值范围可求得角B的值，分析可知为直角三

角形，求出。的值，利用三角形的面积公式可求得该三角形的面积.

【详解】解：若选①：因为acos0=6sin/,由正弦定理可得sin/cos0=sin/sin5,

22

因为A、BG（0,7t）,贝！]0<—<—，所以，sinA>0,cos—>0,

222

则cos《=2sin与cos与,可得sing=1,所以，g事,解得8=]

22222263

因为/=三，b=®，所以，是边长为血的等边三角形，

所以，SABC=—besinA=-x2x^-=^~；

:2222

若选②，因为acos5=bsin/,由正弦定理可得sin4cos5=sin4sin3，

因为A、BG（0,7i）,则sin/>0,cos5=sin5〉0,所以，tan5=l,则3=色,

4

历V3

ji-V2x—

।■r、一一e"bll…bSinAA9FT

由正弦定理-7—；=——-，所以，a--：——---7=--A/3,

sin4sin6sm8<2

"T

sinC=sin（4+8）=sin4cosB+cos4sinBx+—x="+亚，

v722224

所以，s△惭，absme=Lx也义6乂息巫=3三

△他02244

试卷第14页，共21页

(八兀、，兀

咋tan[8+jTan4=乂后巫

若选③，因为tan8=tan18+：

寸l+tan(8+jtanj1+2+^F

因为8«0,兀），故B=t，又因为4=］，所以，C=5

所以，08c为直角三角形，则c=2b=20，则Ie?一C=7^/=后

所以，S&ABC=；ab=娓乂6=也•

19.如图，在三棱锥尸一48c中，AB=BC=2®,PA=PB=PC=AC=4,。为NC的中

点.

（1）证明：尸平面ABC；

⑵若点阴■在棱5C上，且二面角M-21-C为30。，求笑的值.

Cn

*【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到尸。L/C,由勾股定理逆定理得到8。，尸。，从

而证明出线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设察=几，利用空间向量及二面角列出方程,

求出答案.

【详解】（1）在△R4C中，P4=PC=4,。为NC的中点.

则中线尸O_L/C,且NO=CO=2,OP=2jL

同理在AA8C中有/B2+5C2=NC2,则

因为48=8C=2夜，。为/C的中点.

所以301/C且5。=2；

在△尸03中有PO2+8o2=3p2,贝IJB。，尸。，

因为NCcBO=O,NC,8Ou平面A8C,

试卷第15页，共21页

所以尸。，平面48c.

(2)由(1)得PO_L平面48C,故建立如图所示空间直角坐标系。-孙z,

则5(2,0,0),C(0,2,0),A(0,-2,0),P(0,0,273),

设要=，贝=，

ffi]GB=(2,-2,0),=(0,-2,-2V3),PC=(0,2,-2V3),

.-.CM=ACB=(2A,-2A,0),

:.~PM=PC+CM=(0,2,-2^/3)+(22,-2A,0)=(242-22,-273),

设平面PAM的一个法向量为玩=(x,y,z),

m-PM=0-2〉—2\f^z=0

由，一一得，

m•PA=02Ax+(2-2%)y-2A/JZ=0

令z=Vs,m=(——3,—3

又x轴所在直线垂直于平面PAC,

取平面B4C的一个法向量为=(1,0,0),

/.cos〈而㈤=

22，

--3I+3+9

2

2

A-3

3令，-3=m,

平方得、

24A.

--3I+12

2

m23

°=—=>4m2=3m2+36,m2=36,6，

m2+n4

.0-3=6"=幺2

A93

20.随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文

试卷第16页，共21页

明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展

理念.该市某中学有8两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师

两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）(4/)(4B)（B，m(B2)

王同学9天6天12天3天

张老师6天6天6天12天

假设王同学、张老师选择餐厅/目互独立，用频率估计概率.

（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；

（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望£（X）；

（3）假设M表示事件“4餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去/餐厅就餐”，尸（W）＞0,

已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐

厅就餐的概率要大，证明：尸（M|N）＞P（WW）.

【答案】（1）0.6

（2）分布列见解析，E（X）=1.9

（3）证明见解析

【分析】（1）运用古典概型求概率即可.

（2）根据已知条件计算简单离散型随机变量的分布列及期望.

（3）运用条件概率及概率加法公式计算可证明结果.

【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，

因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为6+12=18,

1Q

所以P（C）=.=0.6.

（2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择/餐厅就餐的概率为0.3,

王同学午餐和晚餐都选择8餐厅就餐的概率为0.1,

张老师午餐和晚餐都选择/餐厅就餐的概率为0.2,

张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4,

记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2,

所以P（X=l）=0.3x0.2+0.1x0.4=0.1,P（X=2）==1）=0.9,

所以X的分布列为

X12

试卷第17页，共21页

P0.10.9

所以X的数学期望E（X）=1XO.1+2XO.9=1.9

（3）证明：由题知

P(NM)P[NM)_P(N)-P(NM)

所以

P(M)>P(M)~~1-P(M)-一

所以尸（N）.尸（M）,

所以P（NM）_P（N）P（NM）＞P〈N}P（M»P（N）P（NM）,

即：P（NM'P⑻〉P（N）.P（NM）,

*PIM

所以w

即尸（M|N）＞P（MW）.

21.已知椭圆£:［+，=1（。＞b＞0）的离心率为亭，且过点,

（1）求椭圆E的方程；

⑵设直线/:x=l与x轴交于点M,过M作直线交E于48两点，4交E于两点.

\MG\

已知直线/C交/于点G,直线2。交/于点”.试探究局是否为定值，若为定值，求出定

\MH\

值；若不为定值，说明理由.

【答案】⑴]+/=1

(2)是,1

【分析】（1）由题设可得关于。力的方程组，求出其解后可得椭圆的方程.

（2）

222

【详解】（1）由题意，e=-=^,a=b+c,解得力=4〃，

a2

代入点［l，g］得+17=1，解得〃=1,6/2=4,

V2）4624b2

椭圆£的方程为：—+/=1；

试卷第18页，共21页

由题意，Af（l,o）,当4,4斜率都不为0时，^k'-x=mxy+\,l2:x=m2y+\,

/（再,必）,8（无2，%）了（9,%）,。（尤4）4），

\MG\

当加1+冽2=0时，由对称性得W而=1,

+4y40,得（叫2+4）/+2机j_3=0

当町+%/0时，联立方程

x=mxy+1

—2m—3

△>°恒成立,%

___2ml