2023年山东省济南市中考数学模拟试卷(二)及答案解析

2023年山东省济南市中考数学模拟试卷（二）

一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．）

1．（4分）的倒数是（）

A．2003B．﹣2003C．D．﹣

2．（4分）如图所示的几何体，其俯视图是（）

A．B．C．D．

3．（4分）“神舟”五号飞船总重7990000克，用科学记数法表示为（）

A．0.799×107克B．8×106克C．8.0×106克D．7.99×106克

4．（4分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

5．（4分）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝55°时，∠2的度数

为（）

A．25°B．35°C．45°D．55°

6．（4分）化简：的结果是（）

A．﹣mn+mB．﹣m+1C．﹣m﹣1D．﹣mn﹣n

7．（4分）某企业1～5月份利润的变化情况图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是

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（）

A．1～2月份利润的增长快于2～3月份分利润的增长

B．1～4月份利润的极差与1～5月份利润的极差不同

C．1～5月份利润的众数是130万元

D．1～5月份利润的中位数为120万元

8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE

沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（）

A．B．C．D．

9．（4分）如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C

的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡

AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（）米．

A．15﹣5B．20﹣10C．10﹣5D．5﹣5

10．（4分）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方

程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）

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A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4

二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）

11．（4分）分解因式：xy2﹣4x＝．

12．（4分）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、

大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳

定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是个．

13．（4分）计算：＝．

14．（4分）如图，已知AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC＝AC，连接线段AB，

与⊙O交于点D，若AC＝4cm，则阴影部分的面积为．

15．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC

的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是．

16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下

列结论：

①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其

中正确结论的结论：（填序号）

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三、解答题（本大题共10个小题，共86分）

17．（6分）计算：（）﹣1﹣（π﹣2）0+||+2sin60°．

18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．

19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，

DE的延长线与CB的延长线交于点F．

求证：BC＝BF．

20．（8分）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛．初赛后对选手成绩进

行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）

A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x

＜100并绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加初赛的选手共有名；扇形统计图中，E组对应的圆心角是°；

（2）现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表

或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．

21．（8分）为提高数学学习的兴趣，某学校数学社团利用周日举行了测量旗杆高度的活动．已

知旗杆的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心．

测量方法如下：在地面上找一点D，用测角仪测出看旗杆AB顶B的仰角为67.4°，沿

DE方向走4.8米到达C地，再次测得看旗杆顶B的仰角为73.5°．

（1）求旗杆的高度．

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（2）已知夏至日时该地的最大太阳高度角约为78°，试问夏至日旗杆的影子能不能落在

台阶上？（太阳高度角是指某地太阳光线与地平线的夹角．结果精确到0.1m，参考数据：

tan67.4°≈2.4，tan73.5°≈24/7，tan22.6°≈5/12，tan16.5°≈7/24，tan12°≈0.21）

22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A

作AD⊥DC，连接AC，BC．

（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；

（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

23．（10分）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和

杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900

元．

（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；

（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的3倍，要

使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？

24．（10分）如图，已知点A（5，0），B（0，5），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，

使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动，其中∠EFD＝45°，ED＝

2，点G为边FD的中点．

（1）求直线AB的解析式；

（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y＝（k≠0）的解析式；

（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，

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求出此时反比例函数的解析式，如果不能，说明理由．

25．（12分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，过点A作AE⊥AB，过

点C作CE⊥CD，且AE与CE相交于点E．

（1）如图1，当∠ABC＝45°，试猜想CE与CD的数量关系：；

（2）如图2，当∠ABC＝30°，点D在BA的延长线上，连接DE，请探究以下问题：

①CD与CE的数量关系是否发生变化？如无变化，请给予证明；如有变化，先猜想CD

与CE的数量关系，再给予证明；

②若AC＝2，四边形ACED的面积为3，试求BD的值．

26．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；

（2）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求∠CBE的

正切值；

（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上且在CE上方

的一点，是否存在点M使△DMB和△BCE相似？若存在，求

点M坐标；若不存在，请说明理由．

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2023年山东省济南市中考数学模拟试卷（二）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．）

1．【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．

【解答】解：的倒数是2003．

故选：A．

【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．

2．【分析】根据简单组合体的三视图的画法画出它的俯视图即可．

【解答】解：这个组合体的俯视图为：

故选：D．

【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的

画法和形状是正确解答的前提．

3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将7990000用科学记数法表示为7.99×106．

故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其

中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．

【解答】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；

B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；

C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；

D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不D符合题意．

故选：B．

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【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对

称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部

分重合．

5．【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．

【解答】解：∵∠1＝55°，

∴∠3＝90°﹣55°＝35°．

∵直尺的两边互相平行，

∴∠2＝∠3＝35°．

故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

6．【分析】原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可

得到结果．

【解答】解：原式＝﹣•＝﹣（m+1）＝﹣m﹣1．

故选：C．

【点评】此题考查了分式的混合运算，分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公

因式．

7．【分析】解决本题需要从统计图获取信息，再对选项一一分析，选择正确结果．

【解答】解：A、1～2月份利润的增长为10万元，2～3月份利润的增长为20万元，慢

于2～3月，故选项错误；

B、1～4月份利润的极差为130﹣100＝30万元，1～5月份利润的极差为130﹣100＝30

万元，极差相同，故选项错误；

C、1～5月份利润，数据130出现2次，次数最多，所以众数是130万元，故选项正确；

D、1～5月份利润，数据按从小到大排列为100，110，115，130，130，中位数为115万

元，故选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况．

8．【分析】过E作EH⊥CF于H，由折叠的性质得BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，由点E是BC

的中点，得到CE＝BE，得到△EFC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠FEH

＝∠CEH，推出△ABE∽△EHC，求得EH＝，结果可求sin∠ECF＝＝．

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【解答】解：过E作EH⊥CF于H，

由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，

∵点E是BC的中点，

∴CE＝BE，

∴EF＝CE，

∴∠FEH＝∠CEH，

∴∠AEB+∠CEH＝90°，

在矩形ABCD中，

∵∠B＝90°，

∴∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，

∴△ABE∽△EHC，

∴，

∵AE＝＝5，

∴EH＝，

∴sin∠ECF＝sin∠ECH＝＝，

（方法二，可以证明∠AEB＝∠ECF，求出AE＝10，sin∠ECF＝sin∠AEB＝）

故选：D．

【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也

考查了矩形的性质以及勾股定理．

9．【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三

角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN+EN﹣DE即可求出结论．

【解答】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．

在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，

∴AM＝AB•cos∠BAM＝5米，BM＝AB•sin∠BAM＝5米．

在Rt△ADE中，AE＝10米，∠DAE＝60°，

∴DE＝AE•tan∠DAE＝10米．

在Rt△BCN中，BN＝AE+AM＝（10+5）米，∠CBN＝45°，

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∴CN＝BN•tan∠CBN＝（10+5）米，

∴CD＝CN+EN﹣DE＝10+5+5﹣10＝（15﹣5）米．

故选：A．

【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题及解直角三角形﹣坡度坡脚问题，通

过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．

10．【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直

线y＝t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．

【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx

与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，

当x＝1时，y＝3，

当x＝5时，y＝﹣5，

由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，

直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，

∴﹣5＜t≤4．

故选：D．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用

图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）

11．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），

故答案为：x（y+2）（y﹣2）

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本

题的关键．

12．【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，则摸到蓝

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球的概率为75%，然后根据概率公式可计算出箱子中蓝色球的个数．

【解答】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，

所以摸到蓝球的概率为75%，

因为20×75%＝15（个），

所以可估计箱子中蓝色球的个数为15个．

故答案为15．

【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定

位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集

中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是

近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

13．【分析】首先找到最简公分母把式子通分，然后进行加减运算．

【解答】解：＝＝．故答案为．

【点评】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最

简分式．

14．【分析】由切线的性质和圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，由等腰直角三

角形的性质可得AD＝DB＝CD，AO＝CO＝DO，AC⊥OD，由面积和差关系可求解．

【解答】解：如图，连接OD，CD，

∵BC为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，

又∵AC＝BC，

∴AD＝DB＝CD，

∵AO＝CO＝2cm，

∴AC⊥OD，OD＝AO＝CO＝2cm，

∴∠COD＝90°，

2

∴S阴影＝S△ACB﹣S△AOD﹣S扇形COD＝×4×4﹣×2×2﹣＝（6﹣π）cm，

故答案为：（6﹣π）cm2．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些

性质解决问题是解题的关键．

15．【分析】过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD

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＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等

可得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，然后利用锐角的正切等于对边比邻边列

式计算即可得解．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距

离为1，

∵∠CAD+∠ACD＝90°，

∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

在等腰直角△ABC中，AC＝BC，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴CD＝BE＝1，

∴DE＝3，

∴tan∠α＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数

的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

16．【分析】①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到∠BAE是否

等于30°；

②根据题目中的条件，可以求得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否

为∠AFC的角平分线；

③根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；

④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到AF＝AB+CF是否成立．

【解答】解：在正方形ABCD中，E是BC的中点，

∴AB＝BC，BE＝AB，

∴tanA＝＝，

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∵tan30°＝，

∴∠BAE≠30°，故①错误；

∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF，

∴∠BAE+∠BEA＝90°，∠BEA+∠CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

∴△ABE∽△ECF，

∵AB＝2BE＝2CE，

∴EC＝2CF，

设CF＝a，则EC＝BE＝2a，AB＝4a，

∴AE＝2a，EF＝a，tan∠CFE＝2，

∴tan∠AFE＝＝2，

∴∠AFE＝∠CFE，

即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠B＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

在△BAE和△CEF中，

，

∴△BAE∽△CEF，

∴，

∴BE＝CE＝2CF，

∵BE＝CF＝BC＝CD，即2CF＝CD，

∴CF＝CD，故③选项的结论是错误；

过点E作AF的垂线于点G，

在△ABE和△AGE中，

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，

∴△ABE≌△AGE（AAS），

∴AG＝AB，GE＝BE＝CE，

在Rt△EFG和Rt△EFC中，

，

∴Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），

∴GF＝CF，

∴AB+CF＝AG+GF＝AF，故④选项的结论是正确．

故答案为：②④．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质．熟

练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

三、解答题（本大题共10个小题，共86分）

17．【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得

出答案．

【解答】解：原式＝2﹣1+2﹣+2×

＝3．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．

【解答】解：解不等式①得：x＜3，

解不等式②得：x≥1，

∴原不等式组的解集为：1≤x＜3，

∴整数解为1，2．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规

律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．

19．【分析】首先由平行四边形的性质可得AD＝BC，再由全等三角形的判定定理AAS可证

明△ADE≌△BFE由此可得AD＝BF，进而可证明BC＝BF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

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又∵点F在CB的延长线上，

∴AD∥CF，

∴∠1＝∠2．

∵点E是AB边的中点，

∴AE＝BE．

∵在△ADE与△BFE中，

，

∴△ADE≌△BFE（AAS），

∴AD＝BF，

∴BC＝BF．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形

的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角．

20．【分析】（1）用组类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；然后用360°乘以E

组所占的百分比得到扇形统计图中“E”所在扇形圆心角的度数；

（2）通过树状图展示12种等可能的结果数，找出恰好选中一名男生和一名女生的结果

数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）参加初赛的选手的人数为8÷20%＝40（人）；

扇形统计图中，E组对应的圆心角＝360°×＝54°；

故答案为40，54；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果数为8，

所以恰好选中一名男生和一名女生的概率＝＝．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，

再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概

率．也考查了统计图．

21．【分析】（1）设旗杆的高度为x米，则EB＝（x+1）米，利用锐角三角函数列式计算即

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可；

（2）设夏至日旗杆的影长为y米，根据锐角三角函数解得y的值，然后根据旗杆的底座

长8米，旗杆位于底座中心．根据8÷2＝4，比较y与4的大小，进而可以解决问题．

【解答】解：（1）设旗杆的高度为x米，则EB＝（x+1）米，

根据题意可知：∠BDE＝67.4°，∠BCE＝73.5°．DC＝4.8米，

∴tan∠BDE＝＝≈2.4，tan∠BCE＝＝≈，

∴≈2.4，

解得x＝37.4，

∴旗杆的高度为37.4米；

（2）∵旗杆的高度为37.4米，则BE＝38.4米，

设夏至日旗杆的影长为y米，

∵tan12°＝y÷BE≈0.21，

解得y＝0.21×38.4≈8.1，

∵旗杆的底座长8米，宽6米，

∴底座的对角线是10米，

∴8.1＞5，

∴夏至日旗杆的影子不能落在台阶上．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、平行投影、三角函数；借助

仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．

22．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径

线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；

（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即

可求出AC的长．

【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，

∵CD与⊙O相切于点C，

∴∠OCD＝90°，

∴∠ACD+∠ACO＝90°，

∵AD⊥DC，

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∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝90°，

∴∠ACO＝∠DAC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴AC是∠DAB的角平分线；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠D＝∠ACB＝90°，

∵∠DAC＝∠BAC，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB，

∴＝，

∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，

∴AC＝．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，

必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．

23．【分析】（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，根据“购买2棵柏树和3

棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元”列出二元一次方程组，求解

即可；

（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，根据题意求出w与

a的函数关系式，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，

再根据a是正整数确定出购买方案．

【解答】解：（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，

根据题意得：，

解得，

答：柏树的单价为200元/棵，杉树的单价是150元/棵；

（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，

根据题意：a≥3（80﹣a），解得a≥60，

第11页（共16页）

w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，

∵50＞0，

∴w随a的增大而增大，

又∵a为整数，

∴当a＝60时，w最小＝15000，

此时，80﹣a＝20，

即购买柏树60棵，杉树20棵时，总费用最小为15000元．

【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，

解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关

系．

24．【分析】（1）由A、B点的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；

（2）由条件可求得E点坐标，则可求得F点的坐标，利用三角形中位线定理可求得G

点坐标，则可求得反比例函数解析式；

（3）可设出F点坐标，则可表示出G点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．

【解答】解：

（1）设直线AB的解析式为y＝ax+b，

把A、B坐标代入可得，解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；

（2）∵A（5，0），

∴OA＝5，

当D与A重合时，则OE＝OD﹣DE＝5﹣2＝3，

∵∠EFD＝45°，

∴EF＝DE＝2，

∵F（3，2），D（5，0），

∵G为DF的中点，

∴G（4，1），

∴k＝4×1＝4，

∴经过点G的反比例函数的解析式为y＝；

（3）设F（t，﹣t+5），

第12页（共16页）

则D点横坐标为t+2，代入直线AB解析式可得y＝﹣（t+2）+5＝﹣t+3，

∴D（t+2，﹣t+3），

∵G为DF中点，

∴G（t+1，﹣t+4），

若反比例函数同时过G、F点，则可得t（﹣t+5）＝（t+1）（﹣t+4），

解得t＝2，此时F点坐标为（2，3），

设过F、G的反比例函数解析式为y＝，则s＝2×3＝6，

∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，其函数解析式为y＝．

【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、三

角形中位线定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得G点坐标是

解题的关键，注意中点坐标的求法，在（3）中用t分别表示出F、G的坐标是解题的关

键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

25．【分析】（1）结论：CE＝CD．证明△BCD≌△ACE（ASA）可得结论．

（2）①结论有变化．CD＝CE．证明△BCD∽△ACE可得结论．

②如图2中，过点C作CH⊥AB于H．设EC＝a，则CD＝a，根据四边形ACED的

面积为3，构建方程求出a即可解决问题．

【解答】解：（1）结论：CE＝CD．

理由：如图1中，

∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，

∴∠B＝∠CAB＝45°，

∴CA＝CB，

∵AE⊥BA，CE⊥CD，

∴∠ACB＝∠ECD＝∠BAE＝90°，

∴∠BCD＝∠ACE，∠CAE＝∠B＝45°，

∴△BCD≌△ACE（ASA），

∴CD＝CE．

故答案为CE＝CD．

（2）①结论有变化．CD＝CE．

理由：如图2中，

第13页（共16页）

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠BAC＝60°，BC＝AC，

∵AE⊥BA，CE⊥CD，

∴∠ACB＝∠ECD＝∠BAE＝9