高中数学复习 立体几何中的轨迹问题

立体几何中的轨迹问题

一、知识点梳理

一、立体几何中的轨迹问题

立体几何轨迹问题是以空间图形为素材，去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的

交汇处，要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.

常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.

二、常用的解决策略

(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.

(2)坐标法:建立合适的坐标系，用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.

(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上，如平面与圆雉、圆柱、球相交，球与球相交，等等.

(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题.使问题更易解决.空间问题平面化

也是解决立体几何题目的一般性思路.

三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析

令平面与轴线的夹角为。(0<0<90°),圆雉的母线与轴的夹角为a(o<a<90｝如图②.

(1)当时,截口曲线为椭圆；

(2)当a=夕时，截口曲线为抛物线；

(3)当a>6时,截口曲线为双曲线.

图②

图②我们再从几何角度来证明.

⑴如图③，在圆锥内放两个大小不同的球，使它们分别与截面切于点后，鸟.在截口曲线上任取一点P,过点P

作圆雉的母线，分别与两球切于点2,④由球的性质可知户0|=|坨|，怛0=|尸马，于是

p用+归闾=|P0+|PQJ=|QQ2|为定值，这样截口曲线上的任一点「到两个定点0，。2的距离之和为常

数，由椭圆的定义知，截口曲线是椭圆.

Qi

图③

⑵如图④，在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球，使它们分别与圆雉的侧面、截面相切.两个球分别与

截面切于点々，巴•在截口曲线上任取一点P，过点P作圆雉的母线，分别与两球切于点2,Q?•由球的性质可

知忱0=归耳|2Hp周，于是归国—归周=归2HP2HQ&I为定值，这样截口曲线上的任一点

P到两个定点0,Q的距离之差的绝对值为常数，由双曲线的定义知，截口曲线是双曲线.

(3)如图⑤，用平行于母线。M且垂直于轴截面。的平面夕去截圆雉.在圆雉内放一个球，使它和圆雉的侧

面与截面p相切，球与截面切于点F.设a为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面，记acp=l.在截口

曲线上任取一点P，作直线与球相切于点T,连结PT，有=|P7].在母线OM上取点A,B(B为OM与

球的切点)，使得|加=卜过点P作PQ//4反有点。在/上，且忻。=|=|尸石.另一方面.因为平面

OMN与a垂直，那么/±平面OMN,有/_LAB,所以/，PQ.于是截口曲线是以点F为焦点，/为准线的抛

物线.

图⑤

二、题型精讲精练

1.平行、垂直有关的的轨迹问题

①平行有关的轨迹问题的解题策略

1.线面平行转化为面面平行得轨迹；

2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.

②垂直有关的轨迹问题的解题策略

1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;

2.利用空间坐标运算求轨迹；

3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.

【典例1］如图，在边长为。的正方体A8C0-A出1G2中，E、F、G、H、N分别是CG、CQi、DDi、

CD、BC的中点，M在四边形EFG”边上及其内部运动，若〃面4B。，则点M轨迹的长度是（）

A.丛aB.V2aC.—D.—

22

【答案】D

【分析】连接G"、HN,有GH〃氐4i,HN//BD,证得面4由。〃面GHN,由已知得点M须在线段GH

上运动，即满足条件，由此可得选项.

【详解】解：连接G"、HN、GN,•在边长为a的正方体中，E、八G、H分别是CG、

CMDDi、CO的中点，N是8c的中点，

则GH/ZBAi,HN〃BD,又GHU面AiBD,8AiU面人心。,所以G”〃面4］。，同理可证得N”〃面AiBD,

又GHcHN=H,.•.面面GHN,

又•.•点M在四边形E尸G”上及其内部运动，MN〃面AiBD,

则点M须在线段G"上运动，即满足条件，GH=&,则点M轨迹的长度是也a.

22

【典例2］在正方体ABCO-ABCa中，。是正方形用8CC1内的动点，AQ_LB£,则Q点的轨迹是（）

A.点名B.线段8cC.线段B£D.平面耳8CG

【答案】B

【分析】如图，连接A。,证明与Q,又即得解.

【详解】

如图，连接AC,

因为fiC,1AQ,8G_LAB|,A。AA=A，AQ，u平面\B,Q，所以BC、I平面AS◎，又用。u平面

AM。,

所以BCJB◎，又BCJqc.所以点。在线段qc上.故选：B

2.距离一角度有美的的轨迹问题

①距离有关的轨迹问题的解题策略

1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求

解轨迹；

2.利用空间坐标计算求轨迹.

②角度有关的轨迹问题的解题策略

1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面；

2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；

3.利用空间坐标系计算求轨迹.

【典例3］已知正方体ABCD-A而G0的棱长为1,尸为底面A8CD内一点，若P到棱CZ）,4。距离相

等的点，则点尸的轨迹是（）

A.直线B.桶圆C.抛物线D.双曲线

【答案】D

【分析】以。为坐标原点建立空间直角坐标系。一个z,求出点尸的轨迹方程即可判断.

【详解】

如图示，过P作与E,过P作尸尸_L4D于尸，过尸作尸G〃44交45于G,连结PG,由题意

可知PE=PG

以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz,设P（x,y,O）,由PE=PG得:

2

|1-%|=7/+1,平方得：（x-l）2-y2=］即点尸的轨迹是双曲线.故选：D.

【典例4】正方体ABCO-AgGP中，M,N分别为A8,4出的中点，尸是边GA上的一个点（包括

端点），。是平面尸〃片上一动点，满足直线MN与直线4V夹角与直线MN与直线NQ的夹角相等，则

点。所在轨迹为（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.抛物线或双曲线

【答案】D

【分析】根据题设分析可知：。点轨迹为以AN为母线，MN为轴，A3为底面直径的圆锥体，及其关于A片

反向对称的锥体与平面尸"4的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断。所在轨

迹的形状.

【详解】由题设，。点轨迹为以AN为母线，MN为轴，A8为底面直径的圆锥体，及其关于A蜴反向对称

的锥体与平面尸加片的交线，如下图示：

当户是边GP上移动过程中，只与下方锥体有相交，。点轨迹为抛物线;

当P是边G。上移动过程中，与上方锥体也有相交，。点轨迹为双曲线;

3.翻折有关的的轨迹问题

①翻折有关的轨迹问题的解题策略

1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹

2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹

3.可以利用空间坐标运算求轨迹

【典例5】1822年，比利时数学家0mde〃〃利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，

可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性.在生

活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆.这是由于光线形成的圆

锥被地面所截产生了椭圆的截面.如图，在地面的某个占A正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使

得4A与小球相切.若AA=5,小球半径为2,则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（

【答案】A

【分析】设4耳=凡从而可得相=5,A4=x+2,强=x+3,利用勾股定理可得x=10,再由离心

率的定义即可求解.

A

【详解】在出的4中，设4K=X,，D4,=XV

4AF24

222

AA|=5,A[A2=x+2fAA.=x+3,:.5+(x+2)=(^+3),

c2

.*.x=10,；.长轴长A4=2a=12,4=6,c=6-2=4贝！I离心率e=—=—・故选：A

a3

【题型训练2-刷模拟】

1.平行、垂直有关的的轨迹问题

一、单选题

1.(2023•全国•高三专题练习)正四棱锥S-43CD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点，动点P在表

面上运动，并且总保持PE_LAC,则动点P的轨迹的周长为()

A.+5/2B.>/6-5/2C.4D.y/5+1

【答案】A

【分析】由题意，动点尸的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-ABCD的交线，再根据线面垂直的

性质求解即可.

【详解】如图，设AC,即交于。，连接SO,由正四棱锥的性质可得，SO,平面A5CD,因为ACu平面ABCD,

故SO，AC.

又8DJ.AC,SOcBD=O,SO,B£)u平面S8O,故AC_L平面S8£>.

由题意，PELAC则动点尸的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-ABCD的交线，即如图EPG,则

AC_L平面EFG.

由线面垂直的性质可得平面S3。〃平面EFG,又由面面平行的性质可得EG//S3,GF//SD,EF//BD,

又E是边BC的中点，故EG,GF,EF分别为SBC,.SDC,.BCD的中位线.

由题意BD=2尤,SB=SD=4^7i=a，故EG+EF+GF=g(#+#+2应)=布+及・

即动点尸的轨迹的周长为逐+&.

s

2.（2023•安徽滁州•安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱ABC。-ABC4中，AB=\,M=4,E为

。。中点，尸为正四棱柱表面上一点，且GPLqE,则点尸的轨迹的长为（）

A.y/s+5/2B.+5/2C.2>/5+5/2D.3+>/2

【答案】A

【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点G垂直于BE的正四棱柱的截面即可计算

作答.

【详解】在正四棱柱ABC。-aaGA中，连接4R，AG，如图，ERI平面A4GR，

因为4Gu平面A8CQ,贝!]1AG，又用。,我£>«平面EBQ,

的c8Q=D,,则4G1平面EBB,又u平面EBR,则±/?,£,

取CG中点尸，连接E尸,8/，在平面BCG与内过C1作GGJ_耳尸，交SB】于G,显然所//。6,

而4G，平面BCG4,则即工平面BCG耳，有GG1EF,

又平面B/E,FEcB、F=F,于是GG_L平面片FE,而耳Eu平面片尸£,因此

因为GG，GAu平面GG4，GACC|G=G，从而用E_L平面C£A，

连接AG,则点尸的轨迹为平面C0A与四棱柱的交线，即△4GG,

因为N4GG+NGGF=NGGF+NB|FG=90°,即有/G,又NC、B\G=NFC/1,

于是GBIGSFCR,有嗡=盘=2,B,G=1

c由2

所以点尸的轨迹长为AG+C,G+=2,1+；+亚=行+也.

故选：A

【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几

何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点

中至少有两个点在几何体的同一平面上.

3.（2023・江西赣州•统考二模）在棱长为4的正方体ABCQ-ABCQ中，点尸满足e=4",E,尸分别

为棱BC,8的中点，点。在正方体A8CC-A4GR的表面上运动，满足A。//面瓦尸，则点。的轨迹所

构成的周长为（）

A,旭B.2百C.旭D.国

333

【答案】D

【分析】作出辅助线，找到点。的轨迹，利用勾股定理求出边长，得到周长.

【详解】延长ARAB,交E尸的延长线与H,G,连接PG,P〃，分别交。。于R,T

过点4作4/〃尸G交8用于点K,过点A作AN//P”交。2于点N,

因为AKa平面EFP,PGu平面EFP,所以AK//平面EFP,

同理可得AN//平面瓦P,

因为AKAN=A，所以平面日？〃平面AKN,

过点N作MW/"/交CG于点M,

连接MK,则MK//AN

则平行四边形AKMN（A点除外）为点。的轨迹所构成的图形，

因为正方体棱长为4,E,尸分别为棱BC,8的中点，例=4”，

所以AP=l,BR=OT=g,

i2

因为"=KR=NT=3,所以qK=2N=4—3—；=(,

2

过点N作N/_LCG于点，，则CJ=AN=,，

2224

则由几何关系可知=31K=§,所以GA/=§+§=§,

由勾股定理得\K=A、N=MN=MK=\INJ2+JM2=J16+：=2手

所以点Q的轨迹所构成的周长为曳史.

3

故选：D

4.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，正方体A38-A4CQ的棱长为2,E,尸分别为A8的中

点，点尸是正方体表面上的动点，若GP〃平面CREF,则尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（）

A.72+75B.夜+26C.2&+有D.2&+2石

【答案】B

【分析】要满足GP〃平面CRE尸，只需要寻找一个平面，使该平面经过G，且与平面CREF平行即可，取

8片的中点G,A£的中点H,连结G”,CQ，GH.证明出面GHG//面C0EF.得到P点在正方体表面上运

动所形成的轨迹为三角形G"G,求出周长即可.

【详解】取8片的中点G,A耳的中点H,连结G//，GG，G”，AB,£G,HF.

正方体ABCD-4D,的棱长为2.瓦£G,”为中点，所以E尸/小B,G"〃AB,所以斯//G”且

EF=GH=41.

因为为分别为AB,的中点，所以FHUCC”且FH=CC1,所以四边形FaGC为平行四边形，所以

HCJ/CF.

因为HGB面CQEF,CFu面CREF,所以“G//面CD.EF.

同理可证：HG〃面CREF.

又GHcHG=H,HQu面CQH,GHt面CQ”,

所以面GHG〃面CREF.

所以尸点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形C"G.

因为正方体ABC。-A的棱长为2,所以=G£="+F=G

所以三角形G"G的周长为G"+〃C|+GG=V5+6+6=^+2".

故选：B

5.（2023•全国•高三专题练习）在棱长为1的正方体ABC。-中，M,N分别为BQ,的中点，

点P在正方体的表面上运动，且满足MP〃平面CNR,则下列说法正确的是（）

线段的最大值为农

A.点P可以是棱8用的中点B.MP

2

C.点P的轨迹是正方形D.点P轨迹的长度为2+6

【答案】B

【分析】如图，取棱BC的中点E,连接。进而证明平面片加//平面CN。，再结合题意可知

直线4M必过。点，进而取4。中点尸，连接B、F,FD,DE,证明尸e平面gEM即可得四边形片口尸为点

尸的轨迹，再根据几何关系依次判断各选项即可.

【详解】解：如图，取棱8c的中点E,连接DE,BiE,ME,

因为分别为B。，8c的中点，

所以，在,BCR中,MEHCD,,由于平面CN。，C"u平面CNQ,

所以ME//平面CN。，

因为B\NUCE,B\N=CE,所以，四边形CN8也为平行四边形,

所以CN〃4E,因为CNu平面CN。，BEU平面CNR,

所以，8q〃平面CNR,

因为耳EDME=E,BEMEu平面&EM,

所以，平面平面CNQ,

由于M为体对角线BR的中点，

所以，连接用用并延长，直线qM必过。点，

故取A。中点F，连接BRFD,DE,

所以，由正方体的性质易知尸（民尸。=CE,

所以，四边形C，FE是平行四边形，EF//CD,,EF=CD、,

因为，ME//CD、,ME=；CD、,

所以，共线，即Fe平面目EM,

所以，四边形片瓦）尸为点尸的轨迹，故A选项错误；

由正方体的棱长为1,所以，四边形AE£下的棱长均为或，且对角线为EF=6,BQ=6,,

2

所以，四边形4中尸为菱形，周长为2石，故CD选项错误，

由菱形的性质知，线段MP的最大值为工BQ=且，故B选项正确.

2,2

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于取棱BC的中点E,进而证明平面AEM//平面CNR,再根据

面面平行的性质求解点尸轨迹即可求解.

6.（2023•全国•高三专题练习）己知棱长为1的正方体ABCO-4旦G。，”是8片的中点，动点P在正方

体内部或表面上，且MP//平面42%,则动点P的轨迹所形成区域的面积是（）

A.—B.72C.ID.2

2

【答案】A

【分析】过点M做平面ABR的平行截面，再求四边形面积即可.

如图所示E、F、G、M分别是44、4。、BC、的中点,

则E/〃AR,EM//AB,所以£F//平面AB。，EM”平面ABR,且EFcEM=E,

所以平面A8Q//平面EFGM,故点P的轨迹为矩形EFGM.

MBl=BlG=^,所以MG=孝，所以SEFGM=14釜，

故选：A

【点睛】本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题.

二、填空题

7.（2023・全国•高三专题练习）如图，A8为圆柱下底面圆。的直径，C是下底面圆周上一点，已知

7T

ZAOC=-,OA=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动，且满足BCLAO,则点。的轨迹所围成图

形的面积为.

C

【答案】10

【分析】先推出8c1平面ACO,设过A的母线与上底面的交点为E,过C的母线与上底面的交点为F,

连EF,C£AC,推出8c上平面ACE,从而可得点。的轨迹是矩形A£FC,计算这个矩形的面积即可得解.

【详解】因为A8是圆柱下底面圆。的直径，所以BC±AC,

又BC，AD,ACAD=A,AC,AOu平面AC。，所以BC1平面ACD,

设过A的母线与上底面的交点为E,过C的母线与上底面的交点为F,连E£C£AC,

E

,D

C

因为4E_L平面ABC,BCu平面ABC,所以4EJ_BC,

因为AEAC=A,AE,ACu平面ACE,所以8CJ,平面ACE,

所以点。在平面ACE内，又点。在圆柱的表面，所以点。的轨迹是矩形AEFC,

依题意得AE=5,OA=OC=2,NAOC=方，所以AC=2,

所以矩形AEFC的面积为5x2=10.

故点。的轨迹所围成图形的面积为10.

故答案为：10.

8.（2023・河南•校联考模拟预测）已知正方体的棱长为白，动点尸在VA8c内，满足

DtP=45,则点尸的轨迹长度为

TT

【答案】y

【分析】确定正方体ABCD-AdGR对角线8R与VAS。的交点E,求出。确定轨迹形状，再求出轨迹

长度作答.

【详解】在正方体A8CO-AACQ中，如图,

。2，平面488,ACu平面A8C。，则OR_LAC,而8O_LAC,

DRCBD=D,DD「BDu平面BDR,于是AC_L平面8。。，又BRu平面8。。，

则ACJL8。，同理而AC=A,AC,4片u平面A^C,因此BRJ_平面明（7,

令叫交平面A4c于点E,由展瓯=13，得;SA%CBE=；SABCBBI，

即日.（0A8）J8E=g4B',解得8后=948=1,而BD、=6AB=3,于是〃E=2,

因为点P在VABC内，满足。吠=右，则EP=JDF—RE2=1,

因此点P的轨迹是以点E为圆心，1为半径的圆在VA8C内的圆弧，

而VA&C为正三角形，则三棱锥8-ABC必为正三棱锥，E为正V4BC的中心，

于是正VABC的内切圆半径EH=A4x苴x』=Gx&x正xL也，

123232

贝！lcosN〃EF=立，即/=NFEG=W，

242

所以圆在VABC内的圆弧为圆周长的，，即点P的轨迹长度为:以兀/二2.故答案为：］

【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面

平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.

9.（2023春•四川绵阳•高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若点M是棱长为3亚的正方体

ABC£）-A5GA的内切球。的球面上的动点，点N为棱4G上的一点，且2NB|=NG，DM1BN,则动M

点的轨迹的长度为.

【答案】哈

【分析】由题意画出图形，8片上取点人使得2BP=Pq,连接CP,DP,BN,由线面垂直的判定定理和性

质，可得BN_L平面。CP,所以M点的轨迹为平面。CP与球。的截面圆周，求出截面圆的半径即可得出答

案.

如图所示，在BB|上取点尸，使得2BP=PB-连接CP,DP,BN

QNC、=2NB\,:.CPLBN

又。C_L平面8CGA,.-.DCLBN

又QDC?CPC,OCu平面DCP,CPu平面DCP,平面。CP

;.8N_L平面OCP

又点M是棱长为3五的正方体ABCD-AR的内切球。的球面上的动点且ZW，,可得M点的轨迹

为平面0cp与球。的截面圆周.

连接OD,。尸,0C,则V0_DPC=VC_DPO

又CPABCRBP?=《3夜『+(可=2后

SRZDPC=LDC?PC，仓由32石=3屈

22

又O,D,P在平面DBBR,则C到平面ODP的距离：h=(AC=DC—；如可+(3亚j=3

又SVDOP=Sy-SV0HiP=1BF?BD1瑞BD±30

设。到平面OPC的距离为d,则;察8cd=g氧。0Ph,解得4=手

又正方体ABCD-A百CQ的内切球O得半径R=1?3夜里

22

则截面圆的半径r=/¥］］竽［=噜，

因此可得动M点的轨迹的长度为2兀x返=亚兀.

105

故答案为：2万

5

【点睛】本题是一道空间线面位置关系及多面体与球的内切等位置关系与距离、体积的计算等能力的综合

运用.解答时先将问题转化和化归为平面DCP与球。的截面圆周的周长问题，进而转化为。到平面OPC的

距离为d,运用等体积法求出d,借助截面圆的半径与球的半径，球心距之间的关系厂=五二7求出截面

圆周的半径，最后求出截面圆的周长也即为动M点的轨迹的长度.

2.距离、角度有关的的轨迹问题

一、单选题

1.（2023春,河南•高三校联考阶段练习）己知长方体ABC。-A与GA的外接球的表面积为5兀，刈=2,点

P在四边形AACG内，且直线8尸与平面AACC所成角为:，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为

4

（）

A.nB.叵C.-D,且

224

【答案】C

【分析】首先由题意得到长方体体积最大时，得到几何体的棱长，设AC,8。相交于点。，由平面

A4CG，确定线面角，从而确定点尸的轨迹，从而得解.

【详解】因为长方体ABCO-ASGR的外接球的表面积为5兀，设外接球的半径为R,

所以4/=5兀，解得R=且或《=-且（舍去），即外接球的直径为逐，

22

设BC=b，贝！I,片+6+2?=石,可得々一〃=1,

所以V=2必&/+从=1,当且仅当。=8=受时，等号成立.

2

如图，设AC,8。相交于点。，

因为3O_LAC,8O_LA^,ACA4A=A,AC,u平面4月。和，

jr

所以301平面AACG，直线族与平面AACG所成角为m,

4

TT11

所以NBPO=故。尸=7,则点P的轨迹是以。为圆心，半径厂=7的半圆弧，

422

所以动点P的轨迹长为

2.（2023・河北・统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥

jr

为正四棱锥）尸一A8CO的底面正方形边长为2,其内切球O的表面积为g,动点。在正方形ABCD内运动，

且满足。。=。尸，则动点。形成轨迹的周长为（）

2兀-3兀—4兀-5兀

A.—B.—C.—D.—

11111111

【答案】c

【分析】利用等体积法及几何关系求出关于动点Q的等式关系，根据相关几何意义即可求出动点Q形成

轨迹的周长.

【详解】设内切球O的半径为R,则4兀&=g，.•./?=立.

36

如图，连接AC与BD,设交点为F,取AD的中点E,连接PE,PF,EF.

根据等体积法得+4S-)/?=|XAB2XPF,

1|4+4X-!-X2XPE|x—=-xPF整理得1+PE=20PF,又尸6-？尸=1,

3(2J63

。。皿=唠

解得PE哈,PF=*：。=今肉嘤

在Rf"Q中，-J［唠J'3V.

224

...点Q在以点F为圆心，£为半径的圆上，其周长为2兀兀.

故选：C.

3.（2023•山东淄博・统考三模）设A,B是半径为3的球体。表面上两定点，且NAO3=6（）。，球体。表面

上动点尸满足1Pd=2|PB|,则点尸的轨迹长度为（）

.12而04后心6>/14612713

A.----------71D•----------71C•----------兀D•-------------7T

115713

【答案】D

【分析】建立直角坐标系，根据|/刊=2|冏确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心

距|CO卜月，对应圆的半径为弓=声|=答，再计算周长得到答案.

【详解】以A03所在的平面建立直角坐标系，AB为x轴，A8的垂直平分线为V轴,

|明=3,则呜，0）,设P（x,y）,1M=2网，

贝j+丁=4（x-|J+4y2,整理得到（x—gJ+/=4,

故P轨迹是以C（|,0）为圆心，半径r=2的圆，

转化到空间中：当P绕AB为轴旋转一周时，仍外忸用不变，依然满足|%|=2|罔，

故空间中P的轨迹为以C为球心，半径为r=2的球，

同时尸在球。上，故P在两球的交线上，为圆.

球心距为|CO|=yj\OB^+|BC|2-2|O/?|-|OC|cosl20°=屈=正+32,

△OCP为直角三角形，对应圆的半径为4=器=噜，

周长为2兀4=2wx岖=兀.

'1313

故选：D

4.（2023•全国•高三专题练习）在正方体A8C£>-45GP中，E为AA的中点，F为底面ABC。上一动点,

且EF与底面ABC。所成的角为60°.若该正方体外接球的表面积为12兀，则动点F的轨迹长度为（）.

A.玛B.今C,当D.迪兀

933

【答案】A

【分析】取AD的中点H,连接EH,判断出ZEFH为EF与底面ABCD所成的角，即NEFH=60。.设正

方体的棱长为a,利用外接球的表面积求出“=2.判断出F的轨迹为以H为圆心，密为半径的圆在正方形

ABCD区域内的部分，利用弧长公式求出动点F的轨迹的长度.

【详解】

图1图2

如图1,取AD的中点H,连接EH,则EH/MA.

在正方体ABC。-A3cA中，底面ABCD,所以_L底面ABCD.

所以NEFH为EF与底面ABCD所成的角，贝!J/E切=60°.

设正方体的棱长为a,因为该正方体外接球的表面积为12兀,

所以47tx=3na2=12K,解得4=2,

2

所以£77=A4,=。=2,从而"尸=耳，

所以F的轨迹为以H为圆心，叠为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2.

在图2中，HG=HM=^=,

所以cos/AHG=^=且，则NAHG=F，

HG26

根据对称性可知所以/M”G=7t-2xH=@,

663

故动点F的轨迹周长为空*义=生叵兀.

369

故选：A

5.（2023•云南曲靖•曲靖一中校考模拟预测）已知三棱锥P-MC的底面AABC为等腰直角三角形，其顶点

P到底面4BC的距离为4,体积为与，若该三棱锥的外接球。的半径为内，则满足上述条件的顶点P的

轨迹长度为（）

A.6万B.124C.26)D.4g兀

【答案】D

【分析】利用三棱锥P-ABC的体积，求解底边边长，求出MC的外接圆半径，以及球心。到底面A3C的

距离，判断顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周，进而求解周长即可.

【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形二ABC的直角边长为尤（工＞0）,

二三棱锥P-ABC的体积V=-4点

解得：X=2A/2

.•.ABC的外接圆半径为/i=g•夜-20=2

.・•球心O到底面A8C的距离为

4={R。-r；=J13-4=3,

又顶点P到底面ABC的距离为4,

顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周

当球心在底面ABC和截面圆之间时，

球心O到该截面圆的距离为久=4-3=1,

截面圆的半径为£=西-廿=713^1=26，

二顶点P的轨迹长度为2万弓=46乃；

当球心在底面ABC和截面圆同一侧时,

球心。到该截面圆的距离为4=3+4=7>R=,故不成立.

综上所述，顶点P的轨迹的总长度为4行万.

故选：D.

6.（2023春•上海宝山•高三上海交大附中校考期中）在正四面体A-3CO中，点P为ABCD所在平面上的动

点，若AP与AB所成角为定值则动点P的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】B

【分析】把条件转化为A8与圆锥的轴重合，面8co与圆锥的相交轨迹即为点P的轨迹后即可求解.

【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令AB与圆

锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与43所成角为定值，所以面BCZ）与圆锥的相交轨迹即为点尸的轨

迹.根据题意，A8不可能垂直于平面BCD即轨迹不可能为圆.面88不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可

能是双曲线.可进一步计算A8与平面88所成角为即0="巾以小女时，轨迹为抛物线，

"arctan近时，轨迹为椭圆，%］。，?）所以轨迹为椭圆.

故选：B.

【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.

7.（2022秋・河南•高三期末）棱长为1的正方体A8CZ）-A8CP中，点E是侧面CC逐出上的一个动点（包

含边界），则下面结论正确的有（）

①若点E满足AE18C，则动点E的轨迹是线段；

②若点E满足/EAC=30,则动点E的轨迹是椭圆的一部分；

③在线段BC上存在点E,使直线AE与C。.所成的角为30；

④当E在棱B瓦上移动时，EC+EA的最小值是把5.

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】对于①，证明8。，平面A8G即可解决；对于②，若NEAC=30,则E在以为轴，母线所在

直线为4E的圆锥曲线的侧面上，即可解决；对于③，当E为BG中点时，4ELBG，此时tanNEAB1最小，

计算得tanNEA4=譬="＞坐，即可解决;对于④，平面8G旋转到与平面DBBR重合,连接RC交BB、

23

于E,即可解决.

【详解】连接A%BC「

所以

又正方体ABCD-ABC"中，AB1平面8cl,

因为432平面BC、,

所以AB1BC，

又ABBQ=B,AB,BC、u平面ABC,,

所以80，平面ABC一

所以只要E在线段BG上，就有ABJ.BC”

所以动点E的轨迹是线段BG;故①正确;

若NEAC=30,

则E在以4c为轴，母线所在直线为47的圆锥曲线的侧面上,

平面BG与圆锥的轴AC斜交，截圆锥的侧面所得的截线是椭圆，故②正确;

AG

所以AE与co所成的角等于A|E与AA所成的角NEABI,

当£为BC1中点时，B.ELBQ,

此时tanZEA]B]最小，

在RtaAgE中，tan/E4,4=""=也＞更，

4423

所以NEAg不可能为30.故③错误；

D\G

如图，将平面BG旋转到与平面DBBR重合，

连接0c交8用于E,

此时EC+E&的最小值为g="+（夜+1尸=”+2忘,故④错误;

故选：B.

aG

8.（2023春•湖南长沙•高三校联考阶段练习）在棱长为3的正方体ABC。-A蜴GA中，尸为棱人玲上一点,

且|A"=1,则正方体表面到P点距离为石的点的轨迹总长度为.

【答案】（|+石卜

【分析】根据以尸为球心，石为半径的球与正方体表面的交线长度来求得轨迹总长度.

【详解】以P为球心，逐为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求，

在平面AB8A和平面ADD^上轨迹是以P为圆心，V5为半径，

圆心角为J的两段弧，弧长为叵，

22

在平面A耳G2上的轨迹是以A为圆心，1为半径，圆心角为T的弧，弧长为

在平面ABC。上的轨迹是以A为圆心，2为半径，圆心角为5的弧，弧长为兀，

因此，轨迹的总长度为（3+君卜.

故答案为：（|+石卜

9.（2023・全国•高三专题练习）已知三棱锥P-A5C的外接球。的半径为内，ABC为等腰宜角三角形，

若顶点P到底面A8C的距离为4,且三棱锥尸-ABC的体积为4，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度

是.

【答案】4上兀

【分析】设ABC直角边的边长为x,根据三棱锥P-MC的体积为?，求得尤=20，进而求得外接圆半

径为4=2,得出球心。到底面ABC的距离4=3,得出球心。到该截面圆的距离4=1,进而求得截面圆

的半径小即可求得点P的轨迹长度.

【详解】设底面等腰直角三角形ABC的直角边的边长为x（x>0）,

••・顶点P到底面ABC的距离为4且三棱锥P-ABC的体积为y,

二3、2刀2、4=不，解得x=2a,

“ABC的外接圆半径为，i=gx夜x2夜=2,

，球心。到底面ABC的距离为&=JR-=V13-22=3,

又•.•顶点P到底面ABC的距离为4,

•••顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面ABC和截面圆之间）且球心。到该截面圆的距离为4=1，

；截面圆的半径r,=JR?_=J13-1=2A/3,

，顶点尸的轨迹长度是2乃产=2zrx2>/5=4百万，

故答案是：4上兀.

【点睛】解题方法点拨：

1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；

2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动

点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；

10.（2023•全国•唐山市第十一中学校考模拟预测）已知N为正方体AB