2024-2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质课件新人教A版选择性必修第一册

第三章3.3.2抛物线的简单几何性质学习目标1.了解抛物线的简单几何性质.(数学抽象)2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题.(直观想象、数学运算)3.掌握直线与抛物线的位置关系,并会用方程思想解决此类问题.(逻辑推理、数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点1

抛物线的简单几何性质

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形

范围x≥0,y∈Rx≤0,

y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R对称轴x轴

x轴

y轴

y轴

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦点

顶点

准线

离心率e=1通径过焦点且与对称轴垂直的焦点弦,长度等于2p开口方向向右向

向

向

原点(0,0)左

上下名师点睛1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.微思考抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?提示

抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.知识点2

直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.微思考若直线与抛物线有且仅有一个公共点,是否说明直线与抛物线相切?若把抛物线换成椭圆、双曲线,是否有类似的性质?提示

直线与抛物线只有一个公共点时,直线可以与抛物线相切,也可以相交.当直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合时,直线与抛物线相交,有一个交点.当直线与椭圆有一个公共点时,直线与椭圆相切.当直线与双曲线有一个公共点时,有可能相切,也有可能相交.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点.重难探究·能力素养速提升问题1由抛物线方程,可否知晓其几何性质?问题2处理几何问题的基本思想、方法是什么?探究点一抛物线几何性质的应用问题3对于解析几何,一方面要通过方程了解其几何性质,另一方面也要能够把几何问题转化为代数问题来解决.对于抛物线问题,在解决的过程中蕴含了什么思想?【例1】

已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.思路分析(1)利用抛物线的对应性质求解;(2)利用抛物线的对称性及重心的性质求解.解

(1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,[0,+∞).(2)如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M.因为焦点F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|.因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0).故设A(3,m)(m>0),代入y2=8x得m2=24,规律方法

抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.探究点二直线与抛物线的位置关系问题4直线与圆锥曲线的位置关系是几何问题的重点.类比直线与双曲线位置关系的判断及相应的典型问题,如何判断直线与抛物线的位置关系?又会有哪些与之相关的几何问题?【例2】

已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.规律方法

1.解决中点弦问题的基本方法是点差法,运算量相对较小.但点差法求轨迹方程时用到了斜率,必须验证斜率不存在的情况.2.直线与抛物线相交于两点,隐含着条件Δ>0,求y1+y2及x1+x2是为利用中点坐标公式做准备.3.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点.探究点三抛物线的焦点弦问题问题5在椭圆、双曲线中,过焦点的弦往往都有一些特殊的几何性质,对于抛物线来说,过焦点的弦有哪些重要的几何性质?如何研究?【例3】

设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求直线l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.规律方法

AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,解决焦点弦问题要善于利用几何问题来优化运算.设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,抛物线的焦点弦有以下结论:探究点四与抛物线有关的定点、定值问题问题6定点、定值问题体现了几何问题变化过程中的不变性,必然是解析几何研究的重点内容.对于直线与抛物线来说,这些问题经常以哪些形式呈现?又如何解决?【例4】

已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.(1)解

∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.∴曲线C的方程为y2=4x.(2)证明

设直线l1的方程为y=k(x-1)+2.∵直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补,∴l2的方程为y=-k(x-1)+2.规律方法

定值与定点问题的求解策略(1)欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即定值.(2)寻求一条直线经过某个定点的常用方法:①通过含有一个参数的直线方程来判断;②先通过特殊情况探求定点,再证明一般情况下此点在直线上;③转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.本节要点归纳1.知识清单:(1)抛物线的几何性质及应用;(2)直线和抛物线的位置关系;(3)抛物线中点弦问题,轨迹问题.2.方法归纳:直接法、定义法、待定系数法.3.常见误区:(1)求抛物线方程时焦点的位置易判断失误;(2)数学运算的失误.学以致用·随堂检测促达标123451.(例1对点题)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,坐标原点O为抛物线的顶点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.12345123452.(例2对点题)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(

)B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]C解析

由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意.故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x+2).当k=0时显然符合题意;当k≠0时,需Δ≥0,即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1.故直线l的斜率的取值范围是[-1,1].12345123453.(例2对点题)已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引抛物线的一条弦P1P2,使它恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.12345解

由题意知弦所在直线的斜率存在.设直线上任意一点坐标为(x,y),弦两端点P1(x1,y1),P2(x2,y2).∵P1,P2在抛物线上,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).∵y1+y2=2,∴弦所在的直线斜率∴直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.联立y2=6x与3x-y-11=0,消去x,得y2-2y-22=0,∴y1+y2=2,y1y2=-22,123454.(例3对点题)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为

的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则点M到直线NF的距离为(

)C1234512345123455.(例4对点题)已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程;(2)若y1y2