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文档简介
矩阵的标准形
西安电子科技大学张鹏鸽矩阵的标准形线性代数中涉及矩阵的标准形有三种，分别是等价标准形、相似标准形和合同标准形.虽然各种矩阵的标准形不同，但它们有一个不变量——秩不变.(1)等价标准形与是同型矩阵，若经过一系列初等变换化为，则称与等价.若，则又由于对作一次初等行（列）变换相当于左（右）乘一个初等矩阵，而初等矩阵的乘积是可逆阵，从而对阶矩阵而言，存在阶可逆方阵和阶可逆方阵，使其中标准形的非负整数由原矩阵唯一确定.易见，矩阵的等价标准形唯一.(2)矩阵的相似标准形设均为阶方阵，若存在可逆矩阵，则称矩阵与相似.为什么要讨论这一类标准形，是起源于实对称阵如何化为对角阵，进而通过对角阵研究原矩阵.使得是的特征值.对角阵，其中设是实对称阵，能否找到可逆阵（甚至正交阵）使得7将按列分块，记，则有即易见可逆矩阵的第列是实对称阵的特征值所对应的特征向量，这一表达式也正是方阵的特征值与特征向量的定义起源.事实上，如何求矩阵的相似标准形，首先求矩阵的全部特征值，进而求所有特征值所对应的特征向量.教材中有结论：实对称阵必存在相似标准形.问题一般阶方阵是否也存在相似标准形？几何重数代数重数只有两者相等时，原矩阵才可对角化.当然，这涉及到某个重特征值是否会对应个线性无关的特征向量，即几何重数与代数重数之间恒有关系式：(3)合同标准形使，则称与合同.对于同阶方阵与，若存在可逆阵，使虽然合同的定义是针对一般阶方阵定义的，但在实际应用中是用来研究二次型的主轴问题.因此，重点是以实对称矩阵为研究对象，而矩阵的相似标准形中有结论：逆且）使得实对称阵必存在正交阵（正交阵一定可
是的全部特征值.即与合同。其中，关键是要找一正交变换，使显然，欲求二次型的标准形，这样就化二次型为标准形了.有同学自然要问：矩阵的等价标准形唯一.实对称矩阵的相
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