2024年上海市浦东新区中考一模 数学 试题（学生版+解析版）

2024年上海市浦东新区中考一模数学试题

考生注意：

1.本试卷共25题，试卷满分150分，建议考试时间100分钟.

2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一

律无效.

3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或

计算的主要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸

的相应位置上】

1.下列函数中，是二次函数的是（）

A.y=2x+lB.y=x2+1

D.丁=二

C.y=（x-l）2-x2

2.已知在RtZXABC中，ZC=M°,AC=3,BC=4,那么下列等式正确的是（）

3333

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=—D.cotA=一

5454

3.已知同=1,|司=3,而且〃和力的方向相反，那么下列结论中正确的是（）

A.&=3bB.&=一3〃C.h=3dD.b=—3d

4.如果两个相似三角形的周长比为1:4,那么它们的对应角平分线的比为（）

A.1:4B.1:2C.1:16D.1：5/2

5.下列关于二次函数），=-./+3的图像与性质的描述，正确的是（）

A.该函数图像经过原点B.该函数图像在对称轴右侧部分是上升的

C.该函数图像的开口向下D,该函数图像可由函数）、=』的图像平移得到

6.下列命题中，说法正确的是（）

A.如果一个直角三角形中有两边之比为1:2,那么所有这样的直角三角形一定相似

B.如果一个等腰三角形中有两边之比为1:2,那么所有这样的等腰三角形一定相似

C.如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为1:2,那么所有这样的直角三角形一定相似

【）如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为1:2,那么所有这样的等腰三角形一定相似

二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

8.计算：4a—31i+6）=.

9,已知线段A4=2,P是线段A6的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于

10.如果点G是A48C的重心，AG=6,那么8C边上的中线长为.

11.在RiAABC中，NC=9O°,BC=6,sinA=-.则AB=

4

12.如图，&A6C是边长为3的等边三角形，。，上分别是边8cAe上的点，NAOE=60，如果

13.小明沿着坡度，=］：2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米・

14.在一个边长为3正方形中挖去一个边长为xQ<x<3）的小正方形，如果设剩余部分的面枳为），，那

么y关于.V的函数解析式是.

15.己知点A（—2,/〃）、B（—3,〃）都在二次函数）,=（x-l）2的图象上，那么，〃、〃的大小关系是：”

n（填“>”“=”或“<”）.

16.如图，正方形COER的边CD在RtZ\A8C的直角边8c上，顶点E、/•'分别在边AC上.已

知两条直角边8C、AC的长分别为5和12，那么正方形CDE"的边长为.

17.平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线

段是梯形的“比例中线”.在梯形A8C。中，ADHBC,AD=4,8c=9,点£、尸分别在边A8、C。上，旦

DF

EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么——=

FC

18.在菱形A8CO中，点£为边8c的中点.联结AE,将4A3K沿着AE所在的直线翻折得到

AF

△人砧，点8落在点尸处，延长4尸交边于点G.如果EF的延长线恰好经过点。，那么一一的值

AG

为.

三、解答题：(本大题共7题，满分78分)

.._MO2cos300+tan45°...

19.计算：cot300+---------------cos*45°.

2sin30°

20.如图，已知在JSC中，点。、2分别在边A3、AC上，旦AD=2,DB=4,AK=3,

EC=6.

(1)求——的值：

BC

(2)连接。C,如果。£="，DA=b.试用，1、〃表示向量8.

21.如图，已知在四边形A8CZ)中，AD^BC,NA3C=9()。，对角线AC、相交于点•，

AD=2,人8=3,BC=4.

⑴求碑OC的面积;

(2)求/ACO的正弦值.

22.上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题8组第2题及参考答案.

2.如图，图中提供了一种求tan15。的方法，阅读并填空：

先作RtZSABC,其中NC=90。，NA3C=30°：然后延长C8到点。，使

BD=AB,结连接AD.

2.如图，图中提供了一种求tanl5。方法，阅读并填空：先作如AABC,其中

ZC=90°,NABC=30。：然后延长CB到点D,使BD=AB,结连接AD.(I)

ZD=I5°.(2)设AC=t,那么BC=3t(用t的代数式表示，以下同)，BD=2t,(3)

tanl50=2-3.2.如图,图中提供了一种求tanl5。的方法，阅读并填空：先作

RtAABC,其中NC=90。，ZABC=30°：然后延长CB到点D,使BD=AB,结连接

AD.(I)ZD=15°.(2)设AC=t,那么BC=3t(用t的代数式表示，以下同)，

BD=2t,(3)tanl50=2-3.

(1)NO=15。.

(2)设AC=r,那么8C=(用/的代数式表示，以下同)，BD=2t,

(3)tan150=2-73.

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：

【问题探究】

如图1,在Rt△A8C中，ZC=90°，Z4/?C=45°；

然后延长C8到点/),使6。=4/3,连接AO.

1«1

(1)ZD=°.

(2)设AC=BC=f,那么(用，的代数式表示，以下同)，BD=

(3)tan22.5°=____

【知识迁移】

2

如图2,在中，ZC=90°,tanNA8C=—.然后延长C8到点。，使3O=A8,连接

3

请用习题中求tan15°方法求tan-ZABC.

2

（拓展应用】

如图3,在中，ZC=90°.AC=18,BC=25，点」）、£分别在边AC、3C上，口

DC=5,EC=12,连接AE、3。交于点尸.求证：tanZBPE=l.

图3

23.已知：如图，在梯形A6C。中，AB//BC，对角线AC、相交于点E,且NOEC=NL>C8.

⑴求证：一=

（2）点〃在。6的延长线上，联结Ab，AF2=AEAC.求证：ECAF=BCAE.

24.如图，在平面直附坐标系x。丫中，抛物线M:），=-1+〃/+c过点A（2,2）、点6（0⑵，顶点为点

C,抛物线M的对称轴交x轴于点I）.

I-

■>

(1)求抛物线M表达式和点C的坐标；

(2)点P在x轴上，当AAQP与，ACD相似时，求点P坐标；

(3)将抛物线M向下平移9>0)个单位，得到抛物线N,抛物线N的顶点为点E,再把点C绕点E顺时

针旋转135°得到点片当点7•'在抛物线N上时,求,的值.

25.如图，已知正方形A8CO的边长为6，点E是射线8C上一点(点E不与点8、。重合)，过点A作

AF..LAE，交边CD的延长线于点F,直线EF分别交射线AC、射线AD于点M、N.

备用图备用图

(I)当点E在边8c上时，如果世=,，求N3AE的余切值：

AN5

(2)当点E在边延长线上时，设线段8E=x,y=ENMF,求F关于x的函数解析式，并写出函

数定义域；

(3)当CE=3时，求ZSEMC的面积.

2024年上海市浦东新区中考一模数学试题

考生注意：

1.本试卷共25题，试卷满分150分，建议考试时间100分钟.

2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一

律无效.

3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或

计算的主要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸

的相应位置上】

I.下列函数中，是二次函数的是（）

A.y=2.v+lB.y=x2+1

C.y=（x-l）2-x2D.y=±

''x*

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如），=«/+〃*+C®、

b、C为常数，〃关0）的函数，叫二次函数.根据二次函数的定义逐个判断即可.

【详解】解：A.y=2x+l是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意：

B..y=F+］是二次函数，故此选项符合题意：

C.y=（.r—尸―F=—2x+l是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意：

D.），=二不是二次函数，故此选项不符合题意：

故选：B.

2.已知在RtZ\A4C中，ZC=90°.AC=3,4c=4,那么下列等式正确的是（）

3333

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=—D.cotA=—

5454

【答案】D

【解析】

［分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案.

【详解】解：如图所示：

ZC=W°,AC=3,BC=4,

:.AH=^AC-+BC2=5'

4

sinA=I，故A错误；

3

cosA二一，故B错误：

5

4

tanA=—；故C错误；

3

3

cot4=—,故D正确：

4

故选：D.

3.已知卜|=L|司=3,而且方和a的方向相反，那么下列结论中正确的是（）

A.a=3bB.a=—3bC.b=3d0.｝）=—2）d

【答案】D

【解析】

［分析］根据平面向量的性质即可解决问题.

【详解】解：•：卜|=1，也|=3,而且力和d的方向相反，

••bzx—3。，

故选：/）.

【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

4.如果两个相似三角形的周长比为1:4,那么它们的对应角平分线的比为（）

A.］：4B.1:2C.1:16D.1：夜

【答案】A

【解析】

【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案.

【详解】解：•.•两个相似三角形的周长比为1:4,

二两个相似三角形的相似比为1：4,

•••它们的对应角平分线之比为1：4,

故选：A.

【点睛】本题考查了对■相似三角形性质理解.（I）相似三角形周长的比等于相似比.（2）相似三角形面

积的比等于相似比的平方.（3）相似三角形时应高的比、对•应中线的比、对应角平分线的比都等于相似

比.

5,下列关于二次函数），=-.*+3的图像与性质的描述，正确的是（）

A.该函数图像经过原点B.该函数图像在对■称轴右侧部分是上升的

C.该函数图像的开口向下D,该函数图像可由函数），=/的图像平移得到

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质逐一判断即可

得.

【详解】解：二次函数）；=—/+3,

.­■抛物线开口向下，对称轴为.v轴，

.•.当x>0时，）‘随x的增大而减小，故选项B错误，选项C正确；

X=0时，v=3,

该函数图象经过点（1,3）,故选项A错误：

该函数图象可由函数）,=-/的图象向上平移3个单位得到，故选项D错误；

故选：C.

6,下列命题中，说法正确的是（）

A.如果一个直角三角形中有两边之比为1:2,那么所有这样的直角三角形一定相似

B.如果一个等腰三角形中有两边之比为1：2,那么所有这样的等腰三角形一定相似

C.如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为1:2,那么所有这样的直角三角形一定相似

D.如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为1:2,那么所有这样的等腰三角形一定相似

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性质.

根据直角三角形中有两边之比为1:2,可能是两直角边的比，也可能是直角边与斜边的比，可判定A；根

据等腰三角形中有两

边之比为1:2,只能是底与腰比为]：2,所有这样的等腰三角形三边对应成比例，一定相似，可判定B；

若一个直角三角形

是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，另一个直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则

两锐角为30°和60°，所以所有这样的直角三角形不一定相似，可判定C；设等腰三角形两角为A-和2x，

则三个内角分别为-2K,2x或.3X,

2x；所以所有这样的等腰三角形不一定相似，可判定D.

【详解】解：A、如果一个直角三角形中有两边之比为1:2,那么所有这样的直角三角形不一定相似，

如：一个直角三角形两直角边为“、b,斜边为。，且a:〃=l:2,另一个直角三角形两直角边为d,e,斜

边为/,且小/=1：2,则这两个直角三角形不相似；故此选项不符合题意：

B、如果一个等腰三角形中有两边之比为1:2,那么等腰三角形只能是底与腰的比是1:2,所以所有这样

的等腰三角形三边对应成比例，所以一定相似，故此选项符合题意；

C、如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为1:2,若一个三角形是直角是锐角的2倍，则这个三

角形是等腰直角三角形，若是直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为30。和60°,所以所有

这样的直角三角形不一定相似，故此选项不符合题意：

I）、如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为1:2,设这两角为x和2x,则三个内角分别为《

2A-,2x或K,2A-；所以所有这样的等腰三角形不一定相似；故此选项不符合题意；

故选：B.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

,x3„,A+y

7.已知一=-,则----=_________.

V4y

7

【答案】一

4

【解析】

[分析】直接利用比例的性质即可得出答案.

x3

【详解】解：_=i

y4

二二=%]=2+]=2

yy44

7

故答案为：一.

4

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的相关性质是解题的关键.

8.计算：4a-3(ci+6)=.

【答案】a-3h

【解析】

【分析】本题考查了平面向量，根据平面向量的运算法则求解即可.

【详解】解：4a—3(〃+b)=4ci—3“-3b=a—3b,

故答案为：a-3b.

9.已知线段A8=2，。是线段AB的黄金分割点，AP>PB,那么线段AP的长度等于

【答案】75-1##-1+>/5

【解析】

【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP(PA>PB),且使AP是/W和BP的

比例中项，叫做把线段A8黄金分割，点夕叫做线段AB的黄金分割点.

【详解】解：根据黄金分割的定义，得

=ABPB，

PA1=2(2-PA),

解得幺=6一1(负值舍去)，

故答案为：、后-1.

【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键.

10.如果点G是MfiC的重心，AG=6,那么BC边上的中线长为

【答案】9

【解析】

【分析】根据三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距禽的2倍求得DG=3,继而求得3C边上的

中线长为9.

【详解】：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，

.•.DG=^AG=^-X6=3,

.\AD=AG+GD=6+3=9.

即3c边上的中线长为9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查的是三角形重心的性质，熟知三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍

是解决问题的关键.

11.在R1AA8C中，ZC=90°,BC=6,sinA=~,则A3=

4

【答案】8

【解析】

【分析】本题考查的是己知正弦求解三角形的边长，熟记正弦的定义是解木题的关键.

【详解】解：在Rtz^ABC中，

VZC=90°.BC=6,

.,..3,BC,4

..由sinA=—,可得：AB=----=6x—=8.

4sinA3

故答案为：8.

12.如图，A8C是边长为3的等边三角形，£分别是边8cAe上的点，NAD£=60，如果

2

【答案】；

【解析】

【分析】由等边三角形的性质得出/8=/C=60°,证明△AGOSAOCE,由相似三角形的性质得出

---=----则可求出答案.

DCCE

［详解】解：A6C是边长为3的等边三角形，

二N8=NC=60°,A3=3C=AC=3.

NBAD+N3以=12（F，

-zL4£>£=60.

ZBDA+ZEDC=\20°

：.4BAD=4EDC,

ZAB，ZDCE，

.ABBD

'"~DC='CE'

'：BD=l，

O=BC—BD=2，

31

----

2cE

2

cE=

3-

2

故答案为:

3

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是

解题的关键.

13.小明沿着坡度i=1:2.4斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米.

【答案】50

【解析】

【分析】本题考查了坡度与坡比，勾股定理；

RP1

根据题意画图，过点6作BE_LAC于E，由坡度得到tanNA=——=——，设3E=戈，则

AE2.4

AE=2Ax，在RtZ\A6E中，利用勾股定理构建方程求解即可.

【详解】解：如图，过点8作于E，由题意得AB=130米,

设=x，则AE=2.4x,

在RtAABE中，山勾股定理得：AE2+BE2=AB2>

二（24x）2+/=]302,

解得：x=50(负值已舍去)，

.•.他匝离地面的垂直高度升高了50米，

故答案为：50.

14.在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为x(O<x<3)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y,那

么y关于x的函数解析式是.

【答案】y=9-.r2(0<.v<3)

【解析】

【分析】本遨考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩余部分的曲积=大正方形的面积一小正方形的

面积，即可得出)'关于x的函数解析式.

【详解】解：根据题意得：)'关于x的函数解析式是y=32-A2,

即了=9-/(0<\<3).

故答案为：)，=，-/(()<3).

15.已知点A(—2,〃?)、以一3,〃)都在二次函数)，=(x—I)?的图象上，那么，〃、，?的大小关系是：〃i

n(填“>”"=”或“<”

【答案】<

【解析】

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，抛物线的对

称轴为直线x=l,从而得到当x<l时，)'随x的增大而减小，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数图

象上点的坐标特征是解此题的关键.

【详解】解：由二次函数.y=(x—I?可知，抛物线开口向上，抛物线的时称轴为直线工=1，

.,・当工<1时，¥随x的增大而减小，

点A(-2,⑼、3(—3,”)都在二次函数.y=(x—l『的图象上，且—3<—2<1,

in<n,

故答案为：<.

16.如图，正方形COE/的边C・在RtZ\43C的直角边3c上，顶点邑尸分别在边A4、4c上.已

知两条直角边3C、AC的长分别为5和12,那么正方形COEF的边长为

A

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问

题，属于中考常考题型.根据正方形的性质得出£6CD,EF=FC=CD=DE,即可判定

EFAF

&AFE^ACB,根据相似三角形的性质可得——=——，由此构建方程即可解决问题.

BCAC

【详解】解：四边形EFCD是正方形，

：.EFCD,EF=FC=CD=DE,

AFEsACS,

EFAF

---=----,

BCAC

BC、AC的长分别为5和12,

EF\2-EF

■——12-CF

,51212,

即正方形CDEF的边长为行，

故答案为：—.

17

17.平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线

段是梯形的“比例中线”.在梯形A8C,中，A9//BC,AB=4,309,点E、尸分别在边A&C,上，口

E尸是梯形A8co的“比例中线"，那么空=.

FC

【答案】-

3

【解析】

【分析】先利用比例中线的定义，求出EF的长度，然后由梯形ADFE相似与梯形EFCB,得到

DFAEADEF

即可得到答案.

斤一百~EF~BC

【详解】解：如图,

：EF是梯形的比例中线,

/.EF2=AD・BC，

•••EF==6，

VAD//BC,

二梯形ADFE相似与梯形EFCB,

.DF_AEAD_EF_2

,•FCEBEFBC3'

故答案为：~.

3

【点睛】本题考查了相似四边形的性施，以及比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握相似四边形的性质

和比例中线的性质.

18.在菱形ABC。中，点E为边BC的中点.联结AE,将蠢沿着A£所在的直线翻折得到

AK

△八FE,点8落在点尸处，延长AF交边C。于点G.如果所的延长线恰好经过点。，那么一一的值

AG

为.

3

【答案】-##0.75

4

【解析】

【分析】延长AG、BC交于点M,由菱形的性所得A/?=AD=DC=/?C,ABDC,AD//BC.则

N以石+NA8E=I8()°,由折叠得/A8E=NAEE',AB=AF,则N/X.E+NAFK=180°,八。二八尸，而

ZAFD+ZAFE=180°.所以N/X7T=NAR9=,推导出/)K=/X：=8C=人/?,可证明

得CE=DF,则C£=8E=LBC,所以。尸=1。£,则QE=EE,再证明△AQE/，得

22

AD=HE,再证明AHCGSAADG,得旭=华=1，则AG=2A”，而AF="尸='A",即可求得

AGAD232

AK3

——=-.于是得到问题的答案.

AG4

【详解】解：延长AG、BC交于点M,

四边形A8C。是菱形，

AB=AD=DC^BC,ABDC,AD//BC,

：.ZDCE+ZAHE=\8(')°,

由折置得NA8E=NAFE,AB=AF,

Z/X?E+ZAAE=I8O°,AD=AF,

NAFO+NAFE=180°,

:.ZDCE=ZAFD,

ZADF=ZAFD=ZDEC,

4DCE=ZADF=ZDEC,

:.DE=DC=BC=AD,

在△DCE和ZXAD尸中，

'NDCE=NADF

<NDEC=NAFD,

DC=AD

.­.^DCE^ADF(AAS),

:.CE=DF,

点上为边8。的中点，

:.CE=BE=-BC,

2

:.DF=-DE,

2

DF=EF,

.・在△AD尸和q"石尸中，

NADF=NHEF

<DF=EF,

NAFD=NHFE

；qADF-HEF(ASA),

:.AD=HE,AF=HF,

,-.CE=-RC=-AD=-HE,

222

:.HC=CE=-AD,

2

HC//AD,

.HC8.ADG,

HGAC1

——=——=-，

AGAD2

2

AG=-AH,

3

AF=HF=-AH,

2

.-AHi

£r2_=3

AG1AH4

3

【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、同角的补角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形

的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明40CC9.4）「是解题的关键.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

—、…r,、o2cos300+tan45°，…

19.计算：cot300+-----------------cos-45°.

2sin30°

【答案】2班+!

2

【解析】

【分析】此题主要考查了特殊角三角函数值，正确记忆相关数据是解遮关键.直接利用特殊角的三角函数

值分别代入求出答案.

2速+1（万丫

详解】解：原式=6+一音一一当

2X2

=73+73+1--

2

=2V3H—.

2

20.如图，已知在中，点。、《分别在边AG、AC.IT.,且A3=2,DB=4,AE=3,

EC=6.

A

(2)连接。C,如果DE=n，DA=b，试用4、〃表示向量CD.

【答窠】⑴-

3

(2)2b-3a

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关

知识是解题关键.

(1)先判定MADES^ABC，再根据相似三角形对应边成比例解题即可；

(2)根据相似三角形的判定与性质求出向量之间的关系，解题即可.

【小问1详解】

解：AD=2，DB=4»AE=3,EC=6，

AD21AE3I

"AB2+43AC3+63

:./\A9E“△"C,

DEAD_\_

【小问2详解】

解：由(I)中可知,

BD=2BA=2h，

BC=3DE=3a•

二CD=CB+BD=-BC+BD=2b-?>a-

21.如图，已知在四边形A3CQ中，AD〃BC,ZABC=90°,对角线AC、8。相交于点。,

AD=2,八8=3,BC=4.

AD

(I)求J30C的面积；

(2)求/AGD的正弦值.

【答案】(1)4(2)Ml

65

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形

(I)可过点。作AB的平行线，借助于相似三角形的性质求出BC边上的高即可解决问题.

(2)过点A作。。边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题.

【小问1详解】

解：过点。作A3的平行线，分别与A。，BC交于•点、M,N,

ADBC,MN〃AB,

A四边形ABNM是平行四边形，

又Z4BC=90°,

二四边膨ABNM是矩形，

:.0M1AD,ON1BC.

ADBC,

AAODS^COB,

OMAD2_I

…而二诙一厂5'

又MN=AB=3,

0M=\,ON=2,

SIKX.=]BC-ON=[x4x2=4.

【小问2详解】

解：在RtAABC中，

AC=J32+42=5・

过点,作BC的垂线，垂足为£,过点A作CD垂线，垂足为产，

在用CE中,

CD=12?+乎=-

q=JLx)x3="x3x

0.八CZ)0人.入、yjlAF,

.A〜6岳

.・A/*=-------•

13

在RUCAF中,

22.上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题8组第2题及参考答案.

2.如图，图中提供了一种求lanl5。的方法，阅读并填空：

先作RlAABC,其中NC=90。，ZABC=3Q°：然后延长C8到点D,使

BD=AB,结连接AO.

2.如图，图中提供了一种求tanl5。的方法，阅读并填空：先作RlZXABC,其中N

090。，ZABC=30°：然后延长CB到点D,使BD=AB,结连接AD.(I)Z

D=15°.(2)设AC=l,那么BC=3t(用I的代数式表示，以下同)，BD=2t,(3)

(anl50=2-3.2.如图，图中提供了一种求lan15。的方法，阅读并填空：先作RiA

ABC,其中NC=90。，NABC=30。：然后延长CB到点D,使BD=AB,结连接

AD.(1)ZD=15°.(2)设AC=l,那么BC=3t(用I的代数式表示,以下同)，

BD=2t,(3)tanl50=2-3.

(1)"=15°.

(2)设AC=f,那么8C=3(用/的代数式表示，以下同)，BD=2t,

(3)tail15°=2-5/3.

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：

［问题探究】

如图I,在RtZ\A8C中，ZC=90°,ZABC=45°：

然后延长C8到点“，使连接AD.

图I

(1)ZD=°.

(2)设AC=8C=f,那么人8=也.(用r的代数式表示，以下同)，BD=

(3)tan22.5°=.

【知识迁移】

2

如图2,在RtZ\ABC中，ZC=90°,tanZA£?C=-.然后延长C8到点D,使8£>=AB,连接

3

AD.

请用习题中求tan15。的方法求tan-NABC.

2

图2

【拓展应用】

如图3,在RtAABC中，ZC=90°,AC=18,8c=25，点£分别在边AC、BC±.,且

DC=5,EC=12,连接AE、BD交于点、户.求证：tanZBP£=l.

【答案】【问题探究】22.5，啦-1：【知识迁移】S二3【拓展应用】证明见解析

2

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理熟练掌握

锐角三角函数的定义是解题的关键.

［问题探究】

(1)由等腰三角形的性质得出答案；

(2)由股定理可得出答案；

(3)由锐角三角函数的定义可得出答案；

【知识迁移】

设AC=2m.BC=3m得出，DB=AB=岳in由此求出答案；

【拓展应用】

连接DE，证出4D=・E=8E，NEAD=ZAED*4EBD=NBDE，设4EB・=a,乙AED=?,

/CED=2i,NEDC=2/，求出a+/?=45°,则可得出答案.

【详解】【问题探究】

解：(1)AB=BD,

：.ZD=ZBAB,

Z/WC=45，ZABC=Z£>+ZDAB=45"，

・ND=22.5，

故答案为：22.5：

(2)在RtZXACB中，ZC=9().NA3C=45，AC=BC=t,AB=&，

BD=AB.

BD=AB=>f2t，

故答案为：y/2r;

(3)在R3ACD中,ZC=90，ZD=22.5，

DC=8D+8c=(夜+l)f,AC=8C=f,

Ar

.tan22.5°=tan/。=——

•DC

故答案为：V2-1：

【知识迁移】

解：在RtZ\ACO中NC=9(),BD=AB，

ZD=ZDAB.

ZABC=ZD+ZDAB,

^D=-ZABC,

2

2

Rt/^ACB中，tanZ.ABC--,

3

AC2

n即n=一,

BC3

设AC=2m.

则BC=3m.

•1'DB—AB=+(3[")~=y]T3ni>

DC=BD+BC=(V13+3)/n,

IArin

tan-ZABC=tanZD=—=

2DC(而+3同

J13-3

2

【拓展应用】

证明：连接。E,

R

DC=5,CE=\2,

DE=yjDC2+CE2=13>

AC=18,BC=25,

：.I3E=BC-CE=\3,

AD=AC-CD=13,

AD=DE=BE，

••­/LEAD=ZAED,Z£BD=48DE；

设NEBD=a，ZAED=/3,

.ZCED=2i,NEDC=20,

2a+2尸=90°.

:.a+口=45”,

NBPE=4PED+4PDE=/3+a,

NBPE=4S，

.kinZ.BPE=tan450=1.

23.已知：如图，在梯形A8C。中，AD//BC，对角线AC、8。相交于点E,且NO£C=NDCB.

ADAC

(I)求证:

~CE~~CB

(2)点尸在的延长线上，联结4尸，AE2=AEAC.求证：ECAF=BCAE.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定:

DE_EC

(1)证明得出进而证明△DAEsacAD得出

ADECS^DCB~DC~~BCZDCE=乙DBC，

DEAD

两个比例式联立，即可得证;

DC-AC

(2)证明得出^DAE^ACAD，得出AD2=AE-，根据已知条件得出Ab=AD，

证明ADEsqCBE可得AD•CE=AE-BC,等量代换即可得证.

【小问1详解】

•?/DEC=乙DCB,NEDC=ZCDB，

:.GECSADCB，

二丝=峪ZDCE=ZDBC,

DCBC

•：AD//BC,

/.ZA>E=ZDflC.

/.ZDCE=ZADE,

义,:/DAE=/CAD,

：.AD/IE^ACAD,

DEAD

:.——=——,

DCAC

.ECAD

BCAC

即生=£

CECB

【小问2详解】

证明：；ADAEsACAD,

AD_AE即ADJAESC，

~CA~^D

X,->AF2=AEAC,

AF=AD,

,/AD//BC，

：.ADE^CBE,

4/)AC

一二—,ADCE=AEBC，

BCCE

又=

?.ECAF=BCAE.

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线例：)，=-/+以+。过点42.2)、点8(0,2),顶点为点

C,抛物线M的对称轴交K轴于点D.

(1)求抛物线M的表达式和点C的坐标；

(2)点/，在K轴上，当AAOP与.AC。相似时，求点/，坐标；

(3)将抛物线M向下平移t(t>0)个单位，得到抛物线N,抛物线N的顶点为点E,再把点。绕点E顺时

针旋转135°得到点尸.当点尸在抛物线N上时，求才的值.

【答案】(1)y=+2\+2,点CQ,3)

(4、

(2)-,0或(6,0)

13/

(3)Z=V2

【解析】

【分析】(1)由待定系数法即可求解;

⑵当OA-GW时，噎嘿，即等晋即可求解；当即皿时,同理可解:

(426

(3)根据图像平移和旋转求出点”1+5,3-/一予

I22.代入函数解析式求解即可.

7

【小问1详解】

解：由题意得:

',解得：〈，

-4+2fc+c=2[c=2

则抛物线的表达式为：y=,v2+2x+2,

V)=-A-2+2.V+2=-(X-1)2+3

二顶点C(l,3)；

【小问2详解】

解：由(1)知，j=-x2+2.v+2=-(x-l)2+3,

又♦.•抛物线M的对称轴交x轴于点D,

二点。(1,0),

•：A(2,2)、6(0,2),C(l,3),。(1,0),

,AC=J(2—炉+(2—3)2=虚、cD=3、A/)=J(2-l『+2?=非、OA=>2?+2?=2拒，

ZDC4=4O0=45°，

又•:AOr与AACO相似，

.•.点。与点C对应，

当^OAP^ACAD时，

解得：。尸=6,

即点P(6,0)：

当,时,

皿OPOAOP20

则就=而’即;T亍

4

解得：OP=-,

3

(4)

则点尸£.0：

13J

综上，点P的坐标为：或(6,0)；

【小问3详解】

解：如图，过点F作出」CE交CE于点T,则4'£7'=180°-135°=45。,

设平移后的抛物线表达式为；)，=-.d+2x+2-/,

则CE6

在等腰RtZXEFT'中，EF=EC=t,

则TF=TE=旦,

2

则点、F1+—-^―t,

122J

将点下的坐标代入函数表达式得：3