数学-2024年高考数学第一次模拟（新高考Ⅱ卷2全解全析）

2024年高考数学第一次模拟考试

数学（新高考n卷）•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的。

1.设全集U=R,集合4={刈K一2|21},B={久|/+久一6<0},贝|J（CM）UB=（）

A.{x|-3<%<3]B.[%|-2<%<3]

C.{x|l<%<3}D.{x|l<%<2}

【答案】A

【分析】解不等式确定集合A,B,再根据集合运算的法则计算.

【详解】因为QjA=[x||x-2|<1]={x|-l<x-2<1}={x|l<x<3},

B={x|（x+3）（x—2）<0}={x|—3<x<2},

所以（CuA）UB={x|-3<x<3}.

故选：A.

2.已知z=%（i为虚数单位），则|z-2团=（）

A.4B.3C.3"D.28

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算以及共轮复数的概念，即可由模长公式求解.

…即、…5+5i（5+5i）（2-i）15+5i-，..

【详斛】因为z—2+i—（2+i）（2—i）—5—3+i,所以z—3—i,

贝!|z-2z=3+i—2(3—i)=-3+3i.所以|z—2z|——J(-3)?+3之=3"\/2.

故选:C.

3.己知正三棱锥P—4BC的侧棱P4PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=1,以P为球心的球与底

面4BC相切，则该球的半径为()

A-TB-T

【答案】B

【分析】球的半径相当于点P到底面ABC的距离，运用等体积法即可求解.

2

【详解】设球的半径为r,由题可知AB=AC=BC=",SAABC=X(^2)=^,

所以E，r,S△ABC=Vp_ABc=§X2Xlxlxl,解得r—.

故选：B.

4.若sin6+a)+cos《+a)='，则cos(小一a)=()

A/311A/3

A.一丁B.—C.3D.

【答案】c

【分析】按照两角和的余弦公式及诱导公式化简条件，再利用辅助角公式变形，进一步计算即可.

【详解】方法一,・,sin停+a)+cos停+a)=cosa+jcosa—^sina

3V3.8(J]4

=—cosa——sina=/cosa+—\=—

LL\6/3

故选：C.

方法二sin偿+a)+cos停+a)=cosa+|cosa—y-sina

令0=a-，则。=0+&sinp=

故选：C.

5.在正方形2BCD的每一个顶点处分别标上1,2,3,4中的某一个数字（可以重复），则顶点4B处的数

字都大于顶点C,D处的数字的标注方法有（）

A.36种B.48种C.24种D.26种

【答案】D

【分析】按顶点A,B处标注的数字分类讨论，利用分类加法和乘法计数原理即可求解.

【详解】按顶点A,B处标注的数字分类，有如下几种情况：

若A,B处都标注的是4,贝UC,D处的标注方法有3x3=9（种）；

若A,B处都标注的是3,贝匣,D处的标注方法有2x2=4（种）；

若A,B处都标注的是2,贝UC,D处的标注方法有1种；

若A,B处标注的是4和3两个数字，则C,D处的标注方法有2x2=4（种），不同的标注方法共有

2X4=8（种）；

若A,B处标注的是4和2两个数字，则C,D处的标注方法有1种，不同的标注方法共有2xl=2

（种）；

若A,B处标注的是3和2两个数字，则C,D处的标注方法有1种，不同的标注方法共有2XI=2

（种）.

由分类加法计数原理可知，顶点A,B处的数字都大于顶点C,D处的数字的标注方法共有

9+4+1+8+2+2=26（种）.

故选:D.

■X?IPJ7I

6.已知第一象限内的点P在双曲线C:五-5=1的渐近线上，。为坐标原点，F为C的右焦点，则身

取得最小值时，△尸。尸的面积为（）

501007515

A

-TB.J8D.y

【答案】c

【分析】根据双曲线的渐近线方程可设p«*）（t>o）,利用两点间距离公式可得需=j（H）2+4

,结合二次函数性质可得解.

3

【详解】由题意，F（5,0）,双曲线的渐近线为y=±%x,

由点P在第一象限，可设>0）,

则|PO|二：t,|PF|=J（t-5）2+gt）2=J|ft2-10t+25,

IPFII32161/44\29

所以两=J1—羡+京=/6―亏)+而，

,IPFI_,

所以当t=5时，画取最小值，

此时P(5,3

此时△POF的面积S△POF=，|0F|,yp=2x5只彳=口,

故选：C.

7.在△ABC中，BD=^BC,E是线段4。上的动点(与端点不重合)，设次=记？+比5,则

与功的最小值是()

A.3B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得x+|y=l,x>0,y>0,则今萨=[+：=

([+!)(x+3)，化简后利用基本不等式可求得结果

---->1—>—>3—>

因为BD=§BC,所以CB=,CD,

因为而=xCA+yCB,所以说=xCA+|yCD,

3

因为A,D,E三点共线，所以*+罚=1,x>0,y>0,

2x+3y21f21\/3\

所以=++

=1+1+1+1?2焉.,+2=4,当且仅当，=|^,即x=；、y=1时取等号,

所以与萨的最小值是4・

故选：D

1

8.已知a=泥,b=log32,c=sin(cosl.l),则()

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

,•，1,

【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到c=sin(cosl.l)<sin],再构造函数f(x)=x-sinx,

1i

得到其单调性，得到c=sin(cosl.l)<sin2<中构造函数g(x)=ex-(x+1),求导得到其单调性，

得至/>：结合对数函数单调性得到1唯26阂，比较出大小.

【详解】因为1.1>,而y=cosx在xe(o,3上单调递减，

兀1

故,rcosly.ly<cos§=2，

又y=sinx在x《O,])上单调递增，

1

故c=sin(cosl.l)<sin],

令f(x)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx>0在x6仅图上恒成立，

故f(x)=x-sinx在x6(01上单调递增，f(x)>f(0)=0,

故fQ)>d即2>sin,,

,,11

故c=sin(cosl.l)<sg<中

1--

又a=粕=e3,令g(x)=e-(x+1),

则g'(x)=eX-l,当xV0时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

故gj1)>g(°)=0,故e?>|，

112

因为23<32,所以⑵尸<(32尸，即2<33

因为y=log3X在(0,+8)上单调递增，

2

故log32<§,

又log32>log373=故log32e0|),

故c<b<a

故选：D

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数

研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆。0-2)2+产=4,直线Z:y=kx(keR),则下列结论正确的是()

A.存在实数总使得直线/与圆C相切

B.若直线/与圆C交于/,8两点，则的最大值为4

C.当k=-l时，圆C上存在4个点到直线/的距离为:

D.当k=l时，对任意46R,曲线&/+)/2一(4+4)乂+双=0恒过直线/与圆。的交点

【答案】BCD

【分析】根据直线与圆的位置关系逐项判断即可.

【详解】C:(x-2)2+y2=4,圆心C(2,0)且半径为r=2,

因为直线l：y=kx过定点0(0,0),且点。在圆上，若直线1与圆C相切，则直线1的斜率不存在，即

x=0,故A不正确；

当直线1经过圆心时，|AB|取最大值即圆的直径2r=2x2=4,故B正确；

当k=—1时，直线l:x+y=0,因为圆心C到直线1的距离d=*/,所以r—d=2—在＞；,

、.1

所以圆C上有4个点到直线的距离为2,故C正确；

当k=l时，直线l:x-y=0,曲线E:x2+y2—(入+4)x+Ay=0,

即X?+y2-4x-X(x-y)=0一定过直线l:x—y=0与圆C:x?+y2-4x=0的交点，故D正确.

故选：BCD.

111__7

10.设4B是一个随机试验中的两个事件，且尸04)=2,P(B)/,PQ48+AE)=五，则下列结

论中正确的是()

_1_5

A.PQ4B)=@B.P(A+B)=%

9__

C.尸(川8)=五D.尸(/田)=尸(8|4)

【答案】AB

【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可.

111_1_13

【详解】因为P(A)=2,P(B)=五，所以P(&=2,P(B)=防.

因为AB与AB为互斥事件，所以P(AB-AB)=0,

所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)-P(AB-AB)=P(AB)+P(AB)

1117

=P(B)—P(AB)+P(A)—P(AB),+m―2P(AB)=次

所以P(AB)=1,

故P(AB)=P(B)-P(AB)=1-1=：故A正确；

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-[P(B)-P(AB)]=P(A)+P(AB)=1+|=|,故B正

确；

1

P(A|B)^=亮=3故C错误；

24

1_11

P(KB)83n-AAP(AB)P(A)-P(AB)2-31

P(A|B)=下面=亘=五，P(B|A)==P(A)=-=r

242

所以P(A|B)HP(B|A),故D错误.

故选:AB.

11.在正方体43。。一418遣1。1中，AB=1,点P满足而=2而+/无1，其中46[0,1]46[0,1],

则下列结论正确的是()

A.当〃平面占8。时，BiP与CD1所成夹角可能为9

B.当4=〃时，|DP|+MiP|的最小值为一

C.若8止与平面呢必。所成角为也则点尸的轨迹长度为方

D.当4=1时，正方体经过点4,P,C的截面面积的取值范围为惇，逆]

【答案】AC

【分析】A选项，当点P与点Di重合时，满足BiP〃平面AiBD,BiP与CDi所成夹角为，A正确；

B选项，将两图形展开到同一平面内，由三点共线得到|而|+|哥|的最小值，由余弦定理求出最

小值；C选项，作出辅助线，得到点P的轨迹，求出轨迹长度；D选项，先得到点P在线段DDi

上，从而得到正方体过点Ai，P,C的截面，建立空间直角坐标系，得到点P到直线AR的距离，从而求

出截面面积的取值范围.

【详解】如图1,因为而=入而+口定1，xe[0,i],ne[0,1],

所以P点在正方形CDDig内(包含四个端点)，

当点P与点Di重合时，B/〃BD,

因为BiPC平面AiBD,BDu平面AiBD,

所以BiP〃平面AiBD,

此时B1C=B1P=CP=M，故△B1CP为等边三角形,

故BiP与CD1所成夹角为全A正确；

图1

当入=以时，点P在对角线CD】上，

将矩形AiBCDi和等腰直角三角形CDDi折叠到同一平面内，如图2,

连接AR与DR于点P,

由三点共线可知，|而|+|@|的最小值即为AR的长，

其中A1Di=D1D=1,zARiD=135°,

由余弦定理得

AR=jAi阴+D1D2-2A1D厂DiDcosl35。=J1+1-2X=^2+^2,B错误;

C选项，如图3,以S为圆心，CCi的长为半径作圆，与正方形CDD1J交于。圆弧，

图3

此时满足BiP与平面CgDiD所成角为今

1

故则点P的轨迹长度等于aX2nxl=》7rC正确；

D选项，如图4,当入=1时，CP=CD+nCC1；即而一而=」无1，故加=口无1，

故点P在线段DDi上，

在BBi上取点H,使得BiH=PD,连接AiH,CH,

则可证得AiH=PC,CH=AiP,四边形AiPCH为平行四边形,

故正方体经过点Ai，P,C的截面为平行四边形AiPCH,

以A为坐标原点，AB,AD,AAi所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则A1(O,O,1),C(L1,O),P(O,1,U)，re[0,1],

其中m=篙=A/^+I+1=侍^,当，砧=(I]，。)一。，。」)=(LL-1)，

嗝=(0,0,1)-(0,l，n)=(0,-1,1-n),

则两.m=(0,-1,1-n).停卷d)=-f-f+%=g-竽，

则点P到直线A1C的距离d=J两2_(两嬴=J1+(1_02_停以_竽『

因为Ue[0,1],所以d=+1e[y->y-j7

图4

故截面面积为d•I不I=pde[^,72],D错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路：

(1)直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截

面就是找交线的过程；

(2)作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通

过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；

(3)作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交

点，然后借助交点找到截面形成的交线；

(4)辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.

12.已知函数/Q)=/一8刀+61nK,且函数g(x)=/(久)一小有三个零点x1/2，%3(久1<乂2<%3)，则下

列判断正确的是()

A.f(x)的单调递减区间为(1,3)

B.实数小的取值范围为(61n3—15,—7)

C.曲线y=f(x)在点(2)(2))处的切线方程为y=—x+14-61n2

D.+%2>2

【答案】ABD

【分析】求出导数，研究函数f(x)的单调性及极值可能判断A、B两项，由导数的几何意义可以判

断C项，构造函数F(x)=f(x)-f(2-x),x6(0,1),可以判断D项.

【详解】解：对于A,由题设得，函数f(x)的定义域为(0,+8),且f'(x)=2x—8+9=%甘刍.

当x6(0,1)U(3,+8)时，f'(x)>0；当xe(1,3)时，f'(x)<0.

所以f(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+8),单调递减区间为(1,3),故A正确.

对于B,因为函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，

所以f(x)的极大值为f(l)=1-8+0=-7,极小值为f(3)=9-24+61n3=-15+61n3.

当x趋向于0时，f(x)趋向负无穷，当x趋向于正无穷时，f(x)趋向于正无穷.

由于函数g(x)=f(x)-m有三个零点，因此61n3-15<m<-7,故B正确.

对于C,由已知条件，得f(2)=61n2—12,f(2)=—1,

所以切线方程为y=—(x-2)+61n2—12,即y=—x+61n2—10,故C错误.

对于D,由选项B的分析知，0<XI<1<X2<3<X3.

构造函数F(x)=f(x)-f(2-x),xe(0,1),

ME/、人、2(x-l)(x-3)2(x-l)(x+l)12(X-1)2

则F(x)=f(x)+f(2-x)=---+—有一=BT，

所以F'(x)>。在(0,1)上恒成立，即F(x)=f(x)—f(2—x)在(0,1)上单调递增，

所以F(x)<F(l)=0,即f(x)<f(2-x)在(0,1)上恒成立.

又xie(0,1),所以f&2)=f(xj<f(2-X1).

又X2,2-Xie(1,3),且函数f(x)在(1,3)上单调递减，

所以X2>2-X「即XI+X2>2,故D正确.

故选：ABD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若(韵—3”的展开式的二项式系数之和为16,贝山,+:了"的展开式中《的系数为.

【答案】56

【分析】通过二项式系数和求出n=4,然后求出(m+展开式的通项公式，最后求出指定项的

系数即可.

【详解】由-3”的展开式的二项式系数之和为16,得2n=16,所以n=4,

贝MW+J的展开式的通项公式为丁「+1=牖(m)=或X3,

令等=-4,解得r=5,故(依+32n的展开式中1的系数为eg=56.

故答案为：56

14.抛物线y2=2p久(p>0)的焦点为巴准线为I,a,B是抛物线上的两个动点，且满足Q•而=0.

设线段4B的中点M在/上的投影为N,则瑞的最大值是.

【答案】T

]

【分析】根据抛物线的定义和几何性质，可得|AB|2=|AF|2+|BF|2,|MN|=2(|AF|+|BF|),可得

|AB|2>2|MN|2,进而可得黯的最大值为

如图，过A点作AC11,过B作BD_L1,设|AF|=m,|BF|=n,

则由抛物线的定义知|BD|=|BF|=n,|AC|=|AF|=m,

11

由题意知|MN|=2(|BD|+|AC|)=2(m+n),

因而■FB=0得AF1BF,

|AB|2=|AF|2+|BF|2=m2+n2,

因m?+n2之⑺；一,当且仅当m=n,即|AF|=|BF|时等号成立，

所以|AB|2N2|MN/，翳<9，

g“2|MN|中

所以31ABiW3,

故答案为：9

15.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂，但其内

部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归

的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,线段48的长度为a,在线段AB

上取两个点C,。，使得aC=DB=%lB,以CD为一边在线段4B的上方做一个正六边形，然后去掉

线段CD,得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依

此类推，我们就得到了以下一系列图形:

记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn,现给出有关数列｛Sj的四个命题:

①数列｛Sn｝是等比数列;

②数列｛Sj是递增数歹！J；

③存在最小的正数a,使得对任意的正整数n,都有S">2018；

④存在最大的正数a,使得对任意的正整数九，都有2018.

其中真命题的序号是（请写出所有真命题的序号）.

【答案】②④

【分析】通过分析图1到图4,猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质，即可求解.

【详解】由题意，得图1中线段为a,即Si=a；

图2中正六边形边长为于则S2=Si+2x4=Si+2a；

图3中的最小正六边形边长为4,则S3=S2+4x4=S2+a；

图4中的最小正六边形边长为亘，则S4=S3+Wx4=S2+于

由此类推，Sn-Sn—i=W，

所以{sj为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；

因为Sn=Si+(Sz-Si)+(S3-S2)4---F(Sn-Sn_!)=a+2a+a+]H----F

1

2a(1一三)i

=a+----i—=a+4a(1-布)<5a,

1-2

onio

即存在最大的正数a=亍，使得对任意的正整数n,都有Sn<2018,

即④正确；③错误，

综上可知正确的由②④.

【点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型一数列模型，

判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，搞清是求和、求通项、还是解递推关系

问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得

出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.

16.已知函数八%)=[；：鼻羽:5^3，若存在爪6(2,8),使得方程/(切=爪一9有两个不同的实数

根且两根之和为6,则实数k的取值范围是.

【答案】(”,2/)

【分析】先通过对题目的分析，令g(x)=f(x)+9,将题目简单化，并转化为等价形式；再根据函

数y=g(x)与y=m的图象有两个交点，数形结合可判断k>0；最后结合图形分析得出y=k(x-3)

与y=(x-3)2(x>3)图象的交点纵坐标与之间的关系：yp=me(2,8),建立不等式求解即可得出

答案.

【详解】令g(x)=f(x)+9,得g(x)={x2^3k,x>33*

则原问题等价于存在me(2,8),

使得y=g(x)与y=m的图象有两个交点且两交点的横坐标之和为6,

则k>0,作出函数y=g(x)与y=m的图象如图所示，

设两图象交点的横坐标分别为Xi，X2,则Xi+X2=6,

故两个交点关于二次函数y=(x-3)2的图象的对称轴x=3对称，

设点P为y=k(x-3)与y=(X-3)2(X>3)图象的交点，且yp=m6(2,8),

联立y=k(x-3)与y=(x-3)2(x>3),解得xp=k+3,故yp=k?,

故尸，解得"<k<2",故实数k的取值范围是的,2").

故答案为：电2的.

【点睛】关键点点睛：根据两个实数根之和为6得到两个交点关于直线x=3对称是解决本题的关

键.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

,、S+1+S+Cl?

17.(10分)记数列的前n项和为S”已知的=-6,且满足-n-----n---二=3.

un+l

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)记数列仍小的前n项和为T”若①几=2n-an,6351=an-2,b3rl-2=an+n,求T35.

【答案】(l)an=—3x2n

(2)-36672

【分析】(l)利用an=Sn-S-1得到数列｛aj为等比数列，利用等比数列的通项公式求解;

(2)求出b3n+b3n-l+b3n-2，然后利用分组求和法求和即可.

【详解】(1)因为Sn+i+Sn+a2=3an+i，则当n22时，Sn+Sn_i+a2=3an,

两式相减可得an+1+an=3an+i-3an(n>2),贝同+1=2an(n>2),

S2+Si+a?

且当n=l时，-------=3,解得a2=2ai，

所以｛aj是首项为-6,公比为2的等比数列，

所以an=-6x2n-1=-3x2n,

即an=—3x2n；

(2)因为b3n+b3n_1+b3n—2=an+3n—2=-3x2n+3n—2,

则T35=(bi+b2+b3)+(b4+bs+b6)H----F(b34+b35+b36)—b36

12x11

=-3x(2，+22+,•,+2")+1x12+—x3-(2x12-a12)

2(1-212)

=-3X-2+210-(24+3X212)=-36672.

18.(12分)在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知4cos一2=4sinAsinB-

显

(1)求角C的大小；

(2)若Sa4BC=*/，求c的最小值.

【答案】⑴C=[

(2)1

【分析】(1)利用三角恒等变换对原式化简，结合三角形的内角和为兀，即可求解；

(2)根据面积公式求得ab=2+8，再利用余弦定理以及基本不等式可得出c的取值范围，即可

得解.

【详解】(1)由题意知，原式可化为2cos(A-B)=4sinAsinB-F，

即2(cosAcosB+sinAsinB)=4sinAsinB—

整理可得：2cos(A+B)=-4，即cos(A+B)=-妹.

又因为A+B+C=n,则0<C<n,

所以cosC=^2,故C=聿.

(2)因为S4ABC=：absinC=1ab=T2所以ab=2+*,

由余弦定理和基本不等式可得：

c2=a2+b2-2ab•cosC=a2+b2-V^ab>2ab—V^ab=(2—/)ab=1,

I------7-A/6+-x/2

当且仅当a=b=12+J3=时,等号成立，

所以cNl,故c的最小值为1.

19.(12分)如图，在梯形力BCD中，AD//BC,ADLAB,BC=2AD=y/6,AB=平,AC与BD交

于点M,将△48。沿BD翻折至使点4到达点P的位置.

(1)证明：BDLPC；

(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为手，求三棱锥P-BCD的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2年或宇

【分析】(1)求得tanNADB=tanZCAB,进而得到AC1BD,证明BD_L平面PMC即可；

(2)以M为坐标原点建立空间直角坐标系M-xyz,设P(0,cose,sin。)，由平面PBC与平面PBD的

夹角的余弦值为连，解得cos。，sine,即可求出其体积.

【详解】(1)tan/ADB=黑=\=",tanNCAB=黑=W=

tWJ'u/IDA/D

~2

•••NADB/CABe(o,今

•••zADB=Z.CAB,

TT

•••ZADB+ZMAD=ZCAB+ZMAD=工,

•••AC1BD,

即AMJ.BD,CM1BD,

•••PM1BD,CM1BD,又PMClCM=M,

PM,CMc平面PMC,.1.BD1平面PMC,

PCu平面PMC,

.".BD1PC；

(2)直角△ABC中，AC=JAB2+BC2=3,

•■•AD||BC,

AMADDM1

ACM=BC~BM=2J

.•.AM=1,CM=2,BM=JAB2-AM2==也,

则r,BD=〒3*,MD=平m

由(1)BD1平面PMC,

以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,

则B(g,O),C(0,2,0),D/,0,0),

设P(0,cosasin。)，其中0V8<n,

所以麻=(嫄,0,0),CB=(A/2-2,0),BP=(-V2,cos0,sine),

设平面PBD的一个法向量为5=(xi，yi，zj,

fn-MB=V2xi=0

"n-BP=—V2Xi+yicosO+ZisinO=0'

取yi=sin。，n=(O,sina—cosB),

设平面PBC的一个法向量为m=(X2，y2，z2),

Lm-CB=72x2-2y2=0

、m-BP=—y/2x2+y2cos0+Z2sin0=0'

取y2=sin0,则m=(J^sinO,sin。,2-cos。),

1—2cos0

3sin20+(2—cos0)2

43

解得cos。=g,sin0=,或cos。=0,sin0=1.

则p(o,：|)或P(0,0,l)

故Vp_BCD=|SABCD-IZPI=|(1-BD-MC)•忆pl=誉或'.

20.(12分)已知某工厂加工5G手机的某种精密配件的合格率为p(O<p<l),若加工后的30件这

种精密配件中恰有6件不合格的概率为f(p),且f(p)的极大值点为Po.

(1)求Po；

(2)设该工厂加工5G手机的这种精密配件的合格率为po,在合格品中，优等品的概率为0.5.

①从加工后的这种精密配件中随机抽取若干件，设其中优等品有X件，若P(X=6)最大，求抽取的

这种精密配件最多有多少件；

②已知某5G手机生产商向该工厂提供这种精密配件的原料，经过该工厂加工后，每件优等品、合

格品分别以150元、100元被该5G手机生产商回收，同时该工厂对不合格品进行复修，每件不合

格品只能复修为合格品或不合格品，且复修为合格品和不合格品的概率均为05复修后的合格品

按合格品的价格被回收，复修后的不合格品按废品处理掉，且每件不合格品还需要向该5G手机生

产商赔偿原料费30元.若该工厂要求每个这种精密配件至少获利50元，加工费与复修费相等，求

一个这种精密配件的加工费最高为多少元？

【答案】(l)Po=O.8

(2)①最多有16件；②加工费最高为47.5元

【分析】(1)根据条件，建立函数关系式f(p)=C-(l-p)6P24(0<p<1),利用导数研究f(p)的极

值情况，即可得出结论；

(2)①建立二项分布模型，直接利用二项分布的概率计算公式，建立不等式组，解出即可；②求

出该工厂加工一个这种精密配件获利Y元的分布列及数学期望，根据题意列不等式，通过解不等式

解决问题即可.

【详解】(1)由题意可知，这种精密配件的不合格率为1-P，则加工后的30件这种精密配件中恰

有6件不合格的概率f(p)=C赢(l-p)6P24(o<p<1),

则f'(p)=-6C融1-p)5P24+24c盘(l-p)6P23=6c融1-p)5P23(4一5p),

令f'(p)>0,解得0<p<0.8,令f'(p)<0,解得0.8<p<1,

所以f(p)在(0,0.8)上单调递增，在(0.8,1)上单调递减，

所以当p=0.8时，f(p)取得极大值，故po=O.8.

(2)①从加工后的这种精密配件中随机抽取一件为优等品的概率为0.8x0.5=0.4.

设从加工后的这种精密配件中随机抽取n件，由题意可知，X〜B(n,0.4),

且p(x=k)=Cn0.4kx(l-0.4)n-k,

由题意可知，蹴方骤需，

5n-56n-6

gn[Cn0.4x0.6<Cn0.4x0.6

P(Cn0.47x0.6n-7<Cn0.46x0.6n-61

解得14WnW16.5,

又neN,所以n的最大值为16,

故抽取的这种精密配件最多有16件.

②设该工厂加工一个这种精密配件获利Y元，加工费与复修费均为m元,

由题意可知，Y的可能取值为150—m,10。一2m,—3。一2m,

则随机变量Y的分布列为

Y150—m100—m100-2m—30—2m

P0.40.40.10.1

则E(Y)=0.4(150-m)+0.4(100-m)+0.1(100-2m)+0.1(-30-2m)=107-1.2m,

由题意可知，107-1.2m>50,解得mW47.5,所以一个配件的加工费最高为47.5元.

21.(12分)已知椭圆。：/+也=l(a>6>0)的离心率为弓，且过点卜W,-,.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)已知过右焦点尸的直线I与C交于4B两点，在%轴上是否存在一个定点P,使N0P4=N0PB?若存

在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.

X2V2

【答案】⑴运+彳=1

(2)存在,P(4,0)

【分析】建立方程组a,b,c待定系数即可;

(2)由NOPA=NOPB条件转化为kpA+kpB=0,设直线1的方程为x=my+3,A(Xi，yjB(X2，y2),将

斜率坐标化，利用韦达定理代入，得到t,m的等式，不论m如何变化，等式恒成立求t值即可.

【详解】(1)因为e=g=所以a=2b.

所以椭圆C的方程为「+、=1.

9

因为点卜避,一|)在椭圆C上，所以5+1=1,解得b2=3,

所以a2=12.

所以椭圆C的标准方程为I+y=l.

(2)存在定点P(4,0),使NOPA=NOPB.理由如下：

由(1)知，C2=12-3=9,则点F(3,0).

设在X轴上存在定点P(i,O),使NOPA=NOPB成立.

当直线1斜率为0时，直线右焦点F的直线1即x轴与C交于长轴两端点，

若40PA=4)PB,则t>2/,或t<-24.

当直线1斜率不为0时，设直线1的方程为*=呻+3人&训1)出&2，丫2),.

'x2y2

曲适+石-L消去x并整理，得(4+m2)y2+6my—3=0,

x=my+3

6m3

则yi+丫2=一一4+m2^1^24+m2,

因为40PA=/OPB,所以kpA+kpB=O,

所以1=+高工=0，即yi&2-t)+y2(xi-t)=0.

所以yi(my2+3-t)4-y2(myi+3-t)=0,

BP2myiy2+3(y1+y2)-t(yi+y2)=0,

6m18m6mt6m(t—4)―八、

~"2~~A2+~A2=~A2~=0怛成乂，

4+m24+m24+m24+m2

即对VmeR,6：：二?=0恒成立,则t=4