山西省2024届高三八省八校第二次学业质量评价（T8联考）数学试卷(含答案)

山西省2024届高三八省八校第二次学业质量评价（T8联考）数学试

卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.命题“Vxe10,，e，+2sinx>2x”的否定是（）

A."Vxe0,5，e'+2sinx22x”B."Vxe0,1,ex+2sinx<2x”

CJUxe0,],e*+2sinx<2x”D.Fxe0，m，e*+2sinx<2x”

9

2.已知集合4={0,1,2,3},8=4%1<尤<—/,则AB=（）

2

C.\xl<x<->

A.{0,1,2}B.{2,3}D.[1,2,3）

2

3.已知z=三t@为实数，则a=（）

2+i

33

A.lB.-C.2D.--

22

4.设a,夕为不同的平面,a,。,c为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（）

A.若a_L/?,au。，2/?=c,a_Lc,则a_L/?

B.若all0,aua,bu分厕allb

C.若R/口,bua,则a与Z?异面

D.若oJ_/,aua,Z?u/?,则〃与〃相交

5.方程41cos«=0的实数根的个数为（）

A.9B.10C.llD.12

6.从集合S={1,2,3,4,5,6,7,8}中任取两个不同的数，和为2的倍数的概率为（）

D.-

5B77

7.已知cos（（z-/7）=2cos（a+/?）,tana>0,则tan（（z+p）的最小值为（）

A.-4B.-3C.V3D.2

22

8.已知双曲线C:=-与=1（。〉0力〉0）的左、右焦点分别为耳，居，过点1的直线与y

ab

轴交于点与双曲线C的右支交于点P,且=]4耳•/与=0,则双曲线C的离

心率为（）

A.—B.-C.2D.V3+1

22

二、多项选择题

9.2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓,某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖

科学家的了解程度,随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科

学家人数，得到一组样本数据：1,1,2,4,1,4,1,2,则（）

A.这组数据的众数为1B.这组数据的极差为2

C.这组数据的平均数为2D.这组数据的40%分位数为1

10.已知函数/（%）=0迎2%+/则（）

A./（X）的一个对称中心为o]

B./（x）的图象向右平移也个单位长度后得到的函数是偶函数

8

c.f（x）在区间[2,4]上单调递减

88

D.若/（x）在区间（0,附上与y=l有且只有6个交点，则加《2肛警

11.在正四棱台ABCD-A4GR中,■=244=4档,朋=厢,点/3在四边形4^。£>

内，且正四棱台ABCD-a4GA的各个顶点均在球。的表面上,4尸=4,则（）

A.该正四棱台的高为3

B.该正四棱台的侧面面积是12四

C.球心。到正四棱台底面ABCD的距离为:

D.动点尸的轨迹长度是亚

2

三.填空题

12.二项式［盯展开式中常数项为.

13.写出一个过点(3,4)且与圆。:％2+/一4%+3=0相切的直线方程.

14.已知抛物线/=2Px(p>0)的焦点为F(2,0)，过点C(-2,0)的直线I与抛物线交于

A,B两点，且xA>xB，若BF为的角平分线,则直线I的斜率为.

四、解答题

15.山西作为汾河文化的发源地，是我国文明古省，有山西老陈醋、平遥古城、杏花村汾

酒等文化资源，山西文旅局相关工作人员通过自媒体以图片、短视频、视频等形式展示

了汾河文化的魅力所在,其中大同刀削面为山西饮食文化的代表某校进行了有关是否喜

欢吃山西大同刀削面的调查问卷，并从参与调查的同学中随机抽取了男、女各100名同

学进行分析,从而得到如下列联表(单位：人)：

喜欢情况

性别合计

喜欢不喜欢

男同学60

女同学20

合计60140

(I)完善列联表并依据小概率值1=0。1的独立性检验，能否认为该校同学对山西大同

刀削面的喜欢情况与性别有关联？

(2)用分层随机抽样的方法，从喜欢和不喜欢吃山西大同刀削面的同学中随机抽取10

人,再从这10人中随机抽取3人进一步调查，设其中不喜欢吃山西大同刀削面的人数为

X,求随机变量X的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2

附：/，其中n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.100.010.001

Xa2.7066.63510.828

16.如图，在四棱锥P-ABCD中,AC与BD交于点。，点P在平面ABCD内的投影为点

O,若△5CD为正三角形，且===

2

(1)证明：ACJ_平面P5£);

(2)求直线PB与平面PA。所成角的正弦值.

17.已知数列｛%｝的前〃项和为S”,且为=勺^.

(1)探究数列｛%｝的单调性；

(2)证明：4S„-9<0.

18.已知歹为椭圆C:5+y2=1的右焦点，过点R2斜率为匕的直线与椭圆C交于点

A,B,4120且K。1.

(1)求|AB|的取值范围；

(2)过点R作直线E。与椭圆C交于点E,。,直线的倾斜角比直线A3的倾斜角大

工求四边形AEBD面积的最大值.

4

19.已知函数/(x)=sinx+ln(x+l)-<zr,且y=f(x)与x轴相切于坐标原点.

(1)求实数a的值及f(x)的最大值；

TT1

(2)证明：当工£—,71时,/(%)+2%>-；

62

(3)判断关于1的方程〃x)+x=O实数根的个数，并证明.

参考答案

1.答案：C

解析：依题意全称命题“Vxe[o,]],eX+2sinx>2x”的否定为特称命题

"Hre[o,]],e*+2sinx<2%”

2.答案：B

解析：由题意可得A5={2,3}.

3.答案：B

区刀4匚I3+ai(3+6zi)(2—i)6—3i+26zi—tzi2(6+〃)+(2〃-3)i

解刃T：田2=-----二-------------=----------------=-----------------,

2+i(2+i)(2-i)4+15

Z为实数，，如三=0,解得a=2.

52

4.答案：A

解析：对于A,根据面面垂直的性质定理可得A正确；

对于B芳all/3,aua,Z?u，,则a//Z?,或a与b异面，故B错误；

对于C,若a//cr,Z?ua,则allb或a与b异面，故C错误；

对于D,若。J_尸,aua/u力，则a//。,或a与b异面，或a与b相交，故D错误.

5.答案：C

解析：设乂=4|cos/|,%=〃.在同一直角坐标系内画出％=4|cos/1|与%=〃的大致

图象，

当/=5兀时,％=4>=当/=6兀时，％=4<YI6TI=y2.

根据图象可得两个函数共有11个交点.

6.答案：D

解析：由题知和为2的倍数的有(1,3),(1,5),

(1,7),(3,5),(3,7),(5,7),(2,4),(2,6),(2,8),

17a

(4,6),(4,8),(6,8)共12种可能,「.尸=葛=；

7.答案：C

解析：cos(6Z-/3)=2cos(a+/3),

cosacos/?+sinasin/?=2cosacos力一2sinasin力，

/.3sincrsin/?=coscrcos/?,

又cosacosw0,

/.tanatanZ?=—,BPtanB-——-——,

33tana

tano+tan/?tana+j(1

tan(a+〃)=---------------=---------3tana=_3tana+-------

1-tanatan]_)2[tana

-3

tana>0,3tana+--->2.3tana——--=2y/3,

tanaVtana

当且仅当3tana=--一，即tan。=也等号成立，

tan。3

/.tan(or+/?)的最小值为g.

8.答案：D

解析：PF^PF^Q,.-.PF21PF^

.•・需=隅即闺如巾=|耳刈附|,

一3

又写「=>，

片|

•••,|耳。।|・।|耳工।|2=1"^P・|尸।耳|।,

即归用2=302,..卢周=有0,

5L\PF}\-\PF2\^2a,:.\PF2\=43c-2a,

又片「+俨阊2=闺阊2,

即3C2+(A/3C-2G)2=4C2,

:(也c-2a了=c2,A/3C-c=2a,

2

=A/3+1.

aA/3—1

9.答案：ACD

解析：数据从小到大排列为1,1,1』,2,2,4,4.对于A,该组数据的众数为1,故A正确;

对于B,极差为4-1=3,故B错误;

Ix4+2x2+4x2

对于C,平均数为=2,故C正确;

8

对于D,18x40%=3.2,.•.这组数据的40%分位数为第4个数1,故D正确.

10.答案：AC

解析：由/]-1]=应0«[苧-2*]兀]=0,故人正确；

/(%)向右平移忙个单位长度后得

8

=V2cos[2x+—=-V^sin2尤，为奇函数，故B错

2

误;

当xe时，则"彳，彳由’由余弦函数单调性知，/⑺在区间T，T上单

调递减，故C正确；

对于D,由/(x)=1，得cos[2x+—，解得x=—+kn^—+kii,keZ,f(x)在区间

I4J242

(0,附上与y=l有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：M

424242

第7个交点的横坐标为史,.•.空〈根〈巨E,故D错误.

424

11.答案：BC

解析：对于A,取正方形4与G2的中心。1,正方形ABCD的中心

连接4a,AO,OO1,则0,01平面ABC。,过点A作A.M，AO于点M,

则AXML平面ABCD,=OM,=OOX,

AB=2A[BX=4技明=屈,.1AB=4技=2技

^AlOi=OM=y/6,AO^2>j6,:.AM^AO-OM^^6,-=师，

由公股定理得4M==V10-6=2,故A错误；

对于B,过点儿作AW，A3于点W,则AW=-)=百，故

AW=yl^-AW2=夕，正四棱台ABCD-4耳£口的侧面面积是

4x68区"=12庖，故B正确；

2

对于C,正四棱台ABCD-A4G2的外接球球心Q在直线上，连接AQ，AQ,则

AQ=4Q=R,如图所示.

由勾股定理得AQ2=A02+002=24+丸2,4Q2=4。；+«02=6+(2+»2,

7

24+/?=6+(2+/I)2,解得,故C正确；

2

对于D,由勾股定理得PM=J#-A"=V16-4=2G，故点P的轨迹为以〃为圆心,

以为半径的圆在正方形内部部分,如图，

其中MT=MK=币,故DT=BK=36又SM=ML=2®

由勾股定理得ST=KL=V12-3=3,

由于且=巫=走,ZSMT=ZLMK=->ZSML=—,

SMLM236

故动点P的轨迹长度是2'2有=也，故D错误.

63

12.答案：28

解析：［也+的展开式的通项公式为

,［、8-4升

7；+1=C；（^r^-j=C"M,

令等：=0,解得r=2,故］加+£［的展开式中常数项为C；=28.

13.答案：x=3或15x-8y-13=0

解析：依题意，将圆C化为标准方程可得（x-2了+V=1,

则圆C表示以C（2,0）为圆心，半径厂=1的圆，当切线的斜率不存在时,

过（3,4）的直线％=3正好与圆C相切；

当切线的斜率存在时，设切线方程为y-4=左（尸3）,则d=口：4-3左|=］,

收+1

解析:由题意得抛物线方程为V=8x,故设直线I的方程为X=my-2，不妨设m>0,

联立>2=8x,可得丁-8吗+16=0,且A>0,设4（龙1，%）,3（%，%），则%〉。，%>。，

则%+%=8m，%%=16,

贝IjAB=yjl+m2.-%］，

2

BC=y/l+rrF-|1=y/l+m-y2,

,CFBCAFAB

由正弦定理得--------=--------,---------=--------

sinZCBFsinNCFBsinZABFsinZAFB

3尸为△?1人?的角平分线，

即NAFB=NCFB,又NCBE+NABF=兀,

CFBC

AB

即4,1+y2.|%|

y2

AFJl+苏・〔%-为|

又由焦半径公式可知AF=%+2=加%一2+2=相%，

贝U/-=乂，即町%=4%-4y2=4,（%+%4%%，

即16机=4,64M—64，解得m—,

3

故直线/的斜率为工=3.

m2

同理，根据对称性可知，当m<0时，直线/的斜率为-走.

2

综上所述，直线/的斜率为土走.

2

15.答案：（1）认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关，此推断犯错

误的概率不大于0.01

解析：（1）完善列联表如下:

性别喜欢情况合计

喜欢不喜欢

男同学4060100

女同学2080100

合计60140200

零假设为“0：该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别无关.

200x（20x60-40x80）2

则/=x9.5>6.635=%go],

60x140x100x100-

二根据小概率值l=0.01的独立性检验，推断/不成立，即认为该校同学对山西大同刀削

面的喜欢情况与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.01.

（2）按分层随机抽样的方法从喜欢吃山西大同刀削面和不喜欢吃山西大同刀削面中随

机抽取10人，则抽取的人中喜欢吃山西大同刀削面的人数为3,不喜欢吃山西大同刀削

面的人数为7,故X的所有可能取值为0,1,2,3,

1

p（X=0）==^=——

/120

p（x=l）=^c2c^l=，7

C：°40

c'c221

P（X=2）=k=

Jo40

3

0（乂=3）=C*°C=’7,故乂的分布列为

Co24

X0123

p17217

120404024

1721721

则E（X）=0x——+lx—+2x—+3x—

120404024-io

16.答案：（1）见解析

⑵普

解析：证明：（1）由题意可得

jr

ZACB=ZACD=-,

6

:.COLBD^ACVBD.

又点P在平面ABCD内的投影为点O,

即POL平面ABCD,

又ACu平面ABC。,PO，AC,

又BDPO=O,BD,POu平面PBD,

.-.AC±¥ffiPB£).

（2）由（1）可得08,OC,OP两两垂直,建立以。为原点如图所示的空间直角坐标系,

“0,4,

303勿

22J

设平面PAD的法向量为相=（x,y,z）,

PA636c

m-PA=------y-----2=0,

则有22

on33后。

m-PD=——x----z=0,

22

直线PB与平面所成角的正弦值为

|m•PB|V39

|cos(m,PB)|=

\m\-\PB\

17.答案：（1）从第二项起单调递减

（2）见解析

n+3n+2

解析：（1）由题意可得am3"+i

n2+3n+2n2+n2(l-n2

故--43“+i3"+i<0,

3"

即an+l<4,故数列｛a“｝中囚=外，且从第二项起单调递减.

(2)证法一：由题意可得

。12+122+2n2+〃

S,=---+——++-----

"3323"

J_s12+122+2n2+n

-n--1-----；--F+

3〃32333,i+1'

2

有S“_gs〃=2xnn+n

+

F3用'

12nn2+n

即=3x-+—+H---

3323"2x3"

令再［+,+n

+F5

则也12n

-7TH------T+H-----,

32333"+i

1111n

则有aHuH----------

--„=-+F+3"3"+1，

1

23n11n

即有d"

3"+I22x3"3"+i'

3

即用=士1,n，

44X3"T2X3"

31nn2+n

故=3x

44X3〃T2X3〃2x3"

91n2+4〃

44x3"-22x3”

又击n2+4Mo

+------>。，故s〃<“

2x3〃

即4s〃—9<0.

air+bn+c

证法二：不妨设么，且田，nwN*,

3"T

3an2+3m+3c-a(n+1)2-b(n+l)-c

则4-%

3"

2an2+(2b-2a)n+2c-a-b

3"

1

2tz=1,”展

贝lj<2b-2a-1,解得<b=T,

2c-a-b=0,3

ic=—.

4

123

—〃+〃+—

一,bun=2___yt_-_l__4，

那么=Q]+〃2++an

=（■—a）+（4—2）++（%—d+J=伪一%]

193

95（"+l）+（«+1）+-9

-一-----乙------------------------叶-V,-.

4304

18.答案：（1）\AB\EV2,—।—,2y/2

、3）13_

⑵正

3

V2_1

解析：（1）设4（不弘）,8（々,％）,易知尸（L。）,联立=，

v=^（x-l）,

消去y,得（2片+1）炉-4片X+2（片-1）=0.

/\4k2

4二8（攵2+1）>0,.・.再+X2=2/1],

_2（k”l

%1%2=----7

「2r+1

.'.|AB|=Jl+k；•％|=J]+k；.

艮£,

।1

又叫2+1€[1,3）、（3,+s）,

.-.|AB|e[V2,—f—,2A/2

I3JI3

（2）解法一：设直线AB的倾斜角为ae0,；；,引,则a=tana.

(­2、

20丁+1

20(tan2a+l)(cosa2®4后

由（1）知|AB|二1

22

2tan5a+12sina41+sina3-cos2a

K+1

直线小的倾斜角为"%

4^/2

同理可知|DE|=------------------、

3+sin2a

3—cos2ccH—

I4

S四边形AEBL?”110口si哈+；I”1

|EF|sin-+-|BF||DF|sin-+-|5F|-|EF|sin-=—|AB||DE|,

424244

V24近40_

"四边形AEB。一丁,3—cos2c/3+sin2a一

_________________8A/2_________________

9+3(sin2a-cos2a)-sin2acos2a

-

令r=sin2a-cos2a=A/2sin[2。一ILD(L6、，则sin2acos2a=~~~~

,16后

一四边形A的,+6%+17'

・•.当仁-1时,取最大值逑.

解法二：依题意，一匕w1,直线矶＞的倾斜角比直线AB的倾斜角大:,

二直线石。的斜率存在.

,71

+tan—1,

不妨设直线ED的方程：y=Z(x-1),且&=-------工=匕土

217+乃1一匕

1-ktan-Y

1}4

。（项,为）,£（和为），

_______T2,[

由(1)同理得|£©|=炉4片-%|=2行.与一,

2k2+1

1711

S„AEBD=-\AF\\DF\sin-+-|AF\\EF\.

TT17rljr

sin-+-|BF||DF|sin-+-|BF||EF|sin-

42J42J4

1兀

=-|AB||DE|sin-

24

^2(V+1)(^2+1)

=xo,-----------r—;-----------r-

4(2片+1)(2居+1)

_20(Z/2)2+(4+宿)+1

4(4]&)2+2(6+后)+1

=2①(匕刈—1)2+(41+42)

(2左修一1)2+2(1+左2)2

Y711K+k；1+2k\—k；

又左匕=———+匕=!——L

-,k,2

、21—匕、1-^

2

‘片+2匕—1、1+2%一公丫

+

,1—K.、一勺,

•c_'1/1.2亚

一口四边形AE8D-/°2\2

2-：+3勺一1‘1+2勺一左2

+2

、1-KJI1-41J

4四（6+1丫

6左；+4将+9将+2匕+3

2

%2+1

令f(x)=~~2------------5----------，%20,

6x4+4x3+9x2+2%+3

2(x2+1)(2X2+X+1)(X2-2X-1

/'（X）=

(6尤4+4尤3+9x2+2%+3)

解方程-2x-1=0,得x=1±A/2.

/（%）在区间［0,1+V2）上单调递减，在区间（1+后,+8）上单调递增.

当Xw1时"(x)w—.

6

/(0)=:,x-转时,/(x)—!,

3o

/(x)</(0)=1,

S四边形AEBO-4⑸(0)=殍.

19.答案：(1)/(x)的最大值为0

(2)见解析

(3)/(x)+x=0有2个不相等的实数根

解析：(1)由题意知,/(0)=0且/'(0)=0,

=cosxH——---a,

x+1

.•./(0)=2_口=0,解得。=2,

f(x)=sin%+ln(x+l)-2x,

f'(x)