江苏省南通市2024届高三第一次调研测试数学试题答案

南通市2024届高三第一次调研测试

数学参考答案与评分建议

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合期目要求的。

1.已知集合/={x|-2<x<3},B={0,1,2,3},则408=

A.{-2,-1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,123}

【答案】C

2.已知z+5=8,z-z=6i,贝i]z.5=

A.25B.16C.9D.5

【答案】A

3.若向量a=(34),b=(2,〃)，贝ij“川=8”是“a〃b”的

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】C

4.设{q}为等比数列，%=2%+3%,贝4幺二&=

/~a5

A.|B.|C.3D.9

【答案】B

5.从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可熊

A.每个面都是等边三角形

B.每个面都是直角三角形

C.有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形

D.有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形

【答案】D

6.已知直线y=X-1与抛物线C:x2=2双p>0)相切于“点，则”到C的焦点距离为

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

参考答案与评分建议第1页(共12页)

7.已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为(0,+8),若矿(x)<2/(x),则

A.4e2/(2)<16/(e)<e2/(4)B.e2/(4)<4e2/(2)<16/(e)

C.e2/(4)<16/(e)<4e2/(2)D.16/(e)<e2/(4)<4e2/(2)

【答案】C

8.某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品.要求将一个边长分别为10cm和

20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大

值为

A.20&cmB.30^5cmC.405/5cmD.60版cm

【答案】D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位：环)，得到如下数据：

运动员第1次第2次第3次第4次第5次

甲8791908993

乙8990918892

则

A.甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差

B.甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值

C.甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数

D.甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差

【答案】BC

10.设函数/(x)的定义域为R,f(x)为奇函数，/(l+x)=/(1-x),/(3)=1,则

A.=1B./(x)=/(4+x)

C./(x)=/(4-x)D./伏)=-1

I

【答案】ABD

11.已知点M在圆f+y+lx-B：。上，点P(O，D,。(1，2),则

参考答案与评分速议第2页(共12页)

A.存在点M,使得|网=1B.今

c.存在点M,使得|M=|MQ|D.\MQ\=^2\MP\

【答案】ABD

12.我国古代数学家祖眶提出一条原理：“寨势既同，则积不容异%即两个等高的几何体若

在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用该原理可以

证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为

顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等.现有一个半

径为R的球，被一个距离球心为d(d>0)的平面截成两部分，记两部分的体积分别

为匕，/(匕<匕)，贝I」

A.r；=j(R-d)2(2R+d)B.^=!(/?+2d)(2R-d)(3R+d)

C"当"=?时，合呜D-当♦昔时，合24

【答案】ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数〃x)=[誓：Jl!l/(log2|)=______.

[2-1,X<-1,3

【答案】4

42345

14.£551(x-l)(x+2)=a0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,贝!!/=，

a1+a2+aJ+a4+a5=.(注：第一空2分，第二空3分)

【答案】8,16

15.已知函数〃外=2411(5+£)(0>0),若/(须)=/(》2)=-百，%一引的最小值为彳，

则/6)=.

O

【答案】73

16.已知椭圆E：与+1=1(。>6>0)的左、右焦点分别为£,玛，设尸，。是E上位于x轴

ab

上方的两点，且直线尸耳与。尸2平行.若41P用=|。用，21PBi=5|匿|,则E的离心率

参考答案与评分建议第3页(共12页)

为________.

【答案】卓

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知然是圆锥PO的底面直径，。是底面圆周上的一点，PC=AB=2,AC=C，

平面PAC和平面网。将圆锥截去部分后的几何体如图所示.

(1)证明：OC_L平面48：

(2)求二面角4-P8-C的余弦值.

A

【解】(1)在圆锥尸0中，PO工底面ABC,

因为OCu底面陛。，所以POJ_OC.……2分

因为C是底面圆周上一点，丝是底面圆直径，

所以4C_L5C.

因为ZC=&,AB=2,所以8C=&.

因为。是45中点，所以。C_L48.……4分

因为4BDPO=。，PO,48u平面

所以比_1_平面尸/15.……5分

(2)(方法一)因为POJ•底面OBu底面WC,PT

所以P0_L08.

以点O为坐标原点，分别以0C,05,0P/'\

为x轴、y轴、z轴建立如图所示的「、\打

空间直角坐标系。-乎.

则0(0,0,0),C(l,0,0),5(0,1,0),P(0,0,6),x/c

BC=(1,-1,O),PC=(1,O,-V3).

因为。CJ•平面以8,

所以反=(1,0,0)是平面P45的一个法向量.……7分

设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),

参考答案与评分建议第4页(共12页)

n-BC=x—y=O,

则

n-PC=x—y/3z=0.

令z=l,得x=y=百，所以”=（-73，工,1）........9分

设二面角/-尸B-C的平面角为6,则

|cos^|=|cos（OC,=•

所以二面角彳-尸。的余弦值为军.

5-10分

（方法二）在平面R1B内，过点。向尸6作垂线,

因为OCJ•平面以8,P8u平面尸，45,

所以P8_L0C.

因为O”,0Cu平面OC",。"0。。=。，

所以尸8J■平面OCH.

又CHu平面OCH,所以PB1CH,

所以NOHC是二面角/-尸8-。的平面角.

在△OBP中，因为POtOB,OB=l,PB=2,OP=y/3,

所以O〃=等浮=孚.

在△OCH中，因为OC_LO〃，OC=\,OH=坐,

t_____________厂同广

所以CH=JOC2+0〃2邛,8SZOHC=%='=埠,

2CH7

T

所以二面角4-尸8-。的余弦值为厚.……10分

18.（12分）

3

-

在A43C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知tanB5tanC=z，6=6.

（1）求4和c；

（2）若点。在/C边上，且802=4）2+82,求3.

【解】（1）在八43。中，因为＜+8+。=兀，所以＜=兀一（8+。）,

参考答案与评分建议第5页（共12页）

所以tan/=tan(n-(5+C))=-tan(8+C)=—冷黑;

31

-+-

54

因为tan8=N，tanC=-7»所以tan/=31

54-X-

-54

因为0<4〈孔，所以/=予.3分

4

因为0<8〈冗，tanB=?,tanC=1,

sin2B+cos2B=1

由‘sinB=3解得sinB=j—..

V34

、cosB5'

同理,sinC=­r=•

V17

在△45C中，b=6,由正弦定理三=，五=三,

sinAsmBsinC

得c=s\BxsinC=—1—x=2&6分

(2)设4D=x,则CD=6-x,0<x<6,

所以BO?=AD2+CD2=X2+(6-x)2=2x2-12x+36.....8分

在ZX/IB。中，由余弦定理得，

BD2=AB2+AD2-2ABXADXCOSABAD

=(2>/2)2+X2-4>/2x(~~)x=x2+4x+8»10分

所以2X2-12X+36=/+4X+8,即--16x+28=0,

解得x=2或x=14(舍去)，

所以4)=2.12分

19.(12分)

记正项数列｛q｝的前〃项和为S“，满足1,册成等差数列.

(1)求｛q｝的通项公式；

（2）设集合/=冬冬1"WNL/JWM，，求集合4.

A

参考答案与评分建议第6页（共12页）

【解】(I)(方法一)因为1,后，勺成等差数列,

所以26=1+4,即4s.=(1+%)2①.

当〃22时，4s小=(1+%)2②，

由①-②，得4%=(1+%)2-(1+01)2,……2分

即非一=24+2an_i,(a„+a„.|)(an-勺一-2)=0.

因为外>0,所以%+勺_]>0,

所以%---2=0，4-%=2,

所以｛%｝是公差为2的等差数列.……4分

当〃=1时，4S[=3]=(1+/)2,解得q=1,

所以(=2〃-1....6分

(方法二)因为1,病，4成等差数列，所以2卮=4+1.

当2时，2s=G"+1=S"-S“T+1,

所以庠广场-底+1=(底-I)?,

所以(67)、(卮-以•……2分

因为a“>0,O]=1,所以S“21,

所以反=卮-1，叵-卮=1，

所以｛向｝是公差为1的等差数列•……4分

当”=1时，2质=E+1,所以B=%=1.

所以底=1+(〃-1)=〃，

所以q=诋-1=2-1.……6分

(2)由(1)知，竽5)=伽_1)++8.……9分

aH271—12〃-1

参考答案与评分建议第7页(共12页)

因为上wN"所以4=”一1是奇数,

要使勺=%#11,〃可能的值为1和2.

当〃=1时，沁旦=21=%，符合条件；

当〃=2时，彗"=15=%,符合条件；

所以4={8,11}.……12分

20.(12分)

已知双曲线。£-与=1(。＞0力＞0)的左、右顶点分别为4(-2,0),8(2,0),离心率为

ab

半.过点(4,0)的直线/与C的右支交于A/,N两点，设直线/M,BM,8N的斜率分别

为4»^2，占•

(1)若k=辱,求伤；

(2)证明：&-+&)为定值.

【解】(1)设双曲线C的焦距为2c.

由题意得，a=2,£=4，所以c=«.

a2

因为c2=q2+b2,所以b=l,

所以。的方程是宇-丁=].

2分

4

直线8M:y=当(x-2),

9二"消,得f_6x+8=。，解得.2或“4,

由，

y=^-(x-2),

所以“(4,6).4分

又因为直线A/N过点(4,0),所以直线MN:x=4,

所以N(4,—石)，所以的=迷=一更.

5分

4-22

参考答案与评分建议第8页(共12页)

（2）设A/（X1，M）,则圻告i'~出

所以大冉=

y2-4---1]

因为+-必=1，所以柩2=4^=：.……7分

X].

设直线MN:x=my+4,

X__2-

由,4y消x得(小一4)丁+8叩+12=0.

x=/ny+4.

/一4。0,

A=16(m2+12)>0,

设N（£，M）,则♦-8m

…2=E

州必=

所以A4：必x必-乂乂力.必

2

2JX1-2x2-2myx+2my2+2myly2+2m(y]+j2)+4

_______册2―4--------------------------12_______=_3.…]1分

2x12।2m(一8m)।412/n2-16m2+4m2-164

m2-4m2-4

所以22（&+&3）=匕k2+*=；_；=_；为定值....12分

21.（12分）

某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个

红球和5个白球.每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个

红球，则该顾客中奖.

（1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；

（2）现有编号为1〜〃的〃位顾客按编号顺序依次参加活动，记X是这〃位顾客中第一

个中奖者的编号，若无人中奖，则记X=0.证明：E（X）＜2.

【解】（1）设某位顾客中奖的概率为p,则p=G£[Sl=,.……2分

A*

记“三位顾客依次参加活动，仅有最后一位顾客中奖”为事件4则

参考答案与评分建议第9页（共12页）

尸⑷/申尹翁

答：仅有最后一位顾客中奖的概率为捐.……5分

343

(2)X的可能取值为0,1,2,.

由题意得，P(X=2)=审A和WAW〃入N),

p(X=0)=(1)".……8分

所以£(X)=0xP(X=0)+lxP(X=l)+2xP(X=2)+“・+〃xP(X=〃)，

BP£(^)=(1)°x|xl+(|),x|x2+(1)Ix|x3+-+(|)--,x|n,①“TO分

所以洱》)=审、尹1+得八/2+审x.x3+..・+e)"x,〃，②

由①®得尹⑶=|[(1)°+审+即+审+-+(|)--(|)"x4

所以£(丫)=^^--〃•审=9*xe)"一〃•审<：•……12分

1-7

22.(12分)

已知函数/(x)=lnx-g.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若。>0,记出为/(x)的零点，m=yj2a+\,n-a+l.

①证明：m<XQ<ns

②探究与与典产的大小关系.

【解】(1)函数/(x)=lnx一旦的定义域为(0,+8),导函数/，。)=_1+彳=4巴.

XXXX

当。20时，r(x)>0,所以/(x)在(0,+8)上单调递增.

当a<0时，

若0<x<-a,则/'(x)<0,/(x)单调递减：

若x>-a,则r(x)>0,/(x)单调递增.

综上所述，

当aN0时，/(%)在(0,+8)上单调递增：

当。<0时，/(x)在(0,-a)上单调递减，在(-。，+8)上单调递增.……3分

叁考答案与评分建议第10页(共12页)

(2)0/(a+l)=ln(a+l)--^-(a>0).

Q+1

令g(a)=ln(a+l)---^y(a>0)，

a4-1

所以g")=/T—等常=尚声>°'式。)在(°，+8)上单调递增，

所以g(a)>g(O)=O，即/。+。)>/(天).

又因为/(x)在(0,+oo)上单调递增，所以。<l+a.……5分

/(V2a+1)=in12a+l-f—,

V2a+1

令J2a+l=t,所以0

所以lnj2a+l-/°—七

V2a+1Z

设力⑺=ln-与

所以力'«)=1-支仲)在(i,+8)上单调递减，

t2t2t

所以如)<A(1)=O,所以/(“a+1)</(/).

又因为〃x)在(0,+8)上单调递增，所以师*<.，

综上J2a+1<x0<1+a,BPm<x0<n.....7分

②结论：必产>5,即匹j+q±i>的.

证明：

(方法一)因为/(痴同+£±1)=1n衣m±£土l-^g——,

因为a+l>伍*T,所以/(缶可+@)>111仿工？--7=%——.