2024年高考数学总复习 平面向量的数量积 教师版

2024年高考数学总复平面向量的数量积

【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向

量的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两

个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量的方法解决某些简单的

平面几何问题.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.向量的夹角

已知两个非零向量a，b,。是平面上的任意一点，作有i=a,而=b,则兀)

叫做向量a与》的夹角.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为6,我们把数量|a||Z>|cos9叫做向量a与b的数量积,

记作gj).

3.平面向量数量积的几何意义

设a,》是两个非零向量，它们的夹角是ae是与》方向相同的单位向量，施=a,CD^b,

过后的起点A和终点8,分别作历所在直线的垂线，垂足分别为4,Bi，得到病，我们

称上述变换为向量a向向量B投影，病叫做向量a在向量日上的投影向量.记为㈤cosde.

4.向量数量积的运算律

(l)ab=ba

⑵(痴)仍仍)=〃•(劝).

(3)(a+1)c=ac+5c.

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(xi，yi),b=(xi,")，。与8的夹角为夕

几何表示坐标表示

数量积a-b=\a\\b\cos9〃协二迎2±也及

模\u\=yj|a|=y屑+负

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ab

夹角Qcos

COSex—■\a\i\ibi\iq看+比4君+帔

aLb的充要条件ab=0为22+yi\2=0

|a句与⑷囱的关系|a•臼W|a仙||XlX2+yU2|Wq国+^X后+询

【常用结论】

1.平面向量数量积运算的常用公式

(1)(。+方)•("一》=，一〃；

(2)(a±/>)2=c^+2ab+b~.

2.有关向量夹角的两个结论

(1)若“与》的夹角为锐角，则.力>0；若a力>0,则a与》的夹角为锐角或0.

(2)若a与6的夹角为钝角，则.山<0；若a-b<0,则。与入的夹角为钝角或兀

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

TT

(1)两个向量的夹角的范围是0,2-(x)

(2)若a,力共线，则〃力=|0•网.(X)

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(V)

(4)若4乃=。(，则>=c.(X)

【教材改编题】

1.已知向量a,5满足同=2,依=小,且a与6的夹角为30。，那么。力等于()

A.1B.y/3C.3D.3小

答案C

解析由题意可得a-Z>=|a|-|/>|cos30。=2*^X当=3.

2.已知向量a,》的夹角为60。，⑷=2,步|=1,则|a+2bl=.

答案24

3.若向量a=(l,2)"=(-3,4),则ab的值等于；。与5夹角的余弦值等于—

答案5坐

解析因为。=(1,2),5=(—3,4),

所以a6=—3X1+2义4=5,\a\=yjl2+22—A/5,\b\=*\/(—3)2+42=5,

所以cos〈a，b)=^=5X^5=^-

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■探究核心题型

题型一平面向量数量积的基本运算

例1（1）（2023•广州模拟）在平面四边形ABC。中，已知赢=比，P为CD上一点、,CP^3PD,

___r\_

|靠1=4,|病|=3,西与花的夹角为仇且cos0=孑则京•丽等于（）

A.8B.-8C.2D.-2

答案D

解析如图所示，

nPc

AT------------

9：AB=DC,

・•・四边形A3C。为平行四边形，

,/CP=3Pb,

―►―►-A-A1-A

：.AP^AD+DP=AD+^AB,

———3f-

PB=AB-AP=^AB-AD,

又,.,|Ai5|=4,|AD|=3,cos0=^,

则ABAr>=4X3X§=8,

：.AP-PB=(Ab+^A^-(^AB-AD^

=|AB-AD-Ab2+^AB2

216

=|X8-9+^X42=-2.

(2)(2023•六安模拟)在等边△ABC中，AB=6,BC=3BD,AM=2AD,^\MC-MB=.

答案22

解析如图，以8C所在直线为x轴，8C的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

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VAB=6,BC^3BD,AM^2AD,

.,.2(—3,0),C(3,0),

M(—2,—3A/3),

.,.施=(-1,3仍)，

证=(5,35)，

：.MC-MB=-5+21=22.

思维升华计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义：。2=间|臼cos〈a,b〉.

(2)利用坐标运算，若。=(孙p),b=(x2,y2),则a仍=xiX2+”X2.

(3)利用基底法求数量积.

(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.

跟踪训练1(1)(2022・岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC=2,点P在另一条对角线BD

上，则APAC的值为()

A.-2B.2C.1D.4

答案B

解析设ACC8O=。,则。为AC的中点，且ACL8。，如图所示,

由能在元方向上的投影向量为43,

得力.启=用启=稣2=2.

(2)如图，在梯形ABCZ)中，AB//CD,CD=2,ZBAD=^,若西•元=2诵仄方，则废)•元=

答案12

解析因为油•元=2油/口，

所以油•元一赢.寿=赢仄方,

所以油.庆=油•筋.

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jr

因为A8〃C£）,CD=2,ZBAD=^,

所以2|B|=|B||Ab|cosl，

化简得通|=26.

故Ab・启=AB-（Ab+5b）=lAbp+Ab.虎=（2陋产+2也x2cos；=12.

题型二平面向量数量积的应用

命题点1向量的模

例2已知向量。和早的夹角为30。,|a|=l,|*|=^3,则|a+2例等于（）

A.1+2^3B.V19

CA/13+45D.3^2

答案B

解析根据向量的运算法则和数量积的定义，

可得|。+2川^y/（a+2b）*2^3*yja2+4a-b+4b-

='1+4X1义/Xcos30°+4X（6）2=皿.

命题点2向量的夹角

7r

例3若ei，e2是夹角为]的两个单位向量，则a=2ei+e2与A=-3ei+2e2的夹角为（）

，兀r兀

A6B3

C*D普

3o

答案c

_711

解析由题意可得eie=l义IXcos3=2,

故Q•5=（2ei+«2＞（—3ei+2c2）

17

=-6e彳+e-e2+2c3=-6+]+2=1

\a\=卜（2幻+«2）2=山山+401.改+区=市，

\b\=4（一30+2%）2=49/一12d9+44=市，

_7

/,ab______2___1

故cos〈a,加x一I嘛厂市X市——于

2兀

由于〈〃，b）£[0,7i],故〈〃，b）=~-

命题点3向量的垂直

例4（2022•全国甲卷）已知向量a=（九3）,b=（l,m+1）.若°_14则机=.

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3

答案一a

3

解析;.a•方=加+3(根+1)=4机+3=0,解得m=一不

思维升华(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用⑷及(〃±方)2=闷2±240+1肝.

②几何法：利用向量的几何意义.

(2)求平面向量的夹角的方法

a，b

①定义法：cos8=7"市；

②坐标法.

(3)两个向量垂直的充要条件

仍=00|〃一例=|。+例(其中aWO,8W0).

跟踪训练2(1)(多选)已知幻，。2是单位向量，且幻色=今若向量。满足e「〃=2,则下列选

项正确的是()

A.⑶一改|=1B.ei在上的投影向量的模为3

57r

C.ei与ei—e2的夹角为五D.”在ei上的投影向量为2ei

答案ABD

1JT

解析因为e「C2=l义1Xcos〈幻，€2)=],所以ei,。2的夹角为],

设亦=ei,OB^eo,则或=ei-e2,由此可得△042是一个等边三角形，

所以〈ei,ei—e2〉=f,故C错误；

\ei~e^=el~2eve2~\~el=1,故⑶一级|=1,故A正确；

因为内在e2上的投影向量为管e2/e2,所以模为;，故B正确；

ei2z

设ei与a的夹角为。，因为e「a=2=|a|cos。，

所以。在ei上的投影向量为(|a|cos3')ei=2ei,故D正确.

(2)(2022・新高考全国H)已知向量。=(3,4),6=(1,0),c=a+tb,若〈a,c〉=(b,c〉,则1

等于()

A.-6B.-5C.5D.6

答案C

解析由题意，得c=a+力=(3+t,4),

所以0c=3X(3+f)+4X4=25+3t,

万c=1X(3+力+0*4=3+力

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因为〈a,c〉=〈b,c〉，

所以cos{a,c〉=cos{b,c〉，

即同cl向|c「

即W=3+r,解得7=5,故选C.

题型三平面向量的实际应用

例5在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力

为G,两个拉力分别为F1，尸2,且叫1=1尸2|，尸1与无的夹角为仇当两人拎起行李包时，下

列结论正确的是（）

A.|G|=|FI|+|F2|B.当时,|Fi|=^|G|

-TT

C.当6角越大时，用力越省D.当|F1|=|G|时，0=飞

答案B

解析根据题意可得G=B+F2,

则|G|=|尸1+尸2|=M尸1+F2|2=7刑+招+2F1•尸2=32刑+2埒cos仇

当9=0时，|G|=2|FI|=|FI|+|F2|,

当。=彳时，|G|==2刑+2碎cos1=立巧|,

即|R|=^|G|,故A错误，B正确；

|G|=12M+2界cos仇因为y=cos。在（0,兀）上单调递减，

且行李包所受的重力G不变，所以当。角越大时，用力越大，故C错误;

当|Fi|=|G|时，即|G|=42刑+2埒cos'=吗|,解得cos6=一今

又因为0e（0,7i）,所以6=竽2冗，故D错误.

思维升华用向量方法解决实际问题的步骤

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跟踪训练3（2022.长春模拟）长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中

的航行速度5的大小Wi|=10km/h,水流的速度。2的大小|列=4km/h,设口和功所成的角

为仇0<。<兀），若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头3处，则cos。等于（）

河流两岸示意图

4

5

答案

解析由题意知（S+U2>O2=0,

有团Ikdcos6+质=0,

即10X4COS8+42=0,

2

所以cos0=一亍

课时精练

应基础保分练

1.若|/n|=4,|n|=6,/n与〃的夹角为135。，则/n•〃等于（）

A.12B.12^2C.-12^/2D.-12

答案C

解析由题意知m-n=\m\\n\cos135°=4X6X（—坐）=一12吸.

2.（2023・三明模拟）已知向量。=（九2）,6=（—1,2）,若“_1从贝!]]“+臼等于（）

A.5B.6C.V41D.4小

答案A

解析*.,a=（2,2）,6=（—1,2）,aLb,.".ab=0,即-4+4=0,.*.2=4,.\a+b=（3,4）,\a

+Z>|=^/3*2+42=5.

3.已知a,6为非零向量,且小⑷=2回,\a+2b\=\2a-b\,则。与I夹角的余弦值为（）

A坐B*C.坐D坐

答案B

解析将等式|a+2M=|加一"两边平方，得8〃•5+3庐=3层，设。与方的夹角为仇即8|a||b|cos6

+3|印=3|呼，

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2

将⑷=忑向代入81ali例cos。+3|臼2=3同2,

得cos<=*.

4.已知向=3,。在b上的投影向量为上，则的值为（

)

91

A.3B.2C.2D，2

答案B

解析方法一设Q与8的夹角为仇:lalcos端=/，⑷;;:1=；,*,•\a\cos6>=|,：.ab

39

=|。||5|cos9=/X3=]

_ii9

方法二〃2=于仍=]》2=5

5.已知菱形ABCD的边长为2,NA=60。，点尸是5C的中点，则成访等于（）

A.0B.小C.3D.|

答案C

解析由题意可得说=—（赢+济^）=—柒）），

―►—>―►1­►—>

PD=PC+CD=^AD~AB,

故或丽=一

=|碉一忙利2=4-1=3.

6.在△ABC中，AB=4,BC=5,CA=6,△ABC外接圆圆心为0,则最）•诵等于（）

A.8B.yC.8小D.18

答案A

解析由题意得。为△ABC外心，故公•赢=3赢2=8.

7.（2023•郑州模拟）在以。4为边，以08为对角线的菱形。1BC中，CM=（4.0）,a=（6,

a）,则/AOC等于（）

兀__兀兀兀

A-6B3C__T5DT2

答案B

解析由题设，诵=协一位=（2,a）,且|成|=|有i|=4,

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所以、4+〃2=4,则4=±2小，故。5=（6,±2小）,

7T

由/AOC=2/AO8G（0,兀），则0</AO8<5，

OAOB_24_V3jr

又cosZAOB—,则NAOB=z，

\OA\\OB\4X4小2

jr

所以ZAOC=y

8.已知产是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式:

甲：B4+PB+PC=0；

乙：PA(PA-PB^PC(PA-PB)-,

丙：|丽|=|丽|=|正|；

T：PAPB=PBPC=PCPA.

如果只有一个等式不成立，则该等式为()

A.甲B.乙C.丙D.丁

答案B

解析甲：B4+PB+PC=0,则说+沌=-死，故P为△ABC的重心；

乙：PA{PA-PB)^PC(PA-PB),贝1(瓦一西)•&=函-&=0,ikAB±AC,即△ABC为直角

三角形；

丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故尸为△ABC的外心；

T：PARB=FBPC,则(丽一正).丽=4.两=0,同理可得荫・正=无•丽=0,即P为△A8C

的垂心，

当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙

成立时，其他三个至少有两个等式不成立.

9.已知⑷=4,Z>=(-1,0),且(a+2Z>)，"则。与&的夹角为.

答案y

解析由5=(—1,0),得血=1,

因为(a+2b)_Lb,所以(a+25)仍=0,

所以a•5+2庐=0,

所以⑷IMcos<«,b]+2|例2=0,

因为⑷=4,

所以4cos〈a,b)+2=0,所以cos〈a,b)=一],

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因为〈a,b〉£[0,71],所以〈。，b〉=W.

10.（2022•全国甲卷）设向量a,的夹角的余弦值为/且|a|=l,⑸=3,贝lj（2a+力力=.

答案11

解析（2a+Z>）仍=205+52=2⑷向cos（a,b）+|Z>|2=2X1X3X^+32=11.

S合提升练

11.（多选）（2022•佛山模拟）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N,水平拉力

肌的大小为3N,另一力尸2未知，则（）

A.当该物体处于平衡状态时，|尸2|=5N

B.当歹2与Fi方向相反，且|尸21=5N时，物体所受合力大小为0

C.当物体所受合力为用时，|尸2|=4N

D.当甲2尸2N时，3NWE+Fz+G|W7N

答案ACD

解析由题意知，b2的大小等于重力G与水平拉力尸1的合力大小，由图①知|尸2|=5N,故

A正确；

如图②，物体所受合力应等于向量病与月2的和向量的大小，显然B错误;

当物体所受合力为尸1时，说明G与巴的合力为0,所以|尸2l=4N,C正确；

由上知，重力G与水平拉力H的合力为覆），|Ab|=5N,易知当歹2与箭）同向时合力最大,

最大值为7N；反向时合力最小，最小值为3N,

即3NW|Fi+尸2+GIW7N,故D正确.

12.已知向量。=（2,机），*=（3,1）,若向量a,的夹角是锐角，则根的取值范围是（）

A.（—6,+°°）

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+8)

c(-6,I)昭,+8)

D(—6,—|)u(—I，+8)

答案C

解析因为a=(2,m),)=(3,1),

所以ab=6-\-m,

[ab=6+m>0,

因为向量。，力的夹角是锐角，所以..沙

[2—3MW0,

,2

解得m>—6,且

所以实数机的取值范围是(一6,|)U停，+8).

13.(多选)已知。为坐标原点，点A(1,O),Pi(cosct,sina),P2gsasin£),尸3(cos(a—)),

sin(a—£)),则下列选项正确的是()

A.\OPi\=\OP2\

B.丽=|的|

C.OAOPX=OP2'OP3

D.OAOP3=OPVOP2

答案ABD

解析由题意近=(1,0),福的坐标等于4的坐标。=1,2,3),

I丽1=1旗1=1,A正确；

\APT.\=-\I(cosp—l)2+(sin/?—0)2=^/2—2cosp,

IP1P3I=-^[cos(a—^)—cosct]2+[sin(a—^)—sina]2=^2—2[cosacos(a一份+sinasin(a一份]=

"\J2—2cosp,

所以I洞|=|几内，B正确；

OA-OPi—cosa,OP2OP3—COS^cos(a—^)+sin^sin(a—^)=cos(2^—a),C错误；

OA-OP3=cos(a—,OP1OP2—COSacos乃+sinasin£=cos(a一份，D正确.

14.(2023・新乡模拟)在菱形ABC。中，ZBAD