2021年高考数学真题试题(天津卷)(-含答案与解析)

2021年高考数学真题试卷(天津卷)

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共9题；共45

分)

1.设集合A=[-1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},贝！I(力nB)UC=()

A.{0}B.{0,1,3,5}C.[0,1,2,4}D.{0,2,3,4}

【答案】C

【考点】并集及其运算，交集及其运算

【解析】【解答】解：由题意得AnB={l},则(AnB)UC={0,1,2,4}

故答案为：C

【分析】根据交集，并集的定义求解即可.

2.已知aeR,贝〃a>6"是"a?>36"的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不允分也不必要条件

【答案】A

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】解：当a>6时，a2>36,所以充分性成立；

当a?>36时，a<-6或a>6,所以必要性不成立，

故"a>6"是％2>36”的充分不必要条件.

故答案为：A

【分析】根据充分必要条件的定义求解即可.

【答案】B

【考点】函数的值域，奇偶函数图象的对称性

【解析】【解答】解：/(一久)=搭公=器=/(久)，则函数/(无)=署是偶函数，排除A,C,

当xG(O,l)时，ln|x|<0,x2+2>0,则f(x)<0,排除D.

故答案为：B

【分析】由函数为偶函数可排除AC,再由xG(O,l)时，耳x)<0,排除D,即可得解.

4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：

[66,70),[70,74),…,[94,98],并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品

A.20B.40C.64D.80

【答案】D

【考点】频率分布直方图

【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知，评分在区间[82,86)内的影视作品数量是400x0.05x4=80.

故答案为：D

【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.

5.设a=log0.3,b=log20.4,c=。.它，则。，,的大小关系为()

22bc

l\.a<b<c8.c<a<bC.b<c<a0.a<c<b

【答案】D

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的值域与最值

【解析】【解答】解：：log20.3<log21=0,-*.a<0

Vlogi0.4log20.4=log21>log22=1,b>l

2Z

V0<0.4°3<0.4°=l,A0<c<l

.*.a<c<b

故答案为：D

【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a,c,b的范围即可求解.

6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为军，两个圆锥的高之比为1:3,

则这两个圆锥的体积之和为()

A.37rB.47rC.97rD.127r

【答案】B

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)，棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】解：如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D,

设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1,即AD=3BD,

设球的半径为R，则空应=如，解得R=2,

33

所以AB=AD+BD=4BD=4,

所以BD=1,AD=3

VCD1AB,

ZCAD+ZACD=ZBCD+ZACD=90°

；.NCAD=/BCD

又因为/ADO/BDC

所以△ACDs/\CBD

所哨唱

CD=AD-BD^y/3

，这两个圆锥的体积之和为/口XCD2X(AD+BD)=2"X3X4=4n

故答案为：B

【分析】作出图形，求得球的半径，进而求得两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径,

再结合锥体的体积公式求解即可.

7.若2a==10,则工+/=()

ab

A.-1B.lg7C.1D.log710

【答案】C

【考点】指数式与对数式的互化，换底公式的应用

【解析】【解答】解：由2。=5b=10得a=log210,b=log510,

1111

贝咕1=—=l2+IgS=IglO=1

J+g

'ablog210log510»a

故答案为：C

【分析】根据指数式与对数式的互化，结合换底公式求解即可.

8.已知双曲线捺-r=l(a>0乃>0)的右焦点与抛物线/=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交

双曲线于4,B两点，交双曲钱的渐近线于C、。两点，若|CD|=a|48|.则双曲线的离心率为()

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】A

【考点】抛物线的简单性质，双曲线的简单性质

【解析】【解答】解：设双曲线《—9=l(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)的公共焦点为(c,0),

则抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-c

将X=-C代入捺—,=1,得《―r=1,解得y=壬9,所以MB|=?,

又因为双曲线的渐近线为y=H枭，所以|m=手，

所以如=空空，贝隈=&b

aa

所以次=c2—b2=^C2

所以双曲线的离心率为e=-=V2

a

故答案为：A

【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.

2m

9.设aER,函数f(x)={2：：(空、1匚无10,若f(x)在区间(0,+刃)内恰有6个专

-2(a+l)x++5,x>a7

点，则a的取值范围是()

人(2币乂|争B.0,2)U(|,为

C.(2,J]U[^,3)D.62)“斗,3).

【答案】A

【考点】函数零点的判定定理

【解析】【解答】解：：x2-2(a+l)x+a2+5=0最多有2个根，

cos(2nx-2na)=0至少有4个根，

由27Tx-2?ra=9+k口，k6Z>W-x=1+^+a,keZ

由0V—I---Q得一2a——

24F<U2kV——2

⑴当x<a时，当—52a-2V—4时，f(x)有4个零点，即：VaV?；

244

当—64—2a—:V—5时，f(x)有5个零点，即gVa<斗;

Z44

当—7<—2a-<-6时，f(x)有6个零点，即¥Va<芋；

244

(2)当x>a时，f(x)=x2-2(a+l)x+a2+5

△=4(a+l)2-4(a2+5)=8(a-2)

当a<2时,A<0,f(x)无零点;

当a=2时,A=O,f(x)有1个零点；

当a>2时，令f(a)=a2-2(a+l)a+a2+5=-2a+520,贝I]2<a<■!,此时f(x)有2个零点;

所以若a>£时，f(x)有1个零点;

综上，要是f(x)在[0,+8)上有6个零点，则应满足

911

-7<,a</-夕11//13、

44-4<a<4———<a<——

或・或44

2<a<|,a=2或a>"Ia<2，

则a的取值范围是(2,?]U信力

424

【分析】由x2-2(a+l)x+a2+5=O最多有2个根，可得cos(2n:x-2n;a)=0至少有4个根，再结合分类讨论思想,

根据x<a与x>a分类讨论两个函数零点个数情况，再综合考虑求解即可.

二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的

给3分，全部答对的给5分.(共6题；共30分)

1。」是虚数单位，复数器=

【答案】4-i

【考点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】解：由题意得2+要i=屋(2+我i)(一2-i)；)=空5==4一i

故答案为：4-i

【分析】根据复数的运算法则求解即可.

11.在(2炉+：)6的展开式中，久6的系数是

【答案】160

【考点】二项式定理，二项式定理的应用

6

【解析】【解答】解：(2久3+I)的展开式的通项公式是Tr+1=禺(2炉)6-1]=26-r.Cr.x18-4r

令18-4r=6,得r=3

所以%6的系数是23熊=160

【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.

12.若斜率为旧的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-I)2=1相切于点B,则\AB\=.

【答案】V3

【考点】直线的斜截式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：设直线AB的方程为y=+6,则点A(O,b)

:直线AB与圆久2+(y一1)2=1相切

••.掾=1,解得b=-1或b=3

所以|AC|=2

又：|BC|=1

^\AB\=y/\AC\2-\BC\2=V3

故答案为：V3

【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.

13.若a>0">0,则g+b的最小值为.

【答案】2V2

【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用

［解析］［解答］解：Va>0,b>0

•.,"*+b22『l+b="b22E^=2a

当且仅当5=*且：=b，即a=6=a时等号成立

所以，+苴+b的最小值是2鱼.

【分析】利用基本不等式求解即可.

14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次

平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为:和《，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各

次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为,3次活动中，甲至少获胜2次的概率为

【考点】相互独立事件的概率乘法公式，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

【解析】【解答】解：由题意知在一次活动中，甲获胜的概率为=；,

653

则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为禺乂但丫乂工+(43=空

3\3/3\3727

故答案为：P4

【分析】根据甲猜对乙没猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，再根据n次独立重复试验的概率求法求

解即可.

15.在边长为1的等边三角形ABC中，。为线段BC上的动点，DELAB且交AB于点E.且

交AC于点F,则\2BE+DF\的值为;(DE+DF)-DA的最小值为.

【答案】1;弓

【考点】二次函数在闭区间上的最值，向量的模，平面向量数量积的运算

【解析】【解答】解：设BE=x,%G(0,1)

•/△ABC为边长为1的等边三角形，DE±AB

.•.ZBDE=30°,BD=2x,DE=V3x，DC=l-2x

DF//AB

.♦.△DFC为边长为l-2x的等边三角形，DE±DF

/—,\2,f

I2BE+DF\=4BE2+ABE•DF+DF2=4x2+4x(1-2x)・cosO°+(1-2x)2=1

・・・2BE+DF=1

^DE+DF)•DA=(DE+Df)•(oE+£71)=DE2+DF•EA

—+(1—2x)X(1—x)=5%2—3%+1=5(%—卷)+

则当x=总时，(DE+DF)取得最小值为外

故答案为：1,

【分析】根据向量的数量积及向量的求模公式，再结合二次函数的最值问题求解即可.

三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.(共

5题；共75分)

16.在AABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinAsinbsinC=2:1:近，b=

(1)求a的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sin(2C.)的值.

【答案】(1)因为sinAsinbsinC=2:1:a,由正弦定理可得a:6:c=2:1:位,

b—V2,a—2Vxe=2;

8+2—43

(2)由余弦定理可得cosC=

2X2V2XV24

3________________Fj

⑶・••cosC=「；.sinC="—cos2c=7，

sin2C=2sinCcosC=2X—X-=，cos2c=2cos?C-1=2X——1=-，

448168

所以sin(2C--)=sin2Ccos--cos2Csin-=x---X-=.

666828216

【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，余弦定

理

【解析】【分析】(1)根据正弦定理直接求解即可；

(2)根据余弦定理直接求解即可；

(3)根据同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可.

17.如图，在棱长为2的正方体ABC。—中，E为棱BC的中点，F为棱C。的中点.

(1)求证：DrF//平面A1EC1；

(2)求直线4Ci与平面A1ECi所成角的正正弦值.

(3)求二面角4一&Ci—E的正弦值.

【答案】(1)以4为原点，AB,AD,AAX分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系,

则力(0,0,0),4(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),0(020),的(2,2,2),%(0,2,2),

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E(2,l,0),F(l,2,0),

所以D^F=(1,0,-2),41以=(2,2,0),A^E=(2,1,-2),

设平面&ECi的一个法向量为m=(x1,y1,z1),

则j记丽=2/+2%=0,令/=2,则记=(2,-2,1)，

m•A±E=2/+yi—2zi=0

因为印•布=2—2=0，所以D^Flm，

因为%FC平面A1EC1,所以D\F〃平面力出的；

(2)由(1)得，宿=(2,2,2),

设直线4Q与平面力亚的所成角为3,

2_V3

则sin”|cos(或匝=13X2V3-9；

(3)由正方体的特征可得，平面AA1C1的一个法向量为DB=(2,-2,0),

则DBjn)==誓，

cos<\黑DB二\-\।m\=3X2V23

2

所以二面角A—A1C1—E的正弦值为-cos^DB^rn)=g-

【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】(1)根据向量垂直的充要条件求得平面&EM的一个法向量蓝，再利用向量法直

接求证即可；

(2)先求出“，再由sin。=cos<犯4c1>求解即可；

/1C1

fncM・DB

(3)先求出平面A&C1的一个法向量，再由C0S<m>DB>=H一=结合同角三角函数的平方

m-\DB\

关系求解即可.

18.已知椭圆捺+/=1(a〉6>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为等，且出可=4.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与BF垂直的直线交x轴于

点P.若MP//BF,求直线/的方程.

【答案】(1)易知点F(G0)、B(0,b),故\BF\=Vc2+h2=a=V5,

因为椭圆的禺心率为e=£=^^，故c=2，b=Va2—c2=1，

a5

因此，椭圆的方程为-+y2=l；

5J

(2)9+y2=

设点M(%o，yo)为椭圆1上一点,

先证明直线MN的方程为管+y0y=1,

当+y°y=i

联立｛12消去y并整理得/-2久°久+说=0△=4Xg—4%=0,

w+y2=]

因此，椭圆=+y2=1在点M（x0,y0）处的切线方程为誓+y0y=1.

53

11

在直线MN的方程中，令x=0,可得y=，由题意可知y0>0,即点N（0*）,

直线BF的斜率为kBF1，所以，直线PN的方程为y=2x+^,

在直线PN的方程中，令y=0,可得x=一十1,即点P（一1白,0）,

zyozyo

yn2y2i

因为MP//BF，则kMP=kBF,即£巨=藐总=—5，整理可得（x0+5yo）2=O，

2yo

所以，%o=—5yo，因为系+%=6羽=1，•，・%>。，故y（）=彳，%o=-乎，

所以，直线I的方程为—如％+更y=l,即x-y+V6=0.

66

【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）先求出a值，结合a,b,c的关系求得b,从而求得椭圆的方程；

（2）设M（xo,y。），可得直线I的方程争+%'=1,求出点P的坐标，再根据MP〃BF得KMP=KBF,求

得x0,y0的值，即可得出直线I的方程

19.已知｛册｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.｛%｝是公比大于0的等比数列，瓦=4乃3-无=

48.

（1）求｛an｝和也｝的通项公式；

1

（2）记c=Z?2n+—GAf*.

n%

（i）证明｛*—C2n｝是等比数列；

【答案】（1）因为｛期｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

所以的+4+，+。8=8%H---X2=64，所以=1，

所以即=%+2（九一1）=2几一l,n6N*；

设等比数列｛%｝的公比为q,(q>0)，

22

所以b3-b2=bTq-bxq=4(q-q)=48,解得q=4(负值舍去)，

所以bn=bqT=4,716N*；

(2)(i)由题意，Cn=b2n+F=42n+?,

bn4

224

所以cl-c2n=(4"+^)-(4"+^)=2.4",

所以Cn-c2n*0，且，堂_；"2=去-=4，

Gic2n

所以数列｛*-C2J是等比数列;

。施+1__(2九一1)(2九+1)4n2-14n2

(ii)由题意知,2-22n42.22n

Cn-C2n2-4n

建+i/4n2_2n_J_.n

所以2nn71

Jcl-c2n\2-2-V2-2-V2•2T

设7n=2仁1尹=区+耳+齐+•+马，

则箱=*+,+卷+.+F，

两式相减得箱=1+|+^+'+a-年=1：；")一£=2一崇，

2

所以Tn=4—需',

【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，数列

的求和

【解析】【分析】(1)根据等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可；

(2)(i)运算可得鬣一C2n=2•平，结合等比数列的定义即可得证；

(ii)利用放缩法得卷黑<羔，进而可得21花〈专2L霜，结合错位相减法

即可得证.

20.已知a>0,函数/'(%)=ax—久.

(1)求曲线y=/(%)在点(0/(0))处的切线方程：

(2)证明"%)存在唯一的极值点

(3)若存在a,使得/(x)Wa+6对任意xeR成立，求实数b的取值范围.

【答案】(1)/(%)=a-(x+l)ex,贝1J/'(0)=a-l,

又/(0)=0，则切线