2024年新高考数学压轴题 新高考新结构 数列新定义（含答案）

新高考新结构数列新定义-2024年新高考数学压轴

题

新高考新结构大题压轴--数列新定义

一、解答题

k

题目口（2024•浙江•模拟预测）已知实数qWO,定义数列｛4｝如下：如果n=3+23+22,2+■■■+2xk,xiE

k

｛0,1｝,1=0,1,2「，，k，则an=力（）+/q+x2（f~\-\-xkq.

（1）求a7和08（用q表示）;

_n_

（2）令bn=a2n-i，证明：WX=。2”一1；

i=i

（3）若1VqV2,证明：对于任意正整数几，存在正整数a,使得册〈0馆4册+1.

题目囱（2024・浙江温州,二模）数列｛®｝,电｝满足：｛吼｝是等比数列，仇=2,&=5,且如仇+Q2b2+・・・+。人=

2（册-3）0+8（nCN*）.

⑴求a”也；

（2）求集合A=｛剑（2—aj（2-bj=0,iW2n,iGN*｝中所有元素的和；

（3）对数列｛弓｝,若存在互不相等的正整数自施，…向（/>2）,使得cki+ck2+…+c碍也是数列｛cj中的项,则

称数列｛品｝是“和稳定数列”.试分别判断数列｛册｝,｛勾｝是否是“和稳定数列”.若是，求出所有/的值;若

不是，说明理由.

•M

题目§（2024•安徽池州•模拟fit测）定义:若对VkeN*,k>2,Ojt-1+ajt+1<2a/亘成立，则称数列｛册｝为“上凸

数列”.

（1）若飙=工?三,判断｛飙｝是否为“上凸数列”，如果是，给出证明;如果不是,请说明理由.

⑵若｛飙｝为“上凸数列"，则当771>口+2（?72,九GN*）时，。但+。九&。馆-1+每+1.

（i）若数列Sn为｛。九｝的前n项和,证明：S会葭（Q1+Q九）；

（ii）对于任意正整数序列力1,力2,%…,电,…，”（九为常数且九>2,?1eN*）,若〉冠一1》』（彳/一4—1

恒成立，求4的最小值.

题目G（23-24ift三下•浙江•阶段练习）在平面直角坐标系①。"中，我们把点Q’S,eyeN"称为自然点.按

如图所示的规则,将每个自然点卜力进行赋值记为PQ,y），例如R2,3）=8,P（4,2）=14,P（2,5）=17.

—U

7L

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1L。⑥

li

⑴求P(±,l)；

⑵求证：2P(a;,y)=P(x—l,y)+P(x,y+1);

⑶如果P(x,y)满足方程P(x+l,y-l)+P(x,y+1)+PQ+l,y)+"3+l,y+1)=2024,求P(x,y)的

值.

•••

题目回(2024•全国•模拟预测)设满足以下两个条件的有穷数列的,az,…，飙为"(n=2,3,4,…)阶“曼德拉数

列”：

@01+02+03+…+%=0；②laj+|a2|+血|H---b|a„|=1.

(1)若某2k(keN*)阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项斯(1WnW2%,用表示)；

(2)若某2A:+1(kCN*)阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项an(lWnW2k+1,用及九表示)；

⑶记ri阶“曼德拉数列”｛册｝的前七项和为&(k=1,2,3,…，九)，若存在馆6｛1,2,3,…,n｝,使£“=(试问:

数列｛&｝(i=1,2,3,…，切能否为"阶''曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数歹！J；若不能，请说明理由.

题目回(2024南三•全国•专题练习)设数列｛册｝的各项为互不相等的正整数，前八项和为S”,称满足条件

“对任意的小，n6N*,均有(n-rn)S„+m=S+a)(S“一SQ”的数列｛aj为“好”数列.

⑴试分别判断数列｛aj,｛fej是否为“好”数列，其中a“=2九—1,b“=2"T,neN并给出证明；

(2)已知数列｛0｝为“好”数列，其前n项和为Tn.

①若。2024=2025,求数列｛cj的通项公式；

②若Ci=p，且对任意给定的正整数p,s(s>l),有5,Cs，G成等比数歹！J,求证：t>s2.

题目1(2024•湖南国旭•二M)已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一项是2°,接

下来的两项是2°,2],再接下来的三项是2°,21,22,依此类推.设该数列的前九项和为必，规定:若mmC

N*,使得Sm=2P(peN),则称馆为该数列的“佳幕数”.

(1)将该数列的“佳幕数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幕数”；

(2)试判断50是否为“佳幕数”，并说明理由；

(3)(i)求满足巾＞1000的最小的“佳事数”m；

(ii)证明:该数列的“佳暴数”有无数个.

【题目回(2024•辽宁大连•一模)对于数列AaiQQSiCN,i=1,2,3),定义“T变换”：T将数列A变换成数

列B：瓦也,与，其中"=旧+「a,|(i=1,2),且b=|a3-ail.这种“T变换”记作B=T(A)，继续对数列B进行

“T变换”，得到数列Ue”?g,依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.

⑴写出数列43,6,5经过5次“T变换”后得到的数列：

⑵若电,a2,&3不全相等，判断数列力：的42也不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；

(3)设数列42020,2,2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值.

题目回（23—24方三下•江苏南通•模拟预测）设正整数n>3,有穷数列｛斯｝满足0（i=1,2,…,力,且电

+。2+—n，定乂积值S=Q/电an.

⑴若n=3时，数列居J,界与数列｛/，|■，喇的S的值分别为&，S2.

①试比较Si与S2的大小关系；

②若数列｛册｝的S满足min｛S,S2｝VSVmax｛S,S2｝,请写出一个满足条件的｛期｝;

⑵若n=4时，数列｛ai,a2,a3,a4｝存在i,，E｛1,2,3,4｝,使得&V1V%•，将的，Q）.分别调整为a~a^aj—l,4

=1,其它2个州（k#i,/）,令成=&.数列｛QIQSQ｝调整前后的积值分别为S,S',写出S,S'的大小关系并

给出证明；

（3）求S=的・02。九的最大值，并确定S取最大值时…,为所满足的条件，并进行证明.

题目[[[(23-24高三下懵南省直林县级单位•模拟覆测)由九x九个数排列成n行外列的数表称为九行n

an©201301九

。21出2。23。2九

列的矩阵，简称八x九矩阵，也称为九阶方阵,记作：AM=031。32a33。3九其中a旬

1Qnian2册3Q/wi)

(ieN*,jEN*,ij<n)表示矩阵A中第i行第/列的数.已知三个n阶方阵分别为A(n,n)=

'Qn012,的九b]_2、’CnC12C13•

电3,瓦3,,bin,5、

b2&23,,b2

021。22电3,,"2n匕212rlC21C22C23,,C2n

^31

,«3n,b3n，C31c32C33,，其中

。31恁2。33,,B(n,n)=匕32匕33,C(n,n)=,C3n

I%b2b3,,b)Ic?ii

'Q*7ll为2a?i3.*0加，nnnnC?i243,*C?m，

aij9bijfc^jE7V*,iJ<n)分别表示4"，几),_8(口,几),。(九,打)中第i行第/列的数.若“=(1—〃)％•+〃％

(〃6_R),则称是74(%n),_B(n,H)生成的线性矩阵.

3

24

(1)已知4(2,2)二,B(2,2)4，若。(2,2)是4(2,2),现2,2)生成的线性矩阵，且“=3,求。

1112

(2,2)；

Qn的2,*^ln%与2…bln\

332•-3n12n

(2)已知Vn£77*,72>3,矩阵4(72,72),B(n,n)=，矩阵C(n,n)

b2rl,…b)

I九^2n,'blnn1n

是4",h),_8(几,九)生成的线性矩阵，且。2尸2.

⑴求c23，c2fc(fceN*,k&n)；

n

(优)已知数列｛fen｝满足bn=n，数列｛dj满足或=，数列｛服｝的前几项和记为方,是否存在正整数

2c2n-n

zn,n,使黑=妒成立？若存在，求出所有的正整数对(小,n)；若不存在,请说明理由.

题目叵〕（23-24高三下•安徽•模拟预浏）基本不等式可以推广到一般的情形:对于九个正数的,a2,…，为，它

们的算术平均不小于它们的几何平均，即ai+a?+…+为>-他…册,当且仅当a产a?=•••=M时，等号

n

成立.若无穷正项数列｛时｝同时满足下列两个性质:①mM>O,Q九VM；②｛QJ为单调数歹!J,则称数列

｛an｝具有性质P.

（1）若册=口十冬,求数列｛an｝的最小项；

1n

（2）若勾=—，记Sn=”，判断数列｛Sn｝是否具有性质P,并说明理由；

2-1i=i

（3）若品=（1+1）”,求证:数列｛品｝具有性质P.

\n7

颔目叵（2024•山东泰安•一模）已知各项均不为0的递增数列｛&｝的前几项和为S”,且a产2,。2=4,anan+i

=2sh（Sn+i+S所l2S/（九GN,且>2）.

（1）求数列｛专｝的前n项和黑；

（2）定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G—数列”.证明：

①对任意％W5且%eN*,存在“G—数列”｛&｝，使得既<ak<bk+1成立；

②当k>6且kCN*时,不存在“G—数列”｛品｝，使得c.m<am<cm+1对任意正整数m&k成立.

■目口i]（2024•河南信阳•一模）定义：max｛a⑸=min｛a,b｝=?己知数列｛厮｝满足an

[b,a<Zb,[a,aVb,

+min｛an+i,an+2｝=max｛an+i,an+2）-

（1）若Q2=2,“3=3,求Qi，Q4的值；

（2）若\/neN*,3fcGN*，使得为恒成立.探究:是否存在正整数0,使得Qp=0,若存在，求出p的可能

取值构成的集合;若不存在,请说明理由；

⑶若数列｛厮｝为正项数列，证明：不存在实数4使得VneN\an<A.

题目五（2024・广东・模拟《（测）已知数列｛飙｝与｛0｝为等差数列，<12=63,5=2瓦，｛飙｝前几项和为

19-+n2

2'

（1）求出｛&｝与｛6J的通项公式；

（2）是否存在每一项都是整数的等差数列｛品｝,使得对于任意nEN+,品都能满足限+1”「刈4品

.若存在，求出所有上述的｛册｝,若不存在，请说明理由.

4鼠+6J:10n―阖

•M

题目叵］（2024•吉林白山•二《）已知数列｛&｝的前九项和为S”,若数列｛厮｝满足:①数列｛斯｝项数有限为

N

N；②SN=。；③Z&I=1，则称数列｛册｝为“N阶可控摇摆数列”.

i=l

（1）若等比数列｛aj（l<n<10）为“10阶可控摇摆数列”，求M的通项公式；

（2）若等差数列｛厮｝（12m,mEN*）为“2m阶可控摇摆数列”,且am>求数列｛册｝的通项公式；

N

（3）已知数列｛%｝为“N阶可控摇摆数列”，且存在1WznWN,使得2屈=2s“，探究:数列｛Sj能否为“N

2=1

阶可控摇摆数列"，若能，请给出证明过程;若不能，请说明理由.

题目五）（2024•安徽合质―模）“g-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数,对任意ne

N*，定义“q-数”（九）尸1+q+…+q"T利用“g_数”可定义“q—阶乘"⑹!=（1）,（2）,-（喻,且（0）!尸1.

和“q—组合数”，即对任意kCNmeNAWn,（"）=--■儿、

\k）q（S—k儿

⑴计算：（：）；

\2

（2）证明：对于任意k,neN*,k+l（1）=（［；）k1）

（3）证明：对于任意瓦rneN,neJtA+iWn,.

题目112024•福堂泉州•模拟fWl）（a,b）表示正整数a,b的最大公约数，若｛%如…应｝G

｛1,2「-,加｝（府,山67\0，且\//6｛0,；1；2「-,以｝，（必,小）=1，则将用的最大值记为。（机），例如：。（1）=1，

0（5）=4.

⑴求W⑵，*（3）,<p⑹;

（2）己知（771,九）=1时，0（河）=卬（馆）？5）.

（i）求卬（6"）；

⑻设r=3仪6；=p数列｛bn］的前几项和为雪，证明：北〈*.

题目口口(2024•河南开封•二《)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密

算法中的应用.设是两个正整数，若的最大公约数是1,则称互素.对于任意正整数九，欧拉

函数是不超过九且与n互素的正整数的个数，记为＜p(n).

(1)试求矶3)”⑼,以7)3(21)的值；

(2)设几是一个正整数，p,q是两个不同的素数.试求p(3"),p(pq)与p(p)和(p(q)的关系；

(3)RSA算法是一种非对称加密算法,它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥.具体而言：

①准备两个不同的、足够大的素数p,q；

②计算n=欧拉函数3(n);

③求正整数％，使得初除以公九)的余数是1;

④其中M称为公钥，⑺#)称为私钥.

已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17).若满足题意的正整数k从小到大排列得

到一列数记为数列｛aJ,数列｛弓｝满足80c”=鼠+47,求数列｛tanc/tanc„+i)的前n项和Tn.

题目」fJ(2024•全国•二#)已知由m(m>3)个数构成的有序数组A(的5,…,如)，如果|a「a』W

血—俳+」(i=2,3,…,小—1)恒成立，则称有序数组力为“非严格差增数组”.

⑴设有序数组？：(2,3,0,4)©：(1,2,3,0,4),试判断。@是否为“非严格差增数组”？并说明理由；

(2)若有序数组R：(1J,四…㈤1)(力丰0)为“非严格差增数组”，求实数t的取值范围.

题目,(2024•海南盾直林县级单位•一模)若有穷数列©Q,…,期("是正整数)，满足a尸a?J.i+1(ieN,且

1WiWn),就称该数列为“S数列”.

⑴已知数列｛0｝是项数为7的S数列,且仇也,瓯成等比数列，瓦=2&=8,试写出｛bn｝的每一项；

(2)已知｛弓｝是项数为2A:+l(k>1)的S数歹！J,且以+1&+2,…,构成首项为1。0,公差为—4的等差数

歹！J,数列｛C„｝的前2k+1项和为S2M+1，则当k为何值时，$2川+1取到最大值？最大值为多少？

(3)对于给定的正整数馆>1,试写出所有项数不超过2小的S数列，使得1,2,22,…,2，1成为数列中的连续

项；当山>1500时，试求这些S数列的前2024项和S2024.

13

题目叵1(2024•江苏徐州•一模)对于每项均是正整数的数列P：5,<12,…,M，定义变换n，n将数列p变换成

数列((P)：n,5—142—1,…,斯—L对于每项均是非负整数的数列Q：瓦电，…,"，定义S(Q)=2®+2b2

+…+e心)+优+用+…+%，定义变换冕，£将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项,得到数

列6(Q).

⑴若数列R)为2,4,3,7,求S(7](玲)的值；

(2)对于每项均是正整数的有穷数列冗，令兄+尸冕(Z(婷))，kEN.

⑴探究S(Z(R))与S(R1)的关系；

(近)证明：S(娓+J<S0).

：题目区(2024•湖南•二M)已知数列｛厮｝的前几项和为S”,满足2S0+an=3；数列｛bJ满足勾+0+产2n+

1,其中瓦=1.

⑴求数列｛%｝,｛&“｝的通项公式；

(2)对于给定的正整数i(i=1,2,…,ri),在出和火+1之间插入i个数，使df,ca,Cu,ai+1成等

差数列.

(i)求Z>=C11+C21+C22+—Fcni+c„2+—Fcnn；

bm-1H---

(M是否存在正整数小,使得一:一卢岩屋恰好是数列｛4｝或｛跄｝中的项？若存在，求出所有满足条件

Um127^-3

的小的值;若不存在，说明理由.

•••

题目区(2024•广西南宁•一模)若无穷数列｛斯｝满足a产0,|4+「为|=/(切，则称数列｛&｝为0数列，若6

数列｛册｝同时满足a”4汽工，则称数列｛aj为y数列.

(1)若数列｛册｝为6数列，/(九)=1,九CN*,证明：当nW2025时，数列｛册｝为递增数列的充要条件是a2025

=2024；

(2)若数列｛0｝为7数歹！J,/S)=九，记品=%，且对任意的nCN*,都有品＜%+i，求数列｛cj的通项公式.

题目包)(2024•山东青岛•一模)记集合S={{a川无穷数列{aj中存在有限项不为零，MN*},对任意

{an}eS,设变换/({aj)=ai+a2tH-------------,a;CR.定义运算®:若{%},{勾}CS,则{出}®{bj

CS,f({a„}®{6„})=/({an}),/({M)-

(1)若{册}®{6“}=历4},用的,<1243，&4，匕1也,63也表示巾4；

(2)证明：({a„}®{bn})®{c„}={an}®({6„}®{cn})；

悬l<n<100r/XV03-n1

(3)若斯=(n(n+D，?>„=<21<n<500，{或}={a”}㊈{吼}，证明：dzooV^.

0,九>10010，n>500

题目区(2024•河南•一模)在正项无穷数列｛斯｝中，若对任意的MN*,都存在meN*,使得册a“+2产

(-mV,则称｛④｝为m阶等比数列.在无穷数列也｝中，若对任意的九eN*,都存在meN*,使得bn

+鼠+2“尸26.+a，则称｛0｝为m阶等差数列.

(1)若｛an｝为1阶等比数列，的+&2+613=:a3+a4+a5=磊，求｛斯｝的通项公式及前几项和；

(2)若｛斯｝为小阶等比数列，求证：｛Inaj为m阶等差数列；

(3)若｛册｝既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：｛册｝是等比数列.

新高考新结构大题压轴--数列新定义

一、解答题

k

题目工（2024•浙江•模拟预测）已知实数q片0,定义数列｛%｝如下:如果n=330+2^+2^2+■■■+2xk,xie

k

｛0,1｝,1=0,1,2「,，k，则an=力（）+/q+x2（f~\-\-xkq.

（1）求a7和08（用q表示）;

九

（2）令bn=a2n-i，证明：Z"=。2”一1；

i=i

（3）若1VqV2,证明：对于任意正整数几，存在正整数a,使得即〈（1馆《册+1.

【答案】（1）。7=1+q+/,。8=Q3

（2）证明见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案；

n

（2）6九=a2n-x—0-',分别计算〉仇和。2f可证明结论；

i=l

（3）先根据a2n~\—q"T无上界说明存在正整数Tn,使得an<a体分m—1是偶数和m—1是奇数分别说明.

【详解】（1）因为7=1+2+2、所以a7—1+q+q?;

因为8=23,所以。8=Q3;

XI

2n-1

（2）由数歹4｛册｝定义得：bn=ar-i—（fT;所以y^bj=1+q+Q+—bQ.

i=l

而2n-l=1+2+22+…+2九-1,

n

2n-1

所以a2n-i=1+q+QH----Fg=>加

i=l

72-1

（3）当1VqV2,由（2）可知，aT-i—q无上界，故对任意诙,存在0m，使得am>an.

设772是满足%九的最小正整数.下面证明。馆<Q九+1.

2k

①若Tn—1是偶数，设?n—1=2X1-\-2X2-\-—\-2xk,XiE｛0,1｝,i=1,2,…,k,

则m=1+2g+2?62+—F2k秋，于是am=1+xxq+/2/+—\-xk（^—1+。馆_卜

因为。九>am.i，所以am=1+am.!<an+l.

②若m—1是奇数，设772—1—1+2+2?+—F2‘+2'+2g+?+—卜2卜秋,

/+1222

贝1am—am-i-Q—（1+q+Q+—Fq'）—（q—1）（1+q+Q+—Fq"）—（1+q+Q+—Fq'）+11.

所以am<am_i+l<an+l.

综上所述，对于任意正整数九，存在正整数使得an<。馆&an+l.

题目囱（2024•浙江温州•二«）数列｛厮｝,但｝满足：｛6J是等比数列，瓦=2Q=5,且a/i+a2b2+-+anbn=

2（Q九一3）与+8（nEN*）.

⑴求为也；

（2）求集合力=｛力|（力一Q0（力一几）=0,i42%iGN*）中所有元素的和；

⑶对数列｛cj,若存在互不相等的正整数自施，…向(/>2),使得Cki+Ck2+…+c与也是数列｛cj中的项，则

称数列｛品｝是“和稳定数列”.试分别判断数列｛册｝,｛6“｝是否是"和稳定数列”.若是，求出所有/的值;若

不是，说明理由.

【答案】(1)斯=3n—1,bn=2"

rlog2(6n-l)+l~l

(2)6n2+n+22n+1-1-4L2」一［■

oo

⑶数列｛&｝是“和稳定数列“J=3m+l,(mGN*),数列｛8｝不是“和稳定数列”，理由见解析

(分析］⑴根据已知及等比数列的定义求出｛&„)的通项公式，由已知和求通项可得｛%｝的通项公式，

(2)根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果

(3)根据''和稳定数列”的定义可判定.

【详解】⑴：电仇=2(%—3)瓦+8,d=2,5=2

又a/i+a2b2=2(&2—3)瓯仇=2,的=2,(X2=5,解得:历=4

因为｛bj是等比数列，所以仇｝的公比q=与=2,.・&=2n

bi

又当九>2时，a1b1+a2b2-\----l-an_ifen_i=2(an_1-3)bn_i+8,

作差得：aj)n=2(an-3)&n-2(an-i-3)bn-X

将bn=T代入，化简：an=2(Q九一3)—(Q*L-3),

得：an—an-x—3(n>2)

:.｛an｝是公差d=3的等差数列,/.an=。什⑺—l)d=3n—1

(2)记集合A的全体元素的和为S,

2

集合7W=｛。卜电,…,电九｝的所有元素的和为A2n=2—(6.I+、'=6n+n,

2(1-22n)

集合N=｛仇也，…也J的所有元素的和为B—22n+1-2,

2n1^2~~

集合河PIN的所有元素的和为T,则有s=4廿62rl—T

对于数列｛bj:

当口二2k—l(kGN*)时，瓯-尸22fc_1=(3-l)2fc-1=3p-l(pGN*)是数列｛册｝中的项

当n=2k(kEN*)时，b2k=2b21=2(3p-1)=3p—2(pEN*)不是数列｛QJ中的项

.TLII.IIA甘出j。2人14a2nlog(6n-1)—1log(6n—1)+1

・・・7=8+仇+…+匕21,其中＜=＞----2---5----------＜卜4------2-----5----------

1%+1＞。2九22

即卜=「°82(6九2~1)+［(其中［句表示不超过实数力的最大整数)

/rlog(6n-l)+11\

「二2(f=4(4fc-l)=4(4L22

1-4oo

rlog2(6n-l)+l-|

.-.S=6n2+n+22n+1—1-4L2--

oJ

⑶①解：当j=3m,(mGTV*)时,akx+ak^\---HQ同是3的正整数倍,

故一定不是数列｛册｝中的项；

当j=3m—1,(m6N*)时，---卜铀=l(mod3)，不是数列｛册｝中的项；

当」=3m+1,(mEN*)时，。刖+%~|---卜。同=2(mod3),是数列｛QJ中的项;

综上，数歹”｛册｝是"和稳定数列“，/=3m+1,(mEN*);

②解:数列｛bj不是“和稳定数列”，理由如下：

不妨设：103〈口〈・・・〈期,则了+b后+,・•+%>与,且

"+%+•••+既户仇+戾+•“+%=2'+22+…+2"=2”-2<2”=*

故瓦,+履+…+瓦，不是数列®｝中的项.

数列｛bj不是“和稳定数列”.

题目⑼(2024•安微池州•模拟预测)定义:若对VkCN*#>2,afc.1+afc+1<2&恒成立，则称数列｛册｝为“上凸

数列”.

(1)若飙=工?二1,判断｛aj是否为“上凸数列”，如果是，给出证明;如果不是,请说明理由.

(2)若｛aj为“上凸数列"，则当？7Z>71+2(?TZ,71GN")时，am+an<am-i+an+1.

(i)若数列S“为｛aj的前九项和,证明：S言治(如+源)；

x

(ii)对于任意正整数序列xn(n为常数且2,nGN*)，若"J*—1>yj(^2i一力一1

恒成立，求4的最小值.

【答案】(1)是，证明见解析

⑵(i)证明见解析；(ii)n-l

【分析】⑴构造函数/(±)=/^不1产1一利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定

即可；

(2)(i)利用“上凸数歹4”定义及倒序相加法证明即可;令斯=Vn2-1,利用条件及数列求和适当放缩计算

即可.

【详解】(1)｛%｝是“上凸数列”，理由如下：

222

因为an=Vn—l,an+i—a„=-\/(n+l)—1—Vn—1,

令/(c)=J(a;+1)2—1—Vx2—1,c>1,

则4/=2+1_________x__=J(1+l)3(a;-1)-Jd3+2)

、XJQ+1)-Va；2-1J(rc+1)2—1-Vrc2-1

当a;21时，(/+l)3(rr—1)—x3｛x+2)——2x—l<0,

所以JQ+l)3(c-1)<y/x3(x+2),

所以『(c)<OJ(a;)在区间［L+8)上单调递减，

所以/(n)>/(n+l),a„+i-a„>an+2-an+1,

所以an+2+an<2an+1,

所以｛QJ是“上凸数列”.

（2）（i）证明：因为｛册｝是“上凸数列”，由题意可得对任意九（iGN*）,

七十为一计1>七一1+厮一计2>鱼一2+%-计3~>电+。n-1>

所以2Sn=（QI+Q九）+（a2+an_i）H---b（an_i+a2）+（Q九+的）》ZI（QI+Q九）,

所以S含3（QI+Q九）.

12

（ii）解：令an=Vn—1,

由⑴可得当册=工?二I时，｛QJ是“上凸数列”，

由题意可知，当m^n+2（m,nGN*）时，am+an<am-i+an+i，

n____________________

因为WJ冠-i—J冠—i+J曷—i+Vx1—i+,,,+，R—i，

4=1

n______________

即，—i—vXi—i+J曷一i+J届—1+…

4=1

n__________________________________

所以ZJ*—1>J(力i—g+l)2—1+V^2—1H—H

2=1

当且仅当Xi=劣2=・"=/九-1时等号成立，

所以；1>九一1.

综上所述，4的最小值为n—1.

题目团（23-24:高三下•浙江•阶段练习）在平面直角坐标系，中，我们把点Q,g）,，,?/eN*称为自然点.按

如图所示的规则,将每个自然点（⑨y）进行赋值记为P｛x,y），例如P⑵3）=8,P（4,2）=14,P（2,5）=17.

,*:'

7.0@-@⑰-,

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3.⑥e®®-⑰T

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1234567x

⑴求P(%,1);

(2)求证:2P(力,v)=P(力一l,g)+PQ,g+1);

⑶如果P(x,y)满足方程P(力+1,7/—1)+P(x,y+1)+P(x+l,g)+P(x+l,g+1)=2024,求P(x,y)的

值.

【答案】⑴p(2,1)=M'jl)

(2)证明见解析

(3)474.

【分析】(1)根据图形即可得到结果；

⑵根据题意，由图形分别计算P(x,y｝与P(x,y+1)+P(x-l,y),然后代入计算，即可证明；

(3)根据题意,将方程转化为P(x,y+1)+3P(x+l,y)=2023,然后化简，分别计算a:+3=31与a;+夕=33

的值，即可得到结果.

【详解】(1)根据图形可知P(2,1)=1+2+3+…+/=J0.

(2)固定2,则P(c,。)为一个高阶等差数列，且满足

P(x,y+1)-P8,y)=x+y-l,P(x+1,7/)-P(x,y)=x+y,

所以P(N,g+1)—F(rc,l)=1+2H---Vy+y(x—1)="+y(x—1)

P(c+l)="ug-1)+石旦

所以R硒X^p+aj+l工T)("T),P(工—1而=义守+叱”+(工—2)(。-1)，

所以

z~r、x(x—1)y(y—1)/c、/-U(,+l)/—X(X+1)

P(x,y+1)+P(x-1,沙)=+--+(c—2)(夕-1)+---+y(x-1)+=x9

-\-y2-\-2xy—3g—力+2=2P(x,y).

⑶P(力+l,g—1)+PQ,g+l)+P(力+Lg)+F(a?+l,y+1)=2024,

等价于P(x,y)++1)+P(x+Lg)+P(x+l,g+1)=2023,

等价于P(%,g+1)+3P(x+1,7/)=2023,

即"3+1)+此+2/-1)]+拼3+1)(/+2)+(v—1)(v+2刈=2023,

化简得y2-\-2xy+x2—y+x—10100(力+g—1)(劣+g)+2/=1010,

由于力+g增大，(/+g—1)(力+p)也增大，

当re+g=31时，(力+g—1)(力+g)+2/V992<1010,

当力+g=33时，(力+。-1)(%+g)+21>1056>1010,

故当力+g=32时，(力+g—1)(力+g)+2力=1010=>力=9,y=23,即F(9,23)=3：如+8义

22=474

【点睛】关键点睛：本题主要考查了数列的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解图形的意思，然

后转化为数列问题进行解答.

题目回（2024•全国•模拟预测）设满足以下两个条件的有穷数列的,az,…，飙为"（n=2,3,4,…）阶“曼德拉数

列”：

@01+02+03+…+%=0；②laj+|a2|+血|H----b|a„|=1.

（1）若某2k（keN*）阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项斯（1WnW2%,用表示）；

（2）若某2A:+1（kCN*）阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项an（lWnW2k+1,用及九表示）；

⑶记ri阶“曼德拉数列”｛册｝的前七项和为&（k=1,2,3,…，九），若存在馆6｛1,2,3,…,n｝,使£“=（试问:

数列｛&｝（i=1,2,3,…，切能否为"阶''曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数歹！J；若不能，请说明理由.

【答案】⑴@=/（-1尸或册=—七（—1厂

ZrvZifv

n

（2）an=1一］（nCN*,九W2/c+1）或an=-+GN*,n<2/c+1）

k（/c+l）kfc（fc+1）k

（3）不能，理由见解析

【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；

（2）结合曼德拉数列的定义，首先得念+1=0,必+2=&然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求

解；

（3）记ai,a2,…,即中非负项和为A,负项和为B,则A+_B=0,A—B=1,进一步£"<《（/（;=1,2,3,,

结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.

【详解】⑴设等比数列…,Q2k（%>1）的公比为q.

=

若qW1,则由①得QI+Q2H----Fa-2fc―=0,得q=—1,

l-q

由②得a尸表或a尸一段•

若q=1,由①得,ar2k=0,得Q产0,不可能.

综上所述，q=—1.

•**an=』（一1）九T或0n=一段（_1厂T.

⑵设等差数列01,02,。3,…,。2k+1（k>1）的公差为d,

=

1«*Q1+Q2+Q3H--------Ha2fc+i°，

/、2%(2%+l)d

・・・(2f7c+1)的+—~~—=0,Qi+kd=0,

即ak+l=0,，ak+2=d,

当d=0时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾,

当d>0时，据“曼德拉数列”的条件①②得,

。卜+2+。k+3H---------Ha2fc+i=y=—(电+a2H--------Fafc),

]

/.kd+即d

k(k+l)

由鹤尸0得a1+k-标1y=。，即a尸一木

an=—-1+(n—1)―-=——----^-(nGN*,n<2fc+1).

fc+1i7fc(fc+l)fc(fc+l)ky)

当dvo时，同理可得存+处J)d=一十,

即6:―———.

fc(fc+l)

由明尸。得=即a产+'

‘‘fc+1(九1)fc(fc+1)fc(fc+1)k，)

71n

综上所述，当d>0时，・・.。日=,、一}SeN*,几42k+l),当dvo时,an=一一z+

fc(fc+1)k