云南省开远市2023-2024学年高二年级下册3月月考试题数学

开远一中2024春季学期高二3月月考测试

数学

考生注意：

1.本试满分150分，考试时间120分钟.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.集合人国1叱叫，集—2"｝,则一8=（）

A（0,1]B,（0,2]C,[-2,1]D,[-2,2]

2.已知i是虚数单位，在复平面内，复数-1+i和1-i对应的点间的距离是（）

A.0B.1C.V2D.272

3.2023年5月，浙江卫视《奔跑吧11》第四期节目打卡爽爽的贵阳城.周深在内的兄弟团成员和以刘宇等

为成员的INTO1组合与来自贵阳社会各界的400位青年一起在贵州大学体育馆唱响了一场“青春歌会”.节

目组在前期准备工作中统计出了排名靠前的10首人们喜欢的赞颂青春的歌曲.在活动中，兄弟团成员要从

这10首歌曲中竞猜排名前5名的歌曲，则在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率为（）

322551

A.——B.—C.-----D.-----

6363126252

若E=3,&+邑=18,则其='

4.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S）,.()

24

A.21B.48C.75D.83

21

5.已知a>0,b>0,直线（a—l）x+y—l=0和x+2勿+1=0垂直，则一+一的最小值为（）

ab

A.2B.4C.8D.16

6.在三棱锥尸—48。中，尸4尸民尸。两两垂直，且P4=l,尸3=2，尸。=3,三角形48c重心为G,则

点尸到直线4G的距离为（）

A-B.叵C.mD.叵

331717

7.直线/经过抛物线「=6x的焦点尸，且与抛物线交于A,B两点.若厂|=3忸厂则|45|=（)

99

A.4B.-C.8D.

24

422

8.已知。=ln—,b=—,c=sin—,贝ij()

377

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.a<c<b

二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知二项式（3x-l）”的展开式中各项的系数的和为128,则下列结论中正确的有（）

A.展开式共有7项B.所有二项式系数的和为128

C.只有第4项的二项式系数最大D.展开式的常数项为-1

10.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y=Zsinof,我们听到的声音是由纯音合成,

称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数/（x）=sin；x-gsinx,则下列结论中正确的是（）

A./（X）是奇函数B./（x）在区间（0,2兀）内有最大值把

4

C./（x）的周期是27rD./（x）在区间（0,2兀）内有一个零点

11.已知曲线C：+匕=1的焦点为片，F2,点尸为曲线。上一动点，则下列叙述正确的是（）

4—mm

A.若加=1,则△「周耳的内切圆半径的最大值为指-2

B.若加=3,则曲线C的焦点坐标分别是大卜亚,0）,巴（亚,0）

C.若曲线。的离心率为e=2®，则7=-2或根=6

3

7T

D.若曲线。是双曲线，且一条渐近线的倾斜角为一，则％=-2

3

12.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.若空间向量万=。,0,1）,6=（0,1,-1）,则万在B上的投影向量为］（）,—$；］

—■2—-1—■1—-

B.若对空间中任意一点。，有。尸=—Q4——OB+-OC,则P,A,B,。四点共面

362

c.若空间向量彳，B满足限3>0,则彳与B夹角为锐角

D.若直线/的方向向量为玩=(2,4,—2),平面0的一个法向量为万=(—1,—2,1),贝!

第H卷(非选择题共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知角0的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点(-1,6)在角a的终边上，则

sin2。=.

14.已知随机变量X,y,其中X〜8，,；),y〜N(〃,b2),E(x)=E(y),P(r]<2)=0.3,则

P(Y>6)=.

15.若函数/(x)=》3-gaY+x在［1,3］存在单调递减区间，则。的取值范围为.

16.如图，A、3两点分别在尤、V轴上滑动，OP1AB,P为垂足，尸点轨迹形成“四叶草”的图形,

若48=2,则△CMP的面积最大值为.

四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.设Sn为数列｛4｝的前〃项和.已知4%-3Sn=n.

(1)证明：数列是等比数列;

(2)设〃=log2(3a,2+1),求数列<—>的前n项和Tn.

18.在锐角中，角A、B、。所对的边分别为。、b、c.

@2acosB+b-2c=Q；②5£+£=/_；③taaB=卷。+一.

cosBbsin28V3tanC-l

在以上三个条件中选择一个，并作答.

(1)求角A；

(2)已知的面积为6，40是5。边上的中线，求4D的最小值.

19.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过

选拔，高一年级有工的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有工的学生成为公益活动志愿者.

34

(1)设事件5="在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件&="在三个年级中随机抽取1名学

生，该生来自高i年级”(7=1,2,3).请完成下表中不同事件的概率并写出演算步骤：

事件概率尸(4)尸(叫4)P(3⑷P(B)

]_

概率值

3

(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概

20.已知多面体的底面48c。为矩形，四边形广为平行四边形，平面£8。J■平面48CD,

FB=FC=BC=2,AB=4,G是棱CF上一点.

(2)当5G〃平面NEE时，求BG与平面QEG所成角的正弦值.

21.在直角坐标平面内，已知/(-2,0),3(2,0),动点p满足条件：直线P4与直线尸3斜率之积等于-；，

记动点尸的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)过直线/：x=4上任意一点。作直线勿与,分别交E于"，N两点，则直线跖V是否过定点？

若是，求出该点坐标；若不是，说明理由.

22.牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先

猜想某个方程/(x)=0的其中一个根r在x=x0的附近，如图所示，然后在点(%,/(%))处作/(x)的切

线，切线与x轴交点的横坐标就是为，用为代替毛重复上面的过程得到巧；一直继续下去，得到吃,为,

々，……,Xn.从图形上我们可以看到X1较不接近r,々较为接近7•，等等.显然，它们会越来越逼近厂.于

是，求「近似解的过程转化为求X.，若设精度为名则把首次满足氏-工"/<£的当称为〃的近似解.

己知函数/(%)=1+(4-2卜+0,<7eR.

(1)当a=1时，试用牛顿迭代法求方程/(x)=0满足精度£=0.5的近似解(取飞=-1,且结果保留小

数点后第二位)；

(2)若/(x)—1nx»o,求。的取值范围.

开远一中2024春季学期高二3月月考测试

数学

考生注意：

1.本试满分150分，考试时间120分钟.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1集合/={x|log2X«0},集合8=卜表4},则一8=()

A.(0,1]B,(0,2]C,[-2,1]D,[-2,2]

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式求出集合48,利用交集的定义得出结果.

【详解】：/=何log2x<0}=log2x<log21}=1x|0<x<1},

B=1x|x2<4|=-2<x<2j,

zn8={xio<x〈i},即/nB=(o[].

故选：A.

2.已知i是虚数单位，在复平面内，复数-1+i和1-i对应的点间的距离是()

A.0B.1C.V2D.272

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.

【详解】由于复数-1+i和1-i对应的点分别为(—U),(1,-1),

因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为7(-1-1)2+(1+1)2=272.

故选：D.

3.2023年5月，浙江卫视《奔跑吧11》第四期节目打卡爽爽的贵阳城.周深在内的兄弟团成员和以刘宇等

为成员的INTO1组合与来自贵阳社会各界的400位青年一起在贵州大学体育馆唱响了一场“青春歌会”.节

目组在前期准备工作中统计出了排名靠前的10首人们喜欢的赞颂青春的歌曲.在活动中，兄弟团成员要从

这10首歌曲中竞猜排名前5名的歌曲，则在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率为()

322551

A.—B.—C.-----D.-----

6363126252

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用排列、组合求出试验的基本事件总数及事件所含基本事件数，再利用古典概

率计算作答.

【详解】依题意，10首歌曲任意排列名的试验有A；；个基本事件，

恰好猜对2首歌曲的事件8含有C；C；A；A；个基本事件，

所以在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率P(B)=。5父5A5=10x10x120=21.

A；：10x9x8x7x663

故选：B

4.已知等差数列｛%｝的前〃项和为若百=3,^+^=18,则$5=()

A.21B.48C.75D.83

【答案】C

【解析】

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,利用等差数列的求和公式求出d的值，再利用等差数列的求和公式

可求得&的值.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,则用厂+24

nn-01+2

又因为q=&=3,则——H——=a,-\----F<7,H—d=2G.+2d=6+2d=18,解得d=6,

2422

5x4

因此，S5-5ax+2d=54+10d=5x3+10x6=75.

故选：C.

21

5.已知a>0,b>0,直线(a—l)x+y—l=0和x+2勿+1=0垂直，则一+一的最小值为()

ab

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得出。+26=1,再由基本不等式“1”的代换求解即可.

【详解】因为直线(a-l)x+.v-l=0和x+2如+1=0垂直,

所以（a—1>1+1-2方=0,所以。+26=1,

因为Q>0,b>0,

由21(21Y、4ba14ba

所以—I—=—I—(a+2b)—4H---1-24+2J——=8,

ab\ab)ab\ab

当且仅当竺=q,即b==L时取等.

ab42

故选：C.

6.在三棱锥P—/BC中，尸4尸8,PC两两垂直，且尸2=1,必=2,PC=3,三角形NBC重心为G,则

点尸到直线ZG的距离为()

A.2B.叵C.巫D.叵

331717

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，得到秒=(1,0,0),就=计算强在前的投

影为-冬叵，在根据勾股定理计算得到答案.

17

【详解】如图所示：以尸4必，尸C为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,0),^(1,0,0),5(0,2,0)C(0,0,3),则

B

PA=(1,0,0),NG=(一§，5，1],

_2

PAAGY2V17

故方在〃的投影为不口=而=一k

丁

心/T7YFyri

点尸到线ZG的距离为，1—会U

O17J17

故选：D.

7.直线/经过抛物线「=6x的焦点E,且与抛物线交于A,3两点.若|4F|=3忸厂则|48|=

99

A.4B.-C.8D.-

24

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点43的坐标，即可求得弦长|4B].

【详解】抛物线的焦点坐标为0),准线方程为x=-1,

设/(X],必)，B(、2,%)，%=6须，%=6%，

因为|/尸|=3忸9],所以项+1~=3。2+，得再=3工2+3,①

因为厂|=3忸司，所以皿=3同，gpXj=9X2,②

91

由方程①②可得Xi=5,x2=-,

33

所以|AB|—+5+x?+5=+“2+3=8.

故选：C

422

8.已知。=ln—,b=—,c=sin—,贝ij()

377

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】利用构造函数法，结合导数判断出瓦C的大小关系，利用对数、指数运算判断出。力的关系，进而

确定正确答案.

【详解】构造函数/(x)=x-sinx,(x)=1-cosx之0,

222/、22

所以在上单调递增，所以/

/（x）R--sm->O=f(OY->sm-9b>c,

21

a=ln-=]n丫=2xIn―r,b=2x—；

3V37

-211_2i

故只需比较1口［5与,=ine，；也即比较71r与亚；

128.

也即比较

128128c.

而---~rx~~[0入/x2.74,e«2.72，

27V327x1.732

[28

所以27-73>°'所以”>人

综上所述，c<b<a.

故选：B

二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知二项式（3x-l）”的展开式中各项的系数的和为128,则下列结论中正确的有（）

A.展开式共有7项B.所有二项式系数的和为128

C.只有第4项的二项式系数最大D.展开式的常数项为-1

【答案】BD

【解析】

【分析】首先根据系数和公式求〃，再根据二项式定理和二项式系数的性质，判断选项.

【详解】由题意可知，当x=l时，2"=128，所以〃=7,

二项式（3x-1）’的展开式共有8项，所有的二项式系数的和为27=128，

其中最大的二项式系数为C；和C：,为第4项和第5项，展开式的常数项为（-1）7=-1,

其中只有BD正确.

故选：BD

10.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y=Zsinof,我们听到的声音是由纯音合成，

称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数/(x)=sin；x-gsiiw,则下列结论中正确的是()

A./(x)是奇函数B.“X)在区间(0,2兀)内有最大值或

4

C./(x)的周期是27rD./(x)在区间(0,2兀)内有一个零点

【答案】AB

【解析】

【分析】A.利用函数奇偶性的定义判断；B,利用导数法求解判断；C.利用周期函数的定义判断；D.利用零点

的定义求解判断.

【详解】解：因为函数/(x)=singx—；sinx的定义域为R,关于原点对称，

且/(T)=sinxj-—sin(-x)=一1sin—x--sinxj=-/(%),所以/(x)是奇函数，故A正确;

111(1XC1)

求导=—cos—X-—cosx=—cos—x-cos2—XH———1—cos-X1+2cos-X,

v722222222(2儿2)

当与］时，gxe］o，g］，cos|xe^-］，则/()>0，

所以/(x)在［o,上单调递增,

,「4兀0、工1(2n}1(-1,—.,则/(x)<0,

UJ2UJ21

所以/(x)在［］，2兀］上单调递减，

则/(x)1mx=/1.］=竽，故B正确；

/(x+27i)=sing(x+2兀)一;sin(x+2兀)=一§>in^-x-gsinxw/①)，故C错误；

111111

sm—x——sinx=sm—x-sm—xcos—x=sm—x1-cos—x

2222222

令/（x）=0得,singx=0或cos；x=l,因为xe（0,2?r）,gxe（0,兀），则xe0,故D错误,

故选：AB

22

11.己知曲线C：—土=1的焦点为片，F,点P为曲线。上一动点，则下列叙述正确的是（）

4-mm2

A.若加=1,则△尸片鸟的内切圆半径的最大值为指-2

B.若加=3,则曲线C的焦点坐标分别是片卜亚,0）,g（J5,o）

C.若曲线。的离心率为0=拽，则"7=-2或机=6

3

JT

D.若曲线。是双曲线，且一条渐近线的倾斜角为一，则加=-2

3

【答案】AC

【解析】

【分析】当加=1时，求出aw鸟面积的最大值，利用分割法建立内切圆半径的关系式，结合椭圆的定义

可求得△回心内切圆半径的最大值，可判断A选项；当加=3时，求出曲线。的焦点坐标，可判断B选

项；根据双曲线的离心率求出实数加的值，可判断C选项；根据双曲线的渐近线方程求出实数加的值，可

判断D选项.

22

【详解】对于A选项，若掰=1,则曲线。的方程为三■+/=],则q=G，b=l,c=^a-b=V2>

则△尸片鸟的面积S—=~2c-\yP\<-2c-b=bc=yl2,

设片鸟的内切圆半径为r,

则s2PFR=3丫（KI+|尸用+E工|）=%伽+力）=+。）=（6+五>W五,

所以，Y广广V2（V3-V2）=V6-2,故A正确;

V3+V2

对于B选项，若〃2=3,则曲线。的方程为片+f=1,

3

则a=V31b=1,0=a2-b~=V2,

故椭圆C的焦点的坐标为伍,-0）和（0,、历），故B错误；

对于C选项，若曲线。的离心率e=2回〉l，则曲线。为双曲线，且£=

3a13

4-m>0

若双曲线。的焦点在x轴上，贝"八，可得加<0,

m<0

2222

上二+匕=1可化为———工=1,

4-mm4-m-m

此时a2=4-mb1=—m，

「24—4

贝I|02="+/=4—2加，二=解得M=—2；

a4-m3

4-m<0

若双曲线。的焦点在y轴上，贝"八，可得加>4,

m>0

22-.22

」二+匕=1可化为2———=1,

4-mmmm-4

储2M7—44

此时。2=加，b2=m-4则02=/+/=2加-4,—=------二一，解得加二6.

am3

综上所述，若曲线。的离心率为e=拽，则加=-2或机=6,故C正确；

3

JT

对于D选项，若曲线。是双曲线，且一条渐近线倾斜角为一，

3

则渐近线方程为y=+V3x,即一一：=o,

22

故可设双曲线C的方程为\-2=1（2wo）,

232v7

加（4一掰）<0

所以，,加_32，解得m=6,故D错误.

A-m2

故选：AC.

12.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.若空间向量万=（1,0,1）,6=（0,1,-1）,则彳在B上的投影向量为［（）,—3；］

--2—-1—■1—-

B.若对空间中任意一点0,有0P=—Q4——0B+-0C,则P,A,B,C四点共面

362

c.若空间向量彳，B满足於B>o,则彳与B夹角为锐角

D.若直线/的方向向量为应=(2,4,—2),平面a的一个法向量为万=(—1,—2,1),贝

【答案】ABD

【解析】

【分析】A投影向量定义求方在B上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C由B同向共线即可

判断；D由加=-2〃即可判断.

【详解】A：G在b上的投影向量为h=—力=(0,—，对；

\b\\b\2{22；

B：在丽=2次—工砺+工区中2—1+1=1,故P,4,B,。四点共面，对；

362362

c：当彳，B同向共线时限B>o也成立，但彳与B夹角不为锐角，错；

D：由加=—2〃，即7〃//〃，故/J_a,对.

故选：ABD

第n卷(非选择题共为分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知角0的顶点在坐标原点，始边与无轴的非负半轴重合，点(-1,8)在角a的终边上，贝I

sin2。=.

【答案】-代

2

【解析】

【分析】先利用三角函数的定义得到sina,cosa,再利用二倍角的正弦公式求解.

【详解】解：因为角0的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点(-1,/)在角。的终边上,

所以sin2a=2sina・cosa=2x

故答案为:

2

14.已知随机变量X,y,其中X〜(〃,b2),E(X)=E(y),P(H<2)=0.3,则

p（r>6）=.

【答案】0.2

【解析】

【分析】由服从的分布类型可直接求出£（x）,E（y）,从而求出〃，再根据正态分布的对称性即可

求解.

【详解】因为X〜«6,所以£（X）=6x；=2,

因为y〜所以E（y）=〃,

又因为£（x）=£（y）,所以〃=2,

因为y〜所以尸（y<2）=0.5,且产（y〉6）=尸（y<—2）,

又因为尸阴<2）=03,所以尸（y<—2）=0.2,所以尸（y〉6）=0.2.

故答案为：0.2.

15.若函数/（x）=d—gaV+x在［1,3］存在单调递减区间，则°的取值范围为

【答案】。〉4

【解析】

【分析】将题意转化为：/'（）在［］有解，利用参变量分离得到。〉工，转化为。〉

x<01,33%+3xH—

XX/min

结合导数求解即可.

【详解】f（x）=3x2-ax+l,等价于/'（x）<0在［1,3］有解，即3/—办+1<0在［1,3］有解,

即a>3x+，在［1,3］有解，所以a〉［3x+一),

XVX7min

令g(x)=3x+—,X€［1,3］,

X

则g，(x)=3一3=初=〉o，即g(x)在［1,3］上是增函数,

，gOOmin=8⑴=4，所以。>4.

故答案为：a>4.

16.如图，A、3两点分别在无、了轴上滑动，0P上AB,尸为垂足，尸点轨迹形成“四叶草”的图形,

若45=2,则△04P的面积最大值为______.

【解析】

【分析】设N045=e,则，为锐角，可得出OP=sin26,上4=l+cos2。，由此可得出

SAOAP=^-(l+cos26>)sin26>,令/(x)=；sinx(cosx+l),其中0<x<7t,利用导数求出函数/(x)的

最大值，即为所求.

【详解】设则。为锐角，所以，OA=ABcos0=2cos0,

因为OPIAB,则OP=OAsin。=2cos。sin。=sin20,

2

PA=OAcos0=2cos0=1+cos20>所以，SAOAP=^PAOP=~(1+cos26*)sin26>,

令/(x)=gsinx(cosx+

1),其中0<X<7l,

则/'(x)=geosX(cosX+l)-^-sin2x=^2cos2x+cosx-l^-(2cosx-l)^osx+l),

因为0cx<兀，则一1<COSX<1,则cosx+l〉0,

171

由/'(X)<O,可得COSX<],可得〈兀，

由#(x)〉0,可得cosx>j可得0<x<],

所以，函数/(X)在上单调递增，在;，兀上单调递减,

(°㈤时,/3max=/审=齐吟[1+3£|

故当xe

所以，△04P面积的最大值为圭叵.

8

故答案为：空.

8

四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.设乂为数列｛%｝的前〃项和.已知4%-3S“=n.

（1）证明：数列[是等比数列；

（2）设，=log2（3a“+1）,求数列＜胃一，的前〃项和7；.

【答案】（1）证明见解析

_n

（2）Tn=-_-

【解析】

【分析】（1）当〃=1时，求出外的值，当〃之2时，由4%—3S.=〃可得出3s,1=〃一1,两式作

差可得出％+；=+,结合等比数列的定义可证得结论成立；

（2）由（1）中的结论可求出数列｛4｝的通项公式，可求得"的表达式，再利用裂项相消法可求得7；.

【小问1详解】

证明：已知4%—35“=〃①，

当〃22时，4%_i-3sl=〃一1②，

①一②得:4%-4%-34篦=1,即%=4%_1+1,

所以，%+g=4%—i+；=4（%_i+g],

14

当〃=1时，则％=4%-3sl=1,则q+§=§,

所以，数列是首项为：，公比为4的等比数列.

【小问2详解】

解：由（1）可知，a4+；=1%+；1卜4"4”4"—1

T=§，则%

33

所以，bn=log2（3«„+1）=log24"=2n,

bnbn+l2〃（2〃+2）4n[n+1）4n+\J

111Jilln

=----1-----1---1-----1------1---------F•••+

贴2b2b3b“b"+i4I223nn+1J4vn+1J4G+i）.

18.在锐角中，角A、B、。所对的边分别为。、b、

①2acosB+6_2c=0；②色£+g=31_；③taa8=萼上正.

cosBbsin28V3tanC-l

在以上三个条件中选择一个，并作答.

（1）求角A；

（2）已知AA5C的面积为G，2。是边上的中线，求的最小值.

7T

【答案】（1）条件选择见解析，A=-

3

⑵V3

【解析】

【分析】（1）选①，利用余弦定理化简可得出COS/的值，结合角A的取值范围可得出角A的值；选②，

利用正弦定理结合三角恒等变换可得出sinA的值，结合角A的取值范围可得出角A的值；选③，利用已

知等式结合两角和的正切公式、诱导公式可得出tan/的值，结合A的取值范围可得出角A的值；

（2）利用三角形的面积公式可得出Ac的值，利用平面向量的线性运算可得出2彳万=刀+衣，利用平面

向量的数量积结合基本不等式可求得AD长的最小值.

【小问1详解】

/J_h2

解：若选①，因为2QCOS5+6—2。=0,即2a巴以一匕+b—2c=0,

2ac

则/+c2T2+儿_2c2=0,即°2+/_/=秘，所以，cosZ=L

2bc2

因为故/=方；

若选②，原式等价于整£+皿V3RnsioBcosC+cosfisinCV3

fR|J---------------

cos5sinBsin25-------------sinScos5sin25

百_sin（5+C）_2sin/

即sin23-J_sin2j6-sin25-

2

因为A、Be［。,：］,则0<23<兀，所以，sin2S>0,则$也2=等，故/=］；

若选③，原式等价于V3tan8tanC-tan8=tanC+6，

即一tanS-tanC=6（1-tanStanC）

所以，_jaii8+ta£=5即—tan（5+C）=JI,即JJ=—tan（兀—Z）=tan/,

1-tanStanC

因为故4=g.

【小问2详解】

解：因为S△a4“m二—24bcsin/l=—be=后，所以，be=4,

因为。为的中点，

——►►1►►1/►>\1/>\

所以，2彳万=刀+元，

贝U4诟2=国+西2=片+病+2%•方=尸+。2+2加（；05^=b2+c2+bc

>2bc+bc=3bc=12,贝!|画》百，

b=c

当且仅当「“时，即当b=c=2时，等号成立.

be=4

因此，长的最小值为

19.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过

选拔，高一年级有工的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有工的学生成为公益活动志愿者.

34

（1）设事件5="在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件4="在三个年级中随机抽取1名学

生，该生来自高i年级”（，=1,2,3）.请完成下表中不同事件的概率并写出演算步骤:

事件概率尸(4)「⑷*4)尸伍⑷尸（叫4）p（叫4）P⑻

]_

概率值

3

（2）若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概

率.

【答案】（1）表格见解析，演算步骤见解析

⑵—

11

【解析】

【分析】（1）根据三个年级的人数比值，以及每层抽取的比例，即可填写表格，再根据全概率公式，即可

求解

（2）根据条件概率公式，即可求解

【小问1详解】

33

根据三个年级的人数比值为3:3:4,则尸（4）=-------=—

尸⑷磊尸（4）本|,

由每个年级的抽取比例可知，尸（吊4）=；，尸（吊4）=；，

由全概率公式，得尸（8）=尸（4）产（3|4）+尸（人2）尸（8|4）+尸（4）尸（8|4）

31312111

=­x—+--X—H——x—=——,

1031045440

事件概率「⑷尸⑷「⑷P(8⑷P(14)尸仍闯P⑻

332]_]_11

概率值

W10534440

31

）（

【小问2详解】该学生来自于高一年级的概率尸（/4।忸、）=［P诂UB，=尸ZjP（叫4.

40

20.已知多面体Z8CDEE的底面/BCD为矩形，四边形为平行四边形，平面E8C，平面/BCD,

FB=