2024年高考数学二轮复习 导数中的极值点偏移问题

导数中的极值点偏移问题

对于函数尸f（x）在区间（川,〃）（水〃）内只有一个极值点荀，函数产f（x）与直线y=a交于点

A（荀,a）,8（莅,a）两点，即f（x〉=f（x。,且nKxi<x2<n.

（1）若两W包产,则称函数产广（x）在区间（天,尼）上极值点吊偏移.

⑵若两〈华，则称函数尸r（x）在区间（氏,也）上极值点不向左偏移，简称极值点左偏.

（3）若吊〉包产，则称函数产r（x）在区间说,题）上极值点吊向右偏移，简称极值点右偏.

如上图所示,荀为函数的极值点，荀处对应的曲线的切线的斜率为0.

由上面图象可知，函数的图象分为凸函数和凹函数.

当函数图象为凸函数，且极值点左偏时，有一㈡产）<尸（荀）=0;

当函数图象为凸函数，且极值点右偏时，有一（空）〉尸（荀）=0.

当函数图象为凹函数，且极值点左偏时，3（詈）〉尸（吊）=0;

当函数图象为凹函数，且极值点右偏时，有（空）<f'（x0）=0.

类型1对称构造

◎核心链接

对称构造法是解决极值点偏移的基本方法，主要有四个基本步骤：

（1）求函数f（x）的极值点Ao；

⑵构造函数产（X）=?（两+x）-广（荀-X）；

⑶确定函数皿X）的单调性；

（4）结合F（0）=0,判断F（x）的符号，从而确定r（Ao+x）,『（湎-X）的大小关系.

其口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

◎典例精研

【典例1】(2023•绍兴模拟)已知函数f(x)=/(ln『|a),a为实数.

⑴求函数f(x)的单调区间；

⑵若函数/V)在尸e处取得极值，f'(x)是函数f(x)的导函数，且尸(%)=尸(泾)，为<也,证

明：2<%+用<e.

【解析】(1)函数/■(x)=/(lnx|a)的定义域为(0,+8),

f，(x)=2x(ln尸|a)+尸x(21njr-3a+l),

令广'(x)=0,所以In尸等，得产e',

3a-i

当X©(0,e-)时,f'(£)<0,

3a-l3a-l

当xG(e',+8)时，/(£)>o,故函数f(x)的单调递减区间为(0,e'),单调递增区间为

3a-l

(e-,+0°).

3a-l

(2)因为函数f{x)在x=e处取得极值，所以A=e~=e,得a=l,

所以f'(x)=/(lnx-|),得f'(x)=x(21nx-2)=2x(lnxT),

令g(x)=2x(lnx-1),

因为g'(x)=21nx,当A=1时，g'(x)=0,

所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

且当x©(0,e)时，g(x)=2x(lnk1)<0,当xd(e,+8)时，g(x)=2x(lnx-l)〉0,

故0<jri<l<^<e.

【难点破解】首先确定极值点的取值范围，然后把所证不等式变形，目的是把两个变量化归到

同一个区间内，便于构造函数.

先证药+泾〉2,即证苞〉2-苟.

因为苞〉1,所以2-否〉1,

下面证明g(xj=ga)>g(2-xj.

设2(x)=g(2-x)-g(x)(0,1),

则t'{x)=~gf(2-jr)-g'{x),t'{x}=-21n(2-jr)-21nA=-21n[(2-jr)x]>0,

故t(x)在(0,1)上为增函数，故[(x)<Ml)=g⑴-g⑴=0,

所以J(xj=g(2-xi)-g(xi)〈o,

则g(2-xj<g(x2),

所以2-Xi<x2,即得xi+x2>2.

下面证明：荀+用〈e.

令gG)=g(*2)=加，

当xG(0,1)时g(x)-(-2x)=2xlnx〈0,

所以g(x)<-2x成立，

所以-2xi〉g(x)=m,所以

当x©(1,e)时，记力(x)=g(x)-(2x-2e)=2xlnx-4x+2e,

所以x©(1,e)时，力'(x)=21nx-2<0,

所以力(x)为减函数，得力(x)>力(e)=2e-4e+2e=0,

所以m=ff(x2)>2x2~2e,

即得X2<£+e.

所以为+至〈子+晟+e=e得证.

综上，2<荀+用<e.

类型2比值代换

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比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两

个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的.其基本步骤为：

⑴联立消参：即利用方程/■(哲)=?(苞)消掉解析式中的参数;

⑵转化所求(证)：根据所求解问题，结合消参后的式子合理转化为由,莅的关系；

⑶抓商构元：令伊,则莅“为，代入式子，直接消掉变量为,均转化为力的函数；

X1

(4)用导求解:利用导数求解关于力的函数的极值、最值等问题即可.转化不等式时，应注意等

价转化，使其结构最简，从而使构造的函数解析式最简，达到简化解题思路的目的.

◎典例精研

(典例2］已知函数f(x)=x(lnx-a),g{x)=^-+a-ax.

X

(1)当时,_f(x)2Tnx-2恒成立，求a的取值范围；

⑵若g(X)的两个相异零点为荀,在，求证：二/2>《

【解析】⑴当工三1时，力»三Tn『2恒成立，

即当时，(x+l)lnx-ax+220恒成立，

设F{x)=(x+1)Inx-ax+2,

所以尸(1)=2-己20,户'(1)=111x+2+1-2

x

、1

设r(x)=lnx+_+]_<3,

X

Xxzxz

所以当时,r'(x)20,即r(x)在［l,+8)上单调递增，所以r(x)Lr(l)=2-a20,

所以当xel时，尸'(x)=r(x)20,即/(x)在［1,+8)上单调递增,

所以户(x)2户⑴=2-&

若尸(x)20恒成立，则aW2.

所以当时,f(x)》-lnx-2恒成立,a的取值范围为(-8,2］.

(2)方法一(等价变换后构商引参):

由题意知，g(x)=lnx~ax,

ln%i=ax彳目

不妨设Xi>X2>0,由r

lnx2=

ln(x1x2)—a%+%2)

1嗤=矶5)

则ln(%i%2)―%l+%2_%2

噎止血守

【难点破解】作商,去掉参数;通过等价变形,转化为关于爵的方程

ln(x%2)_t+l

令磴〉1,则1

Intt-1

即=—Int.

t-i

要证荀莅〉e；

只需证只(为近>2,

只需证色Int>2,

t-1

即证In力鬻(力1),

即证In广鬻〉0(力1),

令/(1)=ln片笔子(力1),

因为一㈤二器双

所以加（方）在（1,+8）上单调递增,

当方£（1,+8）时，/（方）＞/（1）=0,

所以In广"〉0成立，故jrix＞e2.

t+12

方法二（直接引入两变量之商作为变量）:

由题意知，g(x)=lnx-ax,

不妨设药>为〉0,设t=—,显然办1,则Xk以2.

*2

由伊】=叫

得pn(t%2)=atx2

寸(ln%2=

即0nt+lnx2=atx2

llnx2=CLX2

两者相除，得电产=吗，

lnx2ax2

即1+乎=%，解得In氏=譬.

lnx2t-1

所以InXi=ln(方在)=ln2+ln泾=InZ;+—t-i

=(1+勺"t.

所以InXi+ln在二三In什普二霆Int.

t-it-it-i

2

要证XiX2>e,

只需证ln（x]X2）＞2,即In%+ln莅＞2,也就是二In分2.又因为力1,所以片1〉0,

t-i.

不等式等价于（什Din办2g）,

即（t+1）Int-2（t-l）＞0.

记刀（方）=（2+1）In方一2（方一1）（方＞1）.

则刀'（方）=lnt+（t+1）x1-2=ln方+卜1，

记h{t}-n'（1）=lnt+--l（^＞1）,

则方'⑺+MW

因为力1,所以力'&）＞0,故函数力（力在（1,+8）上单调递增,

所以A（t）＞A（l）=ln1+|-1=0,故〃'⑺〉0,所以函数〃（力在（1,+8）上单调递增,

所以〃(t)〉A(l)=(l+l)ln1-2X(1-1)=0,

即(什l)ln广2(LI)〉0.不等式得证.

类型3差值换元构造

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巧妙引入莅-荀作为变量，然后利用等式关系，把"为消掉,从而构造相应的函数，将所证问题

进行转化.其基本步骤为：

⑴求函数f(x)的极值点荀；

⑵取差构元：记t=X2-Xx,则莅=豆+力,利用该式消掉莅；

(3)反解消参:利用/■(1)=/1(/,构造方程,反解之，利用t表示如

⑷构造函数:依据消参之后所得方程形式，构造关于力的函数；

(5)转化求解：即利用导数研究该函数的单调性和极值，求解相关问题.

◎典例精研

【典例3】已知函数f(x)=e*T-|加+ax+1.

(1)讨论f(x)的极值点个数；

⑵若f{x)有两个不同的极值点xx,x2,证明：%+莅〉4.

【解析】⑴〃(x)=e"-a(『l),

因为一⑴=1WO,所以1不是/l(由的极值点.

当f'(x)=e'T-a(xT)=O时，

可变形为一=&,

X-1

令g(x)=±「则M的极值点个数即直线尸a与g(x)图象的交点个数.

X-1

因为g'(X)=，：,),令g，(X)=0,得尸2,

又xWl,所以g(x)在(-8,1),(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

因为g(2)=e,且当XI时,g(x)<0,

所以当a©[0,e]时，?(x)没有极值点；

当ae(-8,0)时,f(x)有一个极值点；

当a©(e,+8)时,f(x)有两个极值点.

(2)方法一(对称构造法)：由(1)知，当a©(e,+8)时，f(x)有两个不同的极值点.

设水也，则为6(1,2),在e(2,+8),

=0,

由

X2-1

e-a(x2-l)=0,

得e叶%2二出1,

和1

所以为一泾二ln(x「l)—In(泾—1),

即XiTnGiT)二莅Tn(莅T).

令力(x)二七In(尸1)(1,+°°),

则力，(上1$专

易得力(X)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

要证药+王〉4,即证^2>4-^I，

因为尼〉2,4-荀〉2,且力(x)在(2,+8)上单调递增，所以只需证力(莅)〉力(4-Xi).

因为力(苟)二力(泾)，所以即证力(豆)>h(4-豆).

令F{x)-h{x)-h{^-x)=^-ln(JT1)-(4-^)+ln(3-^)=2^-4-ln(^-1)+ln(3-^),(1,2),

则F'(x)=2-—+—=2(x-2)2<0,

x-lx-3(x-l)(x-3)

所以尸(x)在(1,2)上单调递减.

因为周太)>6(2)=0,所以力(才)一方(4-才)>0.

因为Xi©(1,2),所以力(xi)〉力(4-王),

故药+冬〉4.

方法二(引差构造)：

由已知f'(x)=e，T-a(x-l),

eX1~1=aQq-l)

由题意

e久2-i=a(x2-l)

不妨设泾>用，记t=x2-X!,则t>0,x2=Xi+1.

砂=1=a(久1-I)

则有

=a(久i+t-1)

eX1+t'1_a(x+t-l)

两式相除得1

exi-1

即1=1+喜

整理得定三+1.

故法荀+片三+"

所证不等式药+苞〉4,等价于(白+1)+(白+1+£)>4,即等:+力2.

ec-lec-lec-l

因为00,所以e'-l〉o,

故不等式等价于2什(62)(e'-1)〉0,即t+2+(t-2)ef>0.

【难点破解】转化所证不等式，进而得到目标不等式，构造相应的函数.

记g(x)=x+2+(x-2)e，(x>0),

则g，(x)=l+(xT)e",

记力(x)=l+(xT)e*(x〉0),

则h'(x)=xe\

因为x>0,e，>0,所以分'(x)>0,故函数届x)在(0,+8)上单调递增,

故力(x)〉力(0)=1+(0-1)e°=0,

所以g'(x)〉0,故函数g(x)在(0,+8)上单调递增,

所以g(x)>g(0)=0+2+(0-2)e°=0,

即当x>0时，x+2+02)ex>0.

不等式得证.

类型4拐点偏移

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有关极值点偏移中的极值不等式恒成立问题，其实质是导数应用问题，涉及函数的双零点，是

一个多元变量问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略

都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.有关极值的

相关问题需要先根据不等式的结构特征进行适度放缩，最后转化为一个变量的不等式，进而构

造相应的函数进行证明.

◎典例精研

【典例4】(2023•泰安二模)已知函数f(x)=糜、T-lnx,m£R.

(1)当时，讨论方程f(x)T=0解的个数；

⑵当are时，g(x)=f(x)+lnx-些/有两个极值点为，应，且由〈莅，若e<t<y,证明：

(。2〈荀+冬〈3；

(ii)g(xj+2g(%)<0.

【解析】(1)方法一：因为xT=0,

匕匕

所以n)历lnx+1

设力5)=粤,

设0(x),TTnx,则。，(x)=C-乂0,所以O(x)单调递减.

xxzX

因为0(1)=0,所以当0<Xl时,05)>0,即力'5)>0,力5)单调递增；

当X>1时,0(x)<0,即h'(x)<0"(x)单调递减.

所以力(X)1mx=力(1)=1,

所以当厅1时，方程有一解，当川〉1时，方程无解；

方法二：设RxhMaTu/seiTnx~\,

则F/{x)=mex1--.

X

设0(x)二雁『J二(入>0),

X

则0/(^)=®e^1+A->0.

%z

所以0(x)单调递增.

当柿时，0(x)=e*T-，(1)=0,

X

所以当0〈*1时，0(x)<0,/?(x)单调递减；当X>1时，0(X)〉0,户(X)单调递增.

所以户(x)min二/⑴二疗1二0,所以方程/(^)-1=0有一解.

当ni>l时，分(太)二雁i-ln^-De^-lnx~\.

令"(^)=e"T-lnkIn"‘(分二e"i一二

X

令n{x)-e}~^=>n,(^)=e^1+^->0,

XX乙

则n{x)在(0,+°°)上单调递增,又A⑴=0,则x©(0,1)今〃(x)<0今勿(x)在(0,1)上单调递减,

xG(1,+℃>)=>77(jr)>0=加(x)在(1,+8)上单调递增，则勿(x)三加(1)=0.

即F{x)=j®e''-InxT〉e"T-lnxTNO,

所以£(x)=o无解，即方程r(x)-1=0无解.

综上，当厅1时，方程有一解，当加〉1时，方程无解.

(2)(i)当ffl=e时，g(x)=e*-gx2-](x〉0),

则g\x)=e-tx,

所以药,尼是方程e-tA=O的两根.

设r(x)=—=t,则r'(x)=e(；D

X%z

令r'(x)=O,解得产1,所以r(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

a2

因为因为=e,r(2)q,

所以当2G(e,?)时，0〈水1,1〈屈〈2,所以为+也〈3.

%1

e=tx%!=Int+Inx-L]][久2

由ri,,i=泾一苟=111x-lnXi=ln—.

e%2=tx2x

2x2—Int+lnx2i

Inpp\np

令上起〉1,所以