四川省眉山市2023届高三数学一轮讲义6函数的奇偶性

函数的奇偶性：知识梳理

一函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有A—x)=F(x),那么函

偶函数关于y轴对称

数Hx)是偶函数

如果对于函数f与的定义域内任意一个X,都有A-X)=—f(x),那么

奇函数关于原点对称

函数F(X)是奇函数

二对函数奇偶性的理解和性质

1.只有定义域关于原点对称的函数谈函数的奇偶性才有意义；

2.函数/'(x)=0既是奇函数又是偶函数；但既是奇函数又是偶函数的函数有无数个,

因为定义域不同叫不同的函数

3.若0在奇函数的定义域中，则/

例：1.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且/'(2+x)=f(2—x),则f(4)=()

A.4B.2C.0D.不确定

2.已知函数/<x)为定义在R上的奇函数，当时，f(x)=2x+2x+/E为常数)，贝|f(—1)

的值为()

A.-3B.-1C.1D.3

三判断函数奇偶性的步骤：

L考查函数的定义域是否关于原点对称；若不对称，则函数一定是非奇非偶函数;

2.当函数的定义域关于原点对称时，判断等式/(-%)=±/(x)之一是否恒成立。

3.熟悉三大奇函数

Z7V-1A-I-Y

(1)/(x)=-----(a〉0且aWl)(2)/(x)=loga-------(a>0且a#1)

ax+1b-x

(3)f(x)-log。(Jm2x2+1±mx)(m半0)(a>0且aW1)

4.奇+奇为奇；偶+偶为偶；奇X奇为偶；奇x偶为奇;偶X偶为偶;

称为偶;

例1:判断下列函数的奇偶性

1+Xlg(l-炉)x1+2x,x>0

⑴/(%)=(%-1)(2)/(X)=(3)/(x)=<

1-X|x-2|-2-%2+2x,x<0

1

(4)6^=log2(l+4?—X(5)f(x)=x(----F—)(6)((%)=x(〃----—(a>0,«1)

Xx

2-12a+1

例2：判断下列函数的奇偶性

(1)/(x)=ax+a~x(a>0且aWl)(2)f(x)=ax-a~x(8>0且aW1)

sinx+x2x3e—e

⑶Ax)二⑸/(%)=

2(4)

cosx+x2'+2-

2'sin(g+6x)

/、cos6x

6)y=---X--------X(7)y=

,2-2-4X-1

例3.1.已知函数/(%)=ln(x+若实数满足/(々)+/(方-2)=0,则〃+/?=()

A.-2B.-1C.0D.2

2.设广(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是().

A.f(x)F(—x)是奇函数B.上包是奇函数C.f(x)—f(—x)是偶函数D.F(x)+『(一x)是偶

/(f)

函数

3.函数f(x)=loga(2+x),g(x)=loga(2—x)(a>0且aWl),则函数户(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)

—g(x)的奇偶性是()

A.6(x)是奇函数，G(x)是奇函数B.6(x)是偶函数，G(x)是奇函数

C.Mx)是偶函数，G(x)是偶函数D.尸(x)是奇函数，G(x)是偶函数

4.(14年全国卷I)设函数/(x),g(x)的定义域都为R,且/(幻是奇函数，g。)是偶函数，则下

列结论正确的是()

A.f(x)g(x)是偶函数B.|/(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(X)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数

四函数奇偶性的性质

1.函数是奇函数(或偶函数)n函数定义域关于原点对称；

2

2.函数y=/(%)是奇函数=函数y=/(%)的图像关于原点对称;

3.函数y=/(x)是偶函数=函数y=/(x)的图像关于y轴对称；

4.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且值域“互为相反数”；偶函数在关于原点对称

的区间上具有相反的单调性，且值域相同；

5.函数/(%)是偶函数=/(x)=/(|A|)对函数f(x)定义域中的任意实数x都成立。

例1.1函数y=f(x),a<x<5是偶函数，则函数g(x)=«x2+x,0<x<1的最小值为»

2.若奇函数F(x)=3sinx+c的定义域是［a,b\,则a+b+c等于()

A.3B.-3C.0D.无法计算

3.已知f(x)=&^+法是定义在［a—1,2a］上的偶函数，那么a+6的值是()

1111

--B----

A.332D.2

例2.1.设偶函数/U)满足f(x)=2'—4(x20),则不等式f(x—2)〉0的解集为.

2.已知偶函数f(x)在区间［0,+8)上单调递增，则满足f(2x—l)〈fQ)的x的取值范围是()

12、J2、12、」2、

A.(Z3,3)B.~)C.(Z5,3)D.弓，g)

3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(一8,0)上单调递增.若实数a满足/1(—

⑫,则a的取值范围是()

13/3、3、

B.(―0°,-)U(-,+oo)C.(分5)D.(oz,+°°)

五例题分析

例L求奇偶函数的解析式或值

1.已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，当xNO时，/(X)=X2-2X,则在R上函数y=/(X)

的表达式为；

2

变形一题：已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(X)=X-2X+3,则在R上

函数y=/(%)的表达式为；

2.已知/'(x)是偶函数，当x〈0时，f(x)=V+x,则当x〉0时，f(x)=.

3.(2019年高考全国II卷理数)已知/(x)是奇函数，且当x<0时，/(乃=—0叱若/(1112)=8,则

a—.

4.(2017•全国H卷)已知函数广(x)是定义在R上的奇函数，当X£(—8,0)时，f(^)=2x+x,

3

则A2)=.

JI

cos-x0VxW8

5.已知F(x)是定义在R上的奇函数，且当x〉0时，f(x)=j6则/■(7(一16))

」ogzxx>8，

等

于/)

\(

1V31

-2-V23

A.-2B.2D.

例2：画出奇偶函数的草图

1.已知函数f(x)是定义在(一8,0)U(0,+8)上的偶函数，在(0,+8)上单调递减，且『(；)〉0>『(一

事),则方程f(x)=0的根的个数为()

A.0B.1C.2D.3

2.设f(x)是奇函数，且在(0,+8)内是增函数，又『(—3)=0,则f(x)〈0的解集是()

A.U|-3<A<0,或X>3}B.{x|*—3,或0〈x〈3}

C.U|K-3,或x>3}D.{x|—3<x<0,或0〈x〈3}

3.(2020年新高考全国I卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-8,0)单调递减，且f(2)=0,则满足

犷■(%-：!)20的x的取值范围是()

A.[—1,1]」3,y)B.[-3,-1][0,1]C.[-1,0].[1,+<»)D.[-1,0][1,3]

例3.已知函数的奇偶性求函数表达式中待定字母的值

1.已知：函数〃x)="(2+D—2是奇函数,贝必=

2X+1

2.若函数/(x)-------------为奇函数，则a=(

(2X+1)(X-6Z)

123

A.-B.[C.~D.1

ZO4

3.已知定义域为R的函数f(x)亍、是奇函数’则@=

4.若f{x)=ln(e"+l)+ax是偶函数，则a=.

9

5.已知广(x)=lg("j-+而为奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()

4

A.(—8,o)B.(-1,0)C.(0,1)D.(一8,o)U(1,+°o)

6.(2022年全国乙卷)若_In|a+白+力是奇函数，则。=，b=.

7.(2019年高考北京理数)设函数〃尤)=e，+aer(a为常数).若/Xx)为奇函数，则年；

若/"(X)是R上的增函数，则a的取值范围是.

8.(2021•全国高考真题(理))设函数，(x)=J,则下列函数中为奇函数的是()

1+x

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(%+1)+1

9.(2020年高考全国H卷理数)设函数7'(》)=111|2》+1|-111|2犬-1|,则/U)

111

A.是偶函数，且在(一,+8)单调递增B.是奇函数，且在(--「)单调递减

222

C.是偶函数，且在(f,-g)单调递增D.是奇函数，且在(Y,-g)单调递减

例4.一类题型:设函数f(x)=ag(x)+b,其中g(x)为奇函数，则f(ni)+f(-m)==2b。

1.已知/(x)=ax3+6sinx+l,且/'(5)=7,则/(—5)的值是()

A.-5B.-7C.5D.7

类似一题：已知函数/(x)=log(J1+9尤2—3幻+5,若/(lglg5)=2,贝I/(lglog510)=。

2.已知f(x)=x+ax+bx~S,且『(一2)=10,贝U/(2)=

/、(x+1)2+sinx

3.设函数/(%)=--g-------的最大值为M,最小值为m,则M+m=_________.

X+1

9023^+1+?A99

4.已知G0,设函数F(x)=—+2023£(x£[—&旬)的最大值为必最小值为"则〃

+N的值为()

5

A.2023B.2024C.4045D.4046

函数的奇偶性：知识梳理

一函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有/■(—x)=f(x),那么函

偶函数关于y轴对称

数f(x)是偶函数

如果对于函数广(X)的定义域内任意一个X,都有广(一X)=—“X),那么

奇函数关于原点对称

函数F(x)是奇函数

二对函数奇偶性的理解和性质

1.只有定义域关于原点对称的函数谈函数的奇偶性才有意义；

2.函数/'(x)=0既是奇函数又是偶函数；但既是奇函数又是偶函数的函数有无数个,

因为定义域不同叫不同的函数

3.若0在奇函数的定义域中，则/'(0)=0。

例：1.已知函数y=F(x)是定义在R上的奇函数，且/'(2+x)=『(2—x),则f(4)=()

A.4B.2C.0D.不确定

答案：C

2.已知函数/<x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2'+2x+M0为常数)，贝

的值为()

A.-3B.-1C.1D.3

答案：A

三判断函数奇偶性的步骤：

1.考查函数的定义域是否关于原点对称；若不对称，则函数一定是非奇非偶函数；

2.当函数的定义域关于原点对称时，判断等式/(-%)=±/(x)之一是否恒成立。

3.熟悉三大奇函数

QX_11-I„

(1)/(x)=-----(8>0且HWI)(2)/(x)=log-----(a>0且aWl)

4+1b-x

(3)/(x)=log^(Vm2%2+1±mx)(m0)(a>0且

4.奇+奇为奇；偶+偶为偶；奇x奇为偶；奇x偶为奇;偶x偶为偶;

6

例1:判断下列函数的奇偶性

x2+2%,%>0

⑴3y⑵2(3)/(%)=

-%2+2羽x<0

，(5)/(x)=x(--—+g)/nxr(x(〃％一1)

(4)/6r?-log2(l+40—x(6)f(x)=--------(a>0,aw1)

2r-l2ax+1

答案：(1)非奇非偶函数；(2)奇函数；(3)奇函数；(4)偶函数；(5)奇函数；(6)奇函数。

例2：判断下列函数的奇偶性

(2)/(%)=ax+a~x(a>0且aWl)(2)/(%)=ax-a~x(a〉0且aWl)

,、，、sinx+x.,2x3,、FTI「

(3)f(x)^------7(4)y=---(5)凶

cosx+x-T+2~x

2xsin(—+6%)

/、cos6x

⑹y二-------(7\v—2

/2X-2-X4'—1

例3.1.已知函数/(x)=ln(尤+JKIJ,若实数a,b满足f(a)+/S—2)=0,则a+b=()

A.-2B.-1C.0D.2

答案：D

2.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是).

A.f(x)f(—x)是奇函数B.且也是奇函数C.f(x)—f(—x)是偶函数D.f(x)+f(—x)是偶

/(-X)

函数

答案：D

解析：F{x)=f(x)+f(—x)=f(—x)+f(x)=6(一x).

3.函数f(x)=log式2+x),g(x)=loga(2—jr)(a>0且aWl),则函数户(x)=f(x)+g(x),G(x)=F(x)

—g(x)的奇偶性是()

A.6(x)是奇函数，G(x)是奇函数B.尸(x)是偶函数，G(x)是奇函数

C.6(x)是偶函数，G(x)是偶函数D.尸(x)是奇函数，G(x)是偶函数

答案：B

解析：F(x),G(x)的定义域均为(一2,2),

由已知尸(一x)=f{~x)+g(—x)=loga(2—Jf)+loga(2+x)=F^x),

G(—x)=f{—x)—g(—x)=log,(2—x)—loga(2+x)=—G(x),

是偶函数，G(x)是奇函数.

4.(14年全国卷I)设函数/(X),g(x)的定义域都为R,且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下

列结论正确的是()

A.f(x)g(无)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数

7

C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数

答案：C

解析：设E(X)=y(x)|g(九)|,贝u厂(-X)=y(-x)|g(-x)|,：/(%)是奇函数，g(%)是偶函数，，

F(-x)=-/(x)|g(x)|=-F(x),尸(x)为奇函数，选C.

四函数奇偶性的性质

1.函数是奇函数(或偶函数)n函数定义域关于原点对称；

2.函数y=/(%)是奇函数=函数y=f(x)的图像关于原点对称；

3.函数y=/(%)是偶函数=函数y=/(%)的图像关于y轴对称；

4.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且值域“互为相反数”；偶函数在关于原点对称

的区间上具有相反的单调性，且值域相同；

5.函数/(%)是偶函数=/(%)=/(|A-|)对函数于(X)定义域中的任意实数x都成立。

例1.1函数y=f(x),a<%<5是偶函数，则函数g(x)=tzx2+%,0<x<1的最小值为。

答案：-4

2.若奇函数/'(x)=3sinx+c的定义域是［a,b］,则a+6+c等于()

A.3B.-3C.0D.无法计算

答案：C

3.(2016•兰州模拟)已知f(x)=ax?+6x是定义在［a—1,2a］上的偶函数，那么a+6的值是()

1111

-----

A.3B.3C.2D.2

答案B

解析依题意得f(一x)=f(x),6=0,又a—1=—2a,

1

a-3-.\a-\-b=-,故选B.

例2.1.设偶函数/'(x)满足f(x)=2'—4(x20),则不等式/"(X—2)〉0的解集为

答案：(-oo,0)0(4,+oo)

2.(2017•沈阳质检)已知偶函数f(x)在区间［0,+8)上单调递增，则满足/'(2x—的x的取

值范围是()

12、J2、12、J2、

A-(Z7TB.-)C.(Z5,3)D.5，T)

答案：A

解析：因为『(x)是偶函数，所以其图象关于了轴对称,

8

又f(x)在［0,+8)上单调递增，F(2x—1)〈吗)，所以|2x—1号所以X

3.(2016•天津)已知/1(X)是定义在R上的偶函数，且在区间(一8,0)上单调递增.若实数a满足

心则a的取值范围是()

113133

A.(―8,弓)B.(―0°,-)u(-+o0)C.(-,-)D.(-,+00)

乙乙乙乙乙乙

答案c

解析因为『(X)是定义在R上的偶函数且在区间(一8,0)上单调递增，所以f(—x)=f(x)且『(X)

在

(0,+8)上单调递减.由/•—>『(一f(一筐)=£(镜)可得尸//，即|a一11,

所以51〈a〈/3

五例题分析

例1：求奇偶函数的解析式或值

1.已知函数丁=/(x)是定义在R上的奇函数，当x»O时，/(x)=x2-2x,则在R上函数y=f(x)

的表达式为；

答案:=2：,x20|x|—2)

变形一题：已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3,则在R上

函数y=/(%)的表达式为；

x2-2x-3,x>0

答案：/(%)=0,x=0

—%2—2x+3,x<0

2.已知『(x)是偶函数，当x<0时，f^x)=x+x,则当x〉0时，/(x)=.

答案：X2—X

3.【2019年高考全国H卷理数】已知/(%)是奇函数，且当x<0时，/(幻=-05.若/(1112)=8,

则a=.

答案：—3

解析：由题意知/(%)是奇函数，且当x<0时，/(x)=—

又因为ln2e(0,l),/(ln2)=8,

所以=一g,

9

两边取以e为底数的对数，得—aln2=31n2,

所以—。=3,即a=—3.

4.(2017•全国II卷)已知函数/'(x)是定义在R上的奇函数，当xe(—8,0)时，f{x)=2x+/,

则A2)=.

答案12

解析,；xe(—8,0)时，f{x)—2,x+x,且f(x)在R上为奇函数，

A/-(2)=-A-2)=-[2X(—2)'+(—2)2]=12.

，兀

cos-x0VxW8,

5.已知F(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，F(x)=<6则/(/(—16))

log2^x>8,

等

于

1

cV23

2-D.

答案c

解析由题意/(—16)=一/1(16)=-log216=-4,

1

故广(/*(-16))=广(-4)=—/(4)=—cos2-

例2：画出奇偶函数的草图

1.己知函数/<x)是定义在(一8,0)U(0,+8)上的偶函数，在(0,+8)上单调递减，且/'七)》。》/■(一

/)，则方程/'(为=。的根的个数为()

A.0B.1C.2D.3

答案：C

2.设/<x)是奇函数，且在(0,+8)内是增函数，又/'(—3)=0,则f(x)〈0的解集是()

A.{x|-3〈x〈0,或x〉3}B.{x|x〈一3,或0〈水3}

C.{x|x〈一3,或x>3}D.{x\—3<X0,或0〈x<3}

答案：D

3.[2020年新高考全国I卷】若定义在R的奇函数f(x)在(-8,0)单调递减，且『(2)=0,则满足

犷20的x的取值范围是()

A.[-1,1][3,y)B.[-3,-1][0,1]C.[-1,0][l,y)D.[-1,0][1,3]

答案：D

解析：因为定义在R上的奇函数了。)在(-8,0)上单调递减，且/(2)=0,

10

所以/(X)在(0,+8)上也是单调递减，且/(—2)=0,/(0)=0,

所以当XC(—8,—2)D(0,2)时，f(x)>0,当xe(—2,0)L(2,+co)时，f(x)<0,

所以由4'(％—1)之0可得：

尤<0、jx>0、

[―2<x—1<0或X—122或;0<x—1<2或X—14—2或X-°，

解得-1WxWO或1W3,

所以满足犷-1)»0的x的取值范围是[-1,0]o[l,3],

故选：D.

例3.已知函数的奇偶性求函数表达式中待定字母的值

1.已知：函数于(x)="(2；：；—2是奇函数,则。=；

答案：1

Y

2.若函数/(%)二-----------为奇函数，则a=()

(2X+1)(X-6Z)

123

ACD

-2-B.3-4-

答案：A

一2"+1

3.已知定义域为R的函数F(x)=F不是奇函数，则石=.

答案：2

4.若_f(x)=ln(e"+l)+ax是偶函数，则a=.

答案：一万

解析函数f(禽=ln(e3x+l)+ax是偶函数，故f(~x)=F(x),即ln(e-3%+l)—^=ln(e3j，+l)+ax,

i+3xI+3%

化简得Iny"P「=2ax=lne2a^,即yj=Pe2a。整理得33”+1=62.+标3*+1),所以2ax+

e十ee十e

3

3x=0,解得z=-5.

9

5.已知广(x)=lg(^---+而为奇函数，则使F(x)〈O的x的取值范围是()

\~x

A.(—8,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(—8,0)U(1,+00)

答案B

999_|_o2—万2/

解析由/1(x)+F(—x)=0,即lg(^—+a)+lg(H+a)=lg~三—2——=lgl=0可得a=一

X1十X1-X

11

1,

1—I—V1—I—x

所以『(x)=lg=,解得。<=1,可得一l〈x〈。.

0

6.【2022年全国乙卷】若是奇函数，则0

答案:Q国

0

解析：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

00

由可得，冈,所以,解得:

即函数的定义域为0，再由0可得，|B|.

0

即，在定义域内满足0,符合题意.

故答案为:B国

7.【2019年高考北京理数】设函数"尤)=1+。葭”为常数).若f(x)为奇函数，则a=；

若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是.

答案：—1

解析：首先由奇函数的定义得到关于。的恒等式，据此可得。的值，然后利用/(%)20可得a的取

值范围.

若函数/(X)=e'+aef为奇函数，贝1|/(-x)=-/(%),BPe-T+aex--(ev+aeTx,

即(a+D(e*+e-')=0对任意的x恒成立，

则a+1=0,得Q=—1.

若函数/(九)=e'+aef是R上的增函数，贝ij/'(x)=e*-“尸20在R上恒成立，

即awe?'在R上恒成立,

又e2x>0，则aW0,

即实数”的取值范围是(Y,0].

12

8.12021・全国高考真题(理)】设函数，(x)=±W,则下列函数中为奇函数的是()

1+x

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(%+1)+1

答案：B

1—Y2

解析：由题意可得/(')=——=—1+——，

1+x1+x

对于A,—1)—1=2—2不是奇函数；

对于B,7'(X—1)+1=2是奇函数；

对于C,/(x+l)-l=——-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数;

x+2

对于D,/(x+l)+l=—,定义域不关于原点对称，不是奇函数.

x+2

故选：B

9.【2020年高考全国H卷理数】设函数/(尤)=ln|2尤+l|-ln|2x-l|,则/1(x)

A.是偶函数，且在(g,+8)单调递增B.是奇函数，且在(-g,；)单调递减

C.是偶函数，且在(―,-｝单调递增D.是奇函数，且在单调递减

答案：D

解析：由/(x)=ln|2x+l|—ln|2x—1|得/(%)定义域为±;关于坐标原点对称,

X/(-x)=ln|l-2x|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-ln|2x+l|=-/(%),

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当了£“；)时，/(x)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

Qy=ln（2x+1）在j

上单调递增，y=In(1—2%)在上单调递减,