2024年九年级数学中考复习+圆与四边形综合压轴解答题附答案

2024年春九年级数学中考复习《圆与四边形综合压轴解答题》专题提升训练(附答案)

1.如图，OE是因。的直径，过。作团。的切线AD,点C是4。的中点，四边形BCOE是平行

四边形.

⑴求证：BC是回。的切线；

(2)已知回。的半径为1,求图中弧BD、AD,4B所围成的阴影部分的面积.

2.如图，在菱形4BCD中，点P在对角线4C上，且PA=PD,。。是△PAD的外接圆.

(1)求证：48是。。的切线；

(2)若4c=8,tan^BAC=求。。的直径.(请用两种方法作答)

3.如图，四边形4B0E内接于。。，ABDE=90°,点F在CE的延长线上，连接4D,AF,

匕FAE=Z-ADE.

⑴求证：AF是。。的切线.

(2)若48=AE,AD=2鱼，tan乙48。=3,求BD的长.

4.已知，如图，四边形ABCD内接于。。，直线MA与。。相切，切点为A,连接AC.

⑴求证：Z.MAD=Z.ACD；

(2)若AC=4。，点8是劣弧4C的中点，tan4fMM=£求tan乙4cB.

5.如图，四边形ABCD是团0的内接四边形，且对角线BD经过回O的圆心。，过点4作4E1CD,

与CD的延长线交于点E,且D4平分NBOE.

⑴求证：^ABO=AEAD；

(2)若回。的半径为5,CD=6,求4。的长.

6.如图，在菱形4BCD中，对角线AC,BD相交于点E,。。经过儿D两点,交对角线4c于

点R连接。尸交4D于点G,且4G=GD.

⑴求证：4B是。。的切线；

(2)已知。。的半径与菱形的边长之比为5:8,求tan乙4DB的值.

7.如图，边长为2的圆内接正方形2BCD中，尸为边CC的中点，直线AP交圆于E点.

(2)求弦DE的长；

⑶若。是线段BC上一动点，当线段BQ的长度为何值时，AQWDE.

8.如图，四边形ABCD内接于。0/B=ND.

⑴求证：AD2+DC2=AC2；

(2)如图2,在线段DC,BC上分别取点G,H,连接4G并延长交。。于点E,连接A”并延长，交

。。于点尸，连接EF,当NE4尸=45°时，求证：AC=V2EF；

⑶在(2)的条件下，当48||0C时，若DG=BH,CG=8,HC=9,求EG的长.

9.定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角.

(1)如图1,若四边形4BCD是圆美四边形.求美角4B4。的度数；

⑵在(1)的条件下，若。。的半径为4.

①求BD的长；

②连接C4若以平分NBCD,如图2,请判断BC、CD、4c之间有怎样的数量关系，并说

明理由.

10.已知矩形4BCD,AB=3,4。=6g，点。是4。的中点，以AD为直径作圆，点4是圆

⑴如图1,连接AB,若4B是圆。的切线，

①求证：AB=A'B-,

②设40与BC交于点尸，求。尸的长.

⑵若动点G从点8向C运动，连接0G,作四边形A0GB关于直线G0对称图形四边形40G8',

如图2.求点G在运动过程中线段扫过的面积.

11.圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形.

图I图2

⑴如图1,四边形4BCD为等邻边圆内接四边形,4。=CD,^ADC=60。,贝此4B0=.

(2)如图2,四边形力BCD内接于。。，AB为。。的直径，AB=10,AC=6,若四边形力BCD

为等邻边圆内接四边形，求C。的长;

(3)如图3,四边形4BC0为等邻边圆内接四边形，BC=CD,AB为。。的直径，RAB=48.设

BC=x,四边形4BC0的周长为y,试确定y与x的函数关系式，并求出y的最大值.

12.小亮学习了圆周角定理的推论"圆内接四边形对角互补”后，勇于思考大胆创新，并结合

三角形的角平分线的性质进行了以下思考和发现：

(1)①如图1,四边形ABC。是。。的内接四边形，若48=85。，贝IJ乙4DE=；

②如图2,在A48C中,BE,CE分别平分乙4BC和乙4c0,BE,CE相交于点E,44=42。，

则4E=_°；

(2)小亮根据这个发现，又进行了以下深入研究：

如图3,四边形力BCD内接于。。，对角线BD是。。的直径，4C=BC,点尸是弧/W的中点，

求4E的度数［(1)中的结论可直接用］.

13.如图，在平面直角坐标系中，AB||0C,4(0,2百)、C(-4,0),且AB=2.以BC为直径

作。01交0C于点D,过点D作直线DE交线段于点E,且4ED。=30°.

⑴求证：DE是。。1的切线；

⑵若线段BC上存在一点P,使以点尸为圆心，PC为半径的OP与y轴相切，求点P的坐标.

14.如图，已知48、C。为O0内位于圆心两侧的两条弦，AD=BC,过点N作CO的垂线交

(2)若4B=6,CD=8,AB与CD间的距离为7,求。。的半径长；

⑶若在弧4c上取一点凡使得弧AF=弧CE,连接DF,求证：DF经过圆心。.

15.如图，在矩形力BCD中，AB=8,BC=6,点£为射线上一点，过点Z,E,。作圆

交射线4c于点尸，连结DE,EF,且DE交4C于点G.

⑴求证：4DEF=4ACB：

(2)若AG=GF,求DG的长；

⑶当△EFG是以EF为腰的等腰三角形时，求AADG的面积.

16.已知。。为A/IBC的外接圆，。。的半径为6.

(1)如图，4B是。。的直径，点C是弧AB的中点.

①尺规作图：作N4CB的角平分线CD,交。。于点0,连接B0(保留作图痕迹，不写作法)：

②求8。的长度.

(2)如图，AB是。。的非直径弦，点C在弧AB上运动，NACD=NBCD=60。，点C在运动的

过程中，四边形4DBC的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请

说明理由.

17.如图，以AB为直径的。。与4,相切于点4,点C在48左侧圆弧上，弦CO14B交。。于

点。，连接AC,AC,点4关于CD的对称点为E,直线CE交。。于点F,交AH于点G.

⑴求证：4CAG=4AGC；

⑵当点E在力8上，连接4F交CD于点P,若*=泉求詈的值;

⑶当点E在射线AB上，AB=2,四边形AC0F中有一组对边平行时，求AE的长.

18.已知，AB为。。的直径，弦CC与4B交于点E,点力为弧CD的中点.

⑴如图1,求证：AB1CD；

(2)如图2,点尸为弧BC上一点，连接BF,BD,^FBA=2/.DBA,过点C作CG||48交BF于

点G,求证：CG=\AB.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接DF交0E于点£,连接LG,若FG=4,tanzGLB=y,

求线段LF的长.

19.已知：四边形48C。是O。的内接四边形，4c为对角线，OEJ.BC于点E,AB\\DE.

⑴如图1,求证：AC是。0的直径；

(2)如图2,连接OB,8D,410B的平分线交于点尸，连接4F,若力F1BD,求证：AD=CD；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接EF,若4B=2CE,AD=5V2,求四边形FEC。面积.

20.小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD,-

条线段OP(OP<AB),再以点/为圆心，OP的长为半径，画。4分别交力B于点E.交4。于

点G.过点E,G分别作4B,4。的垂线交于点足易得四边形4EFG也是正方形，连接CF.

图1图2图3

⑴【探究发现】如图1,

BE与DG的大小和位置关系：.

⑵【尝试证明】如图2,将正方形4EFG绕圆心4转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还

存在吗？请说明理由.

⑶【思维拓展】如图3,若4B=20P=4,则

①在旋转过程中，点8,A,G三点共线时，C尸的值为:

②在旋转过程中，CF的最大值是一

参考答案

1.(1)证明：连接08,

DCA

■：DE是回的直径，

.♦.点。在DE上，0E=0D,

•••四边形BC0E是平行四边形，

BCWE.BC=0E,

BCWD.BC=0D,

•••四边形0BCD是平行四边形，

•••4D与130相切于点。，

•••Z0BC=90°,

•••四边形0BCD是矩形，

乙0BC=90°,

•••0B是!30的半径，且BC10B,

BC是团。的切线.

(2)解：连接B0,则NOBE=90。，

乙ABD=180°-4DBE=90°,

•••四边形OBCD是矩形，OB=0D,

.•.四边形。BCD是正方形，

BC=DC=OB=1,4BOD=4BCD=90°,

^ADB=乙CBD=45°,

乙4=Z.ADB=45°,

v乙ACB=Z.ADE=90°,

•••Z.CBA=Z.A=45°,

AC-BC-1,

S阴影=S四边形0BCO+S4ABe-S扇形OBD

1900

=1X14-1X1X--X7TXl02

2360°

371

-----------

24

，阴影部分的面积为：一不

24

团P4=PD,

团弧AP=弧DP,

WP1AD,AE=DF,

团乙OAC+NOP力=90°,

团OP=。4

^OAP=4OPA,

团乙DAC+Z-OAP=90°,

团四边形/BCD是菱形，

田乙DAC=Z.CAB,

^Z-CAB4-Z,OAP=90°,

WA1AB,

团直线48与O0相切；

(2)解：方法一：连接BD,交4c于R如图所示:

D

菱形ABCD中AC、互相垂直平分，

团AC=8,tanZ-BAC=

2

ppnr

^\AF=FC=4,tan^BAC=—=—,

AFAF

「

0—DF=一1,

42

团OF=2,

在RtAA。尸中，AD=yjDF2+AF2=V42+22=275,

又弧DP=弧PA,

HOP1/ID,DE=AE=V5,tan^B/lC=tanzP4E=-=

EA2

ME=—,

2

设。。的半径为r,则OE=r—9,

团在Rt△。力E中，OA2-=0E2+AE2,

2

即=2=（厂_曰）+（遍y,解得丁=竽，

即直径2r=乎；

方法二：连接BD,交4c于凡连接04并延长交。。于E,连接PE,如图所示:

回力£为直径，

回乙APE=90°,

团PA=PD,

团4PAO=Z.PDA,

又弧AP所对立瓦乙4DP,

0ZE=Z.ADP,

AD1

0tanz^i4C=tanZ.DAC=tanzE=—=

PE2

设4P=%,则PE=2x,

[?L4F=yjAP2+PE2=^/x2+(2x)2=V5x,

又tan乙ZMP=竺=工，即竺=工，

XF242

0DF=2,

在Rt△4DF中，AD=y/AF2+DF2=A/22+42=2花,

血4=DC,

^1Z-DAC=Z-DCA=Z.PDA,

品DAPFCAD,

心="，即独=与

APDAAP2遮

1214P=

2

SAE=V5x=—,

2

即直径为苧.

3.(1)证明：如图，连接BE,0At

团乙BDE=90°,

团BE为。。的直径，

团4BAE=90°,

由乙ABE+Z.OEA=90°,

^Z.FAE=/-ADE,Z.ADE=Z.ABE,

^Z.FAE=Z.ABE,

^FAE4-Z.OEA=90°,

M4=OE,

回乙OEA=Z-OAE,

团乙FAE+/.OAE=90°,

团匕04F=90°,

回。4是。。的半径，

I34F是。。的切线.

（2）解：如图，过点4作4M1E产于点M,

a^AMD=90°,

EL4B-AE,乙BDE=90°,AD=2V2,tanZ.ABD—3,

SZ.ADB=/.ADM=-£.BDE=工x90。=45°,

22

团乙D/M=/.ADM=45°,

胤4M=DM,

团4M2+DM23=AD2,

S2AM2=（2V2）,

解得：4"=2或4时=一2（负值不符合题意，舍去），

0DM=AM=2,

团四边形4BDE是内接四边形，

团ZJ1EM=乙ABD,

AM

03=tan/.ABD=tanZJlEM=—EM,

12

^EM=-AM=-,

33

24

WE=DM-EM=2--=-,

33

^AE2=AM2+EM2=22+（|1=不

^Z-BAE=90°,

BBE2=AB2+AE2=2AE2=

9

团乙BDE=90°,

22

0BD=y/BE-DE=聆-=|；

EIBO的长为/

A

4.(1)证明：连接4。并延长交。。于E,连接DE.

•••M4与。。相切，切点为4,

/.MAD+乙DAE=90°,

4E是直径，

•••AADE=90°,

•••/.DAE+NE=90°,

・•・Z.MAD=乙E,

vZ-ACD=乙E,

・•・Z-MAD=Z.ACD.

(2)解：过4作AH1CB交CB延长线于H.

vAC=AD,

:.Z-ACD=Z^ADC.

•・,四边形ABC。是圆内接四边形,

・・・乙ABH=乙ADC,

由①知NM40="CD,

・•・乙ABH=/.DAM,

4

/.tanZ-ABH=tanZ-DAM=一，

3

设BH=3%,AH=4%,

Rt△4BH中，AB=J0x)2+(4x)2=5x)

•••点B是劣弧AC的中点，

•••弧AB=弧BC,

.•・BC—AB=5%,

-CH=3%4-5%=8x,

•••Rt△ACH中，tantACH=—=—=i.

CH8x2

5.(1)证明：・・・BD为直径，

・•・乙BAD=90°,

・•・乙ABD+々408=90。,

vAELCE,

/.ADE+Z-EAD=90°,

vZM平分NBOE,

:、Z.ADB=Z.ADE,

・•・Z.ABD=Z.EAD,

即乙/B。=^EAD；

(2)解：过。点作。H_LCD于"点，连接。4如图，则CH=OH=^CO=3,

在Rt△中，OH=7OD2-DH2=V52-32=4,

vOA=ODf

・••Z.ODA=Z-OAD,

•・•Z.ODA=Z-ADE,

・•・Z.OAD=Z-ADE,

:.OAWCE,

・・・Z.OAE=180°-ZF=90°,

•・•(OHE=Z,E=Z-OAE=90°,

••・四边形04E”为矩形，

：•AE=OH=4,HE=OA=5,

,・.DE=5—3=2,

在Rt△40E中，AD=>JDE2+AE2=y/22+42=2限

故答案为：2遍.

6.(1)证明：连接。4,则OF=04,

团404F=(OFA,

团4G=GD,

WFLAD,

团44GF=90°,

回四边形4BC。是菱形，

EL4B=AD,AC1BD,

团/BAE=/-DAE,

EJNOAB=/.OAF+乙BAE=Z.0FA+/.DAE=90°,

回04是。。半径，且AB1OA,

团AB是。。的切线.

(2)解：喘=|，AD=2AG,

胫=三，

AG4

设AG=4m,贝|。4=5m,

团OF=OA=5m,

团44Go=90°,

团OG=^JOA2-AG2=7(5m)2-(4m)2=3m,

MG=OF-OG=5m-3m=2m,

^AED=Z.AGF=90°,

^ADB=Z.AFG=90°-Z,DAE,

0tanZi4Z)B=tanZ-AFG=—=—=2,

Eltan4WB的值是2.

团四边形4BCC是正方形，

SZ.BAD=Z.ADC=90°,AD=CD,

^ACD=/.CAD=45°,

SAAED=^ACD=45°；

（2）解：团点尸是CD的中点，

0DP=PC=1,

在Rt△4DP中，AP=7AD?+DP2=通，

在Rt△力DC中，AC=y/AD2+CD2=2VL

^\Z-CAE=乙CDE,Z-ACD=乙DEP,

[2]△ACPsxDPE,

破£=丝，即越=更

DEDPDE1

皿=第

(3)解：如图：连接4Q,PQ,延长CB到尸，使BF=DP,连接AF,

回四边形ABCD是正方形,

团4B=4。=BC=2,乙ADC=乙ABC=90°,

^AB=AD,BF=DP,Z,ABF=/.ADP,

[SAABF三△ADP,

乙

团AF=APfZ.DAP=FAB,

若AQIIDE，

^QAE=Z.AED=45°,

团乙BAQ+Z.DAP=45°,

团4FAB+(BAQ=4FAQ=45°,

^FAQ=^QAE=45°fAP=AF,AQ=AQf

团△AFQ三△APQ,

团QP=QF,

田FQ=尸8+BQ=1+8Q=OP+BQ,

团QP=1+BQ,

在Rt"QC中，PQ2=QC24-CP2,

团(1+BQ)2=(2—BQ)2+1,

MQ=

8.(1)证明：・・•四边形/BCD为圆的内接四边形,

・•・乙B+£D=180°,

Z.B—Z.D,

NB=4。=90°,

.•.在Rt/MOC中，AD2+CD2=AC2；

(2)证明：连接OE、OF

••弧EF=弧EF,

乙EOF=2/.EAF,

••^LEAF=45°,

•••/.EOF=90°,

vZD=90°,

••.AC是O。的直径，

OE=OF=-AC.

2

&C)2+RC)2=E产

(3)解：在4。上取一点M使DM=0G,在4B上取一点N使BN=BH,连接EC.

v乙B=Z-D=90°,

NB〃是等腰直角三角形.

・•.设0G为a,

•:DG=BH,

.・.DM=DG=a,BN=BH=a/DMG=乙DGM=乙BNH=乙BHN=45°,

vCG=8fHC=9,

:・CB=BH+HC=Q+9,DC=DG+CG=Q+8,

-AB||CD/B=ZD=90°,

，四边形4BCD为矩形，

:.AD=BC=a+9,AB=DC=Q+8,

・・・AM=AD-DM=9,AN=AB—BN=8,

设乙DAE=Q,乙BAF=S，

vZ.EAF=45°,/.DAB=90°

・•・Z.DAE+乙BAF=4DAB-^EAF=45°,

：・a+0=45°,

•:Z-AGM+Z-DAE=乙DMG,乙AHN+乙BAF=乙BNH,

・•・Z,AGM=0,UHN=a,

乙乙

・•・4AGM=BAF,AHN=^DAEf

/.△AMGfHNA,

.MG_AM

ANNH

•・•在RtZkMDG和RtZkHBN中，MD2+DG2=MG2.BN2-VBH2=NH2

MG=NH=V2a,

\[2a__9_

"T=衣’

二a=6,

.•.在Rta/WG中，AD2+DG2=AG2,

：.AG=3V29,

•••4C为圆。的直径，

Z.AEC=90°,即NCEG=90°

v弧DE=弧DE,

:.Z-GCE=Z-DAE=a

・•・sinZ.DAE=sinzGCE,

DG_EG

茄=茄'

.6_EG_

・'3729-8’

门616y/29

29

9.解：（1）由题意得：（BAD=：ABCD,

•・・乙BAD+乙BCD=180°,

・•・2^BAD4-LBAD=180°,

:.乙BAD=60°.

（2）①如图1,连接。。并延长交。。于E点，连接BE,

图1

•・・O。的半径为4,

・•・Z-EBD=90°,DE=8

vZ-E=4BAD,/.BAD=60°

・・・乙EDB=30°

i

・•・BE=-DE=4

2

・•・BD=y/DE2-BE2=<82-42=4A/3.

②AC=BC+CD.

理由如下：如图2,延长C8到E,使得BE=CD,连接/E,

图2

V4BAD=60°,

・•・乙BCD=120°.

・・•&4平分乙BCD,

・•・Z-ACB=Z.ACD=60°,AB=AD.

vZ.ABC+乙ADC=Z-ABC4-/-ABE=180°,

・•・Z.EBA=乙CDA,

•••△ACD=△AEBr

・•・乙E=Z.ACD=60°,AC=AE,

・・•为等边三角形，

・••AC=CE,

•・•BC+BE=BC+CD=CE,

••AC=BC+CD.

10.解：（1）①回矩形4BCD,AD=6V3,点。是4D的中点,

蜘。=D0=3a乙4=90°,

回84是圆。的切线，

回A，B是圆。的切线。

QAB=A'B；

②连接OB,贝IJNHOB=440B,

田矩形ABC。，

SBC||AD,

0Z.FBO=Z.AOB,

BZ-FBO=Z-A'OB,

MB=FO,

设FB=FO=x,则4'F=OA'-OF=3\[3-x,

2

则在直角三角形4BF中，A'B=AB=3,根据勾股定理可得：（36一x）+32=x2,

解得：x=2V3,

即OF=2V3；

(2)当反G重合时，如图,

r...4cr>AB3V3

团tanzL/lOB=—=•_-p=—,

OA3V33

SZ.AOB=30°,

当G、C重合时，如图，

回/BOG=NB'OG=120°,

回点*旋转的角度是240。，

WB=OB',OA=OA',

回线段A方扫过的面积是|兀082—］兀042=17MB2=67r.

11.(1)解：BAD=CD,

13弧AD=<CD,

^ABD=4CBD=-Z.CBA

2

又团乙4DC=60°,

^ABC=180°-60°=120°,

SZ.ABD=*BC=60°；

(2)解：EL4B为。。的直径，AB=10,AC=6,

^ACB=/.ADB=90°,BC=yjAB2-AC2="00-36=8

SAC=AD,AB为。。的直径，

0RtACBmRtAADB(HL),

SBC=BD,AB垂直平分CD.

^Sm^ADBC=^CDxAB=ACxBC

②当4D=BD时，连接CD,过点4作AH_LCD,交CD于点H.如图:

D

此时△4DB为等腰直角三角形，AD=BD=5VL

在RtAAHC中，0Z/4CW=Z.ABD=45°,AC=6,

,AHAHV2

团sinZTAlCriHJ=—=—=—

AC62

团C4=AH=3四

在RtZkAHD中，EL4H=3或，AD=5V2,

SDH=4A②

团CD=CH+DH=7V2.

综上可知，CD=蔡或CD=7V2；

(3)如图，连接。C,BD.

EIOC垂直平分8。

团。为AB中点，

I30F为△BD4的中位线，WOFOF//AD.

设OF=t,

则CF=24—3AD—2t,y=48+x+x+2t=2t+2x+48,

在RtABFC中，BF2=BC2-CF2=x2-(24-t)2

在Rt△BF。中，BF2=BO2-OF2=242-t2

于是有：x2-(24-t)2=242-t2

整理得，1=一々/+24,

0y=-以/+2x+96=-^(x-24)+120

当x=24时，ymax=120

12.解：(1)①团4B是圆的内接四边形ABC。的外角，

团乙4DE=AB=85°,

故答案为：85°：

②设N4BE=乙EBC=a,/.ACE=4ECD=0,

在△ABC中，/.ACD=A.ABE+Z.CBE,即2£=2a+4A,

在△BCE中，4ECD=4E+4EBC,即4£=Na+4E,

即Z_E=*=21°,

故答案为21；

(2)EL4c=BC,

团弧AC=弧BC,

团Z71DE=Z.ABC=Z.BDC=乙EDG,

即0后是448。的外角平分线，

回点尸是弧AD的中点，

EI/ABF=乙FBD,

即BF是乙4BD的平分线，

由(1)得，ZE=^BAD=1x90°=45°.

13.(1)证明：连接。过，BD,如图，

04(O,2V3),C(-4,0),

OA=2V3,OC=4.

回以BC为直径作O。1交OC于点D,

:.乙BDC=90°.

"ABWOC.OC1OA,

AB10A,

回四边形480。为矩形，

•••OD=AB=2,BD=OA=26,

CD=OC-OD=2,

：.BC=y/CD2+BD2=4,

.•・0]。=0]D=2,

・•・△OiCD为等边三角形，

・・

•乙ORD=Z.O1DC=60°,

•・•乙EDO=30°,

・・・Z,OrDE=180°-乙O]DC-乙EDO=90°,

・・.O1D1DE,

­■om为。Oi的半径，

是的切线；

(2)解：回线段BC上存在一点P,使以点尸为圆心，PC为半径的。P与N轴相切,

团点尸到y轴的距离等于PC.

过点尸作PF_Ly轴于点尸，PHlx轴于点”，如图，

则PF=PC.

由(1)知：乙BCD=60°,

CH=-PC,PH=—PC.

22

•••PF_Ly轴，PHJ.x轴，OA1OC,

回四边形P”OF为矩形，

OH=PF=PC,

•••OC=CH+OH=-PC+PC=4,

2

・•.PC=

3

PF=OH=PH=-x-=

3233

回点p的坐标为(一g,浮).

14.(1)证明：连接力C、BD,

弧AD=弧BC,

，Z.ACD=乙BDC,

•・・乙ACD+Z-ABD=180°,

・•・乙BDC+乙ABD=180°,

・・・AB\\CD；

----------------/

(2)解：过点。作。HJ.48于〃，延长H。交C。于G,连接。8、OD,

-ABWCD,

・・•OH1CD,

BH=-AB=3.DG=-CD=4,

22

设。H=X,

v4B与CD间的距离为7

・•・OG=7—x,

•・・OH1AB,OH1CD,

OB2=BH2+OH2=32+x2,OD=DG2+OG2=424-(7-x)2,

vOB=OD,

•••32+X2=42+(7-X)2,

解得x=4,

OB=OD=V32+42=5,

••・o。的半径长为5；

(3)证明：连接CF、AF.CE,

V弧AF=MCE,

・•・弧AC=弧EF,

:.Z-EAF=Z.AEC,

vZ-AEC+Z.AFC=180°,

・•・Z.EAF+Z.AFC=180°,

:.AE\\CF9

vAE1CD,

・•・FC1CD,

:.Z-FCD=90°,

・•・。产经过圆心O.

15.(1)证明：•・•四边形/BCD是矩形,

­-AD||BC,

:.Z-DAC=乙ACB.

vZ.DAC=乙DEF,

・•・乙DEF=乙ACB；

(2)解：•・•四边形/BCD是矩形，

・•・/.DAB=90°,

・•.OE为圆的直径，

---AG=GF,

・•・DE±AF.

・.•矩形ABC。中，AB=8,BC=6,

・•・AC=y/AD2+CD2=10.

,FADC,ADDCYAJDG，

：・AD•DC=AC,DG,

・•・6x8=10DG,

DG=4.8；

(3)解：①当EF=EG时，过点。作DH12G于点H,如图,

•：EF=EG,

:.Z.EGF=Z.EFG,

vZ-DGA=Z_EGF,Z.ADG=乙EFG,

**•Z-ADG=Z-DGA,

・•・AD=AG=6,

由(2)知：DH=4.8,

・•.△4DG的面积=•DH

1

=-x6x4.8

=14.4；

②当EF=FG时，过点。作DHLAG于点4,如图,

-------

zZ______

//\\

・：EF=FG,

・•・Z-FGE=Z.FEG.

vZ-FEG=Z.DAG,Z-FGE=Z-DGA,

:，Z-DAG=Z.DGA,

・•・DA=DG=6.

由(2)知：DH=4.8,

•・・DA=DG,DHLAG.

•.AH=HG.

•・•AH=y/AD2-DH2=3.6,

・・・/G=2AH=7.2.

•・•△4。6的面积=加・。”

1

=—x7.2x4.8

2

=17.28.

综上，△ADG的面积为14.4或17.28.

16.（1）解：①如图1,即为所作图形;

图1

②13点C是弧AB的中点，

EL4C=BC.

配7）是乙4cB的平分线，

0CD1AB.

I34B是。。的直径，

I3CD经过圆心0,

SZ.BOD=90°.

0©。的半径为6,

团。B=OD=6,

EIBD=y/OB2+OD2=6A/2；

（2）点C在运动过程中，四边形4DBC的面积存在最大值.

理由：如图，连接AB,过点。作DC，于点E,交。。于点L,过点C作CF14B.

回乙4CC=4BCD=60°,

回弧AD=弧BD,乙ACB=2乙BCD=120°,

SAD=BD.

回四边形4DBC为O。内接四边形，

^ADB=1800-/-ACB=60°,

0A力DB为等边三角形.

WC1AB,

团。C'为。。直径，C'是48的中点.

回S四边形4D8c=S0BD+S—BC，

111

团S四边形4DBC=2AB-OE-CF=-AB•(DE+CF).

(3AAOB为等边三角形，

西8和AB边上的高都为定值，

团当CF最大时，S四边形408c最大，此时点C与点C，重合，

回当点C为4B中点时，S四边形｛Me最大，此时。C为。。直径,

团乙4=NB=90°,如图3.

图3

团。。的半径为6,

0CD=12.

回乙4OC=90°-AACD=30°,

EL4C=-CD—6,

2

团40=y/CD2-AC2=6V3,

团S—CD=•4。=|x6x6A/3=18V3.

BBD=AD^BC=AC,CD=CD,

团△BCD三△ACD(SSS),

团SABCD=S^ACD=

团S四边形4BC0=S〉BCD+S^ACD=36^3,

团点。在运动过程中，四边形4D8C的面积存在最大值，最大值为368.

17.(1)证明：如图，设48与CO相交于点

团。。与4H相切于点/,

^BAG=90°,

国CD1AB,

团乙4MC=90°,

团4G||CD,

^CAG=Z.ACD,乙AGC=^FCD,

团点A关于CD的对称点为E,

团乙/CO=4/co,

团Z_CAG=Z-AGC.

(2)解：过F点作尸KLAB于点K,设48与CD交于点N,连接。尸，如下图所示:

由同弧所对的圆周角相等可知：乙FCD=^FAD,

团4B为O。的直径，且CD1AB,由垂径定理得：弧AC=弧AD,

0ZJ1CD=Z.ADC9

团点A关于CD的对称点为E,

0Z.FCD=Z.ACD,

^FAD=Z.FCD=Z.ACD=Z/1DC,艮|JNFAD=^ADC,

团DP=AP,

由同弧所对的圆周角相等得：乙ACP=CDFP,且ZTP4=ZFPD,

[?]△CPAFPD,

团PC=PF,

^\FK1ABtAB与CD交于点N,

^FKE=Z.CNE=90°.

国乙KEF=乙NEC,乙FKE=乙CNE=90°,

[3AKEFNEC,

胫=更=2

ENCE5

设KE=2x,EN=5%,

国点A关于CD的对称点为E,

・・・AN=EN=5%,AE=AN+NE=10%,AK=AE+KE=12x,

又FKHPN,

团△APNs△AFK,

0Z.FCZ）=Z.CDAy

回CF||4D,

DP_AP__DP_5

CP-PF-AF-AP-7’

（3）解：分类讨论如下：

如图，当。CIIAF时，连接OC,OF,T&AAGF=a,则/C4G=N4CD=NDCF=N4FG=a,

&OCWAF,

，Z.OCF=Z-AFC=a,

vOC=OA,

・•・Z.OCA=Z.OAC=3a,

•・•Z.OAG=45°,

.・.4a=90°,

:.a=22.5°,

OC=OF,OA=OF,

・・・Z.OFC=Z-OCF-Z.AFC=22.5°,

・•・Z.OFA=/.OAF=45°,

/.71F=V2OF=V2OC,

WCWAF,

AEAF宿

•O,E—OC—v2,

・•・AE=y/2OE,

vOA=1,

•••AE="2二=2—V2；

1+V2

如图，当AQIOF时，连接OC,。口

设〃GF=a,

vZ-ACF=Z-ACD+乙DCF=2a,

^ACWOF,

:.乙CFO=Z.ACF=2a,

・•・Z-CAO=Z-ACO=4a,

vZ-AOC+WAC+^ACO=180°,

/.10a=180°,

・•・a=18°,

・•・乙COE=乙ECO-乙CFO=36°,

・•・△OCEs△FCO,

・•・OC2=CE・CF,

・・・1=CE(CE+1),

CE=AC=OE=

2

：.AE=OA-OE=等；

综上所述，满足条件的HE的长为2-四或竽,

18.(1)证明：如图1,连接OC,0D,

回点/为弧CD的中点，

13弧AC=弧AD,

团乙AOC=Z.AODi

团。。=0D,

团4B1CD；

(2)证明：如图2,连接OC,OD,BC,则乙40c==2乙。84,

回乙FBA=2乙DBA,

团乙FBA=Z-A0C,

团0CII8G,

0CG||48,

回四边形0BGC是平行四边形，

ECG=0B,又OB=-AB,

2

回CG=〃B；

2

(3)解：如图3,连接0C,00,BC,0G,过G作GMJ.0B于过。作0K_L0F于K,

则DK=FK,

设Z71BC=a,则448。=a,/.A0C=Z-A0D=2a,Z.DCB=90°-/.ABC=90°-a,

0ZF=乙DCB=90°-a,

^Z.FBA=2/-DBA=2a,

团乙BLF=180°-LFBA-zF=90°-a,

0ZBLF=乙F,

团BL=BF,

团08=OC,

团平行四边形OBGC是菱形，

WB=BGt

团BL-OB=BF—BG,则L。=FG=4；

0CG||AB,

团4CGM=Z.GME=匕CEM=90°

团四边形CEMG为矩形，

团GM=CE=DE,

团。8=BG,Z-GBO=2a,

团4GOB=£(180。-2a)=90°-a,

团/OGM=90°-乙GOB=a,

ElzCDF=Z.CBF=Z.FBA-/-ABC=a,

团乙。GM=乙CDF,

在^DFL^IIAGM。中,

NLDE=Z.OGM

DE=GM,

./.DEL=乙GMO

[?]△DEL三△GM。(ASA),

团DL=OG,乙DLE=^GOM,EPzFLO=Z.DLE=Z-GOM,

MLIIOG,

团四边形DLG。是平行四边形，

0LG=OD,LG\\ODrZ-GLO=4DOL=2a

团GL=GB,

HtanzGLF=—=—,

3LM

团设GM=V7x,则LM=3%=BM,

0GL=VGM2+LM2=4%,即GL=DO=BG=OB=4%,

WM=OB—BM=x,则L。=LM-OM=2%,

02%=4,则％=2,

团OM=2,GM=2夕，则OG=7GM2+0M2=4VL

0LD=OG=4A/2,

团4GOM=Z.FLB=90°-a,

HcoszGOM=cos乙FLB,

0—=—,即/=之，

LOOG44\/2

址K=V2,

团FK=DK=LD+LK=4&+&=5VL

回“=LK+FK=6V2.

19.(1)证明：・・・DE1BC,

・•・Z.CED=90°,

-ABWDE,

・•・乙B=Z-CED=90°,

.•.4C是。。的直径；

(2)证明：・・・OF平分乙4OB,

・・乙

•^LAOF=BOF=2-Z.AOB,

又•・•OA=OB,OF=OF,

:心AOF三△BO产(SAS),

・•・AF=BF,

・，・Z.FAB=Z.FBA,

•:AF1.BD,

:.Z-AFB=90°,

・・・/.FAB+Z.FBA=90°,

・•・/.FAB=Z.FBA=45°,

・・・Z,CBD=乙ABC-乙FBA=45°,

:.Z-ACD=4ABD=45°,/-CAD=乙CBD=45°,

:.Z-ACD=Z-CADf

••・AD=CD；

(3)如图3,过点。作DG1BA,交BA的延长线于点G,延长AF交BC于点H,过点E作EK1A