2024届北京市延庆区高考一模数学试题（含答案解析）

2024届北京市延庆区高考一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x|x<3},区={1,2,3},则Au5=()

A.y,3)B.y,3]

C.{1,2}D.{1,2,3}

2.若复数z满足z・i=三，贝ljz=()

1-1

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

3.在(2x-^)5的展开式中，V的系数为(

)

X

A.40B.-40

C.80D.-80

4.已知抛物线C：/=8x的焦点为尸，点M在C上.若M到直线x=Y的距离为7,

则|〃用=()

A.4B.5

C.6D.7

5.已知正方形ABC。的边长为2,点尸满足AP=：(AC+AD),则净.屁=()

A.4B.5C.6D.8

6.“sin26>0”是“。为第一或第三象限角”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数*X)=3X-2X-1,则不等式/(X)<0的解集是()

A.(0,1)B.(0,+8)C.(一8,0)

D.+

8.设Q=log32,b=log96,c=1,贝U()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.b>a>c

9.在等边,ABC中，AB=2,P为ABC所在平面内的动点，且B4=l,。为边3c上

的动点，则线段P2长度的最大值是()

A.痒1B.代+1

C.73+2D.3

10.已知在正方体ABC。-ABCA中，钻=1，尸是正方形ABC。内的动点，PA>pq,

则满足条件的点P构成的图形的面积等于()

二、填空题

22

11.已知双曲线u十忘=1的离心率为5则双曲线。的渐近线方程为.

12.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知N5=60,sinA=3sinC,b=币,

则。=,ABC的面积为.

13.已知函数〃x)=J(0<a<l)在区间(-1,0)上单调递减，则。的一个取值为.

14.北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环

绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上

一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且三层共有扇

面形石板(不含天心石)3402块，则上层有扇形石板块.

尤2+lax,x<l,

15.已知函数〃x)=a\nx给出下列四个结论：

---,X>1.

①存在实数使得函数的最小值为0;

②存在实数a<0,使得函数/(x)的最小值为-1；

③存在实数4，使得函数/(x)恰有2个零点；

④存在实数。，使得函数/*)恰有4个零点.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

16.已知函数/(x)=2sinxcosx-2asin2x+a(a>0),/(尤)的最大值为2.

(1)求。的值；

(2)将Ax)的图象向右平移三个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的单调增区间.

17.第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举

试卷第2页，共4页

行，赛程时间安排如下表:

9:30单人雪橇第1轮

10:30单人雪橇第2轮

12月16日星期六

15:30双人雪橇第1轮

16:30双人雪橇第2轮

9:30单人雪橇第3轮

12月17日星期日10:30单人雪橇第4轮

15:30团体接力

(1)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；

(2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记X为看到双人雪橇的次数，求X的

分布列及期望E(X)；

⑶若小明在每天各随机观看一场比赛，用“。=1”表示小明在周六看到单人雪橇,=0”

表示小明在周六没看到单人雪橇，“&=1”表示小明在周日看到单人雪橇，“4=。”表示

小明在周日没看到单人雪橇，写出方差。(露，D(口的大小关系.

18.如图，四棱柱耳的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面

底面ABC。，D、D=3,E是5c的中点.

⑴求证：〃平面GE。；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择二个条件作为已知，使二面角

。-GE-瓦唯一确定，并求二面角。-GE-瓦的余弦值.

条件①：cp=9；

条件②：邛=拒;

条件③：AD1QD.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

19.己知椭圆£:5+《=1(。>6>0)的离心率为孝，AC分别是E的上、下顶点，

\AC\=2,民。分别是£■的左、右顶点.

⑴求E的方程；

⑵设尸为第二象限内E上的动点，直线尸。与直线BC交于点直线与直线。交

于点N,求证：MNYBD.

20.已知函数/(x)=-lnx+(2+a)x-2.

⑴若曲线y=/(x)的一条切线方程为y=x-i,求。的值；

⑵若函数“X)在区间(1,2)上为增函数，求。的取值范围；

⑶若7段[9，+，|,“X)无零点，求”的取值范围.

21.已知数列｛%｝,记集合T=[S(z,j)|S(i，j)=al+aM+...+aj,l<i<j,i,jeN,).

(1)若数列｛%｝为1,2,3,写出集合T；

⑵若an=2n,是否存在i,jeN*,使得S(z,j)=512?若存在，求出一组符合条件的i,j；

若不存在，说明理由；

(3)若见=72,把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为如玄，…，£，…，若

%<2024,求机的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据题意，由并集的运算，即可得到结果.

【详解】因为A={尤忖＜3},3={1,2,3},则AuB=(y，3].

故选：B

2.C

【分析】根据题意，由复数的运算，即可得到结果.

2222(1—i)2(l-i)

【详解】由z.i=^可得z=1J^^=1一].

l-i7(l-i)il+ri(l+i)(l-i)2

故选：c

3.D

【分析】利用二项式定理直接求解.

【详解】设M=C；(2X)5=(-1『25-*€犷-2乂左=(),1,5),

令5-2k=3,贝蛛=1,故d的系数为-24c=-80.

故选：D

4.B

【分析】根据抛物线的定义求解.

【详解】由抛物线U/=8x可知，准线方程为x=-2,

因为M到直线x=Y的距离为7,

所以M到抛物线准线x=-2的距离为5,

由抛物线定义知，1破1=5.

故选：B

5.C

【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积

的坐标运算进行求解即可.

【详解】建立坐标系如图，正方形ABCD的边长为2,

答案第1页，共15页

则A（0,0）,C（2,2）,D（0,2）,可得AC=（2,2）,AZ）=（0,2）,

点尸满足AP=：（AC+A。）=。,2）,所以APAC=lx2+2x2=，

故选：C.

6.C

【分析】由二倍角公式、充分必要条件的定义即可得解.

[sin6>0fsin0<0

【详解】因为sin2e=2sin6»cose>0o〈八或〈,

[cos6>0[cos0<0

所以“sin2。>0”是“0为第一或第三象限角”的充分必要条件.

故选：C.

7.A

【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在。<不<1,再由函数的单调性及

/（0）=/⑴=0可得不等式的解集.

【详解】因为广。）=3,3-2单调递增，且（（0）=ln3-2<0,r（l）=31n3—2>0,

所以存在唯一x°e（。/），使得尸（不）=0,

所以当时，f\x）<0,当x>x0时，―（尤）>0,

所以函数/（x）在（Y»,不）上单调递减，在（无。，田）上单调递增，

又/（0）=/⑴=0,且。</<1,

所以由/（x）<o可得0<x<l,

故选：A

8.D

【分析】根据题意，由对数的运算可得b=log3#，C=log3有,再由对数函数的单调性即

答案第2页，共15页

可得到结果.

【详解】因为6=10896=10832（迷）=log3A/6,且C=g=log3百，

又6<2<遍，函数y=1吗》在（。，+°0）单调递增，

则logsA/3<log32<log3-s/6,所以c<a<b.

故选：D

9.D

【分析】根据题意可知点尸在以点A为圆心，半径为1的圆上，结合图象分析即可.

【详解】根据题意可知，点户在以点A为圆心，半径为1的圆上，

如图：

。为边BC上的动点，线段PQ取最大值时，

|PQ|=|AQ|+M=|AQ|+I,

而当。与点C重合时，|AQ|最大，且最大值为2,

此时线段尸Q长度的最大值为2+1=3,

故选：D.

10.A

【分析】由题意，在平面ABCDh,分别以AB,AO为x,y轴建立平面直角坐标系，设P（x,y）,

根据已知列出满足的关系，进而可得满足条件的点尸构成的图形，计算面积即可.

【详解】如图，连接尸C,则PC】=‘PC?+CC；=JPC。+1,

答案第3页，共15页

D\

如图，在平面ABCD上，分别以A8,AD为x,y轴建立平面直角坐标系,

则A(O,O),C(1,1),设尸(x,y),

由^|PA|>7|PC|2+I,

即ylx2+y2>7(x-l)2+(y-l)2+l,整理得2尤+2y-320,

设直线/:2工+2k3=0与。。,比交于点","，

则点P在4cMN内部(含边界)，即满足条件的点尸构成的图形为.CMN及其内部,

易知.•.|cM=|cM=g,

X=

•••5ACMW=1|CM|M=I4II-

ZZZZO

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解题关键是在底面ABCD上建立平面直角坐标系，把空间问题转化

为平面问题去解决.

11.y=±—x

2

【分析】根据双曲线的离心率化简变形即可求出渐近线的斜率得解.

a2_a2_111

【详解】因为_滔一一彳，

所以双曲线的渐近线方程为y=±3x=±正x,

b2

答案第4页，共15页

故答案为：y=+^-x

2

12.1班乃石

44

【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理求得。，再运用三角形的面积公式即可求得结果.

【详解】因为sinA=3sinC,由正弦定理可得a=3c,

因为NB=60,在ABC中，由余弦定理可得：b2-a2+c2-2accosB>

所以7=9c2+c2-6c2xg,解得：c=l；

所以。=3c=3,由三角形面积公式可得：S=—acsinZABC=—x3x1x,

ABC2224

故答案为：1;史.

4

13.1（不唯一）

【分析】根据幕函数的单调性奇偶性即可得解.

【详解】因为/（力=^（0<。<1）在（0,+⑹上单调递增，又/（元）在区间（-1,0）上单调递减，

2

所以/（九）可以为偶函数，不妨取

2

此时/。）=/=浮，函数定义域为xeR，

且/（-X）=（T）§==f（x）>故/（x）=必为偶函数，

满足在区间（-1,0）上单调递减.

故答案为：I（不唯一）

14.405

【分析】记从中间向外每环扇面形石板数为&｝,则。｝是等差数列,且公差为"=9,4=9,

设每层有七环，则〃=3笈，S“=3402,根据等差数列前”项和公式求出"，再求出S9即可.

【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为｛%｝,则｛4｝是等差数列，且公差d=9,%=9,

设每层有七环，贝心=33,S“=3402,

ll…n（n-\\dr9〃（〃-1）

所以——^-=3402,即139〃+———^=3402,

〃」22

即+〃—756=0,角星得〃=27或〃=—28（舍去），

b…cn.9x（9—l）d9x（9-l）x9

所以k=9,贝|S9=9q+―nj=9x9+——=405,

答案第5页，共15页

即上层有扇形石板405块.

故答案为：405.

15.①③

【分析】取特殊值判断①，当4<0时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段

函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④.

【详解】当。=0时，=，显然函数的最小值为0,故①正确；

7［0,X>1.

当"。时，个）=­（行1）,小）=业㈣，

当1<x<e时,f'（x）<0,当ev%时，/'（%）>0,

所以/（九）在［l,e）上单调递减，在［e,y）上单调递增，

所以％=e时，/（元）有最小值f（e）=q,由幺=-1可得a=-e,

ee

此时，了<1时，/（x）=x2-2ex,/（x）在（一8,1）上单调递减，所以/（%）>/⑴=l—2e,

与最小值为-1矛盾，

若无<1时，/（x）=x2+2ax的对称轴方程为无=-a>0,当％=时，

即〃>一1时，f=f（-a）=-a2,若一。2=一1,贝=与〃>一1矛盾，

当光=-。31时，/（九）在（-8,1）上单调递减，无最小值，

综上，当〃<0时，函数〃九）的最小值不为-1,故②错误；

由②知,”-1时,X<1时，单调递减且吐0）=。,当时，/（%）<0^/（1）=0,

所以函数恰有2个零点，故③正确；

当。>0时，/（元）=©吧之0（x21）且仅有/⑴=。，即@吧（尤21）有且只有1个零点，

XX

当。<0时，/（尤）=弛±40521）且仅有〃1）=。，即/（幻=生”（工21）有且只有1个零点，

XX

综上awO时，/（犬）=色吧（无上1）有且只有1个零点，而/（X）=/+2办=尤（尤+2°）在x<l上

x

至多有2个零点，

所以。力0时，函数没有4个零点，当。=0时，函数有无数个零点，故④错误.

故答案为：①③

【点睛】关键点点睛：本题的关键是对。分类讨论，利用导数研究口,+⑹上的函数性质，结

答案第6页，共15页

合二次函数性质研究另一段函数.

16.(l)a=V3

⑵+(々eZ)

【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简/（*），再根据正弦函数的性质求解即可;

（2）利用三角函数的平移公式求出g（x）,再根据正弦函数的图象和性质求解即可.

【详解】(1)H/(JC)=sin2x+acos2x=y/l+a2sin(2x+(p),

,.a

其中sm°=1——二

y/l+a

所以y/l+a2=2，

又因为〃>0,解得a=^3.

(2)由(1)可得/(x)=sin2x+退cos2x=2sin[2x+]J,

将/(x)的图象向右平移三个单位可得g(x)=2sin[2(x+£-T=2sin12x-4

由2far-]W2x-y<2fat+](kGZ)解得far-R<x<ht+^^(左eZ),

即函数g(x)的单调增区间为也一己配+!|(keZ).

口.⑴；

(2)分布列见解析,1

(3)。(2>。©)

【分析】（1）根据分类乘法计数原理及古典概型求解；

（2）根据题意求出概率，列出分布列，求出期望即可；

（3）分别计算。值）,0倡），即可得解.

【详解】（1）记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件A.

由表可知，每天随机观看一场比赛，共有4x3=12种不同方法，

其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有2x2=4种不同方法.

答案第7页，共15页

41

所以尸(4)=二二1

123

(2)随机变量X的所有可能取值为0』,2.

C3102

根据题意，P(X=0)=-^=—=-,

pl「2

P(X=1)=眨20_4

35-7

随机变量X的分布列是:

数学期望双*)=0*,+卜5+2、3='.

7171

(3)由题意，.侑=0)=*,P(^=l)=-=-.

所以£恪)=04+1义；=3,+=

12

因为P©=0)=『P^2=l)=-,

所以E($)=0x；+lx|=|,D(^)=^-|Jx|+^l-|Jx|=|;

所以。信)>℃).

18.(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)方法一：利用线面平行的判定定理找到OE〃。田可证；方法二：利用面面平

行的判定定理证明平面D/BII平面QDE进而证明结论；

(2)选①:说明条件CXD=屈不能确定棱柱特点即可求解;选②③:证明RDI平面ABCD,

建立空间坐标系，求得二面角

答案第8页，共15页

【详解】(1)证明：

方法一：在四棱柱ABCD-A&GA中，连结2C,设ACDCX=O,

连结0E,在△2BC中，因为0、E分别为ACBC的中点，

所以OE//QB,又因为OEu平面G0E，平面CQE,

所以〃3//平面GOE.

方法二：在四棱柱ABCD-A&GA中，设用G中点为产，

连结2尸，BF,FE,

因为尸G//BE,FC、=BE,所以FC.EB为平行四边形，

所以FB//C,E,又FBZ平面GDE，QEu平面QOE,故EB〃平面CQE,

因为EF//CCJ/DDX,EF=CCX=DDt,所以DRFE为平行四边形，

所以2歹〃DE,又£＞尸0平面GDE,DEu平面GOE，故。尸〃平面

因为2尸\FB=F,EB,QBu平面QEB,故平面REB//平面CQE,

因为QBu平面'EB,所以AB〃平面CiEO.

(2)选择条件①：

因为底面ABCD是正方形，所以CDLAD,

侧面AD£)iA_L平面A5CD,且侧面c平面ABCD=仞，CDu平面ABCD,

故CD_1_平面ADD^,又DD\U平面ADDX\,则CD_LDDt,

即四边形。CGR为矩形，因为DQ=3,CD=CA=2,则GO=屈，

答案第9页，共15页

与选择条件①：(71。=店等价，故条件/不能进一步确定。R，A。的夹角大小,

故二面角D-CiE-Bl不能确定；

选择条件②：

连结D]A,因为底面ABCD是正方形，所以54_LA£>,

又因为侧面AD2A，平面ABCD,且侧面ADD]AC平面ABCD=AD,B4u平面ABCD,

所以54,平面ADDA，又平面AO2A，所以

在此△DAB中，因为℃=旧，45=2,所以DjA=屈，

在2A。中，因为AD=2,RD=3,所以M，£)n，

又ABA£>=A,A8,A£>u平面ABC。，所以OR，平面ABCD,又ADLCD,

所以如图建立空间直角坐标系。-孙z,其中。(0,0,0),G(0,2,3),E(l,2,0),C(0,2,0),

且。G=(°，2,3),DE=(1,2,0),易知DC=(0,2,0)为平面C|E片的一个法向量，

/、ri'DC,=0,[2y+3z=0

设力=x,y,z)为平面CQE面的一个法向量，贝"即"八.

n-DE=0f[x+2y=0

“DCn-6；

不妨设产一3,则尤=6,z=2,可得"=(6,-3,2),所以c°sDC,〃=网向=汇破二一二

3

因为二面角D-GE-耳的平面角是钝角，设为。，故cos，=-1,

3

所以二面角。-GE-耳的余弦值为-1.

选择条件③：

因为底面ABCD是正方形，所以AZJLOC,

因为A。_LG。，且。CcCp=D,DC,C{Du平面CRDC,

所以平面CQQC,因为RDu平面G，DC,所以A。，RD,

因为侧面A£)24_L平面ABC。，且侧面4£»24门平面9山)=>10,DQu平面ABCD,

所以平面ABCD,又AD_LC£>,

所以如图建立空间直角坐标系。-孙z,(下面同选择条件②).

答案第10页，共15页

19.(1)—+/=1

(2)证明见解析

【分析】（1）由已知列出关于。，仇。的方程组，求得。力即可得解;

（2）首先设直线阳的方程为，=左（8-2）,联立椭圆方程结合韦达定理表示出点P坐标，进

一步表示出各直线方程联立直线方程证得M,N的横坐标相等即可.

2b=2

【详解】（1）由题设，£=W，解得。=2乃=1.

a2

1

“2=/+c

2

因为椭圆£的方程为产=1,所以4（0,1）,C（0,-1）1（-2,0）,。（2,0）,

设直线尸。的方程为丁=左（％-2）,其中

y=k(x—2)

2222

由片2_，化简并整理得，(l+4k)x-16kx+16k-4=0,

彳+y一

116^2-4

由得＜及＜0可得A＞0,由韦达定理有2号=/

_?8—2一4k即2产。-2-Ak

所以辱=14M，yp=k(xp-2)=k一2i+4/'即尸（1中

1十^TK

直线5C的方程为义+三=1,BPy=-1x-l.

—2-12

_1,

由＜

y=K(X—2)

答案第11页，共15页

y—0=x+2，2

直线网的方程为Yk-8^-2i即尸-F-.

干LZ+24k

直线8的方程为9+三=1，即y=；l.

2—12

因为无”=/,所以MNL3Z).

20.⑴。=0

(2)ae[-l,+oo)

⑶ae(ro,-2]o(e-2,+oo)

【分析】(1)求导，再根据导数的几何意义即可得解；

(2)由/'⑺在区间(1,2)上为增函数，可得了'(X)20在(1,2)内恒成立，求出广(力的最小值

即可得解；

(3)分。进行讨论，求出函数的单调区间及最值，进而可得出结论.

【详解】(D函数/(尤)的定义域为(0,+8),设切点为(％，%)，

因为/'(无)=」+2+a,所以一~-+2+a=l,解得/=J_,

因为%=-后天+(2+4)%0-2,y0=x0-l,

所以一In%+(2+a)x-2=x-1,即In/=(1+〃)%-1,所以In----=1-1=0,

001+Q

所以4=1,解得a=0;

1+a

(2)因为/'(尤)=」+2+a,/(x)在区间(1,2)上为增函数，

X

所以广(X)20在(1,2)内恒成立，

3

因为xe(l,2),所以r(x)e(a+l,a+5),

所以a+12O,即ae[-l,+oo)；

(3)因为广⑴，+2+.=(2+幻1,xe(0,+e),

XX

答案第12页，共15页

当2+aWO,即〃4一2时，/r(x)<0,

所以“X)在[5，+也]上单调递减，

因为d]=2+(2+*一2皿

所以了⑴在[5,+少)上无零点，符合题意；

当a>—2时，令f\x)=0,则x=——>0,

2+a

当]时，f'(x)<0,当,+s]时，f'(x)>0,

I2+aJ\2+aJ

所以/a)的单调递减区间是(。,不匚]；单调递增区间是(一一,+[,

I2+67)<2+4)

所以/*)的最小值为/[4]=-In——-1,

\2-\-aJ2+〃

当-InJ--1>0,即a>e-2时，/⑺无零点，符合题意；

当a=e-2时，/⑴有一个零点/=工>3,不符合题意；

当-2<a<e-2时，/⑴的最小值=--1<0,

\2+a)2+a

因为/[:[=(2+a)：>0,

所以王使得/(无。)=0,不符合题意；

2+aJ