2024年九年级中考数学复习：几何最值问题

2024年九年级中考数学专题复习：几何最值问题

一、单选题

1.如图，E为正方形边AO上一点，AE=\,DE=3,尸为对角线上一个动

点，则尸A+PE的最小值为（）

A.5B.472C.2MD.10

2.如图所示，在/3C中，ZABC=68°,50平分/ABC,P为线段5D上一动点，Q

为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，/APB的度数是（）

A.118°B.125°C.136°D.124°

3.如图，四边形A5CD为矩形，AB=3,5c=4.点P是线段BC上一动点，点、M为

线段"上一点.ZADM=ZBAP，则8M的最小值为（）

512/—3-

A.—B.—C.A/13—D.\/\3-2

252

4.如图，在和mVADE中，ZBAC=ZZME=90°,AC=AD=3fAB=AE=5.连

接BD,CE,将^AO石绕点A旋转一周，在旋转的过程中当/D8A最大时，^ACE的

面积为（）.

CE

A.6B.6夜C.9D.972

5.如图，正方形ABC。的边长是4,点E是。C上一个点，且。E=l,P点在AC上移

C.5.5D.5

6.如图，在放△ABC中，ZACB=90°,CB=1,AC=9,以C为圆心、3为半径作。C,

P为。C上一动点，连接AP、BP,则（AP+8P的最小值为（

)

B.572C.4+V10D.2如

7.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,AB=4cm,CD是中线，点E、P同时

从点力出发，以相同的速度分别沿OC、方向移动，当点E到达点C时;运动停止，

直线AE分别与CF、BC相交于G、H,则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长

度为（）

A.2B.7tC.2兀D.——兀

2

8.如图，在△ABC中，AB=2,NA5C=60。，ZACB=45°,。是3。的中点，直线/

经过点O,AELl,BFLI,垂足分别为E,F,则AE+B尸的最大值为（）

A/1

D,

BC

A.屈B.2^/2C.2GD.372

二、填空题

9.如图所示，Z4CB=60°,半径为2的圆。内切于/ACS.P为圆。上一动点，过点

尸作PM、PN分别垂直于NACB的两边，垂足为A/、N,则PM+2PN的取值范围

为.

10.如图，在..45。中，ZC4B=90°,AB=AC=1,P是ABC内一点，求R4+P3+PC

的最小值为.

11.如图，菱形ABC。的边长为6,NABC=120。，M是BC边的一个三等分点，户是

对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是.

12.如图，已知正方形ABCO的边长为2,点P在射线上，则e的最小值

13.如图，正AABC的边长为2,过点8的直线LA8,且△ABC与△ABC关于直线/

对称，。为线段8C上一动点，则AO+CO的最小值是

14.如图，长方形458中，45=273,8c=2,点E是。C边上的动点，现将^BEC沿

直线3E折叠，使点C落在点F处，则点。到点F的最短距离为.

15.如图，。。的半径为2,弦AB=2,点P为优弧48上一动点，4CLAP交直线尸8

于点C,则△ABC的最大面积是.

16.如图，将△ABC沿A£＞折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点"处，。在BC上,

点P在线段AO上移动，若AC=6,8=3,BD=1,则△PMB周长的最小值为

三、解答题

17.如图，在平面直角坐标系中，./WC三个顶点的坐标分别为A(-4,-D,fi(-5,-4),

C(-l,-3).

⑴画..A'8'C,使,A'B'C与./IBC关于y轴对称;

⑵求A'B'C的面积；

(3)在y轴上作一点P,使得PA+PC最短；

18.如图，△ABC中，NBAC=45。，AB=6,AC=4,P为平面内一点，求

2岛尸+屈P+3PC最小值

B

19.如图，点A、B在)。上，且04=08=6,且。4点C是。4的中点，点。

在0B上，且。。=4,动点P在。上.求2PC+P。的最小值.

20.如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角

形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线如图1,在AABC中，

AB=AC=1,NBAC=108。，£>E垂直平分AB,且交8c于点。，连接AD

⑴证明直线AO是aABC的自相似分割线：

(2)如图2,点尸为直线。E上一点，当点尸运动到什么位置时，以+PC的值最小？求此

时出+PC的长度.

(3)如图3,射线CF平分NACB,点Q为射线CF上一点，当AQ+或二!取最小值时，

4

求NQAC的正弦值.

参考答案：

I.A

【分析】连接EC交8。于P点，根据“两点之间线段最短”，可知PA+PE的最小值即为线段

EC的长，求出EC的长即可.

【详解】连接EC,交80于P点

♦.•四边形ABC。为正方形

.•.A点和C点关于3。对称

:.PA=PC

：.PA+PE=PC+PE=EC

根据“两点之间线段最短“，可知上4+PE的最小值即为线段反?的长.

VAE=l,DE=3

AD=4

：.DC=4

:.CE=^DE2+CD2=732+42=5

24+PE的最小值为5

故选：A

c

【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练

掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.

2.D

【分析】先在上截取BE=BQ,连接依，证明PB-PBE(SAS),得出PE=PQ,说

明AP+PQ=AP+PE,找出当A、尸、E在同一直线上，且8c时，AP+PE最小，即

AP+PQ最小，过点4作A£_L8C于点E,交BD于点P,根据三角形外角的性质可得答案.

【详解】解：在BC上截取BE=BQ,连接PE,如图：

■:BD斗令/ABC,NABC=68。,

Z.ZABD=NCBD=-ZABC=34°,

2

,/BP=BP,

：.PBQ^PBE（SAS）,

：.PE=PQ,

：.AP+PQ=AP+PE,

...当A、P、E在同一直线上,且AE_L8c时，AP+PE最小，即AP+P。最小，过点A作AE，BC

于点E,交80于点尸，如图：

VZAEB=90°,NCBD=34°,

：.ZAPB=ZAEB+ZCBD=124°.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形

内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP+PQ最小时点P的位置.

3.D

【分析】证明NAMr>=90°,得出点M在0点为圆心，以4。为半径的圆上，从而计算出答

案.

【详解】设AD的中点为。，以。点为圆心，4。为半径画圆

•.•四边形他CD为矩形

，NBAP+NMAD=90°

,/ZADM=ZBAP

：.ZM4D+ZADM=90

/.ZAMD=90

.•.点M在。点为圆心，以AO为半径的圆上

连接0B交圆。与点N

••,点B为圆O外一点

，当直线过圆心。时，最短

*/BO2=AB-+AO1,4。=(4。=2

2

/•BO2=9+4=13

，BO=而

,/BN=BO-AO=>/\3-2

故选：D.

【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知

识.

4.A

【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，ZDBA

最大，过C作CPLAE于R由勾股定理及三角函数计算出B。、C尸的长，代入面积公式求

解即可.

【详解】解：由题意知，。点轨迹为以A为圆心AO的长为半径的圆，

当8。与。点的轨迹圆相切时，NQ84取最大值，此时N8D4=90。，如图所示,

过。作CF_LA£于尸，

:NDAE=90。,ZBAC=90°f

：.ZCAF=ZBAD9

在•△A3。中，由勾股定理得：BD=^52-32=4，

/.由sinNCAQsinNBAD得：

CFBD

~AC~~AB9

CF4

即Hn『丁

12

解得：CF=y,

Iio

,此时三角形ACE的面积=5、丁、5=6,

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点.此题综合性较强，解

题关键是利用。的轨迹圆确定出NOBA取最大值时的位置.

5.D

【分析】连接BE,交AC于点N,连接CW,M即为所求的点，则BE的长即为。P+PE的

最小值，利用勾股定理求出BE的长即可.

【详解】解：如图，

•.•四边形ABC。是正方形，

，点8与点。关于直线AC对称，

连接8E,交AC于点M,连接CM,

:.DN=BN,

DN+EN=BN+EN2BD,

则BE的长即为DP+PE的最小值，

...AC是线段8。的垂直平分线，

又,.•CE=C£>-OE=4-1=3,

在Rt&BCE中，

BE2=CE2+BC2=25,

'：BE>Q,

：.BE=5,

即DP+PE的最小值为5,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知

识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键.

6.B

【详解】思路引领：如图，在。上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.利用相

似三角形的性质证明必，可得;AP+BP=PM+P睨BM,利用勾股定理求出8M即可

解决问题.

答案详解：如图，在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.

：PC=3,CM=1,C4=9,

，PC2=CM・CA,

.PCCM

••一，

CACP

•/ZPCM=ZACP,

：./\PCM^/\ACP,

：.PM=^PA,

3

A-AP+BP=PM+PB,

3

PM+PB>BM,

在RSBCM中，VZBCM=90°,CM=1,BC=7,

•♦.BM=jF+72=5』,

：.^AP+BP>5y/2>

：.；AP+BP的最小值为5>/2.

故选：B.

7.D

：.CD±ABf

：.ZADE=ZCDF=90°fCD=AD=DB,

在△4。£和4CD尸中,

AD=CD

/ADE=NCDF,

DE=DF

：./\ADE^/\CDF(SAS),

:・/DAE=/DCF,

ZAED=ZCEGf

：.NADE=/CGE=9。。,

，A、C、G、。四点共圆，

・••点G的运动轨迹为弧CD

•・，AB=4,AB=y[iAC,

:.AC=2及,

**•OA.=OC--^2，

♦：DA=DC,OA=OC9

：.DO.LACf

：.N£>OC=90。，

二点G的运动轨迹的长为90兀x®

1802

故选：D.

8.A

【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进

行计算即可.

【详解】解：如图，过点C作CKL1于点K,过点A作AHJ_BC于点H,

在RtAAHB中,

VZABC=60°,AB=2,

，BH=1,AH=5

在RtAAHC中，NACB=45°,

AC=JAH?+CH。—"(G)2+(G)2=瓜<

•.•点D为BC中点，

；.BD=CD,

在^BFD与△CKD中，

'NBFD=NCKD=9Q。

"ZBDF=ZCDK,

BD=CD

.,.△BFD^ACKD(AAS),

/.BF=CK,

延长AE,过点C作CNLAE于点N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RSACN中，AN<AC,

当直线1J_AC时，最大值为几，

综上所述，AE+BF的最大值为".

故选：A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形

是解答此题的关键.

9.6-26麴PM+2PN6+2百

【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MHLNP于H,作

MFLBC于F,如图所示，通过代换，将PM+2PN转化为PN+LPM=PN+HP=NH,

2

得到当与，。相切时，M尸取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解

直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围.

【详解】解：作?于，，作MF_LBC于F,如图所示：

A

cFNB

PM±AC,PNLCB,

:.ZPMC=ZPNC=90°,

:.ZMPN=3*。-NPMC-NPNC-NC=120。,

/.NMPH=180°-4MPN=60°,

:.HP=PMcosNMPH=PM-cos60°=-PM,

2

PN+-PM=PN+HP=NH,

2

MF=NH,

・••当MP与：。相切时，M尸取得最大和最小,

①连接0尸，OG,OC,如图1所示：

图1

可得：四边形。尸MG是正方形,

:.MG=OP=2,

在RtCOG中，CG=OGtan600=26,

CM=CG+GM=2+2yf3,

在RlZXCM/中，MF=CM-sin60°=3+>/3,

.-.HN=MF=3+y/3,即PM+2PN=2（gpM+PN）=2HN=6+26；

②连接OP，OG,OC,如图2所示:

A

。志涉J

cFNB

图2

可得：四边形ORWG是正方形，

：.MG=OP=2,

由上同理可知：在Rt8G中，CG=OGtan60°=273,

:.CM=CG-GM=26-2,

在RtZ\CMF中，MF=CMsin60°=3-^,

:,HN=MF=3-上,即PM+2PN=2\^PM+尸N)=2HN=6-243,

:.6-2y/3^)!pM+2PN6+2x/3.

故答案为：6-2&JPM+2PN6+26.

【点睛】本题考查动点最值模型，‘阿氏圆"，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟

记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键.

10n+3

【分析】将^APC绕点C顺时针旋转60。得AOFC,可得PC=PF,DF=AP,将B4+P3+PC

转彳匕为FD+BP+PF,此时当8、P、F、。四点共线时，24+P8+PC的值最小，最小值

为BO的长；根据勾股定理求解即可.

【详解】解:将△APC绕点C顺时针旋转60。得4DFC,连接PF、A£>、£>8,过点。作DE±BA,

交BA的延长线于点E；

：.AP=DF,NPCF=NACD=60°,PC=FC,AC=CD,

:ZCF、△AC。是等边三角形，

：.PC=PF,AD=AC=l,ND4C=60°

PA+PB+PC=FD+BP+PF,

...当8、P、F、。四点共线时，B4+PB+PC的值最小，最小值为8。的长；

VZCAB=9(r,ZCAD=60°,

：.ZEAD=3O°,

：.DE=-AD=-,

22

，AE=VAD2-ED2=—,

2

/.BE=\+—,

2

BD=yjBE2+DE2=—+＞，

2

/.PA+PB+PC的值最小值为#+

2

故答案为：渔M.

【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将A4PC绕点C顺时针旋转60。得AD尸C,

将三条线段的长转化到一条直线上.

11.红

2

【分析】如图，连接。P,BD,作。H_LBC于H.当。、P、M共线时，产B+P'M=Of恒最

小，利用勾股定理求出。M,再利用平行线的性质即可解决问题.

【详解】解：如图，连接。P，B。，作£W，BC于从

•••四边形ABC。是菱形，

：.AC±BD,B、。关于AC对称,

，PB+PM=PD+PM

当。、P、M共线时，〃夕/的值最小，

VCM=-BC=2

3

•；ZABC=\20°9

：.ZDBC=ZABD=600

/\DBC是等边三角形，

*；BC=6,

：・CM=2,HM=1,D/7=373，

在DMH中，

DM7DH?+〃，=J(36)2+12=2〃

*：CM//AD

.P'M_CM_2

••—————

DFAD6A

P'M=-DM=—

42

故答案为：也.

2

【点睛】本题考查轴对称一最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、

平行线线段成比例定理等知识,解题的关键是灵活用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

12.

2

PDDE

【分析】在41上取点E,连接。E,^ZADE=ZAPD,由可得=

APAD

PD

当DE最小时，■的值最小，作,ABE的外接圆O,连接ODOE,易证A8为：。直径，

PA

再利用勾股定理及三角形三边关系可得答案.

【详解】解：如图，在AP上取点E,连接DE,使ZADE=ZAPD,

又・・・NA=NA,

：・_ADESAAPD,

・ADDEAE

99'AP~~PD~~AD,

.PDDE

••旋―丽•

*/AD=2,

PD

・••DE最小时,万的值最小.

作aABE的外接圆。，连接ODOE,BE,如图,

••,四边形ABC。为正方形,

AAD=AB,ZA3P=90°.

..ADDEAE

,寿一花一而，

.ABAE

又•:ZBAE=ZPAB,

:.BAEsPAB,

，ZAEB=ZABP=90°,

...AB为Q直径，

则OE=Q4=O8=1.

在Rt.AOO中，。£)=>/0片+犯2=4+22=6,

；•DE>OD-OE=45-\,

DE的最小值为石-1,

的最小值为更~~-.

PA2

故答案为：避二L

2

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻

找相似三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空压轴题.

13.4

【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到/ABC=/ABC'=60。，A'B=AB=BC=2,

证明△CBO丝△AB。，得到C£>=4。，推出当A、D、A三点共线时，AD+C£>最小，此时

AD+CD=A'B+AB=4.

【详解】解：如图，连接AD,

•.•正△ABC的边长为2,△48。与44BC关于直线/对称，

.♦./4BC=N4BC'=60。，A'B=AB=BC=2,

AZCBC=60°,

：.ZCBC'=ZA'BC',

,：BD=BD,

：.CD=A'D,

：.AD+CD=A'D+CD,

...当A、D、A'三点共线时,AZHCD最小,此时AD+CQ=A，B+AB=4,

故答案为：4.

A\BA'

【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路

径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键.

14.2

【分析】由题意易得点尸的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，连接BO,然

后根据隐圆问题可进行求解.

【详解】解：由题意得：点尸的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，

连接3D,交圆弧于点如图所示：

当点F与点，重合时，点。到点尸的距离为最短，

•四边形ABCO是矩形，AB=2g,BC=2,

,DC=AB=2瓜4BCD=90°,

BD=VfiC2+CD-=4，

DH=BD-BH=4-2=2,即点。到点F的最短距离为2；

故答案为2.

【点睛】本题主要考查隐圆问题，矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是分析得出点F的运

动轨迹.

15.后

【分析】连接0A、08,如图1,由OA=OB=A8=2可判断△OAB为等边三角形,则/4。8=60。，

根据圆周角定理得NAP8=//AO8=30。，由于ACLAP,所以NC=60。，因为AB=2,则要

使△ABC的最大面积，点C到48的距离要最大；由NACB=60。，可根据圆周角定理判断点

C在。。上，且NA£>B=120。，如图2,于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最

大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积.

【详解】解：连接04、OB,如图1,

图1

；0A=0B=2,AB=2,

...△0A8为等边三角形，

，408=60。，

ZAPB=-NAO8=30。，

'：ACYAP,

.•.NC=60。，

•：AB=2,要使AABC的最大面积，则点C到AB的距离最大,

作△ABC的外接圆。，

VZACB=60°,点C在。。上,

/.ZADB=\20°,如图2,

当点C优弧AB的中点时，点C到A3的距离最大，此时AABC为等边三角形，且面积为立

4

AB2=6

.'.△ABC的最大面积为G.

故答案为：石.

【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等

边三角形的面积公式.

16.18

【分析】首先明确要使得周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知

PM=PC,从而可得满足PC+P8最小即可，根据两点之间线段最短确定2c即为最小值，从

而求解即可.

【详解】解：由翻折的性质可知，AM^AC,PM=PC,

.••M点为AB上一个固定点，则B用长度固定，

•："MB周^z=PM+PB+BM,

：.要使得APA/B周长最小，即使得PM+PB最小，

,：PM=PC,

.••满足PC+P8最小即可，

显然，当P、8、C三点共线时，满足尸C+P8最小，如图所示，

此时，P点与。点重合，PC+PB=BC,

：.△PMB周长最小值即为BC+BM,

此时，作。SLAB于S点，£>7，AC延长线于T点，AQLBC延长线于。点，

由题意，AO为/BAC的角平分线，

：.DS=DT,

：s=LAC-DT=-CD.AQ,SAnn=-AB*DS=-BD，AQ,

/tcLz22ABD22

„-AB.DS-BD.AQ

•>4YD_2________2_______

,•飞-1一1'

、ACD-AC.DT-CD.AQ

22

口口ABBD

ACCD

..7

••=，

63

解得：AB=i4,

\'AM=AC=6,

14-6=8,

.♦.△PMB周长最小值为BC+8M=3+7+8=18,

故答案为：18.

【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线

的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键.

17.⑴见解析

（2）T

（3）见解析

【分析】（1）先作出A、B、C三点关于y轴的对称点C’,再顺次连接A,8,C'即可得

到.A8C关于y轴对称的三角形A'B'C.

（2）利用割补法求出qA'3'C'的面积即可.

（3）连接C©,与y轴的交点即为P点.

【详解】（1）如图所示；-A'5'C'即为所求；

（2）A5C的面积=4x3」*4xl」x2x3」x3*l=U；

2222

(3)连接CA交y轴于尸，点尸即为所求.

【点睛】此题主要考查了轴对称与坐标变换，求三角面积以及最短路径问题.解题的关键是

利用轴对称的性质正确地画出一A'斤C.另外要求要熟练掌握将军饮马模型.

18.125/3

【分析】将AAPC绕点A逆时针旋转45。，得到△APC,将△APC'扩大逑倍，得到

4

△AP"C〃，当点8、P、P〃、C"在同一直线上时，2后8P+石AP+3PC=20(P8+PP+PC)

最短，利用勾股定理求出8C"即可.

【详解】解：如图，将AAPC绕点A逆时针旋转45。，得到AAPC',将AAPC'扩大，相

似比为述倍，得到△AP"C",则逑4产，P"C"^—P'C,AC"^-AC,

4444

过点P作尸ELAP〃于E,

：.AE^PE=—AP,

2

p"E=AP"-AE=^-AP,

4

二pp"=>JPE2+P"E2=—AP,

4

当点8、P、P"、C"在同一直线上时，20BP+J^4尸+3PC=2&(PB+PP'+尸"C)最短，

此时2以PB+PP+PC)=26BC",

VZBAC"=ZBAC+ZCAC"=90°,AB=6,AC"=^AC=^x4=3a,

44

BC"=dAB、AC"?=招+仃&y=3瓜.

，2五BP+加AP+3PC=2及BC"=20x3指=124

【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图

方法:利用旋转及全等的性质构建等量的线段,利用三角形的三边关系及点共线的知识求解,

有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形.

19.4V10

【分析】连接。尸，在射线04上截取4E=6,连接尸E.由题意易证一QPCOEP,即得出

PE=2PC,从而得出2PC+PD=PE+PD,由此可知当P、D、E三点共线时，PE+PD最

小，最小值为QE的长，最后在心△OED中利用勾股定理求出。E的长即可.

【详解】如图，连接0P,在射线0A上截取AE=6,连接PE.

是0A的中点，

/.OC=-OA=-OP.

22

NCOP=ZPOE

.,.在△OPC和△OEP中，＜PCOP\,

OP-OE~2

：._OPCOEP,

pc1

即PE=2PC,

PE2

：.2PC+PD=PE+PD,.

...当尸、D、E三点共线时，PE+PD最小,最小值即为。E的长，如图,

在RtAOED中，DE=yjODr+OE1=742+122=4而

/.2PC+PD的最小值为4府.

【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识.正确作出辅

助线并理解当P、D、E三点共线时，PE+PD最小，最小值为。E的长是解答本题的关键.

20.(1)直线AQ是AABC的自相似分割线；

(2)当点P运动到。点时，出+PC的值最小，此时P4+PC=避±I

2

(3)NQAC的正弦值为县"

【分析】(1)根据定义证明△OBAs^ABC即可得证；

(2)根据垂直平分线的性质可得%+PC=PB+PC2BC,当点尸与。重合时，

PA+PC=P8+PC=3C,