2023-2024学年甘肃省天水市高考适应性考试数学试卷含解析

2023-2024学年甘肃省天水市高考适应性考试数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形

ABC的斜边BC、直角边AB、AC,已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为工，记NABC=c,贝!I

4

cos2。+sin2。=（）

2.已知复数z满足(1+。z=2"则目=()

5]

A.J2B.1C.—D.-

22

3.函数/（x）=Asin（or+e）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与/的图象交于两点，且M在V轴上,

则下列说法中正确的是

A.函数/（无）的最小正周期是2兀

B.函数/（尤）的图象关于点［［兀成中心对称

c.函数/Xx）在当单调递增

D.函数/（尤）的图象向右平移——后关于原点成中心对称

12

4.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴

爻，，—如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）

7115711

A.—C.—

64326416

5.已知函数/(%)=£sina)x-cos0x(。〉0),y=/(%)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于n,则/(x)

的一条对称轴是()

71717171

A.x------B.x——C.x—----D.x=—

121233

Y2

6.已知兄>0,a=xb=x——，c=ln(l+x),贝1|()

92

A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

7.若向量。=(1,5)/=(-2,1),则〃・(〃+2Z?)=()

A.30B.31C.32D.33

8.已知向量“与人的夹角为。，定义ax6为a与b的“向量积”，且。义6是一个向量，它的长度,=忖,卜也。，

若〃=(2,0),“—丫=(1,一石)，贝”"x(〃+v)|=()

A.473B.73

C.6D.2A/3

9.设函数/（%）=[-（lnx+x+恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）

A.mB.&+4

22

10.已知椭圆c：工+5=1的短轴长为2,焦距为2始，G、北分别是椭圆的左、右焦点，若点P为c上的任意一

ab~-

11

点,则方后+而7[的取值范围为()

A.[1,2]B.[四,6]C.[A/2,4]D.[1,4]

11.关于函数/(x)=-在区间已加]的单调性，下列叙述正确的是()

A.单调递增B.单调递减C.先递减后递增D.先递增后递减

12.定义在R上的奇函数/(%)满足/(—3—x)+〃x—3)=0,若/(1)=1,f(2)=-2,则

/(1)+/(2)+/(3)++/(2020)=()

A.-1B.0C.1D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛凡｝递增的等比数列，若出+%=12，%%=27,贝!]。“=.

14.在ABC中，内角A氏C的对边分别为"c,已知B=ga=2,bf,贝ABC的面积为.

15.若双曲线C：4-4=1(。〉0,40)的顶点到渐近线的距离为白，则”^的最小值______.

a2b22V3a

16.函数〃x)=cos(3x+W在[0,兀]的零点个数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)过点P(-4,0)的动直线/与抛物线C:f=2py(p>0)相交于D、E两点，已知当I的斜率为g时，PE=4PD-

(1)求抛物线C的方程；

(2)设OE的中垂线在丁轴上的截距为。，求沙的取值范围.

18.(12分)等差数列｛4｝中，％=1,&=2%.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设勿=2%,记S“为数列也｝前〃项的和，若S,“=62,求相.

',3

X—1H---1

19.(12分)在直角坐标系中，直线/的参数方程为<:(才为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴

y=1+—%

为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为心鼻，点P的极坐标为舁

(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标;

(2)设/与C交于4,3两点，线段A6的中点为"，求

20.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90，平面RIB，平面ABC,

D、E分别为AB、AC中点.

(1)求证：AB±PE；

(2)求二面角A—PB—石的大小.

21.(12分)在直角坐标系xQy中，曲线G上的任意一点"到直线y=T的距离比4点到点少(0,2)的距离小L

(1)求动点M的轨迹G的方程；

(2)若点P是圆。2：(%-2)?+(丁+2)2=1上一动点，过点P作曲线C］的两条切线，切点分别为AB,求直线A3斜

率的取值范围.

31

22.(10分)在AABC中，角ASC的对边分别为。,瓦。，且cosA=§,tan(B-A)=-.

(1)求tanB的值；

(2)若c=13,求A4BC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

ATi

根据以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比求得一=-,即tanc的值，由此求得sin。和cosa的值，进而求

AB2

得所求表达式的值.

【详解】

1AC11.12

由于直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为一，所以——=一，即tana=—,所以sintz=—，=,cosa=一尸，

4AB22J5J5

c4cl28

所以cos?a+sin2。=《+2义忑义杰

5

故选：D

【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.

2、A

【解析】

根据复数的运算法则，可得z,然后利用复数模的概念，可得结果.

【详解】

2i2/(1-/)2i-2r

由题可知:

1+7-(1+/)(1-/)

由『=—I,所以Z=1+7

所以忖=Vi2+i2=e

故选:A

【点睛】

本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.

3、B

【解析】

根据函数的图象，求得函数/(x)=Asin12x+?

,再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案

【详解】

7/1']IJr/')1

根据给定函数的图象，可得点C的横坐标为；，所以7T解得T=不，

32362

所以“X)的最小正周期丁=»,不妨令A＞0,。＜。＜万，由周期T=»，所以&=2,

0,所以9=3，所以〃x)=Asin(2x+g

3

jrK7TTCX=y,即函数/(龙)的一个对称中心为]

^2x+-=k7T,keZ,mx=—--,keZ,当左=3时,

326

即函数/(尤)的图象关于点《肛o1成中心对称.故选B.

【点睛】

本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得

三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能

力，属于基础题.

4、C

【解析】

利用组合的方法求所求的事件的对立事件，即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率，再根据两对立事件的概率和为1

求解即可.

【详解】

设“该重卦至少有2个阳爻”为事件A.所有“重卦”共有26种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件A是“该重卦没有阳

爻或只有1个阳爻”,其中，没有阳爻(即6个全部是阴爻)的情况有1种，只有1个阳爻的情况有屐=6种，故

1+67757

P(A)=丁=77，所以该重卦至少有2个阳爻的概率是P(A)=1-P(A)=1--=—.

26646464

故选:C

【点睛】

本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.

5、D

【解析】

由题，得f(x)=6sincox一cosox=2sin[ox—由y=/(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于

T[7T7T

兀，可得最小正周期7=万，从而求得。，得到函数的解析式，又因为当％=工时，2x--=-,由此即可得到本题

答案.

【详解】

由题，得/(%)=A/3sincox-cos=2sin^x-^j,

因为y=/(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于万，

所以函数y=/(x)的最小正周期7=万，则。=干27r=2,

所以/(X)=2sin12x—W1,

当》=工时，2x—生=生，

362

所以x=。是函数/(X)=2sinQx—看]的一条对称轴，

故选：D

【点睛】

本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.

6、D

【解析】

/2>2

令〃x)=ln(l+x)-，求/'(%)，利用导数判断函数为单调递增，从而可得ln(l+x)〉x-土，设

I2J2

g(x)=ln(l+x)—无，利用导数证出g(x)为单调递减函数，从而证出V龙>O,ln(l+尤)<x,即可得到答案.

【详解】

d

x>0时，xx---

2

(2、]2

令/(x)=ln(l+x)—%——,求导尸(%)=------l+x=——

I2)1+x1+x

Vx>0,Ax)>0,故/(%)单调递增：/(幻>/(0)=0

2

.**ln(l+x)>x-

当1>0,设g(x)=ln(l+x)—%,

<0

l+x1+X

又g(o)=o.

/.g(x)=ln(l+x)-x<0,即Vx>O,ln(l+x)<x,

2

故x〉ln(l+x)〉x——

故选：D

【点睛】

本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.

7、C

【解析】

先求出。+26，再与a相乘即可求出答案.

【详解】

因为a+2〃=(1,5)+(-4,2)=(―3,7)所以a•(a+23=—3+5x7=32.

故选:C.

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算，考查了学生的计算能力,属于基础题.

8、D

【解析】

先根据向量坐标运算求出M+V=(3,G)和cos(","+v〉，进而求出sin,,M+v),代入题中给的定义即可求解.

【详解】

由题意vnu-la-vjulLG),则〃+V=(3,J5),COS/M,M+V\=—»得sin(〃,〃+v)=：,由定义知

rx(〃+-|w+v|sin+u)=2x2A/3X~=，

故选:D.

【点睛】

此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.

9、C

【解析】

/(%)恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出/«%)可确定％=1是它的一个解，另一个解由方程

ex

-....%=0确定，令g(%)=(x>0)通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.

X-H2x+2

【详解】

由题意知函数“X)的定义域为(0,+?),/(%)=

(x-l)(x+2)

因为/(九)恰有两个极值点，所以=0恰有两个不同的解，显然x=l是它的一个解，另一个解由方程

x

e

——-1=。确定，且这个解不等于L

%+l)e%/、1

(x〉0),则g'(x)=--。〉°，所以函数g(')在(。,+?)上单调递增，从而g(九)〉g(o)=3,

,X+，)L

且g(l)=5.所以，当且/wg时，〃x)=J-dlnx+x+2］恰有两个极值点，即实数/的取值范围是

J乙3X\XJ

故选:c

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.

10、D

【解析】

先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到归片|+忸6|=4,利用二次函数的性质可求闫期|怛叫《4,从而可得

的取值范围.

【详解】

由题设有6=1,c=百，故。=2,故椭圆C:土+/=1,

因为点尸为C上的任意一点，故归用+卢闾=4.

I明熙降||叫叫|(4一阀了

因为2—若《|尸耳区2+省,故1«|P周(4一怛周

,11，

所以1V1------F+1--------F<4

加4|p制

\PF2\'

故选：D.

【点睛】

22

本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆。：3+2=1(。〉5〉°)的左、右焦点分别是月、鸟，点P为。上的

任意一点，则有|P用+怛闾=2。，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.

11、C

【解析】

先用诱导公式得了(X)=-sin^x-高=cos,+3，再根据函数图像平移的方法求解即可.

【详解】

函数于3=-sin-彳［=cos+g］的图象可由y=cos%向左平移1个单位得到，如图所示,/(》)在||'上先

【点睛】

本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.

12、C

【解析】

首先判断出/(x)是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值.

【详解】

由已知“X)为奇函数，得〃r)=—

W/(-3-x)+/(x-3)=0,

所以/。-3)=/。+3),

所以/(%)=/(%+6),即"％)的周期为6.

由于"1)=1，/⑵=一2,/(0)=0,

所以/(3)=/(-3)=-/(3)n〃3)=0,

/(4)=/(-2)=-/(2)=2,

〃5)=〃T)=-"I，

/(6)=/(0)=0.

所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)+〃5)+〃6)=0,

X2020=6x336+4,

所以〃1)+“2)+〃3)++/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1.

故选:C

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3”T

【解析】

%%=4%=27,建立生，生方程组，且求出生,生，进而求出｛qj的公比，即可求出结论.

【详解】

数列｛an｝递增的等比数列，.•.％〉％，

+a,=12=3

皿，解得c，

I%-%%-27[a3=9

所以｛4｝的公比为3,%=3-

故答案为：3"T.

【点睛】

本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题.

14、—

2

【解析】

由余弦定理先算出C,再利用面积公式5=！acsinB计算即可.

2

【详解】

由余弦定理，得尸=々2+。2—2accosB，即3=4+°2—2c，解得c=l,

故AABC的面积S--acsmB=^~

22

故答案为：旦

2

【点睛】

本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.

15、2

【解析】

A

根据双曲线的方程求出其中一条渐近线y=顶点（。,0）,再利用点到直线的距离公式可得c=2a,由

b2+1_c2-a2+1氐+』，利用基本不等式即可求解.

布a币aV3a

【详解】

V2y2

由双曲线c：二=1(〃>0,b>0

a一手9

A

可得一条渐近线丁=：工，一个顶点（a,0）,

\ab\\ab\b

所以II=」=解得c=2a,

y]a2+b2c2

贝产+1_一片+1_3/+1

^3ciH—7=-22,

币aKa币aJ3a

当且仅当a=＞时，取等号,

3

b2+l

所以一L的最小值为2.

J3a

故答案为：2

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

16、3

【解析】

求出3x+一7T的范围，再由函数值为零，得到3x+74T的取值可得零点个数.

66

【详解】

详解：0<X<7l

71,c兀，19开

—<3x+—<---

666

由题可知力+3=2,31+工=红，^3%+-=—

626262

.7C4»771

解得x=g，7,或至

故有3个零点.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)x2=4y；(2)b>2

【解析】

(1)根据题意，求出直线方程并与抛物线方程联立,利用韦达定理，结合PE=4PD，即可求出抛物线C的方程；

(2)设/:y=左(％+4),。石的中点为(尤0，%)，把直线/方程与抛物线方程联立，利用判别式求出k的取值范围，利用

韦达定理求出与,进而求出DE的中垂线方程，即可求得在V轴上的截距沙的表达式,然后根据上的取值范围求解即可.

【详解】

(1)由题意可知，直线I的方程为y=；(x+4),

与抛物线方程C:/=2PMp>0)方程联立可得，

2y2-(8+p)y+8=0,

设,%),£(%,%)，由韦达定理可得，

8+p.

%+%=4，

因为PE=4P£>，=(无2+4,%)，如=(玉+4,%),

所以%=4%,解得％=1,%=4,。=2,

所以抛物线。的方程为炉=4y;

(2)设/:y=M%+4),D石的中点为(毛,%),

x2=4y

由｛./、，消去丁可得了之一4辰一16左=0,

y=左(％+4)

所以判别式八=16左2+64左＞0,解得上vT或左＞。，

由韦达定理可得,X。=生产=2k,y0=k(x0+4)=2k-+4k,

所以OE的中垂线方程为y—2左2—4左=—：(x—2左)，

令x=0则b=y=2左2+4左+2=2(左+1)2,

因为左＜T或左＞0,所以b＞2即为所求.

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用;考查学生分析问题、解决问题的能力和运

算求解能力;属于中档题.

18、(1)an=n(2)m=5

【解析】

(1)由基本量法求出公差d后可得通项公式；

(2)由等差数列前〃项和公式求得S“，可求得根.

【详解】

解：(1)设｛4｝的公差为d,由题设得

an=1+(77-l)d

因为4=2%，

所以l+(6_l)d=2[l+(3T)d]

解得d=l,

故q=n.

(2)由⑴得包=2".

所以数列也』是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以S.=M^=2'+I_2,

"1-2

由S„,=62得2"'+i—2=62,

解得m=5.

【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前几项和公式，解题方法是基本量法.

2

19、(1).+丁=1,(1,1)(2)\PM\=—

【解析】

(1)利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点尸的极坐标化成直角坐标；

(2)把直线/的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数，的几何意义可得.

【详解】

2r2

(1)由心一得声阳血=2,将尸psinO代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为5+产

jr

设点p的直角坐标为a,力因为尸的极坐标为(血，「

71y=psinO=&sin：=1

所以x=pcos6=72COS一=1,

4

所以点P的直角坐标为(1,1).

,3

X=1H—t

5尤2

(2)将《二代入上+产=1,并整理得41户+110什25=0,

142

y=1+T

-5

因为△=1102-4X41X25=8000>0,故可设方程的两根为〃，t2,

则fi,t2为A,B对应的参数，且友+打=-----,

41

依题意，点M对应的参数为空五，

所以1PM=|"殳|=1|.

【点睛】

本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题.

20、(1)证明见解析；(2)60°.

【解析】

试题分析：

(1)连结产。，由题意可得产。，4瓦石。，河,则43，平面尸。及AB±PE;

(2)法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为故二面角的A-PB-E大小为60。；

法二：以。为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面P5E的法向量4=(3,2,石).平面协8的法向量为

n2=(0,1,0).据此计算可得二面角的A—PB—石大小为60。.

试题解析：

(1)连结尸。，\PA=PB,PDAB.■：DEIIBC,BCAB,DEAB.

又；PDcDE=D,AB平面PDE,PEu平面PDE,

：.ABPE.

(2)法一：

PAB平面ABC,平面如夕'平面A3C=AB,PDAB,PD平面43c.

则OEPD,又EDAB,平面A5=Z>,DE平面JR48,

过。做O尸垂直P5与尸，连接EF,则EFPB,4FE为所求二面角的平面角，

3n

则：DE=~,DF=g,则均=D—E=,/—3,故二面角的A—M—石大小为60°

22DF

法二：

一平面协3平面ABC,PAB',ABC=AB,PDAB,PD平面43c.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

L3

B(l,0,0),P(0,0,、R),E(0,0),

.PB=(1>0，—A/3)，PE=(Q，~，—y/3)•

设平面PBE的法向量4=(x,y,z),

x-A/3Z=0,

\3L令Z=6，得々=(3,2,6).

|y-^=0,7、)

平面BIB,...平面艮LB的法向量为叼=(0,1,0)

....../阿•叼1

设二面角的A—PB—石大小为〃，由图知，cosO=cos=~门—>=—

同,恒2

所以6=60°,即二面角的A—依—石大小为60。.

、，c13

21、(1)x~=8y；(2)—

__44_

【解析】

(1)设Af(九,y),根据题意可得点M的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M的轨迹G的方程；

(2)设出切线P4的斜率分别为即k2,切点4(%,%),6(%，%)，点P(M")，则可得过点P的抛物线的

切线方程为y=m)+”,联立抛物线方程并化简，由相切时A=0可得两条切线斜率关系匕+左2,匕右；由抛物

线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出“，%,可求得左和二彳，结合点「(相，")满足

(x-2)2+(y+2『=1的方程可得机的取值范围，即可求得配的范围.

【详解】

(1)设点A/(x,y),

•••点M到直线y=T的距离等于|y+1,

邛+1|=.+(。_2)2_1，化简得公=8》,

动