河北省邢台市2023-2024学年高三年级上册期末数学试题含答案解析

邢台市2023—2024学年高三（上）期末测试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡

上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题

时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={工-3<%<4},B=-4%-12<oj,则43=()

A.{九|一2<%<4}B.{x[—3<尤<6}

C.{x|-3<x<2}D.{X-6<x<4}

Q*

2.若2=-----,则N=()

1+i

A.2-iB.l-2iC.l+2i

D.2+i

3.已知向量Q,〃满足同=2,〃.。=一2，则(a+3b),〃=()

A.-2B.2C.-4D.4

22

4.已知椭圆二+匕=1(m〉0)的上焦点为(0,3),则加=()

m16

A.加B.5c.SD.7

—昱，且a为第三象限角，

5.若sina=则tantz=()()

4

A.一叵R屈「V13

13134

4

6.已知函数/（%）=加闻，则函数y=—/（-％+1）的图象是（）

7.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.如图，在鳖腌尸-A5C

中，Q4J_平面ABC,ABLBC,PA=AB=2BC=2,以。为球心，血为半径的球

2

8.设a,/?eR,若4a?+〃+2仍=6,贝U3a?+2廿的最小值为（）

A.6B.3布c.2A/6D.4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分.

9.《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至

关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的

抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个，如下表：

编号12345678910

早睡群体睡眠指数65687585858588929295

晚睡群体睡眠指数35405555556668748290

根据样本数据，下列说法正确的是()

A.早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高

B.早睡群体的睡眠指数的众数为85

C.晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66

D.早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小

22

10.已知。为坐标原点，K，工分别为双曲线C:=—与=1(。〉0］〉0)的左、右焦

ab

点，尸为C上一点，且归耳|=3归闾，若耳到一条渐近线/的距离为3,且

cosN-P£=—；,则下列说法正确的是()

A.双曲线。的渐近线方程为x土=O

B.双曲线。的离心率为6

r［77：

C.尸的坐标可能是丹一，士今-

D.若过点尸且斜率为左的直线与C的左支有交点，则左€(-，1,后)

11.已知正方体ABC。—4与GA的棱长为2,E，尸分别为AD，CC］的中点，则

()

9

A.BFHD.EB.过A，B,E的截面面积为万

C.直线3歹与AC所成角的余弦值为®D.Eb与平面ABCD所成角的正

5

弦值为逅

6

12.已知函数/(x)=f°23+e2°23x—e-2023*—5m2023%+1,若对任意xe(0,+oo),都有

f(x-ae2x-l)+f(x\nx)<2,则实数。的值可以为()

,111

A.—-B.—-C.-D.1

eee

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.将函数/(x)=sin［2x-f］的图象向左平移土个单位长度，所得图象的一个对称中

I4J12

心为.

14.已知（2x--d）”展开式的二项式系数之和为256,则其展开式中了飞的系数为

（用数字作答）

15.若函数/（3%-2）的定义域为[—2,3],则函数/（2x+3）的定义域为.

16.在平面直角坐标系。孙中，已知A（0,3）,动点P满足训=2|OP|,点。在直线

/:3%+4y—16=0上，贝11PQ|的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.TO分）

在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为。，b,c,已知2asinC—Qc=0.

（1）求A；

（2）求4sinB—4sinC的取值范围.

18.（12分）

已知数列｛«„｝满足q=3,an+1=3an-2.

（1）证明｛%—1｝是等比数列，并求出｛4｝的通项公式；

1113

（2）证明：-+—+

a2an4

19.（12分）

如图，在四棱雉尸—A3CD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ZBAD=6Q0,/\PAD

为正三角形，。为尸C的中点，平面。，钻与平面PCD的交线为/.

（1）证明：〃/平面

（2）若二面角尸―AD—3为60。，求锐二面角A—/—C的余弦值.

20.（12分）

某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高

三学生有5名.

（1）若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2

名同学来自高一的概率.

(2)现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题

答对每道题计1分，答错计。分；后2道题答对每道题计2分，答错计。分，累积计分不

低于5分的学生为优秀学员.现已知张同学前2道题每道题答对的概率均为工，后2道题

3

每道题答对的概率均为工，是否正确回答每道题之间互不影响.记张同学在本次考核中累

2

积计分为X，求X的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的

概率.

21.(12分)

已知函数/(%)=sinx+x2.

(1)求曲线y=/(x)在点”"(14处的切线方程；

(2)证明：/(%)>一亮.

22.(12分)

设E为抛物线〃：/=2px(p>0)的焦点，尸是抛物线M的准线与x轴的交点，A是抛

物线

〃上一点，当AELx轴时，|AP|=2后.

(1)求抛物线”的方程.

(2)A尸的延长线与河的交点为5,K4的延长线与M的交点为C,点A在尸与C之

间.

(i)证明：B,C两点关于x轴对称.

(ii)记△EBC的面积为△PEC的面积为$2,求邑-2d的取值范围.

邢台市2023—2024学年高三(上)期末测试

数学参考答案

1.A因为5=一4%—12<0}=何一2<%<6},所以AB=1x|-2<x<4}.

3-i,一

2.C因为z=--=1—2i,所以5=l+2i.

3.A因为阿=2,a.b=—2，所以(a+3Z?)，〃=a?+3a，Z?=4—6=—2.

4.C因为椭圆的焦点在y轴上，所以。=4,b=m.

因为02=〃2—所以32=42—根之，所以冽=

5.B因为sina=—立，且e为第三象限角，所以cosa=—,1—[—3]=—巫，

4VI4J4

I，sinaA/39

故tana=----=-----

cosa13

6.D因为/(x)=|ln|4的定义域为{X|XH0},所以y=x+1)的定义域为

{x|xwl},所以排除A,C.因为/(%)=111闻..0,所以y=—/(—x+l)K0,所以排除

B.故选D.

7.B因为PAJ_平面ABC,3Cu平面ABC,所以

因为ABLBC,PAAB=A,所以平面

如图所示，设DE为球C与平面的交线，则CD=CE=G，BC=1,所以

BD=BE=E所以DE所在的圆是以8为圆心，&为半径的圆.因为NPA4=2,

所以弧DE的长为叵.

8.D设『>0,

222222

4a2+b+lab=4tz+b+2---tb<4tz+b+^+rb=4+Fa2+(l+t2)b2,

4+^-广9

令〃_3,解得.=正，所以7片0+30/26,即34+2廿24,当且仅当

2

Q2

a2=—,/=—时，等号成立.

77

9.BD因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A错误；因为早

睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B正确；因为晚睡群体的睡

眠指数的第60百分位数为强土生=67,所以C错误；由样本数据可知，早睡群体的睡

2

眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D正确.

10.D因为可到渐近线/的距离为夜，所以6=行.

因为归耳|=3|尸国第|P耳|—|P闾=2归闾=2a,所以|「阂=a,|尸制=3a.

因为cos”户2=附「+明「一闺母9a2+/—4。2

—,所以C?=3a2•

2“附|

因为c?=a?+A?=a?+2=3a?,所以a=l,c=,

所以。的渐近线方程为y=±缶，故A错误.

由上知C的离心率e=f=6，所以B正确.

a

因为闾sinN甲巩=；比初曲=夜，

所以力=±如，所以。¥，土半，故c错误.

当左=±应时，直线只与右支相交一点；当左e（-时，直线与左右两支各交一

点；

当上e（-8,-虎）I,（、叵,+co）时，直线与右支相交于两点，故D正确.

11.BCD取。。的中点G,连接AG（图略），则AG〃3E.因为AG,相交，所

以BF，RE

异面，故A不正确.取GA的中点N,连接AN,FN,AB（图略），则等腰梯形

45RN即为过A，B,尸的截面.因为％B=2亚=2FN,&N=BF=E所以等

腰梯形ABRN的高为£1,面积为2,故B正确.连接CG（图略），因为AG〃肉，

22

所以NG4c即直线8尸与AC所成的角.在△ACG中，AC=2日

AG=CG=B所以cosNGAC=噂=叵，故C正确.连接EC(图略),

755

NFEC即EF与平面ABCD所成角的平面角，因为B=l，EE=痛，所以所与平

面ABCD所成角的正弦值为上=亚，故D正确.

V66

12.CD4g(x)=/(x)-1=x2023+e2023x-e-2023x-sin2023%,

则g(—x)=—铲23+e-2023x_e2023x+sin2023%=一g(X),所以g(%)为奇函数.

因为g'(x)=2O23%2022+2023e2023x+2023e^2023x-2023cos2023x

2023x2023x

=2023尤2°22+2023(e+e^-cos2023%),

2023x2023x

且2O23f°22>o，e+e->2,cos2023%<1,所以g'(x)>0,所以g(x)在

(0,+s)上单调递增.

因为/(x—ae2xT)+/(xlnx)<2等价于/(x-ae2'_1)-l<-[/(xlnx)-l],

所以g(x-ae2i)<—g(xInx)=g(—xInx),所以％—aerx~'<-x\nx>

即a2二学在(0,+8)上恒成立.

令/z(x)=x-l-lnx,则〃(％)=1-4，当〃(冗)>0时，x>l,当〃(x)<0时,

x

0<x<1,

所以力。)在(L+a))上单调递增，在(0,1)上单调递减，

所以以x)2〃(l)=0,所以x»l+lnx,所以，xe(0,+a)).

e2^1e2^1

令9(%)=^^,%e(0,+oo),则,(x)=2吗丁),

ee

当夕'(x)>0时，0cx<1,当“(x)<0时，x>l,

所以夕(x)在(1,+w)上单调递减，在(0,1)上单调递增,

|X+yinx1I

所以°(X)〈贝1)=—,所以一z--<-,当且仅当X=1时，等号成立，所以。2一.

eeee

13.^,0j(答案不唯一)由题意知所得图象的解析式为

g(x)=sin+—(=sin]2x—^J，令2x—左乃，左wZ,得

X=—+—,keZ,所以所得图象的对称中心为五+5-,0%左eZ).

14.1792由2"=256,得九=8.(2犷2一^丫的通项公式为=项(2r2广，(_/丫

=G2~(—1Y/T6.45r-16=-6,得r=2,所以展开式中含广6的项为

6

T3=Cj2x^=1792/.

15.--,2因为—2<x<3,所以—843x—2W7,所以/(x)的定义域为[—8,7],

要使/(2x+3)有意义，需满足—8W2X+3W7,解得—U〈x«2.

2

16.2设P(x,y),因为|E4|=2|OP],所以好十“一3)?=4(/+/),

整理得动点P的轨迹方程为Y+(y+1)2=4,

所以动点P的轨迹为以(0,-1)为圆心，2为半径的圆.

因为圆心(0,—1)到直线/：3x+4y—16=0的距离乙=上?@=4,所以

|Pd.=d-2=2.

IImin

17.解：(1)因为2asinC—Gc=0，所以2sinAsinC—J^sinC=0.

因为sinCHO,所以sinA=@.因为△ABC为锐角三角形，所以A=工.

23

712

(2)因为A=—,所以5+C=—

33

0<B<-,

9TTIT

因为△ABC为锐角三角形，所以〈.得一<B<一.

c2n万62

因为4sin5-4sinC=4sinB-4sin(A+B)=2sin.8-2^3cosB=4sin-g

且£［一,所以dsin^B—dsinC^l—ZZ).

18.证明：(1)因为%+1=3%-2,所以q+i—1=3(%—1).

因为％=3,所以q一1=2,

所以｛为—1｝是首项为2,公比为3的等比数列，所以1=2X3〃T,

故｛4｝的通项公式为。〃=2x3〃T+1.

11

(2)由(1)知一二

an2x3n-1+l

111

当心1时，2x3"T+l>2x3f所以乙=心率(市力

所以

19.(1)证明：因为四边形A3CD为菱形，所以A3〃C£).

因为ABu平面尸CD,CDu平面PCD,所以A3〃平面PCD.

因为ABu平面QA5,平面QA8平面尸CD=/,所以〃/AB.

因为/《平面BLB，ABu平面所以/〃平面75AB.

(2)解：取AD的中点。，连接08,BD,OP.

因为△MD,△ABQ均为正三角形，

所以OBLAD,OPLAD,

所以NPO3为二面角F—AD—3的平面角，即NPOB=60°.

如图所示，以。为坐标原点，OA,08所在直线分别为工,丁轴建立空间直角坐标系,

(出3、

则A(1,O,O),6(0,73,0),C(-2,指,0),£>(-1,0,0),P0,^-,-,

I22J

,363、

Q

3百J、

设平面。48的法向量为根=(冷加4),AB=(-1,A/3,0),AQ=-2,

m-AB=-%+布=0,

则3J33令M=G，得〃z=(3,6,5).

m-AQ=-2xi%+-2i=0,

V3g、

设平面PCD的法向量为"=(々,%，22)，DC=(-1,73,0),DP=1,

-T，2'

n-DC=-x2+43y2-0,

则y/33令丁2=1，得力=(6,1,一百)，

n•DP—x2——%+5z2=。，

/、m-n73V777

所以COS(九?1)=^^

\m\\n\国x"259

所以锐二面角A-l-C的余弦值为《亘.

259

20.解：(1)设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”,

C2cl28

则P(A)=?产

■95

(2)X的可能取值为0，1，2,3,4,5,6,

RX=O)=1T“-

“x=D=C；彳

1

P(X=2)=

6

P(X=3)=C^x|xh-|jxC^x1xh-1j=|,

P(X=4)=gJxC^x|x(l-|)+(l-|J

P(X=5)=C；x|x1|H[j

22

P(X=6)=

所以X的分布列为

X0123456

1£j_2j_

p

36969499

所以X的数学期望石(X)=0XL+1X』+2XL+3><2+4X1+5X』+6X』=W.

369694993

张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率为2.

9

719+1.

21.⑴解:/'(%)=cos%+2%,f

故曲线y=/(x)在点处的切线方程为y=—土+1,即

[212〃*4

4〃x-4_y-yr2+4=0.

(2)证明：由(1)得/''(%)=cosx+2x.

令函数"(x)=7'(x),则/(x)=-sin尤+2>0,所以〃(x)=/'(x)是增函数.

因为/'(0)=1，/{-|]=cos1-l<0,

所以存在玉)《