【初中数学】三角形的高+中线、角平分线+课件+2023-2024学年人教版八年级数学上册

11.1.2三角形的高知识点1

画三角形的高【例1】画出下列三角形的三条高．【变式1】画出△ABC的边AC上的高BE，若AC＝3，BE＝6，求△ABC的面积．解：∵AC＝3，BE＝6，

结论：三角形都有________条高，且三条高所在的直线相交于同一点，锐角三角形三高的交点在它的________部，直角三角形的三高的交点在它的__________，钝角三角形的三高的交点在它的_____部．三内直角顶点外知识点2

等面积法【例2】如图，AD，BE分别为△ABC中边BC，AC上的高，BC＝12，AC＝10，AD＝9.求BE的长．

【变式2】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB上的高．若AC＝6，BC＝8，AB＝10，求CD的长．

解得CD＝4.8.【例3】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3.(1)作出△ABC的高BE和CD；解：(1)如图所示；【例3】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3.(2)若CD＝2，求BE的长．

【变式3】如图，在△ABC中AB＝6，BC＝8.(1)画出AB，BC边上的高CD和AE；解：(1)如图所示；【变式3】如图，在△ABC中AB＝6，BC＝8.(2)若AE＝5，求CD的长．

1．在下列各图的△ABC中，正确画出边AC上的高的图形是(

)C2．下列说法中正确的是(

)A．直角三角形的高只有一条B．锐角三角形的三条高交于三角形内部C．直角三角形的高没有交点D．钝角三角形的三条高所在的直线没有交点B3．下列各图中，阴影面积相等的是(

)A．①与② B．①与③C．②与③ D．②与④B4．(人教教材母题)如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4.△ABC的高AD与CE的比多少？

5．(中考新考法·类比思想)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是射线BC上一个动点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，BF为△ABC的腰AC上的高．(1)如图1，当点P在线段BC上时，试探究BF，PD，PE之间的关系，并说明理由？解：(1)BF＝PD＋PE，理由如下：∵S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，

∵AB＝AC，

∴BF＝PD＋PE.5．(中考新考法·类比思想)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是射线BC上一个动点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，BF为△ABC的腰AC上的高．(2)如图2，当点P运动到BC的延长线上时，BF，PD，PE之间的关系，直按写出．解：(2)BF＝PD－PE.课后强化1．用三角尺作△ABC的边AB上的高线，下列三角尺的摆放正确的是(

)B2．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点B的坐标是(1，2)，过点C作AB边上的高线CD，则垂足D的坐标是________．(1，1)3．画出下列三角形AB边上的高CD．(1)

(2)

解：如图：4．如图，已知△ABC，画出AB边上的高CD．(1)若AB＝4，CD＝3，则S△ABC＝______；(2)若AB＝6，S△ABC＝9，则CD＝______．解：如图：635．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，求点C到AB的距离．解：设点C到AB的距离为h．∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，

即5h＝3×4．

6．如图，在△ABC中，AC边上的高是(

)A．BE

B．ADC．CF

D．AFA7．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4．若点P在边AC上移动，则BP的最小值为_______．

8．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝10．(1)画出△ABC的高AD和CE；(2)求AD∶CE的值．解：(1)如图，AD，CE即为所求．

9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D是BC边上一点，连接AD．(1)画出△ABD的边AB上的高DE；解：(1)如图，DE即为所求．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D是BC边上一点，连接AD．(2)若DE＝CD，求DE的长．解：(2)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∵S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，

又CD＝DE，∴3DE＋5DE＝8DE＝24．∴DE＝3．11.1.2三角形的中线、角平分线

图例定义性质数量及特点三角形的中线连接三角形的________与对边______的________叫三角形的中线．∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD______S△ACD.三角形的中线有3条，且相交于同一点，这个交点叫三角形的_______.三角形的角平分线三角形一内角的平分线与对边相交，则这内角的顶点与这个交点所连的______叫三角形的角平分线.∵AD是△ABC的角平分线，∴__________________．三角形的角平分线有3条且相交于同一点．顶中点线段＝重心线段∠BAD＝∠CAD点知识点1

三角形的中线、角平分线的画法及基本性质【例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°.(1)请画出△ABC的角平分线AD；(2)求∠BAD的度数．解：(1)如图所示；(2)∵AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，

【变式1】(多维原创)如图，在△ABC中，BD是AC上的高，AC＝5，BD＝4.作出△ABC的中线CE，并求S△ACE.解：如图所示：

∵CE为△ABC的中线，

知识点2 利用中线、角平分线的性质计算或证明【例2】(整体思想)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是边BC上的中点，连接AD.若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是(

)A．16 B．18C．20 D．22D【变式2】如图，已知在△ABC中，CF，BE分别是边AB，AC上的中线，若AE＋AF＝7，△ABC的周长为20，则BC＝________．6【例3】(人教教材母题)如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F.∠1与∠2有什么关系？为什么？解：∠1＝∠2.∵DE∥AC，∴∠1＝∠DAC.∵DF∥AB，∴∠2＝∠BAD.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠1＝∠2.【变式3】如图，CD是△ABC的角平分线，点E是BC上一点，且∠EDC＝∠DCE.求证：∠BDE＝∠A.证明：∵CD平分∠BCA，∴∠DCE＝∠ACD.∵∠EDC＝∠DCE，∴∠EDC＝∠ACD.∴DE∥AC.∴∠BDE＝∠A.课堂总结：1．三角形中有3种线段：高、中线、角平分线，注意这三种线是线段．2．三角形的中线把三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的面积相等，周长差等于两边之差．

D2．如图是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的(

)A．中线、角平分线、高线

B．高线、中线、角平分线C．角平分线、高线、中线

D．角平分线、中线、高线C3．下列说法中，正确的是(

)A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线B．三角形的高就是顶点到对边的垂线C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线D．三角形的三条中线交于一点D4．如图，图中的小正方形的边长均为1cm，已知△ABC的三个顶点均在格点上．(1)画出△ABC的高AD及中线AE；(2)BC边上的高为________cm；(3)△ABE的面积为________cm2.5．如图，点O为△ABC的重心，阴影部分S△BOC＝2，则△ABC的面积为______．31.566．(多维原创)如图，CD为△ABC的中线，△ACD与△BCD的周长之差为3(AC＞BC)，且AC＋BC＝11，求AC与BC的长．解：∵△ACD与△BCD的周长之差为3，即(AC＋AD＋CD)－(BC＋CD＋BD)＝3.∵CD为△ABC的中线，∴AD＝BD.∴AC－BC＝3.又∵AC＋BC＝11，∴AC＝7，BC＝4.7．(中考新考法·思维迁移)如图，BE，CF均是△ABC的中线，且BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N.求证：AM＝AN.

∵BE，CF分别是△ABC的中线，∴AE＝CE，AF＝BF.

∴S△ABE＝S△ACF.

∵BE＝CF，∴AM＝AN.

AB3．如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为(

)A．5

B．6C．7

D．8C4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，CD为中线，CE平分∠ACB，则DB＝______，∠ACE＝______°．3455．如图，画出△ABC的高AD，角平分线AE，中线AF．解：如图，AD，AE，AF即为所求．6．如图，AD为△ABC的中线．

(1)若BD＝3cm，则BC的长是______cm；(2)若△ABD的面积为4cm2，则△ACD的面积为_____cm2．64

D8．如图，AD，BE是△ABC的两条角平分线，若∠BAC＋∠ABC＝146°，则∠1＋∠2的度数为_______．73°9．如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E．若∠EDA＝∠EAD，求证：AD是△ABC的角平分线．证明：∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD．∵∠EDA＝∠EAD，∴∠CAD＝∠EAD．∴AD是△ABC的角平分线．10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为______cm2．