2024年中考数学一轮复习讲义 二次函数与距离、角度的综合 探究

二次函数与距离、角度的综合专题探究

一、技巧提炼

L最短路径问题

问题作法原理

•B

i，PAP+BP=A'B

A'两点之间,线段最短

已知直线1及点A、B,在直线1上作点P,将点A对称到点A\

使最小

AP+BP连接AB,与1的交点

即为点P

将点P分别关于直线

11、对称到点PlsPz,

连接与两直线交

P1P2PA+AB+BP=PiP2两点

点即为A、B之间，线段最短

分别在直线J卜上作点A、B,使PA+AB

+BP最小

PA+AB+BQ=PiQi两

h

点之间，线段最短

分别在直线k卜上作点A、B.使PA+AB0.

将点、分别关于直线对称到点连接

+BQ最小PQkkP*Qi,

P1Q1与两直线交点即为A、B

PA+AB+BQ=PQ两

点之间，线段最短

分别在直线kb上作点B、A.使PA+AB

+BQ最小将点p、Q分别关于直线L11对称到点Pl、Q1,连接

P1Q1与两直线交点即为A、B

•B

AP+PQ+QB=A"B+d

已知直线1及A、B两点，在1上求作点两点之间，线段最短

P、Q.使线段PQ=d,并且使AP+PQ+QB最将点A向右平移至点A；使AA，=d,BWA，关于1对称到

小A",连接A”B,与1的1交点即为点Q,将Q向左平移定

长d即为点P

/|乙------------/.

d1

1

八、AP+PQ+QB

V=A'B+d

两点之间，线段最短

•B

已知直线11仙2.且距离为d,分别在I1、L

将点A向下平移d个单位长度得到A',连接AB,与1

上作点P、Q且PQ一口力使AP+PQ+QB最2

的交点即为Q,过Q作卜的垂线与11的交点即为点P

小

①作线段AB的中垂线与直线1的交点即为P;

/A/；

/①线段中垂线上的点

到线段两个端点的距

•B离相等；

在直线1上求作一点P,使BP-API：①最小；@|BP-AP|=BA'

②将点A关于直线1对称到点A，,连接BA，并延长与直

②最大

线1的交点即为点P

二P

PA+AB=PB垂线段

2-------/最短

2

分别在直线1】、12上求作一点Z

过点P作直线12的垂线，垂足为B,与11的交点即为A

A、B.使PA+AB最小

2.角度问题

(1)角度相等

由特殊位置构造等腰三角形、

由角等构造相似三角形(锐)角等则其三角函数值相等构造辅助圆

平行线等

⑵角度和差

(3)特殊角45°

构造正方形中的半角模

构造等腰直角三角形AEF中若=1

构造等腰直角三角形构造以45。角为圆周tana/2,

型，利用旋转及其结论的半角模型，利用旋转及其

ABC,可得角的辅助圆。D,利

222

BC=BF+CD解决问结论BC=BE+CF解决问tanp=73,

△ACF^ACBE用/D=90。解决问题

题题则a+P=45°

注：以上模型及结论均需构造并证明.

二、全能突破

(一)二次函数与距离问题的综合

1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过A(2,0)、B(4,0)两点，直线y=1+2交y轴于点C,且过点D(8,m).

(1)求抛物线的解析式.

(2)在x轴上找一点P,使CP+DP的值最小,求出点P的坐标.

(3)将抛物线y=必+bx+c左右平移，记平移后点A的对应点为A1,点B的对应点为B',当四边形4'B，DC的周长最小时，求平

移后抛物线的解析式及此时四边形A'B'DC周长的最小值.

(4)设抛物线的顶点为Q,过点C作x轴的平行线1,点M在直线1上，且MNLx轴，垂足为N,若DM+MN+NQ最小，直接写出

此时点M、N的坐标.

2.如下图所示,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=手/+bx+c的图像与x轴交于4(-1，0),B(3,0)两点顶点为C.

⑴求此二次函数的解析式.

⑵点D为点C关于x轴的对称点,过点A作直线Z:y=当久+日交BD于点E,过点B作直线BK||4D交直线1于K点.问：在四边形

ABKD的内部是否存在点P,使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在,请说明理

由.

⑶在⑵的条件下，若M、N分别为直线AD和直线1上的两个动点，连接DN、NM、MK,求DN+NM+MK的最小值

(4)设抛物线交y轴于点R,若点K在抛物线对称轴上，当|KB-KR|的值最大时，直接写出此时点K的坐标.

3.如下图所示，已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A(l,3)和点B(2,l).

(D求此抛物线解析式.

(2)点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值.

⑶过点B作x轴的垂线，垂足为E点.点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对

称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的迎倍，试确定点F的位置，使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短

(要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明).

4.抛物线y=-/+加：+c与x轴交于点A、B与y轴交于点C.已知A(-1,O),C(O,3).

⑴求抛物线解析式.

⑵点P为线段BC上任意一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D,求线段DP长度的最大值及此时点D的坐标.

⑶点Q为抛物线上一动点,且点Q到直线BC的距离等于看VX,求点Q的坐标.

(二)二次函数与角度问题的综合

5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=7+"+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),

将直线y="沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点.

⑴求直线BC及抛物线的解析式.

(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上，若(①乙4PD=LACB-,②)乙APB=乙4cB.分别求点P的坐标.

⑶连接CD,求Z0C4与NOCD两角和的度数.

(4)已知点M0),点K是y轴右侧的抛物线图像上的一个动点，请直接写出锐角乙KCO>/MC。时，点K的横坐标.标的取值

范围.

6.如下图所示，已知抛物线y=ax2+bx+x轴交于点A(-2,0)、B(8,0),与y轴交于点(C(0,-4)直线y=x+m与抛物线交于点

D、E(D在E的左侧)，与抛物线的对称轴交于点F.

⑴求抛物线的解析式.

⑵当?n=2时,求NDCF的大小.

(3)过G(3,3)作x轴的平行线1,点H在直线1上且到抛物线对称轴的距离为4,设点K在直线1上，请直接写出使得乙FHG+

乙FKG=45。的点K的坐标.

7.如下图所示，抛物线y=♦+打-4a经过A(-1,O),C(0,4)两点，与x轴交于另一点B.

(I)求抛物线的解析式.

(2)已知点D(m-m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标.

(3)在⑵的条件下，连接BD,点P为y轴上一点，且乙DBP=45。,求点P的坐标.

8.如下左图所示，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=呆2+打+c与x轴交于A、B两点点C是AB中点,CD_LAB且CD=AB.直线

BE与y轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF.

(1)若点F的坐标为(©，1),4F=V17.

①求此抛物线的解析式；

②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接

写出点Q的坐标.

(2)若2b+c=-2,b=-2-t,且AB的长为kt,其中t>0.如下右图所示，当NDAF=45。时，求k的值和NDFA的正切值.

9.如下左图所示，点P是直线l:y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=产于A、B两点

(1)若直线m的解析式为y=-：x+|,求A、B两点坐标.

⑵①若点P的坐标为(21),当PA=AB时请直接写出点A的坐标；

②试证明：对于直线1上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A，使得PA=AB成立.

⑶如下右图所示,设直线1交y轴于点C,若AAOB的外心在边AB上，且NBPC=NOCP,求点P的坐标.

1.(1)抛物线的解析式是y=必-6x+8.

⑵依题意，得C(0,2),D(8,6)

作点C(0,2)关于x轴的对称点C,(0,-2)

直线C'D的解析式为y=x-2,与x轴的交点即为P点，,P点坐标为(2.0)

(3)YAB=2,

，将点C向右平移2个单位得Ci(2,2),作点Ci关于x轴的对称点C2,C2点的坐标为(2,-2).由点C2(2,-2),D(8.6)得直线C?D的解析式

M414

为y=§彳--?

直线CzD与x轴的交点即为B，点，可求夕(go)因此4仔，0).

•••当四边形AEDC周长最小时，抛物线解析式为

y=(久-1)(久一即y=x2-5x+^.

A'C+B'D=C2D=V62+82=10.

CD=V82+42=4V5

，四边形A'B'DC的周长最小值为2+4/5+10=12+4V5.

⑵可求点C的坐标为((L-2V3)

...点D的坐标为(1.2V3).

可求直线AD的解析式为y=+VI

由题意可求直线BK的解析式为y=V3x-3V3.

••,直线1的解析式为〃=枭+多

..•点K的坐标为((5,2/3).

易求AB=BK=KD=DA=4.

二四边形ABKD是菱形.

•••菱形的中心到四边的距离相等。

.••点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为(2.V5).

(3)易证点D、B关于直线AK对称.

/.DN+MN的最小值是MB.

如右图所示.过K作KF±x轴于F点.

过点K作直线AD的对称点P.连接KP.交直线AD于点Q.

.,.KP1AD.

VAK是ZDAB的角平分线.

KF=KQ=PQ=2V3.

/.MB+MK的最小值是BP.

即BP的长是DN+NM+MK的最小值.

•.,BK〃AD,：.ZBKP=90°.

在RtABKP中,由勾股定理得BP=8.

.,.DN+NM+MK的最小值为8.

(4)K(l.-3/3)

3.⑴抛物线解析式为y=-2x2+4x+l.

⑵点A(L3)关于y轴的对称点A，的坐标是(-1.3).

点B(2,l)关于x轴的对称点B，的坐标是(2,-1).

由对称性可知

B+BC+CD+DA=AB+B'C+CD+DA'=AB+4'E'由勾股定理可求AB=y/5,A'B'=5.

r.四边形ABCD周长的最小值是AB+A'B'=5+V5.

(3)设P点在EF上的速度为v,则在AF上的速度为&v.P点在EF上运动的时间为t,在AF上运行的时间为t2,“+t?=§+氯

EF+竿

—叵则

V

要求ti+功最小，只须求EF+篝最小即可.

V2

故以AF为斜边作等腰直角三角形AMF,即ZAFM=45。送=FM,求EF+FM最小即可.

E为定点,NAFM=45。为定角,当M、F、E三点共线时EF+FM最小NHFE=45。.F(L1).

4.(1)解析式为y=-x2+2x+3;

⑵令y=0,则-/+2x+3=0,解得X1=-l,x2=3,

.•.B(3.0),XC(0.3)

，直线BC解析式为y=-x+3.

设点P横坐标为x,则P(x,-x+3).

D(x，—x2+2%+3),

PD=-x2+2x+3-(-x+3)即PD=-X2+3X=-(X-|)+：

•••0拜3,.,.当久=|时，线段PD的最大值为I，此时D

⑶如下图所示，将直线BC平移至11，卜的位置，分别交y轴于点艮F.过点C作CHUi于点H,

依题意得CH/2,又OC=OB,ZOCB=45°.

•••^CEH=45。，;CE=1."i的解析式为y=-x+与

他转）

同理CF="的解析式为y=-％+*

••­—X2+2%+3=—%+耨得%=士

5.(1)・・・y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C.Z.CQ3),又B(3.0).

・二直线BC的解析式为y=-x+3.

♦・.抛物线y=x2+bx+c过点B、C.

{9+?：厂。,解得已；仲

..•抛物线的解析式为y=/-4久+3.

(2油y=x2-4x+3可得D(2.-l),A(l.0).

.,.OB=3,OC=3.OA=1.AB=2.

可得AOBC是等腰直角三角形.

NOBC=45°,CB=3V2.

①解法一：如右图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点F.

1

过点A作AH_LBC于点H.

，ZAHB=90°.

可得BH=AH=/2,

CH=2/2.

在ZkAHC与ZkAFP中，

ZAHC=ZAFP=90°.

ZACH=ZAPF.

・•・AHCAFP..'.—=—^=迫解得PF=2.

AFPF1PF

•••点p在抛物线的对称轴上，

...点P的坐标为(2,2)或(2,-2).

解法二:证明AABCs/iADP,求出DP长即可得出P点坐标；

解法三:作AABC的外接圆，由/APD=NACB彳导NAPB=2NACB,所以点P即为圆心.

②如下图所示，作AABC的外接圆OE,设OE与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点Pi，点Pi关于x轴的对称点为点

Pz，点Pi、点P2均为所求点

可知圆心E必在AB边的垂直平分线即直线x=2上.

也在BC边的垂直平分线即直线y=x上.

...点E的坐标为E(2.2).

由勾股定理得EA=V5..'.EPi=E4=遍.

；•点Pi的坐标为心(2,2+y).

由对称性得点Pz的坐标为「2(2,-2-V5).

符合题意的点P的坐标为Pi(2,2+V5).P2(2，-2-V5).

(3)解法一：如下图所示，作点A(1,0)关于y轴的对称点A；则A'(-l.O).

连接ACA'D,

,

可得4c=AC=V10,ZOCJ4=LOCA.

由勾股定理可得(CD2=20,A'D2=10.又A'C2=10,

A'D2+A'C2=CD2.

•••AA'DC是等腰直角三角形,NCAD=90。.

乙DCA'=45°.

Z.OCA'+乙OCD=45°,

ZOCA+ZOCD=45°.

即NOCA与ZOCD两角和的度数为45°.

解法二:连接BD,由ACBDsACOA可得NBCD=NOCA.

•••ZOCB=45°,.,.NOCA与/OCD两角和的度数为45°.

(4)2。口＜4

6.(l)y=—|x—4.

(2)解法一：由(1)可得抛物线的对称轴为直线x=3.

m=2,直线的解析式为y=x+2.

•••直线y=x+2与抛物线交于点D、E,与抛物线的对称轴交于点F.

•••F、D两点的坐标分别为F(3.5)、D(-2,0).

设抛物线对称轴与x轴的交点为M.

可得CM=FM=MD=5.

・•・F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上.

1

Z.DCF=-Z-DMF=45°.

2

解法二:设CF交x轴于点N,可求N点坐标，由AANFs/\CDF可得NACF=NNDF=45。;

解法三:CF过点P(2.2),连接DP,可证AAPC为等腰直角三角形,.INDCF=45。；

解法四：设DF交y轴于点Q.由tan/ACQ=1

tan/FCQ=*可得NACQ+NFCQ=45°.

(3)Ki(-3.3).K2(9.3)

7.⑴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.

(2)T点D(m,m+1)在抛物线上。

m+1=—m2+3m+4,

即m2—2m-3=0,2m=-11或m=3.

V点D在第一象限..I点D的坐标为(3.4).

由(1)知OC=OB,，ZCBA=45°.

设点D关于直线BC的对称点为点E.

C(0,4),CD〃AB.且CD=3.

，ZECB=ZDCB=45°.

，E点在y轴上,且CE=CD=3.

.,.OE=1..,.E(0.1).

即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0.1).

(3)方法一：如下图所示。作DF1BC于F,设点P的坐标为(0,n).

由⑴有:OB=OC=4.

，ZOBC=45°.

ZDBP=45°,

ZCBD=ZPBA.

VC(0.4),D(3.4).

...CD〃OB且CD=3.

•••乙DCF=zCBO=45°.­,DF=CF=—2

...OB=0C=4,:.BC=4V2,BF=BC-CF=哼

DF3

tan^PBO=tan^CBD=-=

BF5

n312

H=一

455

.•・P点坐标为((0.昔)

方法二：如右图所示.过点D作BD的垂线交直线PB于点Q.

过点D作DH_Lx轴于H.过Q点作QG1DH于G.

VZPBD=45°.

.•.QD=DB.

由AQDG咨Z\DBH,可得QM.3).

直线BP的解析式为y=-：久+£

点P的坐标为((0.孩).

方法三：如下左图所示，与方法二类似，作等腰R3DQB后，构造阴影所示的全等三角形亦可得QG1.3)

方法四：如下右图所示，构造正方形中的半角模型，由阴影全等可得PD=DK+PO.设P(0.m),在ACDP中.

(m+I)2=(4-m)2+解得m=y.

□DDK

BOB

8.⑴①•・,直线BE与y轴平行.fg-1),

9

AB(^.0).ZFBA=90°,BF=l.

在RtAFAB中,.AF=/Tf.二AB=/人产一F£P=V17-1=4.・••点A的坐标为0).

・•・抛物线的解析式为y=[/一+：

②点Q的坐标为Qi(|,3),Q26,5),Q3(I，7)

(2)*/2b+c=-2,b=-2-t,c=2t+2.

y=|x2—(2+t)x+2t+2.

由三％2—(2+t)x+2t+2=0解得%i=2,X2=2t+2.

t>0,A(2.0),B(2t+2.0).AAB=2t+2-2=2t,BPk=2.

方法一：过点D作DG〃x轴交BE于点G,AH〃BE交直线DG于点H,延长DH至点M,使HM=BF.

♦・,DG〃x轴RH//BE,J四边形ABGH是平行四边形.

•・,NABF=90。,J四边形ABGH是矩形.

同理四边形CBGD是矩形.

:.AH=GB=CD=AB=GH=2t.

*.•ZHAB=90°,ZDAF=45°,；.Zl+Z2=45°.

.•.△AFB^AAMH.

AZ1=Z3,AF=AM,Z4=ZM.Z3+Z2