数学优化思想的培育：实践展开及可能路径

特别策划：新青年数学教师工作室专栏【摘要】在数学教学中有效渗透优化思想，培育学生的优化思想一直是教育工作者的重点研究课题。数学的本质是化简，化简的方向是优化，优化是重构认知体系、促进深度理解的必然路径。以培育学生数学优化思想为旨趣的教学活动需要数学问题解决以及数学命题教学的现实观照，并从中汲取经验和实践智慧。通过对优化问题的典例剖析，提出以优化问题为媒介，以素材积累与开发为保障，以转化和熟悉化为抓手培育学生数学优化思想的可能路径。【关键词】优化问题；优化思想；优化路径一、引言优化思想，顾名思义，指通过对可能性方案或决策进行最优化筛选的思想。在当前学生数学学习任务繁重的背景下，优化教学对于服务“双减”政策实施和提升教育教学质量具有积极的现实意义。为达到用数学眼光观察现实世界、用数学思维思考现实世界、用数学语言表达现实世界的数学教学目标，切实提高学生的问题分析与解决能力，发展学生的邏辑思维能力、数学应用能力以及数学理性精神，应以优化作为过程导向、策略指引，让优化思想根植于学生内心。优化思想，既体现在问题解决过程中多样方案的比较、整合与筛选，又渗透在对数学核心概念、公式定理的深刻理解之中。本文通过解题教学和命题教学两个层面，透析培育学生数学优化思想的内涵特征及价值意义，并总结概括出切实有效的培育策略。二、解题教学中的优化思想桑代克认为，学习实质上是“尝试—错误”的过程。事实上，学生所接受的解题训练、问题解决大抵如此。由浅层次理解数学概念、公式定理出发，通过解若干数学问题，达到进一步的深化理解，以培植出求简求真的数学精神，这个过程也必是一个不断试错的过程。问题解决过程中试错的目的不仅在于求得正解，更在于优化思路、促进理解、完善认知。具体来说，解题教学中的优化思想可以分为问题解决策略的优化与问题生成的优化。（一）问题解决策略的优化问题解决策略的优化往往需要学习者对问题涉及领域有所洞察并积极地尝试更简洁的求解，这一自觉求简优化意识的获得还有赖于有目的的“一题多解”训练。例1已知椭圆C：x2/2+y2=1，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，若椭圆C上存在点D使得四边形AODB为平行四边形，求OD长度的取值范围。【分析】若直接联立直线l与椭圆C的方程，可以表示出弦AB的中点坐标，进而表示出D点坐标，求OD长度的范围便要依赖于参数k、m满足的条件（即保证直线与椭圆相交）。但注意到，除直线l要与椭圆相交外，再无其他限定条件（如过定点或定斜率等）了，所以不妨直接对D点作特征分析，将问题变更（转化）为：对于椭圆C上任意一点D，是否总能作一个平行四边形AODB，其中另外两个顶点A、B也落在椭圆C上呢？经验告诉我们，这可以办得到。因为椭圆的弦所在直线的斜率与原点到弦中点连线的斜率之积为定值，OD的中点E便是说理的关键。这里我们得到的启示是，问题解决的思路并不一定要遵循问题生发的逻辑顺序，要善于剖析条件之间、条件与结论间的逻辑关联，从而确定新的研究思路。（二）问题生成的优化致力于发展学生数学思维的问题教学，应循序渐进地实现“就题论题”向“就题论道”的问题解决层次与境界的跃迁。追求问题解决的优化过程实质上是生成性思考的过程，它一般包括为重构或完善认知结构的经验性生成，由具体解决策略迁移并升格为一般性观念的概括性生成，一般性或特殊意义的新问题或方法的创造性生成［1］。三、命题教学中的优化思想数学命题教学是数学教学的重中之重，其成效直接影响学生的学习效果。命题教学从抽象的数学概念或公式、定理出发，进入其内在逻辑系统和意义领域，概念的内涵和外延得到有效延伸，公式定理的适用条件和应用范围得到充分拓展，学生的数学理解能力也随之增强。因此，教师在教学中既要厘清教学内容、教学活动的“明线”（提出问题、分析问题、解决问题、系统化），也要厘清贯穿其中的“暗线”（一般性观念）［3］，从而为教学结构的优化奠定基础。（一）优化教学过程，提升学生核心素养不同教学观下的教学过程处理是不一样的。若主张教学以获取知识、掌握技能为根本目的，那么教学过程是以知识为中心，背离以学为中心的；若主张教学完全按照学生兴趣和需要来开展，那么教学过程是对学生直接经验的过分关注（忽略了间接经验的作用）；若主张教学是一种“特殊的认知、互动过程”，那么教学过程则是以发展自我认知为中心的过程，是致力于发展学生学科观念、学科素养的过程。因此，要以正确的教学观指导教学过程，优化教学过程的全过程，从而提升学生的学科核心素养。例3如何理解三角恒等变换中的和差化积与积化和差公式？尽管《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对三角函数的和差化积与积化和差公式的要求并不高，但该组公式能淋漓尽致地凸显三角恒等变换的精髓，因而人教A版数学教材在“例题”“练习”“拓广探索”栏目都提到了它的证明及含义。为突破此教学难点，并检测学生学习两角和与差的公式、二倍角公式的效果，在恰当的时机下笔者向学生抛出了“如何理解三角恒等变换中的和差化积与积化和差公式？”这一问题。通过小组合作和师生商讨的主题式探究形式，学生普遍达成以下共识：（1）公式的结构。它是合理选用公式的依据，如为了凑出特定的角或是确定的运算形式。（2）公式内部间的联系。通过换元、诱导、方程变换等方式能实现公式体系的快速构建。（3）公式与外部公式（如二倍角公式）的关联。通过变量代换等方式可以得到二倍角公式，体会特殊与一般的辩证观。（4）公式的几何诠释。单位圆这一思维工具不仅能直观演绎公式，还能体现定义三角函数的优越性。运用数形结合的视角审视数学对象，有利于培养学生的整体性思维。不难看出，对该问题的多维度探究并不见得优化程度有多高，但教师让学生亲历完整的自我问题式思考与解决过程，本质上就是对教学过程的优化，当然也包括问题本身。学生在课堂中独立思考与探索的机会本就不多，教师要合理创设问题情境，将学生引导到“我是问题解决者，学习的主人”的轨道上来，真正掌握研究问题的一般思维方法。（二）优化教学内容，增强学生主题思考意识数学严密的逻辑性体现在数学知识的关联性上，数学教学的效率意识［4］则体现在对数学知识的整合上。通过对相近数学知识的发掘与自然整合，不仅能凸显知识的整体性和本质特征，更能增强学生的主题思考意识。例4如何推导等比数列前n项和公式？笔者与不少教师交流发现，等比数列前n项和公式的推导并非像我们预设的那样顺畅，甚至总有遭受冷场的尴尬，即学生想不到“乘以公比，再错位相减”。既然学生觉得不自然、难以理解，教师搭设再多的脚手架也只是生硬的预设，其生成也必是不和谐的。何不让学生按照他们认为自然的思路去探究呢？通过课堂观察，笔者发现：在一堂课上，只有4名学生直接研究Sn=1+q+q2+…+qn-1这一方程，甚至根据等差数列依葫芦画瓢利用倒序相加法化简，最后无疾而终；绝大多数学生尝试对公比q赋值，想从特殊结论中发现一般规律（成功的人数约占一半）；还有几名学生丝毫没有进展。结果表明，如此追求自然化的教学没有让学生对“错位相减法”印象深刻，取而代之的是特殊与一般的数学思维方式，这种方法是学生“原创”的，是他们从自己的原有知识经验中归纳得到的。实践表明，呈现不同的问题情境更有利于同一主题观念的揭示与理解。无论是错位相减，还是错位相加，甚至是错位相乘，都是基于方程组作结构化处理，将无限项求和化简为有限项的基本思想。类似地，利用交轨法求动点的轨迹方程也不能盲目地求出动点的坐标再实施消参，而要寻求整体消参的办法；蒙日圆背后的方程思想才是转化的精髓所在。从例4来看，自然化、本质化、关联化也应是教学中问题优化的三种方式。自然的思路落在学生的最近发展区内，自然是走向顺畅、高效的必经之路。教学适于自然（包括人性的自然和客观的自然），这是一切教学优化理论总的指导原则［5］。对问题本质的探寻，即对简洁有效的问题解决模式的探索。发掘知识间的关联，有助于知识的整合、观念的聚合以及认知结构的简化和优化，本质上是深度教学的重要环节［6］。（三）优化教学设计，提升学生思维品质基于学情精准分析的教学设计，必然是着眼于提升学生思维品质的精彩设计。合理、有效的教学设计是学生活动的设计，是促使学生认知不断跃迁的设计。在此过程中，学生能逐步养成独立探究的习惯，能进一步发展思维的严密性、深刻性和批判性。例5如何得到“直线与平面垂直的性质定理”？作业反馈及调研表明，立体几何线面间的诸多判定和性质定理中，数“直线与平面垂直的性质定理”学生掌握得最差，其次是“线面平行的性质定理”。主要是因为这两大性質定理都是在引进辅助平面和辅助直线的基础上实现位置关系的转化。学生在公理和其他定理的学习中已经形成了思维定式：过分关注已有点、线、面的位置关系而忽略构造辅助元素的作用，且易混淆定义和性质的区别。为了界定某数学对象，我们常会根据其本质特征A给出定义，反过来，也就能判定该数学对象具备性质A，但这样还不能上升到定理的层面。简言之，数学性质是为了区别数学对象体现出的属性，而数学性质定理是基于已有命题的重要性结论或规律。“位置关系的转化”是各判定定理、性质定理合理给出的指引，因此既要在单独体系内（“平行体系”或“垂直体系”）考察转化的方向性，也要在体系间思索转化的可能性。在直线与平面垂直前提下，推出直线与平面内任一直线垂直属于线面垂直的定义，推出过该直线的任一平面与已知平面垂直则成了面面垂直的判定定理，所以必须转向平行关系的转化，构造辅助元素成了可能。若引进辅助平面，当辅助平面与已知平面平行时，直线也垂直于辅助平面，即由线面垂直的条件推出了线面垂直的结论，转化目的没有达到；当辅助平面与已知平面垂直时，已知直线要么在辅助平面内，要么与它平行，即结论开放，没有了数学定理的确定美。而引进辅助直线，当且仅当直线也与已知平面垂直时，直线间的平行关系就水到渠成了。通过上述分析，要得到线面垂直的性质定理，不能通过直觉性告知，要通过理性的认识和阐明。四、培育学生优化思想的有效策略教学活动一旦存在，对优化教学的探索就一直没有停歇过。苏联教育家巴班斯基为了解决学生普遍存在的留级、学习成绩不佳等问题，提出要对教学过程进行最优化处理，即在一定教学条件下寻求合理的教学方案，使教师和学生花更少的时间和精力获得更好的教学效果，使学生获得更好的发展。培育学生的优化思想的逻辑起点还应回到“学习”这一核心上来，如学习环境的构建、学习资源的丰富与呈现、学习方式的多样化与优化等。具体可采取以下策略培育学生的数学优化思想。（一）以优化问题为媒介，渗透优化思想优化从始至终都不是数学的特权，任何学科的发展都是不断优化的结果。从数学课程标准制定到教材编写再到教师施教，都是为了更有利于教师的“教”和学生的“学”，各个系统与环节都在相互协调、整体优化。每一次有意义的数学思考，或是方法的改进、结论的推广，抑或是新概念的引进、思想观念的更新，都是不断优化所带来的产物。正如郑毓信所说：“不断的优化可以看成数学学习活动的本质所在。”［7］数学学习，表面上是一个知识密度和容量不断扩大的过程，实际上是伴随着数学问题不断优化，优化意识不断强化，学习者主动建构知识体系，将知识转化为技能并运用于真实情境中来解决复杂问题，从而促进学习者元认知能力、问题解决能力、批判性思维、创造性思维等高阶思维能力的发展的过程。优化问题是一个比较分析、追根溯源的过程，既要为证实寻求证据并提供辩护，也要为证伪构造反例并进行反驳［8］。优化意识不是从无到有的，它需要生长土壤——优化问题或一般性问题。实际生活中的“费用最省”“利润最大”等问题往往要从极端情况去探求研究对象的最大（小）值，我们统称为优化问题，而一般性问题则不具备这些属性。由于优化问题本身要探讨如何优化等问题，自然成为培养优化思想的一大途径，也能最大限度地发挥问题解决的教学价值。数学家哈尔莫斯认为问题是数学的心脏。问题或作为思考材料，或作为教学方式，都试图引发兴趣，发展思维，优化思维当属其中之一。对问题本质的探寻乃至对隐匿其中的“本原性学科问题”［9］的挖掘，是学科理性精神的彰显，是优化的又一现实价值体现。通过问题情境的创设，问题被有效分解直至被解决，学生的思维品质在这一过程中得到了优化，因而优化问题不会成为培养优化思想的唯一途径。任何数学活动的开展都遵循着简化、优化、深刻化的基本原则。概括地说，积累数学基本活动经验的过程即培养优化思想的过程。从这一意义上讲，以优化问题为特质的问题教学为学生的认知发展奠定了坚实的学习环境准备基础。同时也要认识到，对于不同思维层次的学生，应采取不同的策略优化问题的解决过程［10］，如元认知策略比精细加工策略更适合于思维层次较高的学生。（二）以素材积累与开发为保障，发展优化思想优化意识不能也不应仅由解题归纳而得，教学中还要呈现需要优化的直接素材（在这里不妨将教材中或拓展的教学内容称为直接素材，而通过解题归纳得到的则属于间接素材），即教师要想方设法为发展学生的思维尤其是优化问题的意识提供条件。如人教版义务教育教科书《数学》四年级上册的“数学广角——优化”便渗透了运筹思想。运筹思想包括优化思想和对策论。该部分内容呈现了学生日常生活中的一些简单事例（讨论烙三张饼时怎样操作最省时间；讨论家里来客人需要沏茶时，怎样安排各项工作能让客人尽快喝上茶），让学生尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案。又如人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2中“导数及其应用”一章中“生活中的优化问题举例”小节，给出了生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题，教学的侧重点不是由学生已积累的生活（或数学）经验通过对比与分析做出优化，而是通过程式化的基本思路（用函数表示数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案→优化问题）以导数作为工具实施优化。奥苏伯尔指出，影响学习的最重要的一个因素是学习者已经知道了什么，教师应当根据学生原有的知识状况进行教学。这表明，学生的认知基础是学习的起点，一定程度上决定了学习的效果。教材集众教育专家智慧之结晶，有很强的示范性和较高的权威性。以优化为旨趣的素材给学生生成的第一印象会产生积极的印刻效应，极利于优化思想的培养。实践表明，数学家们的思维过程和成果本质上是丰富的优化问题素材，我们应善于从数学家的“废纸篓”寻找数学思维的自然性和合理性［11］，让优化自然生发。此外，考虑到整个数学学习周期的漫长性与优化问题的直接素材过少的不匹配现象，教师还需要积极开发并积累直接素材。数学源于生产实践，它反映现实世界的规律，又成为理解世界、表达世界的有力武器，因而学生所熟悉的现实世界应是直接素材的重要来源。（三）以转化与熟悉化为抓手，培育优化思想离开了转化与熟悉化，优化便无从谈起。一般意义上的转化包含了熟悉化，这里着重强调转化中由难化易、由繁化简的过程。教学实践中，不少教师在课堂中总把“转化”与“化归思想”挂在嘴边，或是引导学生思考问题，或是作为课堂小结的陈述，却很少谈及转化的目的或是价值所在。转化是为了优化，不仅是优化解题过程，更是优化思维的习惯，以形成有序的思维表达习惯。关于熟悉化的教学实践也不容乐观。将陌生的问题转化为熟悉的问题就一定更好研究吗？前提是学生对于熟悉的问题要比陌生的问题掌握得更好，而绝大多数学生数学学力不高的主要症结便在于对熟悉的数学核心概念、典型的数学方法及思想理解不深刻、落实不到位，这般情形下的熟悉化实际上是误入了另一个泥淖。一般来说，有两种策略致力于方法的改进与优化。一是转化问题的情境范畴。问题一般要借助情境承载，我们俗称为“问题表征形式”。问题表征是指在头脑中对某一问题信息进行记载、理解和表达的方式。在问题解决的过程中，首先要在工作记忆中对问题涉及的对象、条件、目标和认知操作等进行编码，建立起适当的问题表征，包括問题的初始状态、问题的目标状态、改变问题状态的操作（算子）以及对算子的约束等四个因素。问题表征的适当性影响问题解决的难易程度。因而适当改变问题的表征形式，新情境下问题的解决往往就容易得多。问题表征形式的改变，还伴随着更新、更高层次的抽象，往往也包含了观念的必要更新，即用一种新的观点去看待一件熟悉的事物，甚至是用完全不相容的观点去取代原先的认识，因此，改变问题的表征形式理所当然也被看成数学学习中思维优化的又一重要内涵。二是做问题的要素分析。直译法是问题解决最为普遍的方法，即试图通过对问题中的条件和结论做细致的分析，以期挖掘出问题的本质信息。不肆意扩展问题的研究范畴，势必将问题引入深处，那么往往触及问题的本质。回归本质，是对问题核心的凝练，是简化、优化的手段。我们有必要重新审视数学的本质，才不至于走偏、走远。林夏水在重新梳理数学的认识过程［先在解决现实问题的实践基础上获得数学的经验知识；然后上升为演绎性的理论知识（公理系统和形式