2022年高考物理一轮-带电粒子在复合场中的运动教师讲解版

10.3带电粒子在复合场中的运动

必备知识清单

一、电场与磁场的组合

1.组合场中的两种典型偏转

垂直电场线进入匀强电场（不计重垂直磁感线进入匀强磁场（不计重

\力）力）

受力电场力FE=qE,其大小、方向不变，洛伦兹力FB=qvB,其大小不变，

情况与速度0无关，FE是恒力方向随0而改变，FB是变力

轨迹抛物线圆或圆的一部分

%、、：畲尸书一阴二二

运动♦卜•・

、y

......\

轨迹;------"

O

平0_幽

利用类平抛运动的规律求解：半径：一变

Vx=V09x=votHT+K1E271m

求解周期：T—亚

qEqE9

5—nF

方法2",偏移距离y和偏转角夕要结合圆的

偏转角Gtan。一2一*0。几何关系，利用圆周运动规律讨论

求解

运动

/-2兀，一例

时间

动能变化不变

2.常见模型

（1）从电场进入磁场

电场中：加速直线运动

q,m

E/

磁场中：匀速圆周运动

电场中：类平抛运动E

x/xXx^x

磁场中：匀速圆周运动VX力

（2）从磁场进入电场

磁场中：匀速圆周运动

••••IV

E

•・入•1

电场中：匀变速直线运动（。与E同向或反向）

磁场中：匀速圆周运动

••••

电场中：类平抛运动（0与E垂直）-VI

二、带电粒子在叠加场中的运动

1.带电粒子在包含匀强磁场的叠加场中无约束情况下运动的几种常见形式

受力特点运动性质方法规律

其他场力的合力与洛伦兹

匀速直线运动平衡条件

力等大反向

除洛伦兹力外，其他力的牛顿第二定律、圆周运动

匀速圆周运动

合力为零的规律

除洛伦兹力外，其他力的

合力既不为零，也不与洛较复杂的曲线运动动能定理、能量守恒定律

伦兹力等大反向

2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动

带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道约束的情况下，常见的运动形式

有直线运动和圆周运动，分析时应注意：

⑴分析带电粒子所受各力，尤其是洛伦兹力的变化情况，分阶段明确物体的运

动情况。

⑵根据物体各阶段的运动特点，选择合适的规律求解。

①匀速直线运动阶段：应用平衡条件求解。

②匀加速直线运动阶段：应用牛顿第二定律结合运动学公式求解。

③变加速直线运动阶段：应用动能定理、能量守恒定律求解。

命题点精析（一）磁场与磁场的组合

典型例题

例1（多选）如图所示，直线MN与水平方向成60。角，MN的右上方存在垂直

于纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感

应强度大小均为瓦一粒子源位于上的。点，能水平向右发射不同速率、质

量为侬重力不计）、电荷量为q（q>0）的同种粒子，所有粒子均能通过上的6

点，已知帅=L则粒子的速度可能是（）

小qBL小qBL

x\.・，JJ♦c

om5m

小qBLFqBL

•c1.J•

2mm

【答案】AB

【解析】由题意可知粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧的圆心角均为120°,

则。=警=当詈2,3，…），所以A、B正确。

M

X

XX

【练1】如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的

匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角6=45°。

粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知。0=。，粒子电荷量

为q,质量为m,重力不计。贝！］（）

A.粒子带负电荷B.粒子速度大小为幽

m

C.粒子在磁场中运动的轨道半径为aD.N与。点相距(&+1)。

【答案】AD

【解析】

A.粒子向下偏转，根据左手定则判断洛伦兹力，可知粒子带负电，A正确;

BC.粒子运动的轨迹如图

由于速度方向与y轴正方向的夹角8=45。，根据几何关系可知

ZOMO,=ZOO.M=45°,OM=00、=a

则粒子运动的轨道半径为

r=OXM=yjla

洛伦兹力提供向心力

v2

qvB=m——

解得

yjlqBa

v=---------

m

BC错误；

D.N与。点的距离为

NO=OOl+r=(y/2+V)a

D正确。

故选AD。

【练2】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向

与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。

已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围

成的区域内，磁场的磁感应强度最小为()

【答案】C

【解析】

电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力

eBv=m—

r

则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为

er

即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令电子运动轨迹最大的半径为*ax，为

了使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相

切，如图所示

A点为电子做圆周运动的圆心，电子从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得,

ABLOB,AABO为直角三角形，则由几何关系可得

（3«-^）2=<+«2

解得

4

*x=~a

解得磁场的磁感应强度最小值

八mv3mv

故选Co

命题点精析(二)带电粒子在电场和磁场中的运动

【例2】如图所示的空间中有一直角坐标系。斗，第一象限内存在竖直向下的匀强电

场，第四象限x轴下方存在沿x轴方向足够长，宽度d=(5+5小)m的匀强磁场，

磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小B=0.4T,一带正电粒子质量m=

3.2X10-4kg、所带电荷量q=0.16C,从y轴上的尸点以oo=LOX1()3m/s的速

度水平射入电场，再从x轴上的。点进入磁场，已知0P=9m,粒子进入磁场

时

其速度方向与大轴正方向夹角。=60。，不计粒子重力，求：

(i)oe的距离；

⑵粒子在磁场中运动的半径；

(3)粒子在磁场中运动的时间。(兀值近似取3)

【答案】(1)6小m(2)10m(3)7.5X10%

【解析】(1)由于粒子进入磁场时其速度方向与％轴正方向夹角6=60。，设粒子在

Q点竖直向下的分速度为今，

根据运动的合成与分解可得：tan6=S,

VO

所以Vy=\[3V0,

设粒子从P点运动到Q点的时间为t,

水平方向上根据匀速直线运动可得：VOt=SOQ,

竖直方向上根据位移时间关系：^Vyt=hpo,

联立解得：SOQ=6y[3m；

(2)设粒子进入磁场的速度为o,由几何关系可得：

V0_

v=2=2。09

cos0

粒子在磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，有:

V2

qvB=rrr^,

解得H=10m;

(3)设粒子在磁场中运动的圆心为Qi,由几何关系可得:

«=60°,£=30。

可得粒子在磁场中转过的圆心角9=90。，

由周期公式T=等可得粒子在磁场中运动的时间

，=3羌。T=WX0=7.5X103So

【练3】平面直角坐标系xOy中，第工象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第HI现象存在沿

y轴负方向的匀强电场，如图所示.一带负电的粒子从电场中的Q点以速度vo沿x轴正方向

开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍.粒子从坐标原点0离开电场进入磁场，

最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等.不计粒子重力，问：

(1)粒子到达。点时速度的大小和方向；

(2)电场强度和磁感应强度的大小之比.

V

【答案】：(1)"=扬。，方向与X轴方向的夹角为45。角斜向上

(2)J

B2

【解析】：(1)在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为到y轴距离为2/.,粒

子的加速度为。，运动时间为t,有

2L=①

L=-at2②

2

设粒子到达。点时沿y轴方向的分速度为与

vy=at③

设粒子到达。点时速度方向与无轴正方向夹角为a,有tana=2④

%

联立①②③④式得a=45。⑤

即粒子到达。点时速度方向与无轴正方向成45。角斜向上.

设粒子到达。点时速度大小为v,由运动的合成有v=J⑥

联立①②③⑥式得y=收%⑦

(2)设电场强度为E,粒子电荷量为q,质量为m,粒子在电场中受到的电场力为F,粒子

在电场中运动的加速度：目⑧

m

设磁感应强度大小为B,粒子做匀速圆周运动的半径为R,洛伦兹力提供向心力，有：

qvB=m—⑨

根据几何关系可知：R=42L⑩

整理可得：—⑪

B2

【练4】如图所示，在X0y平面内，有一电子源持续不断地沿1正方向每秒发射出N个速率均为

V的电子，形成宽为2b,在y轴方向均匀分布且关于》轴对称的电子流.电子流沿X方向射

入一个半径为R,中心位于原点。的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里，电子

经过磁场偏转后均从P点射出，在磁场区域的正下方有一对平行于X轴的金属平行板K和A,

其中K板与P点的距离为d,中间开有宽度为2/且关于V轴对称的小孔.K板接地，A与K

两板间加有正负、大小均可调的电压穿过K板小孔到达A板的所有电子被收集且导

73

出，从而形成电流.已知b=A,d=/，电子质量为m,电荷量为e,忽略电子间相互作

2

用.

（1）求磁感应强度B的大小；

（2）求电子从p点射出时与负y轴方向的夹角e的范围；

（3）当。AK=。时，每秒经过极板K上的小孔到达极板A的电子数；

（4）画出电流i随。*变化的关系曲线（在答题纸上的方格纸上）.

【答案】：(1)B=—,(2)60°,(3)/=Y1N=0.82N(4)『max=0-82Ne

eR3

【解析】：由题意可以知道是磁聚焦问题，即

（1）轨到半径区=「，

eR

（2）右图以及几何关系可知，上端电子从P点射出时与负y轴最大夹角

A

由几何关系sin0m=—得淅=60°

R

同理下端电子从P点射出与负y轴最大夹角也是60度

范围是—60。

(3)tana='得2=45。

d

,n-^2

y=Rsma=——R

2

每秒进入两极板间的电子数为n

2=21="=0.82解得：n=0.82N

Nb3

⑷有动能定理得出遏止电压=-二机丫2与负y轴成45度角的电子的运动轨迹刚好与A

2e

板相切，其逆过程是类平抛运动，达到饱和电流所需要的最小反向电压。'=-3〃川2或者

命题点精析(三)带电粒子在叠加场中的运动

1.带电粒子在包含匀强磁场的叠加场中无约束情况下运动的几种常见形式

受力特点运动性质方法规律

其他场力的合力与洛伦兹

匀速直线运动平衡条件

力等大反向

除洛伦兹力外，其他力的匀速圆周运动牛顿第二定律、圆周运动

合力为零的规律

除洛伦兹力外，其他力的

合力既不为零，也不与洛较复杂的曲线运动动能定理、能量守恒定律

伦兹力等大反向

2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动

带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道约束的情况下，常见的运动形式

有直线运动和圆周运动，分析时应注意：

⑴分析带电粒子所受各力，尤其是洛伦兹力的变化情况，分阶段明确物体的运

动情况。

(2)根据物体各阶段的运动特点，选择合适的规律求解。

①匀速直线运动阶段：应用平衡条件求解。

②匀加速直线运动阶段：应用牛顿第二定律结合运动学公式求解。

③变加速直线运动阶段：应用动能定理、能量守恒定律求解。

【例3】如图，在竖直的xOy平面内有一个半径为R的圆形区域与x轴相切于。点，

在圆形区域外(包括圆形边界)的空间存在垂直于纸面向外的匀强磁场，xOy平面

内有沿y轴负方向的匀强电场。现从坐标原点。以速率。向第一象限内的不同

方向发射相同的带电小球，小球的质量为加、电荷量为一q(q>0),所有小球均在

磁场中做匀速圆周运动，且都能沿平行于x轴的方向进入圆形区域并再次通过。

点，不计小球间的相互作用，重力加速度为g,求：

⑴匀强电场的电场强度大小；

(2)匀强磁场的磁感应强度大小；

⑶沿与x轴正方向成60。角发射的小球从开始运动到再次通过。点经历的时间。

,,、m2mv

【答案】⑴才(2)欣

(10兀+3小)R

(3)'3v

【解析】

（1）小球在磁场中做匀速圆周运动，则电场力和重力平衡即qE=mg

匀强电场的场强E=*

q

（2）小球从。点以与x轴成。角射入第一象限，运动轨迹如图,

轨迹圆心C与交点。的连线平行于y轴，由几何关系可知，四边形CDC。是菱

形

小球在磁场中运动的轨道半径r=R

洛伦兹力提供向心力，即Bqv=m—

加0

可得磁感应强度3=一万;

qK

TT

（3）小球从o点以与X轴成角射入第一象限

小球在磁场中的运动周期T=~^-

2_°

小球在磁场中运动时间A=2X&T

由上式可知小球在圆形区域做匀速直线运动，通过的距离L=2RsinO

、--L1-r2Rsin0

运动时间tz=---

从。点出发到再次回到。点的运动时间

（4兀+2sin8—2。）R

t=ti+t2=-------------------

将代入，解得尸（1°臂；小）£

【练5】如图4所示，竖直平面xOy,其无轴水平，在整个平面内存在沿x轴正方向的匀强电

场E,在第三象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为8=0.2T.现有一比荷

为*=25C/kg的带电微粒，从第三象限内某点以速度。o向坐标原点O做直线运动，见与x

轴之间的夹角为6=45。，取重力加速度g=10m/s2.求：

⑴微粒的电性及速度比的大小；

⑵带电微粒在第一象限内运动时所到达的最高点的坐标.

【答案】⑴带正电2巾m/s(2)(0.6m,0.2m)

【解析】

(1)带电微粒在第三象限内受重力、电场力和洛伦兹力的作用，做直线运动，则其一定做

匀速直线运动，合力为零.若微粒带负电，由左手定则知洛伦兹力斜向右下，又重力竖直向

下，电场力水平向左，合力不可能为零；同理，可判断微粒带正电；

对带电微粒受力分析，如图所示，根据平衡条件可得：Bqv0=y12mg

解得：vo—2y[2m/s;

(2)带电微粒进入第一象限后做曲线运动，设最高点为从。到M■所用的时间为f,则将

微粒从。到M的运动分解为沿x轴方向上的匀加速直线运动和沿y轴方向上的匀减速直线

运动

y轴方向上：O="osin45°—g/

vosin45°

产~2-t

x轴方向上：qE=mgtan45°=max

,1

x=oocos45c7+54%产9

解得x=0.6m,y=0.2m.

即带电微粒在第一象限内运动时所达到的最高点的坐标为(0.6m,0.2m)

【练6】如图所示，竖直平面内有一直角坐标系xOy,x轴沿水平方向.第二、三象限有垂直于

坐标平面向里的匀强磁场，与无轴成8=30。角的绝缘细杆固定在二、三象限；第四象限同

时存在着竖直向上的匀强电场和垂直于坐标平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，

一质量为根、电荷量为g的带电小球可视为质点)穿在细杆上沿细杆匀速下滑，在N点脱

离细杆后恰能沿圆周轨道运动到x轴上的A点，且速度方向垂直于x轴.己知A点到坐标

原点。的距离为|/,小球。与绝缘细杆的动摩擦因数〃=乎；普='/等，重力加速度为

g,空气阻力忽略不计.求:

X

E

xX

X

⑴带电小球的电性及电场强度的大小E-,

⑵第二、三象限里的磁场的磁感应强度大小Bi；

(3)当带电小球a刚离开N点时，从y轴正半轴距原点0为仁等的P点(图中未画出)以某

一初速度水平向右平抛一个不带电的绝缘小球6(可视为质点)，b球刚好在运动到x轴时与

向上运动的a球相碰，则b球的初速度为多大？

【答案】⑴带正电管(2)手'或L

10K

【解析】

(1)由带电小球4在第四象限内做圆周运动，知小球〃所受电场力竖直向上，且mg=qE,故

小球〃带正电，

q

(2)带电小球。从N点运动到A点的过程中，洛伦兹力提供小球做圆周运动的向心力，设运

V2

动半径为R,有：qvB=rrr^

由几何关系有R+Rsin'/

解得R=l,0=]

带电小球a在杆上匀速下滑时，由平衡条件有

mgsin6=fi{qvB\—mgcos0)

解得昂=①

(3)带电小球〃在第四象限内做匀速圆周运动的周期舞

带电小球a第一次在第一象限从A点竖直上抛又返回到A点所用的时间为m=晋=

绝缘小球。平抛运动至％轴上的时间为t—

小球4从N点第一次到A点所用时间为ti,

故两球相碰有片,+〃(/o+§("=O』,2…)

联立解得n=l

、7

设b球的初速度为vo,则1

7

解得1^0=4

【例4】如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E=5小N/C,同时存在

着垂直纸面向里的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小8=0.5T.有一带正

电的小球，质量m=lxl()-6kg,电荷量4=2x10-6c,正以速度U在图示的竖直面内做匀速

直线运动，当经过尸点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g=10m/s2,

求：

Bxxxxxx

xpxxxxxE

xxxxxx

(1)小球做匀速直线运动的速度。的大小和方向；

(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.

【答案】

(l)20m/s方向与电场方向成60。角斜向上

(2)2^38

【解析】

(1)小球做匀速直线运动时受力如图甲，其所受的三个力在同一平面内，合力为零,

甲

有qvB=ylq2E2+m2g2(T)

代入数据解得o=20m/s②

速度。的方向与电场E的方向之间的夹角满足tanO=黑③

代入数据解得tan0=V3

(9=60°®

(2)解法一撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，如图乙所示，设

其加速度为。，有修琛三

乙

设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为X,有x=vt®

设小球在重力与电场力的合力方向上的分位移为y,有yn5/2⑦

tan0=^@

联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得『=2小s⑨

解法二撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以尸

点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为Vy=

osin。⑤

若使小球再次穿过尸点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，贝I有巧/一;gr2

=0⑥

联立⑤⑥式，代入数据解得t=2/S.

核心素养大提升

带电粒子在交变电磁场中的运动

(1)先分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质，判断周期性变化的电场或磁场对

粒子运动的影响.(2)画出粒子运动轨迹，分析轨迹在几何关系方面的周期性.

【例5】如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d,宽为d,•中间两个磁场区

域间隔为2d,中轴线与磁场区域两侧相交于。、。，点，各区域磁感应强度大小相等.某粒子

质量为m、电荷量为+q,从。沿轴线射入磁场.当入射速度为V。时，粒子从。上方!■处射

出磁场.取$皿53。=0.8,cos53°=0.6.

（1）求磁感应强度大小8；

（2）入射速度为5%时，求粒子从。运动到。，的时间t；

（3）入射速度仍为5内，通过沿轴线。0,平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从。

运动到。'的时间增加At,求At的最大值.

1

''XXXX••••••••XXXX

1

!xxxx••••••••XXXX

।

]XXXX••••••••XXXX

1

!xxxx••••••••XXXX

।

；XXXX••••••••XXXX

O；XXXX••••••••XXXXO'

T.••••.••••

✓.1XXXXXXXX

4*+uy1।

；XXXX••••••••XXXX

!xxxx••••••••XXXX

1

1

；XXXX••••••••XXXX

!xxxx••••••••XXXX

1

/；XXXX••••••••XXXX

1

1-dfH-----2d——-df

【答案】见解析

【解析】

（1）粒子圆周运动的半径为=噜由题意知为=4,

qB4

解得於粤

qd

（2）设粒子在矩形磁场中的偏转角为a

4

由d=rs\na,得s\na=—,即a=53°

271H25371d

在一个矩形磁场中的运动时间4=SC。D,解得4=万丁

360qB720Vo

2d2d

直线运动的时间t2=—,解得弓=彳7

,/53兀+72、4

则"名+…）一

180v0

（3）将中间两磁场分别向中央移动距离x

粒子向上的偏移量片2r（1-cosa）+xtana

3

由y42d,解得x＜一d

4

3

则当Xm二一d时，At有最大值

4

2x

粒子直线运动路程的最大值Sm=一2+（2d-2/）=3d

cosa

增加路程的最大值加皿=Sm—2d=d

A5md

增加时间的最大值八A几=3=二

1.【练7】如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁

场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙

Txxx”

1

所示。t=0时刻，一质量为m、带电量为q的粒子（不计重力），以初速度I/OXXXx

fXXxx

由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。1XMx

°Q~

当Bo和加取某些特定值时，可使t=0时刻入射的粒子经At时间恰能垂直打在P图甲

.B

板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、d、i/o为已知量。4---1...7---：!

°今M:苧M石

⑴若At=—TB,求BO；

2

3图乙

⑵若1=—兀，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；

2

⑶若线=—/,为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。

qd

【答案】见解析

【解析】

2

（1）设粒子做圆周运动的半径为Ri,由牛顿第二运动定律得qvoBo=m—

Ri

据题意由几何关系得：Ri=do

联立解得：8。=—

qd

（2）设粒子做圆周运动的半径为R2,加速度大小为a,由圆周运动公式得

据题意由几何关系得：3/?2=d。

Q2

联立解得：0二也.

d

(3)设粒子做圆周运动的半径为R,周期为T,由圆周运动公式得

2成

T=----o

%

2

Vn

由牛顿第二运动定律得qvoBo=m--

由题意知，B=—

0qa

联立解得：d=4/?o

粒子运动轨迹如图所示，。1、。2为圆心，连线与水平方向的夹角为，在每个7B时