三角函数图象与性质（原卷版）

专题19三角函数图象与性质【考点预测】知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心对称轴方程无知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；知识点三：与的图像与性质（1）最小正周期：.（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].（3）最值假设.①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心.假设.①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.（5）单调性.假设.①对于，②对于，（6）平移与伸缩由函数的图像变换为函数的图像的步骤；方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换.注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.【方法技巧与总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为.（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为【题型归纳目录】题型一：五点作图法题型二：函数的奇偶性题型三：函数的周期性题型四：函数的单调性题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）题型六：函数的定义域、值域（最值）题型七：三角函数性质的综合题型八：根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）题型九：三角函数图像变换【典例例题】题型一：五点作图法例1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题.(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值.例2．（2022·全国·高三专题练习）把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数.（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）画出函数在区间上的大致图象.例3．（2022·广东·佛山市顺德区乐从中学高一期中）设函数（）的最小正周期为，且(1)求和的值；(2)填下表并在给定坐标系中作出函数在上的图象；x【方法技巧与总结】(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．题型二：函数的奇偶性例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,在区间上的最大值为最小值为则_____.例5．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）若为偶函数，则___________.（填写符合要求的一个值）例6．（2022·四川德阳·三模（理））将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象对应函数为奇函数，则m的最小值是___________.例7．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））将函数的图像向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则正数的最小值为__________．例8．（2022·上海·模拟预测）已知函数（、为常数，R）在处取得最小值，则函数是（

）A．偶函数，且图象关于点对称 B．偶函数，且图象关于点对称C．奇函数，且图象关于点对称 D．奇函数，且图象关于点对称例9．（2022·安徽淮南·二模（理））对任意的，函数满足．若函数在区间上既有最大值又有最小值，则函数的最大值与最小值之和为（

）A．0 B．2 C．4 D．8例10．（2022·山西太原·二模（理））已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为偶函数【方法技巧与总结】由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：（1）若为奇函数，则；（2）若为偶函数，则；（3）若为奇函数，则；（4）若为偶函数，则；若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数.题型三：函数的周期性例11．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数与直线的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是___________.例12．设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值为．例13．（2022·陕西·模拟预测（文））若，则__________.例14．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（

）A． B． C． D．例15．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）设函数，若时，的最小值为，则（

）A．函数的周期为B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数C．当，的值域为D．函数在区间上的零点个数共有6个例16．（2022·安徽·高三阶段练习（理））设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（

）A．， B．，C．， D．，例17．（2022·辽宁实验中学模拟预测）函数的最小正周期和最小值分别为（

）A．，1 B．， C．，1 D．，1例18．（2022·山西临汾·一模（文））将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，若则的最小值为（）A． B． C．π D．例19．（2022·山东德州·高三期末）若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（

）A． B． C．4 D．例20.（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像.若，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．例21．（2022·全国·高三专题练习）函数，，若在区间，是单调函数，且，则的值为（

）A． B．1 C．2或 D．或2例22．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数在上单调，且，则的可能取值（

）A．只有1个 B．只有2个C．只有3个 D．有无数个【方法技巧与总结】关于三角函数周期的几个重要结论：（1）函数的周期分别为，.（2）函数，的周期均为（3）函数的周期均.题型四：函数的单调性例23．（2021•湖南模拟）函数，的部分图象如图所示，则的单调递增区间为A．，， B．，， C．，， D．，，例24．（2022秋•梁园区校级期末）已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递减区间为A． B． C． D．例25．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．例26．（2022·新疆·二模（理））设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（

）A． B． C． D．例27．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B．C． D．例28．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（

）A．， B．，C．， D．，例29．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列直线中，函数的对称轴是（

）A． B． C． D．例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)求使成立的实数x的取值集合.【方法技巧与总结】三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间.若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可.题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）例31．（2022春•河南期末）已知函数的图象的一条对称轴是，则A．1 B． C． D．例32．（2022·宁夏·固原一中一模（文））将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是A．函数的最小正周期是 B．图像关于直线对称C．函数在区间上单调递减 D．图像关于点对称例33．（2022·湖南岳阳·一模）已知函数，其中，，函数的周期为，且时，取得极值，则下列说法正确的是（

）A． B．C．函数在单调递增 D．函数图象关于点对称例34．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（文））已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（

）A． B． C． D．例35．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知直线和是曲线的两条对称轴，且函数在上单调递减，则的值是（

）A． B．0 C． D．例36．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（

）A． B． C． D．例37．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知向量，，函数的图象关于直线对称，则实数m的值为（

）A． B． C． D．例38．（2022·广东·佛山市南海区桂华中学高三阶段练习）将函数（其中）的图像向右平移个单位长度，所得图像关于直线对称，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．例39．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））将函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．例40．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））若函数的图象关于直线对称，则（

）A． B．0 C． D．例41．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））若函数的图象关于直线对称，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．2例42．（2022·全国·高三开学考试（文））若函数对任意的x都有，则等于（

）A．3或0 B．或0 C．0 D．或3【方法技巧与总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为.（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为题型六：函数的定义域、值域（最值）例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为（）A． B．C． D．例44．（2022·全国·高三专题练习）函数()的定义域是（

）A． B． C． D．例45．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则m的最小值为（

）A． B． C． D．例46．（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（

）A． B．C． D．例47．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A． B．3C． D．4例48．（2022·北京二中高一阶段练习）函数在上的最小值是______.例49．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知，当时，的取值范围是__________．例50．（2022·广东·二模）若函数的最大值为1，则常数的一个取值为_____．例51．（2022·北京·高三专题练习）设当时，函数取得最大值，则__________.例52．（2022·全国·高三专题练习）当时，函数取得最大值，则__________.例53．（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为1，则常数______．例54．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．例55．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值是__________．例56．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为___________.例57．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域.例58．（2022秋•吉安期末）函数的值域是A．， B． C． D．，例59．（2022秋•镜湖区校级期末）已知函数，则的最大值为A． B． C．0 D．1例60．（2022春•朝阳区校级月考）函数有最大值2，最小值，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．9例61．（2022春•广安期末）设函数．①的最小正周期为；②的最大值为；③在区间上单调递减；④，都有成立；⑤的一个对称中心为．其中真命题有（请填写真命题的编号）．例62．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，则的最小值是．例63．求函数的最大值及最小值．【方法技巧与总结】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理.（1），设，化为一次函数在上的最值求解.（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型.（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解.（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围.（6）导数法（7）权方和不等式题型七：三角函数性质的综合例64．（2022·天津·静海一中高三阶段练习）关于函数，有下列命题：①函数是奇函数；②函数的图象关于直线对称；③函数可以表示为；④函数的图象关于点对称其中正确的命题的个数为（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个例65．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数，且，则下列说法正确的是（

）A．当时，在上单调递减 B．当时，在上单调递增C．当时， D．当时，的图象的对称轴方程为例66．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，现有如下说法：①为偶函数；②函数在上单调递增；③，．则上述说法正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3例67．（2022·全国·高三专题练习）关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间上单调；③函数的最大值为M，最小值为m，则；④若，则函数在上有4个零点．其中所有正确结论的编号是（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③例68．（2022·山西朔州·高三期末（理））已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例69．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若函数，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数B．的最小正周期是C．在区间上单调递增D．的图象关于直线对称例70．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（

）A．的最大值为 B．2π为的一个周期C．为曲线的对称轴 D．为曲线的对称中心（多选题）例71．（2022·湖北·荆州中学三模）已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论，其中错误的结论是（

）A．的一个周期是B．是偶函数C．在区间上单调递减D．的最大值大于（多选题）例72．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知函数，则（

）A．是周期函数 B．是偶函数C．是上的增函数 D．的最小值为（多选题）例73．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）．A．直线为函数图象的一条对称轴B．函数在上单调递增C．函数在上单调递增D．，（多选题）例74．（2022·全国·高三专题练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（

）A．是偶函数 B．的最小正周期为C．在区间上单调递增 D．的最小值为1（多选题）例75．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，下列叙述正确的有（

）A．的周期为2π； B．是偶函数；C．在区间上单调递减； D．x1，x2∈R，【方法技巧与总结】三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性.因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）题型八：根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.例76．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆），以筒车转轮的中心为原点，过点的水平直线为轴建立如图直角坐标系.已知一个半径为的筒车按逆时针方向每30s匀速旋转一周，到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（时的位置）时开始计算时间，且设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：s），且此时点距离水面的高度为（单位：m）（在水面下则为负数），则关于的函数关系式为___________，在水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度不低于的时长为___________s.例77．（2022·北京东城·三模）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是（

）A．B．C．D．例78．（2022·山东潍坊·模拟预测）函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的表达式可以为（

）A． B．C． D．例79．（2022·河南开封·模拟预测（理））如图为函数的部分图像，将的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B． C． D．例80．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的部分图像如图，则的解析式为（

）A． B．C． D．例81．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．该图象对应的函数解析式为B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数在区间上单调递减例82．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，则将的图像向左平移个单位后，所得图像的函数解析式为（

）A． B．C． D．例83．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（

）A． B． C． D．例84．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为___________.例85．（2022·全国·高三专题练习（文））如图是函数（，，）的图象的一部分，则函数的解析式为__________________．【方法技巧与总结】已知函数图像求函数的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定，由适合解析式点的坐标确定，但有图像求得的的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与轴的交点）为；“第二点”（即图像曲线的最高点）为；“第三点”（及图像下降时与轴的交点），为；“第四点”（及图像曲线的最低点）为；“第五点”（及图像上升时与轴的交点）为.方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）例86．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数，，且，写出一个满足条件的函数的解析式：___________.例87．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数，①函数的图象关于直线对称，②当时，函数的取值范围是，则同时满足条件①②的函数的一个解析式为________.例88．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.(1)求的解析式；(2)设函数，求在区间上的最大值.条件①：的最小正周期为；条件②：；条件③：图象的一条对称轴为.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.例89．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数满足：①的最大值为2；②；的最小正周期为．(1)求的解析式；(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．【方法技巧与总结】根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解.题型九：三角函数图像变换例90．（青海省玉树州州直高中2021-2022学年高三下学期第四次大联考数学（理科）试题）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度例91．（2022·全国·模拟预测（文））要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移 B．向右平移C．向左平移 D．向右平移例92．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【方法技巧与总结】由函数的图像变换为函数的图像.方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换.的图像的图像的图像的图像【过关测试】一、单选题1．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知直线是函数的图像的一条对称轴，为了得到函数的图像，可把函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）函数的大致图象为（

）A． B．C． D．3．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，若，则（

）A． B．2 C．5 D．75．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（

）A．函数的最小正周期是B．函数在区间上单调递减C．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到D．函数的图象关于对称6．（2022·浙江·模拟预测）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知某机器工作时噪音的声波曲线（其中）的振幅为2，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（

）A． B．C． D．7．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度8．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））阻尼器是一种以提供运动的阻力，耗减运动能量，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，是被称为“镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移S（cm）与时间t（s）的函数关系式为，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列为的单调区间的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·河北石家庄·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（

）A．点P再次进入水中时