2023-2024学年江苏省连云港市赣榆区九年级(上)期末数学试卷 答案解析(附后)

2023-2024学年江苏省连云港市赣榆区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.抛掷一枚均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率是（）

11

A.!B.C,D.1

234

2.一元二次方程•1）（）的根为（）

A.J,i<1,/.B.h-<>,rj

C.=1,J]=-1D.J1=-1

3.抛物线y"3f的顶点坐标是()

A.3.11B.(3.1)C,3.1)D.(3.1)

4.小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9,7,10,8,10,9,这组数据的中位数和

众数分别为（）

A.8,10B.10,9C.8,9D,9,10

5.一个矩形沿某对称轴对折后和原蛆形相似，则对折后的矩形长边与短边之比为（）

A.4：1B.2：1C.3：2D.伍1

6.如图，A8是•。的切线，切点为8,连接AO与♦（）交于点C,点。

为嬴二上一点，连接BO,C7）.若/4=：忻，则NBDC的度数为

A.32

B.

C.

D.：｛(>

7.（人教版）已知抛物线yar，•"Wa>U）的对称轴为直线/I,与X轴的一个交点为，丁卜（）），且

<><-ri<1,下列结论：①9“一：/+「>（）；（2）6<:a；③而卜，•>（）.其中正确结论的个数是（）

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A.0B.1C.2D.3

8.如图，在矩形A8CD中，"/?I,BC6,点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿八-/T-C

匀速运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点。匀速运动.当点Q运动到点。时，P,Q

两点同时停止运动.设运动时间为t秒，的面积为S,则S随t变化的函数关系图象大致是

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分,共24分。

9.设门，八是关于X的方程』3上-2=0的两个根,则八+八

io.若；：则〒

1L写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式.

12.在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是X.9环，方差分别是

SL=0.13,S'；().51,则这次射击训练中成绩比较稳定的是..(填“甲”或“乙”)

13.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm,圆心角为12()的扇形，则该圆锥的侧面面积为

结果保留力.

14.如图,四边形ABCDs四边形若N311(),则NDI

15.如图，正五边形ABCDE内接于圆，连接交于点F,则N1FE的度数为

第3页，共22页D

16.如图，在等边三角形A8C中，DC2,若•「的半径为1,P为A8边上

一动点，过点P作•「的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为.

三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

解下列一元二次方程.

①3r30；

⑵3x（1-4）=x-4.

18.（本小题8分）

已知：a：b：r3：4：5.

（1）求代数式¥''*"的值；

（2）如果3«-，，+c10,求a、b、c的值.

19.（本小题8分）

已知函数yx1mx+in-3.

求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；

（2）若函数有最小值2,求函数表达式.

20.（本小题8分）

已知：如图，在「中，」13AC,以腰AB为直径作半圆O,分别交BC,AC于点。，E

U）求证:BDDC

（2）若川，求废所对的圆心角的度数.

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o

21.(本小题10分)

王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测脸，成绩如下i单位：分)：

甲：5,6,6,6,6,6,7,9,9,1(1.

乙：5,6,6,6,7,7,7,7,9,1!>

选手平均数中位数众数方差

甲7a621，

乙b7Cd

(1)以上成绩统计分析表中“,b,；

(2)d2.6(填“>”、v或“=”)：

(3)根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由.

22.(本小题10分)

已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种

可能：通电、断开，并且这两种状态的可能性相等.)

如图L在一定时间段内，A、8之间电流能够正常通过的概率为；

(2)如图2,求在一定时间段内，C、。之间电流能够正常通过的概率.

A1I—I__I-----B

（图I）（图2）

23.（本小题12分）

如图，在RtZk.AZJC'中，Z/?皿，点。在边AB上，以点。为圆心，OA为半径的圆经过点C,过点C

作直线MN,=2Z.4.

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，“）判断直线MN与的位置关系，并说明理由；

（2）若I,Z.BCM（ill,求图中阴影部分的面积.

24.（本小题12分）

某超市销售一种玩具，每个进价为40元.当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表

明，每个售价每增加化5元，日均销售量减少5个.

U）当每个售价为52元时，日均销售量为个；

T）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元；

（3）当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？

25.（本小题12分）

d）在图①中按下列步骤作图：

第一步：过点（：画使CO:AC'；

第二步：连接AD,以点。为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；

第三步：以点人为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点注

（2）在所画图中，点8是线段AC的黄金分割点吗？为什么？

，：3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你在图②中

以线段入8为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形不写作法，保留作图痕迹）

Ac4p

图①图②

26.（本小题14分）

如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线Fi：y/•心•「经过点」（3.小和点3（1.11）.

」）求抛物线B的解析式；

2）如图2,作抛物线匕，使它与抛物线~关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线人的解析式；

"）如图3,将中抛物线人向上平移2个单位，得到抛物线月，抛物线Q与抛物线G相交于C,。两

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点（点C在点D的左侧）.

①求点C和点。的坐标;

②若点M,N分别为抛物线F|和抛物线Ei上C,。之间的动点（点M,N与点、C,。不重合），试求四边

形CMDN面积的最大值.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：共抛掷一枚均匀的硬币一次，有正反两种情况，有一次硬币正面朝上，

所以概率为：.

故选：儿

列举出所有情况，看硬币正面朝上的情况数占总情况数的多少即可.

考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到至少有一次硬币正面朝上的情

况数是解决本题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：-I）（»,

,="或」-1•1,

所以工1--Tj-1-

故选：B.

利用因式分解法把方程转化为『：U或1-111,然后解两个一次方程即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简

便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

3.【答案】B

【解析】解：因为y（工-3），+1是抛物线的顶点式,

根据顶点式的坐标特点可知，的顶点坐标是（3.1）.

故选：B.

已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点直接写出顶点坐标.

此题考查了二次函数的性质，二次函数为!/八『•卜顶点坐标是小/）.

4.【答案】D

【解析】解：把这组数据从小到大排列：7,8,9,9,10,10,10,

最中间的数是9,则中位数是9；

10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；

故选：D.

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根据中位数和众数的定义分别进行解答即可.

此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数，:最

中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数.

5.【答案】D

【解析】解：如图：矩形入8C。沿EF对折后，所得矩形A8FE与矩形ADC8相似,

1/>'

由折叠得：

AD2.4E,

2AEAB

而AE,

A1322.4F2,

AB\/2AE,

.4B：AE\/2：1,

二对折后的矩形长边与短边之比为0：1,

故选：D.

AnAR

利用相似多边形的性质A可13得再AE利用折叠的性质可得.4。2AE,然后进行计算即可解答.

本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换f折叠问题），熟练掌握相似多边形的性质是解题的

关键.

6.【答案】C

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•••"/?为•。的切线，

..OI31.AB,

：.£ABO90,

Z.436,

Z.AOB90NA!XI3()51,

：.£BDC-；NAOB-27,

故选：C.

连接。8,由切线的性质得出N.43O!MI,由圆周角定理可得出答案.

本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，切线的性质等知识点，能求出90是解此题的关

键.

7.【答案】C

【解析】解：T什1「(”>⑴的对称轴为直线11,

与X轴的一个交点为(八.山,

且()<力<1,

x-3时，y-36-c>(I；

•.•对称轴是1,则-:1,

la

,b=2a.

>0,

;

再取N=1时，y-a+b+c-a+2a+r3at(•?n.

，①、③正确.

故选

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当取/；，时，y-9"36-<1>()；由对称轴是J1可以得到/>2a,而所以得到1，〉。，

再取11时，可以得到yo-6-ca-2<i-c3«+c>(>.

所以可以判定哪几个正确.

此题主要考查抛物线的性质.此题考查了数形结合思想，解题时要注意数形结合.

8.【答案】A

【解析】解：当时，即点P在边A8上时，AP-21,CQt,如图，

S-1x2Mitit,

当2<»WJ时，即点P在边BC上时，BP=2f-I,CQ-t,DQ~4-t,PC=10-2t,如图,

S=S珀黑-SAABP-SAPCQ-SAAOQ

-4x6-1x4(2,-4)-^(10-20-1x6(4-f)

一~一6f+20

(t3)3u,

故选：A.

分两种情况：当时，即点P在边A8上时，当时，即点P在边BC上时，分别求出函数

解析式，即可求解.

本题考查了矩形性质、矩形面积、三角形的面积、动点问题的函数图象，求出分段函数解析式是本题的关

键.

9.【答案】3

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【解析】解：根据根与系数的关系可+n"得h+n

a

故答案为：3.

直接利用根与系数的关系工|+及’’求解.

a

本题考查了根与系数的关系：若上1,处是一元二次方程3」IA■一•（）（"#））的两根时，八+1「"，

a

c

W2=-a-

10.【答案】1

•5

【解析】解：•二;;，

2

：.a~b,

«>

9

则…1

b—b一亍

故答案为：•

*1

直接利用比例的性质得邮2b,进而代入求出答案.

«>

此题主要考查了比例的性质，正确用一个未知数代替另一个未知数是解题关键.

1L【答案】y-/（答案不唯一）

【解析】解：顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式可为/

故答案为：｛/答案不唯一）

由于顶点坐标为（（）."），则抛物线解析式为!/tur2,然后a取一负数即可.

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的

条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质.

12.【答案】甲

【解析】解：番0.43,S：,0.51,0.43<（I.M,方差小的为甲，

，关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是甲.

故答案为：甲.

根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解.

本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越

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大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小,

即波动越小，数据越稳定.

13.【答案】37r

【解析】【分析】

本题考查了圆锥的侧面积计算，考查了扇形面积公式，属于基础题.利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所

以计算扇形的面积即可得到该圆锥的侧面面积.

【解答】

解：该圆锥的侧面面积也。七；尔,而).

故答案为3；

14.【答案】103

【解析】解：；四边形ABCDs四边形,

..1..IIlli,

.-.ZD360-Z.4ZBZC1()3,

故答案为：1(13.

根据相似多边形的性质求出NA,根据四边形内角和等于:“加计算，得到答案.

本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键.

15.【答案】108

【解析】解：•.•五边形ABCDE为正五边形，

.•.ND=纥2)x1X()心

1(DF)BE/'D,

5

,四边形CDEF为平行四边形，

:.KFE=£D=108\

故答案为：M则

根据正五边形的性质可知，BE//CD,A('；,/DE,所以四边形COEF为平行四边形，然后根据正五边形

内角和定理，求出ZD,即可求出NCFE.

本题主要考查了正多边形与圆，根据正五边形的性质得出四边形COEF为平行四边形是本题解题的关键.

16.【答案】6

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【解析】解：如图，作4ELBC于点E,C2XLAB于点0,连接CP、CQ,

13('—AB—AC—2,

,BECE1DC1x21,

22

：£AEB-

IE=y/AB1-BE2=-R=8，

•.\ABCD\BCAES-

1x2CD1x2x>/3,

22

CD、&,

.:PQ切♦。于点、Q,CQ1,

：.PQ±CQ,

Z.CQP!N),

PQ=s/CP2-CQ2=s/CP2-I2=y/CP1-1,

，当CP的值最小时，PQ的值最小，

，当点P与点。重合时，CP的值最小，此时CPCD、&,

最小8尸-1R,

故答案为：y/2.

作「于点E,「OL4/?于点。，连接CP、CQ,先由2,.17?AC2,再根据勾股定理求

2

得4E=>/3,由：x2CD-ix2x=S^AIX-求得C。=4，由PQ=^(75)-1=0可知，当

CP的值最小时，PQ的值最小，所以当点P与点D重合时，CP的值最小，根据勾股定理求出此时PQ的

值即可.

本题重点考查等边三角形的性质、圆的切线的性质、根据面积等式列方程求线段的长度、勾股定理、垂线

段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

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17.【答案】解：⑴/J-(),

A(-l)2-4x(-3)x111213,

1iv"13

1g

T.fi=——-----------

(2)移项，得：li"I)(>,

(x-4)(3x-1)-0

4=0或3]-1=0,

【解析】T)利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答.

本题考查了解一元二次方程-公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

18.【答案】解：•「〃：b：c3：4：5,

二.设〃3A,,b,r5k，

、3u—b+c9*—4k+5k10

(1)----------.............—•

'2a-：V><•(ik-\2k5A-13'

⑵：3«b-c1(),

/.9卜-4A-+5A-1(1,

解得人,-1,

a-3,l>4,0=5.

【解析】设。3A-,bIk,c5A-,

把a32，6Ik,5卜代入代数式中进行分式的混合运算即可；

(2)把a—32，b—",c5k代入加一，>+«1”得到关于k的方程，求出k,从而得到a、b、c的值.

本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比

性质、等比性质等)是解决问题的关键.

19.【答案】⑴证明：A-m2-4(m-3)-m2-4m+12-(m-2)24-8,

■.(in2『》()，

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，不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；

⑵・•.J——r--------2,

整理得1〃，+10,

/.niim22,

所求函数表达式为：y-1.

【解析】（1）进行判别式的值得到A（»/2/+8,从而得到A〉（），然后根据判别式的意义得到结论;

（2）利用顶点坐标公式得到”^^上2,然后解关于m的方程即可.

本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函她心,（biIda.b.r是常数，”/⑴与X轴的交点坐标

问题转化为解关于X的一元二次方程；Ab11”决定抛物线与X轴的交点个数.也考查了二次函数的

性质.

20.【答案】（1）证明：连接A。，

/.ZADB=90’,

.\HAC,

：,BD=CD；

:AB=AC,BD=DC,

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：.£DOE=2£DAEUi,

..前所对的圆心角的度数为I。.

【解析】“）连接入。，根据直径所对的圆周角是直角可得90,再利用等腰三角形的三线合一性

质，即可解答；

，2）连接。。，OE,利用等腰三角形的三线合一性质可得2（»,然后利用圆周角定理可得

Z.DOE2/.DAEII）,即可解答.

本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、瓠、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添

加适当的辅助线是解题的关键.

21.【答案】677<

【解析】解：/）甲数据从小到大排列，第5、6位都是6,故中位数为a（»；

乙的平均数b=[x（5+6+6+6+7+7+7+74-9+10）-7,

乙的数据中7最多有4个，所以众数，•二7,

故答案为：6,7,7；

2

■21.<1；*（57）.3K（（；7r+4x（7-7rH7r1-1107r2,

：.d<2.6,

故答案为：<;

（3）选择乙同学，

理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定，（答案不唯一）.

U）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果；

（2）根据平均数和方差的计算结果求出答案；

（3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可.

本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差

是本题的关键.

22.【答案】；

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【解析】解：“I画树状图如下:

由图知，共有4种等可能结果，其中A、8之间的两个元件都通过电流才能正常通过的只有1种结果,

所以A、B之间的两个元件都通过电流才能正常通过概率为；，

故答案为：］；

壮）由图知，共有4种等可能结果，其中C、D之间的两个元件都通过电流才能正常通过的有3种结果,

C,D之间两个元件中至少有一个元件通时电流就能通过的概率为［

画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；

（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

本题涉及树状图的相关方法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.【答案】解：，是•（）切线.

理由：连接0C,

（）.4OC,

ZOC.4,

•/2BOC=NA+ZOCA-2/4,ZBCA/=2Z4,

：.Z.BC\tZ.BOC,

90,

ZBOC+ZBCO-90*,

..Z.BCM+ABCO=<M）,

即/or.”9o,

：.OC1MN,

是笛的半径，

，VN是•。切线.

（2）过点。作垂足为P,

由（1）可知ZBCU,

第18页，共22页

-.Z/3C.WMl,

:.，BOC=60

AAOC180ZBOC1211,

在RtABCY)中，OCOA1,£OCA311,

:.O1'\()('2,PC=2>/5,AC=2PC=4得，

ccc12(hr-421r-167r

S网=s扇形c-SAO.4C=—---5xX2=——4\/37.T

【解析】本题考查直线与圆的位置关系、扇形面积、三角形面积等知识，解题的关键是记住切线的判定方

法，扇形的面积公式，属于中考常考题型.

(DA/.V是♦。切线，只要证明NOCM90即可.

(2)根据S』-一Sai,计算即可.

24.【答案】180

52_X)

【解析】解：(I)当每瓶的售价为11元时，日均销售量为2M5x1•二1KU(个)，

(l.t)

故答案为：180；

r)设每瓶的售价为x元，

J5，，

根据题意可得："4»>)(2(M)-5xr1

IJ.O

整理,得：x1110x•：MMM)0,

解得：5“，A-(川，

答：当每瓶售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元；

匚，)设日均利润为y,

T5()

则y-(x-40)(200-5x----)--lOx2+HOOz-2NMHI

n•

10(j-55/+2250,

当j55时，y取得最大值，最大值为2250,

答：当每瓶售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元.

52—50

“)根据日均销售量为5x'、:计算可得；

(1.0

(2)根据“总利润=每瓶利润X日均销售量”列方程求解可得；

")根据壮)中相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可

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本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数

解析式.

25.【答案】解：，1)依题意画出图形如图1所示：

，2)点8是线段AC的黄金分割点，理由如下：

设CD-r,

.CD\AC,

：,AC-2CD2r,

由作图可知：DECDr,

在中，CD.r,AC2T,

由勾股定理得：.10y^ir-iCD-瓜r,

AEADDE(Hl)z,

由作图可知：-AE(、冬1)上，

(v/5-l)xv^-1

,—A—B———.

ACJ-2

，点8是线段AC的黄金分割点；

(3)画法：①过点8作在BE上截取，0,连接AD,

②以点。为圆心，以。8为半径画弧交AD于F,

③以A为圆心，以AF为半径画弧交AB于点H,

④以点8为圆心，以AH为半径画弧，以点A为圆心，以A8为半径画弧，两弧交于点C,

⑤连接AC,则为所求作的三角形，如图2所示：

第20页，共22页

证明如下:

由作图可知：.14AC,

为等腰三角形，

由，1)(2)可知：点H为线段A8的黄金分割点,

由作图可知：BCAH,

BC>/l-1

而=~2-'

△从BC为黄金三角形.

【解析】U)根据题目中给出的作图步骤画出图形即可；

(2)设CD=H,则.A「=2CD=2T,由作图可知0E=「D=7,再由勾股定理求出、成，则

AUAl：ADA)E=(V/5-1)T,由此可得第=丝二2,据此可得点B是线段AC的黄金分割点;