2023年高考数学一轮复习讲义（新高考1）：正弦定理、余弦定理

§4.7正弦定理、余弦定理

【考试要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形2能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单

的三角形度量问题.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.正弦定理与余弦定理

定理正弦定理余弦定理

==2+/一2Z?CCOSA；

a_____b_____c___

内容按=/+层一2c〃cosB；

sinAsinBsinC

。2=层+按一241cosC

(l)〃=2RsinA,

b—2RsinB,炉+”一。2

cosA-2bc；

c—2RsinC；

理+层一步

变形(2)asinBCOsB-2ac；

=bsinA,

a2+b2~c2

COS

bsinC—csinB,C-2ab

“sinC—csinA

2.三角形中常用的面积公式

(1)5=%加(//°表示边a上的高)；

(2)S=]absinC=]acsinB=-^bcsmA-,

(3)S=；r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).

【常用结论】

在aABC中，常有以下结论：

(l)ZA+ZB+ZC=n.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)tz>Z?<4A>BOsinA>sinB,cosA<cosB.

A+3CA+

(4)sin(A+8)=sinC；cos(A+B)=­cosC；tan(A+B)=—tanC；sin-j-=cos爹；cos-

,C

sin

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(X)

(2)在△ABC中，若sinA>sinB,则A>8.(V)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(X)

(4)当〃+c2-a2>o时，/XABC为锐角三角形.(X)

【教材改编题】

1.在△ABC中，A3=5,AC=3,BC=7,则NBAC等于()

.兀兀

A.TOB.T3

一2兀一5兀

C.T3D.-TO-

答案C

解析因为在△ABC中，

设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,

所以由余弦定理得

乒+c2—49+25-49I

cosZBAC=-五—=30=

因为NBAC为△ABC的内角,

所以ZBAC=^.

2.在△ABC中，若A=60。，a=4事,b=4®则B=.

答案45°

解析由正弦定理知云=^，

心坐_啦

Z?sinA

则sinB=--------

a4小2-

又a>b,则A>2,所以2为锐角，故3=45。.

3.在△ABC中，。=2,6=3,C=60°,则c=,ZVIBC的面积=

答案于半

解析易知c=q4+9—2X2X3xT=市,

AABC的面积等于3*2X3义当=岁.

■探究核心题型

题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1（12分）（2021・新高考全国I）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知扶=

ac,点D在边AC上，BDsinZABC=asmC.

⑴证明：翅切入点：角转化为边］

⑵若AD=2DC,求cos/ABC.［关键点：ZBDA和ZBDC互补］

|思路分析由定理边角转化一用b表示AD,DC~求出角的余弦~由条件列等式~对解进行讨论~结论

答题得分模板规范答题不丢分

b

（1）证明由正弦定理知，___5____-2R

sin/.ABCsinZACB

b=2Rsin4ABC,c=2RsinZACB,1［2分］--一①处边角进行转化

•/b2=ac,b,2Rsin/_ABC=a•2Rsin/_ACB,

如［第5gRsmd；q［3分］♦——②处寻求与条件的联系

,/BDsin/-ABC=as\nC.BD=b.［5分］

（2）解由（1）知8。=6，；4。=2。（?，；.4。=荽。，£^=!。,@；［6分］«-③处用b表示AD,DC

I______6________3__j

在△AB。中，由余弦定理知，

2

r2④

cos/皿J即吐士1+像13b2-9c2

—=----——.④处用余弦定理表示4BDA

12b2

2BD•AD2b,

在△C8。中，由余弦定理知,

9az

C"BDS-BU，可射,［7分］

2BD•CD2b,qb6bz

Z_BDA+Z-BDC-TT,b.cos/_BDA+cosZ_BDC=0,⑤;［8分］«-⑤处利用两角关系列式

即端手+半泻肛得】】〃=3〃+M

12炉6bz

•.赤二。。，...3。2-11。。+6。2=（）,.。=3。或。=£。,⑥:［10分卜⑥处解出两种情况

22222

在△ABC中，由余弦定理知，cos4ABe=a+c-ba+c-ac

2ac2ac

当c=3a时'C°s4BC磊＞1（舍⑦处对各种情况讨论

当c=苧a时，cosZ.ABC=y^-;

综上所述，cos/ABC=仓;［12分徐⑧处给出结论

【高考改编】

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+asinA=bsinB+csinC.

⑴求A;

⑵设。是线段8C的中点，若c=2,AD=V13,求。

解(1)根据正弦定理，

由加inC+〃sinA=bsinB+csinC,

可得历+〃2=按+°2,

即bc=b1+c1—d2,

按+(72—Q21

由余弦定理可得，COSA=2bc='

TT

因为A为三角形内角，所以A=q.

(2)因为。是线段BC的中点，c=2,AD=V13,

所以ZADB+ZADC=n,

则cosZADB+cosZA£)C=0,

AD2+BD2—AB2必+叱一松

所以2ADBD+2ADDC=0,

〃2“2

13+彳―2213+j-Z?2

即---------+----------=0,

2寸诺2g三

整理得层=2〃-44,

又a2=b2+c2—2bccosA=b2+4—2b,

所以炉+4—2。=2尼一44,

解得b=6或b=—8(舍)，

因此层=2^2—44=28,

所以。=26.

思维升华解三角形问题的技巧

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含

有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理

都有可能用到.

⑵三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边

和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进

行判断.

2兀

跟踪训练1(2021•北京)已知在△ABC中，c=2bcosB,C=y.

⑴求2的大小；

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线

的长度.

①c=pb；②周长为4+2S；③面积为Szw;c=平.

解(1)Vc=2Z?cosB,

则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

sin28=sin专=坐，***。=

.•.Be(0,知,2Be(0,y),

.1.2B=1,解得

(2)若选择①：由正弦定理结合⑴可得

亚

bsmB1"

2

与c=4，b矛盾,故这样的△ABC不存在；

若选择②：由⑴可得

设△ABC的外接圆半径为R,

7T

则由正弦定理可得a=b=2Rsinq=R,

c=2Rsin牛=小凡

则周长为a+b+c=2R+小R=4+2小,

解得R=2,则〃=2,c=2小,

由余弦定理可得8C边上的中线的长度为

弋(2小)2+12—2X2小XlXcos巾；

若选择③：由⑴可得即a=6,

贝1S^ABC=^absinC=$X*=^^~,

解得。=小,

则由余弦定理可得5。边上的中线的长度为

y按+⑨2—2XZ?X^Xcos号

题型二正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点1三角形形状判断

例2在△ABC中，Y=siE枭，匕，。分别为角A,B,C的对边)，则AABC的形状为()

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

B

解析由cosB=l-2sin2^-,

.B1-cosB

符sin'］一2，

―。-a1―cosB

所以舌=~^~

即cosB=-

c

〃2+02一炉口

方法一由余弦定理得£=*

即a2+c2-b2=2a2,

所以/+62=02.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.

方法二由正弦定理得cos8=黑，

又sinA=sin(B+Q=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC—sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC=0,又sin3WO,

所以cosC=0,又角。为三角形的内角，

TT

所以C=5所以△A3C为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.

延伸探究将“于=sin2§”改为“%=旦，S+c+a)(b+c—0=3反"，试判断△A2C的

乙c乙sinDc

形状.

sinAa

解因为

sinB~

所以A*所以6=a

又3+c+〃)(b+c—a)—3be,

221

所以b+c—a—bc9

Z72+c2—be1

所以cosA==

2bc2bc2'

TT

因为Ae(o,n),所以A=§,

所以AABC是等边三角形.

思维升华判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A

+8+C=?i这个结论.

命题点2三角形的面积

例3(2022•沧州模拟)在①sinA,sinC,sinB成等差数列；②a：b：c=4：3：2；③6cosA

=1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积

的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在"BC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且。6亩4一$析2)+加出2

=csinC,c=1,?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解因为a(sinA—sinB)+加inB—csinC,

由正弦定理得a(a—b)+b2—c2,

即a2-\~b2—c2=ab,

所以cosC=F^/

又Cd(0,7i),

jr

所以c音

选择①：

因为sinA,sinC,sin5成等差数列，

所以sinA+sinB=2sinC,即a+b=2c=2,

由a2+b2—c2=a1+b2—1=ab,

得(〃+0)2—3次?=1,所以ab—1,

故存在满足题意的△ABC,

c1..「1、­兀小

oAABc=2flosinC='X1Xsin.

选择②：

因为4：。：c=4：3：2,

IT

所以A>B>C=y

这与A+B+C=TI矛盾，所以△ABC不存在.

选择③：

因为Z?cosA=l,

Z?2+1-a2

所以万2b=]，

得b2—l+a1=c2+a1,

冗

所以8=],此时△ABC存在.

又C=*所以A=*,

所以a—1Xtan

o3

缶i、j_1V3

所以Sc/^ABC——$.

思维升华三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S=[a6sinC=^ocsinB=；bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

命题点3与平面几何有关的问题

TT2冗

例4如图，在平面四边形ABC。中，已知4=5，B=y,AB=6.在AB边上取点£,使得

2jr

BE=1,连接EC,ED.若/CED=w，EC=巾.

BEA

(1)求sin/BCE的值；

⑵求CD的长.

解(1)在△BEC中，由正弦定理

BECE

知sinNBC£—sinB-

B==^,BE=1,CE=yfl,

妇

..BEsinB25

..smZBCE-CE-市—14

2K

(2)VZCEZ)=B=y,AZDEA=ZBCE,

cosZDEA=yj1—sin2ZDEA

=51—sii^N5c1一展=今a

4-

1•△A即为直角三角形，又A£=5,

・二八AE______5___r=

••ihL)—/cla-I----2*\/7.

cosZDEA5小v

14

在ACED中，

CD2=CE2+OE2—2CE£>EcosZCED

=7+28-2义6X2于义(一£)=49.

ACD=7.

【教师备选】

1.在△ABC中，已知层+尻―c2=",且2cosAsinB=sinC,则该三角形的形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

答案C

解析a2+b2—c2=ab,

.6Z2+Z?2~c21

,"cosC=—Tab-=》

又Cd(O,7i),

C=y

由2cosAsin3=sinC,

sinCC___/+12_〃2

得cosA==

2sinB2b―2bc-

TT

b1=d1,即b=a,又C=y

故三角形为等边三角形.

2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tzcosC—ccos(B+C)—

3cos(A+B)

(1)求tanC；

(2)若c=3,sinAsin3=居,求△ABC的面积.

解(1):QCOSC—CCOS(B+C)

_b

=-3cos(A+8)'

flcosC+ccosA='b

3cosC

由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=^^^,

・-一」_csin8

..sin(A+C)-3cosc，

sin5

即sinB—

3cosC9

又,.•sin8W0,

(2)若c=3,由正弦定理」4=—%=";,

v7sinAsinBsinC

彩a_b_3_崂

^sinA-sinB~2yj2~4'

3

第—名号

a—4sinA4,bh—96qsi.nB,

,随..9^/2,162...

网」ab=~^~smA--sin6D=^~smAsmBD

16216_

16VX27-6A,

11

••SZ\ABC=］。匕sinC*—X6X当=2皿

思维升华平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，

通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题

时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再

利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.

跟踪训练2(1)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c—acosB=

(2a-b)cosA,则△ABC的形状为()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

答案D

解析因为c—acosB=(2a—b)cosA,

C=7T-(A+B),

所以由正弦定理得sinC-sinAcosB

—2sinAcosA—sinBcosA,

所以sinAcos8+cosAsinB—sinAcosB

—2sinAcosA—sinBcosA,

所以cosA(sinB-sinA)=0,

所以cosA=0或sinB=sinA,

TT

所以或B=A或5=兀一A（舍去）,

所以△A3C为等腰或直角三角形.

2

⑵（2022•郑州模拟）如图，在△ABC中，AB=9,cosB=?点。在BC边上，AD=7,ZADB

为锐角.

A

BDC

①求BD-,

②若/BAD=/D4C,求sinC的值及CD的长.

解①在△ABO中，由余弦定理得

AB2+BD2-2.ABBDcosB^AD2,

整理得EM—1280+32=0,

所以80=8或BD=4.

16+49-812

当BD=4时，cosZADB

2X4X771

7T

则不符合题意，舍去;

64+49-812

当BD=8时，cos/ADB=

2X8X779

TT

则符合题意，

所以30=8.

②在△A3。中，

AB2+AD2—BD292+72—82

cos/BAD=2AB-AD=2X9X7

11

21,

所以sinZBAD=~^~,

又sinZADB=^~^,

所以sinC=sin(ZADB-ZCAD)

=sin(NAOB—N3AO)

=sinZADBcosZBAD—cosZADBsinZBAD

=3^5X11_28^5

-7X217X21

_17下

—147，

CDAD

在△AC。中，由正弦定理得/0公八二；^/，

sinZCADsinC

口HAD./78A/5

即co=^Tc-sinZCAP=n^x2i

147

392

=~n-

课时精练

础保分练

。2+。2一。2

1.AABC的内角A,B,C的对边分别为〃"，c若△ABC的面积为————，则。等于（）

,7171

A.2B.§

_71一兀

C.4D6

答案C

解析根据题意及三角形的面积公式知

1tz*12+Z?2—c2

呼Z?sinC=---------，

次+按一

所以

sin2ab-=cosC,

jr

所以在△ABC中，C=[

2.（2022・北京西城区模拟）在△ABC中，C=60。，a+2b=8,sinA=6sinB,则c等于（）

A.^35B.V31

C.6D.5

答案B

解析因为sinA=6sinB,

由正弦定理可得a=66,

又a+2b=8,所以a=6,6=1,

因为C=60。，

所以（^—c^+b2—2abcosC,

即C2=62+12-2X1X6X1,

解得c=yf31.

3.（2022•济南质检）已知△ABC的内角A,B,C对应的边分别为〃，b,c,〃=4,cos2A=

7

一石，则△ABC外接圆半径为（）

53

A.5B.3C，2D.2

答案C

7

解析因为cos2A=一不，

7

所以1—2sin2A=一石，

4

解得sinA=±予

因为A£（0,兀），

4

所以sinA=亍

n4

又〃=4,所以2R=i_7=7=5，

sinA4

5

所以R=|.

4.（2022•河南九师联盟联考）在△ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,若c=24sin2A

—3sin28=]sinAsinC,则角。等于（）

兀71

A.TB.T

o3

712兀

C，2D.亍

答案B

解析\*sin2A—3sin2B=^sinAsinC,

由正弦定理可得。2—3。2=%小

■:c=2b,

=

••—3羚'~^i，2b=ab,

层+建一。2m一3b11

由余弦定理可得cosC—

2ab2ab—2'

71

V0<C<K,・・・C=§.

5.（多选）（2022•山东多校联考）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,26sinA=^acos2,

AB=2,AC=2。为BC的中点，E为AC上的点，且BE为NABC的平分线，下列结论

正确的是（）

A.cos/BAC一呼

B.SAABC=3邓

C.BE=2D.AD=y15

答案AD

解析由正弦定理可知

2sinBsinA=，^sinAcosB,

VsinA^O,

2sinB=yJ~5cosB.

又sin2B+cos2B=1,

；.sinB=坐,cos3=|,

在△ABC中,

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,

得5c=6.

A项,

AB2+AC2~BC24+24-36

cosZBAC=~—=2义2又2水

6，

B项，SAABC—^AB-BCsinBX2X6Xj—2^5;

4FAR1

C项，由角平分线性质可知前=加=§,

A/6

・・*石=拳

BE2=AB2+A£2-2AB-A£COSA=4+|-2X2X^X15

~29

V30

：.BE=

2，

D项，在△A3。中，

AD2^AB2+BD2-2ABBDcosB

=4+9—2X2X3><|=5,

;.AD=4

6.（多选）（2022•张家口质检）下列命题中，正确的是（）

A.在△A2C中，A>B,则sinA>sinB

B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cos2恒成立

C.在△ABC中，若acosA=bcosB,则△ABC必是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若8=60。，b2=ac,则△ABC必是等边三角形

答案ABD

解析对于A,由A>8,可得a>6,

利用正弦定理可得sinA>sin2,正确；

对于B,在锐角△ABC中，A,8G（0,D，

71

.71,71-八

sinA>sinlI—cosB,

；・不等式sinA>cosB恒成立,正确；

对于C,在△ABC中，由acosA=bcos8,

利用正弦定理可得sinAcosA—sinBcosB,

sin2A=sin2B,

VA,Be（0,7i）,

.\2A—2B或2A=兀-25,

C.A—B或A+B—^

・・・△ABC是等腰三角形或直角三角形，

・•・是假命题，错误；

对于D,由于3=60。，b2=ac,

由余弦定理可得^—ac—c^+^—ac,

可得（〃一c）2=0,解得Q=C,

可得A=C=3=60。，故正确.

7.（2022・潍坊质检）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是。，b,c,且b=3,a-c=2,

2死,

4=至.则AABC的面积为.

答案呼

解析由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA,

,:b=3,a—c=2,A=与，

.•.（c+2）2=32+c2—2X3cX（一£|,

解得c=5,

则△ABC的面积为

S=^bcsinA=1,X3X5X坐.

8.（2021•全国乙卷）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为B=60°,

a2+c2=3ac,则b—.

答案2\[2

解析由题意得S\ABC=%csinB=乎〃贝U〃。=4,所以〃2+02=3〃。=3*4=12,所以

/?2=tz2+c2—2tzccosB=12—2X4X^-=8,贝!j匕=2W（负值舍去）.

,V3

9.（2022・南平模拟）在①2ccos3=2〃一。，②△A8C的面积为力-（层+属一理），③cos2A—cos2c

=sin2B—sinAsinB,这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.（如果选择

多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）

已知△A5C的内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,且________.

（1）求角。的大小；

（2）若c=2且4sinAsinB=3,求△ABC的面积.

解（1）若选条件①2ccosB=2a—b,

.tz2+c2-Z72

贝I2c-k—2a~b,

lac

即a1+b2—c2=ab,

所以cosC=T，

IT

又因为C£（0,7i）,所以C=,

若选条件②AABC的面积为害（层+尻—02）,

1

则1层+扶一。2）=呼加inC,

即sinC=，§cosC,

所以tanC=y[3,

又因为Ce(O,7i),

冗

所以C=y

若选条件③cos2A—cos2C=sin2B—sinAsinB,

则(1—sin2A)—(1—sin2Q=sin2B—sinAsinB,

即sin2A+sin28—sin2c=sinAsin8,

222

即a-\~b—c=ab9

所以cosC=T，

jr

又因为C£(0,7i),所以C=§.

(2)因为c=2,

济”〃bc2___4_

sinAsinBsinC.兀小'

sin3

所以sinA=4a,sinB=4b,

又因为4sinAsin3=3,所以ab=4,

AABC的面积为:“AsinC—y[3.

10.(2022•湘豫联盥联考)如图，在△ABC中，N3=60。，A5=8,AO=7,点。在BC上,

且cosZADC—

⑴求BD；

(2)若cosNCAD=^,求△A5C的面积.

解(1)・.・cosNA03=cos(兀一ZADQ

=—cosZA£)C=­y.

在△A3。中，由余弦定理得

82=B£>2+72-2BZ)-7cosZA£>B,

解得BD=3或8。=一5(舍).

4\回1

⑵由已知sinNADC=r-,sinNCAD=1

1113

1-

4A/3XV3-X---

AsinC=sin(ZADC+ZCAD)=^~2+-7214

由正弦定理得

7X1

ADsinZCAD=l^=49

“sinC1313'

14

.•衣=3+瑞噜

•q=_1叉区义理X立=卫负回

••JAABC2Kd“J3K2\3,

D技能提升练

11.在AABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AA3c的面积为S,且4s

=（〃+。）2—。2,则5皿住+0等于（）

答案C

解析因为S=^absinC,

«2+Z?2—c2

cosC=---7T~!------

2ab

所以2s=〃Z?sinC,a1+b2—c2=2abcosC.

又4S=(a+by-c2=a2+b2~c2+2ab,

所以2absinC=2abcosC+2ab.

因为abNO,所以sinC=cosC+l.

因为sin2C+cos2C=l,

所以(cosC+l)2+cos2C—1,

解得cosC=-1(舍去)或cosC=0,

所以sinC—l,

则sinR+0=^(sinC+cosC)=坐.

12.(2022.焦作模拟)在△ABC中，内角A,B,C的对边〃，b,c依次成等差数列，ZXABC

的周长为15,且(sinA+sin8)2+cos2c=1+sinAsin3,贝!JcosB等于()

1311

AAR

入14n,14

号D.—l

答案B

解析因为(sinA+sinB)2+cos2C

=l+sinAsinB,

所以sin2A+sin2B+2sinA-sin8+1—sin2c

=l+sinAsinB,

所以由正弦定理得42+02—，=—",

又“，b,。依次成等差数列，AABC的周长为15,

即〃+c=20,Q+〃+C=15,

a2+b2—c2=~ab,

由＜a+c=2b,

、〃+6+c=15,

a=3,

解得r=5，

、c=7.

〃2+。2一按32+72-52]]

C0SB=~狼~=2X3X7=百

3兀

13.(2022•开封模拟)在平面四边形ABCD中，BC±CD,ZB=y,AB=3小,AD=2A,

若AC=3邓,则CD为.

答案1或5

解析因为在AA3c中，N3=],AB=3p,

AC=34,

由正弦定理可得黑=.

smBsinZACB

七2,，…AB.sinB3小X*小

所以smZACB-AC~3y[5~5，

又BCJ_CD,所以/ACB与/ACD互余，

J5

因此cosZAC£)=sinZACB=^~,

在△AC。中，AD=2V10,AC=3小,

由余弦定理可得

J5A(y+CD2~AD25+CD2

cosZACD=^~=-------------------------

2ACCD~6yj5CD,

所以Cr>2-6C£)+5=0,

解得CD=1或CD=5.

14.(2022・大连模拟)托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就

是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘

积.已知凸四边形ABC。的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC,8。是其两条对角线，AB=

AD,ZBAZ)=120°,AC=6,则四边形ABC。的面