贵州省2023-2024学年高三年级下册第一次模拟考试数学试题（含答案解析）

贵州省安顺市第二高级中学2023-2024学年高三下学期第一次

模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.复数会了的实部为（）

A.--B.-C.--D.1

4422

2.已知集合4={*€叫了＜4},B=[x\x=n2-l,neA\,P=AcB,则集合尸的子集共有（）

A.2个B.3个C.4个D.8个

3.记S“为等差数列{风}的前兀项和，若$5=15,则为=（）

A.-10B.-3C.10D.3

4.已知向量4与b的夹角为60。，且。=(1,J5),网=1,则K-3〃=()

A.币B.而C.4D.2币

5.某城市运动会的组委会安排甲、乙等5名志愿者去足球、篮球、排球、乒乓球4个比赛场馆

从事志愿者活动，每人只去一个场馆，若排球场馆必须安排2人，其余场馆各安排1人，则

不同的方案种数为（）

A.48B.52C.60D.68

6.已知在正四面体。4SC中，OA=1,则直线与平面03c所成角的正弦值为（）

A.正B.|C.且D.如

4233

7.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐

渐减少.已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25g/m3,首次改良工艺后排放

的废水中含有的污染物数量为2.21g/m3,第"次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量

5满足函数模型5=%+5-RS。”""aeR,〃eN*）,其中为为改良工艺前排放的废水中

含有的污染物数量，片为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，〃为改良工艺的

次数.假设废水中含有的污染物数量不超过0.65g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的

废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：1g2。0.30,1g3«0.48）

A.12B.13C.14D.15

8.已知抛物线T：y2=2px（p>0）的焦点为R直线/交抛物线T于A,B两点,M为线段AB

....\MN\

的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N,若=则京的最大值为

（）

A.1B.变C.1D.-

223

二、多选题

9.设函数=?一号+3x,贝U（）

A.“X）有1个极大值点

B./（力有2个极小值点

C.x=-1是〃x）的极大值点

D.x=g是〃尤）的极小值点

i2

10.已知圆G:x?+>2-2尤—2y—2=。，|§|C2:x+y—8x—10y+32=0,则下列选项正确的

是（）

A.直线CG的方程为4n=0

B.圆C1和圆CZ共有4条公切线

C.若P,。分别是圆G和圆Cn上的动点，则|PQ|的最大值为10

D.经过点G，G的所有圆中面积最小的圆的面积为弓25兀

11.已知函数〃x）=sin（2x+e）（M<]],若把函数的图像向右平移；个单位长度后

得到的图像关于原点对称，则（）

71

A.（p=一

3

B.函数〃x）的图象关于点对称

试卷第2页，共4页

jrjr

c.函数〃尤)在区间-5,-正上单调递减

D.函数在:7T苫37r上有2个零点

三、填空题

12.将棱长为4的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为.

13.已知cos[tz-f-sina=；,贝ljcos(2e+.

22

14.已知椭圆T:会+g=l(a>6>0)的左、右焦点分别为片，鸟,P为T上一点，且

4b2

4即=60,若|p凰|p周=三，△刊笆的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆T

的离心率0=.

四、解答题

15.已知在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,J.asinA-csinC=(a-&)sinB.

⑴求C；

⑵求sin?A+sin2B的最大值.

16.如图，已知在圆柱。。|中，A,8,C是底面圆。上的三个点，且线段3C为圆。的直径,

A，耳为圆柱上底面上的两点，且矩形山珥4,平面ABC,D,E分别是AA，C4的中点.

4

EW

⑴证明：DE〃平面A3C.

(2)若耳BC是等腰直角三角形，且平面C8g,求平面480与平面84c的夹角的正弦

值.

22

17.已知双曲线C:会-方=l(a>0,6>0)的一条渐近线方程为严耳，右焦点/到渐近线的

距离为由.

⑴求双曲线c的标准方程；

⑵过点厂的直线/与双曲线C交于M,N两点，A(-LO).求AM.AN的值.

18.某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为

提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程

票的人数分别为36、60和24.

(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随

机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.

(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买

回程票的相(根>2且加eN*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的

2人的购票类型相同，则该组标为A,否则该组标为8,记询问的某组被标为8的概率为p.

(i)试用含优的代数式表示p；

(ii)若一共询问了5组，用g(p)表示恰有3组被标为8的概率，试求g(0的最大值及此

时m的值.

19.已知函数/(x)=lnx-ax+l,aeR.

(1)讨论了("的单调性；

(2)若Vx>0,/(x)Vxe2£-26恒成立，求实数。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】根据复数的运算法则，化简得至i

(l+i)44

【详解】根据复数的运算法则，求得;==4一;i，

(1+1)—Z+Z144

所以复数方三的实部为一，.

(1+1)4

故选：A.

2.C

【分析】首先用列举法表示出集合A、B,即可求出集合尸，再求出其子集个数.

【详解】因为A={xeN|x<4}={0,1,2,3},又2={尤卜="-1,"e4},

所以3={-1,0,3,8},所以P=Ac3={0,3},则集合尸的子集共有22=4个.

故选：C

3.D

【分析】根据题意，由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果.

【详解】$5=亚2=5%=15,即。3=3.

2

故选：D

4.A

【分析】由题意和平面数量积的定义可得Q6=l，结合

\a-3b\=yl(a—3b)2=yja2-6a-b+9b2计算即可求解.

【详解】由题意可得同="『+(石<=2,a-b=\a\\b\cos<a,b>=2xlx^=l,

所以|a一3。|=3b丫=y/d2-6a-b+9b2=V4-6xl+9xl=近.

故选：A

5.C

【分析】先从5人中安排2人去排球场馆，然后剩下的3人安排去余下的3个场馆，按分步

计数原理相乘可得答案.

【详解】先从5名志愿者中选出2人去排球场馆，有C；=10种选择，

将剩下的3名志愿者分别安排到足球、篮球、乒乓球3个比赛场馆，有A；=6种选择，

答案第1页，共12页

则共有10x6=60种不同的方案.

故选：C.

6.D

【分析】设H为三角形OBC的中心，取BC中点P,连接OP,根据正四面体的性质得到AHJL

2

平面O8C,B.OH=-OP,NAO”即为直线与平面QBC所成角，再由锐角三角函数计

算可得.

【详解】如图，在正四面体Q4BC中，设H为三角形。BC的中心，取BC中点尸，连接。尸，

2

由正四面体的性质可知AH_L平面03C,且07/=§0尸，则440”即为直线。4与平面03c

所成角，

因为。4=1,贝l」8P=CP=g,

i^op=yloc2-cp2=—,i^oH=-op=—,

233

由勾股定理得AH=ylAO2-OH2=迈,

3

^.sinZAOH=—=—,

AO3

即直线。4与平面OBC所成角的正弦值为逅.

3

故选：D.

7.D

【分析】由题意，根据指数幕和对数运算的性质可得＜,=2.25-004x3。。"-,由/40.65,解

不等式即可求解.

【详解】由题意知％=2.25g/n?,z;=2.21g/m3,

当〃=1时，「%+储-始x3。如，故3。如=1,解得/=-0.25,

答案第2页，共12页

所以5=2.25-0.04x3°g("f.

U40

由「W0.65,得3。25(1)240,即0.25(〃—1)2系刀

1g3

得让汽浮+…33,—

所以〃215,

故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次.

故选：D

【分析】设|A/卜m，忸同=〃，如图，根据抛物线的定义和梯形的中位线的性质可得

|MN|=g4，结合基本不等式的应用即可求解.

【详解】设|AF|=m,\BF\^n,因为=所以班

所以|4却=，疗+荷,过点A,B分别作AG,垂直准线于点G,W,

由抛物线的定义可知|A同二MG，忸尸卜忸w|,

上小田弘士八心I\AG\+\BW\\AFU\BF\m+n

由梯形的中位线可知\MN\=J―U——J―U―।=-----.

11222

因为〃+/22rHn,所以2（疗+〃2）22a〃+/+〃2=（小+〃）2,

当且仅当加二儿时，等号成立，所以|AB|=’苏+"二夜|MN|

所以\MN为\丁J2，故\房MN的\最大值为孝、历.

故选：B

9.ABD

【分析】求出函数的导函数:（x）=（x-D（尤+君）（尤-百），即可得到函数的单调区间与极

值点.

答案第3页，共12页

【详解】函数〃x）=《-至+3x的定义域为R,

v7432

且尸（无）=V—A：?—3x+3=（彳_0（彳2_3）=（工_]乂彳+6）（彳_6）,

所以当x<-6或l<x<退时/'（力<0,

当-g<x<l或x>6时用X）>0,

所以〃x）在卜8,-括），（1,6）上单调递减，在卜上,1）,（班,+8）上单调递增，

所以『（"在》=-有处取得极小值，在x=l处取得极大值，在x=6处取得极小值.

故选：ABD

10.ACD

【分析】根据题意，求得圆G，c2的圆心坐标和半径，结合直线方程的形式，圆与圆的位置

关系的判定，以及圆的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意得，圆C|：（x-l）2+（y-l）2=4的圆心G（l,l）,半径钎2,

圆。2：（XT）?+（y—5）2=9的圆心G（4,5）,半径马=3,

对于A,直线GC2的方程为即4x-3y-l=0,所以A正确；

5-14-1

对于B,因为|。©|=而二了百丁=5且/马=2+3=5,可得6。2|=4+4，

所以圆C1与圆C?外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误；

对于C,因为16c21=5,所以的最大值为|£6|+石+2=10,所以C正确；

对于D,当/夕21为圆的直径时，该圆在经过点C-C2的所有圆中面积最小，

此时圆的面积为d。]=作兀，所以D正确.

故选：ACD.

11.BCD

【分析】根据题意，由条件可得夕=-三，即可得到函数/（尤）的解析式，再由正弦型函数的

性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】因为/■[x-g]=sin|2卜：一"|[+夕=sin12x-g7r+，的图像关于原点对称，

答案第4页，共12页

9Jr

贝Ij——兀+0=E,左£Z解得9=不兀+配,左£Z,又冏＜不，

J乙

则上=-1时，＜p=~,所以〃x)=si“2尤-;J,故A错误;

因为/'[-3=sin(-g兀一3=sin(-兀)=0,所以/⑺的图像关于点[一夕0卜寸称，故B正

确;

ITJT7T47T47r

当时，则2%一不£--71,--,且函数y=sinx在一鼻兀,一不单调递减，故C

乙j.乙Jj乙j乙

正确；

令/(x)=sinj2x-']=。，gp2x~—=k7i,{keZ),解得％=/+"兀，左cZ,又xe—,

\3J362-42_

27

贝ljk=1,兀=彳兀，左=2,%=:兀共两个零点，故D正确；

36

故选：BCD

32兀

12.~3~

【分析】由题意可知，球为正方体的内切球，即可求出球的半径可解出球体体积.

【详解】根据题意可知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体棱长,

故球的半径为2,所以球的体积为：?x23=—.

33

故答案为：子32兀.

7

13.

9

【分析】根据题意，由余弦的和差角公式展开可得cos[a+£

再由二倍角公式，即可

得到结果.

【详解】因为cos|a--j-sinor=—,整理得cosicos'+sinasinsina=—，

V6J3663

所以2^cosa—」sina=，，所以cosja+g]=，，

223I6J3

所以cos(2a+|^=2c°s2[a+1]-l=2x[-l=-5.

7

故答案为：

【分析】根据题意结合椭圆的定义，利用等面积法可得方程S怔=杷〃+2少=与

由

答案第5页，共12页

此可得〃—C,再由正弦定理可得H=i士，又根据△尸耳耳的外接圆面积是其内切圆

面积的25倍，可得R=5r,由此列出方程化简即可得到齐次式7/+2a-5/=0,即

7e2+2e-5=0解方程注意e>0即可得到结果.

【详解】

根据已知条件有，有正弦定理面积公式有：

外%=：「周归与卜缶/甲有，又|尸/的尸词=(,

NJ

所以5切，丝x国回，

可巡2323

设△尸片耳的外接圆半径为R,内切圆半径为「，

因为尸为椭圆上一点,则归司+|尸局=2°,又由周=2c,

以△尸片鸟的三边为底，工内切圆半径为高的三个三角形面积和等于△尸£鸟面积,

所以……)T，解得一",

2c4辰解得R*

由正弦定理有:

sinZ^PTs-3

又△尸片鸟的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，即71代=25口2,即氏=5厂,

所以友£=§/即2〃c+2c2=5人2=5(/一°2),

33(Q+C)\7

即7c2+2ac—5/=0,两边同除以〃2,得7f+2-5=0,又e>0,解得

故答案为：y

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等面积法求出厂=9”，再利用正弦定理求出

3(。+。)

答案第6页，共12页

尺=£竺，结合已知条件得到关于。、c的齐次式求解e.

3

一71

15.d)C=-;

⑵2

【分析】(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.

(2)由(1)的信息结合正弦定理边化角，再利用基本不等式求解即得.

【详解】(1)在ABC中，由asinA-csinC=(a-/?)sin3及正弦定理得/=仍一》2+c2,

BP^2_C2ZJ由余弦定理得COSC=""一。=工,而0<。<兀，

+/?=6/?

2ab2

所以。=三.

3

(2)由(1)知，a2+次一c?=ab，由正弦定理得si/A+sir^-sinAsinBusir?C=—,

4

而sinA>0,sin8>0,因此sinAsinB<g(sin2A+sin2B),当且仅当sinA=sinB时取等号，

313

于是sin?A+sin?5——<—(sin2A+sin2B),解得sin2A+sin2B<—,

422

TVTT

在一ABC中，C=—,由sinA=sin3,得A=3=§,

jr3

所以当A=5=1时，5皿24+5皿25取得最大值；.

16.(1)证明见解析

⑵逅.

3

【分析】(1)运用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理证明线面平行;

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】(1)如图，取B片的中点尸，连接。尸，EF,

答案第7页，共12页

因为。，E,F分别为AA，B(,2瓦的中点，

所以£＞尸AB,EF//BC.

又因为DPa平面ABC,EFa平面ABC,/Wu平面ABC,BCu平面ABC,

所以£)F〃平面ABC,跖P平面ABC.

因为EF=F,DF,EFu平面DEF,

所以平面。EF〃平面ABC.

又因为DEu平面DEF,所以DE〃平面ABC.

(2)如图，连接E。，AO.因为E,。分别为BC，5c的中点，所以£。〃8月，且=

又因为。为A4的中点，所以且ZM=；阴，

所以EO=D4,且EO〃ZM,所以四边形AOED为平行四边形，

所以DE〃AO.

因为DE2平面CBBj,所以AO_L平面CBB1.

又因为BCu平面CBB1,所以AO1BC,可得AB=AC.

因为是等腰直角三角形，所以又矩形44胡，平面ABC,可得平

®ABC,

以A为原点，以AB,AC,441分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

设3月=BC=2,则AB=AC=JL可得用（也,0,2）,C（0,V2,0）,A（0,0,2）,2（忘,0,0）,

则44=（0,。,。），4。=（0,0,-2）,BC=（-V2,V2,0）,BBi=（0,0,2）.

/、n-A,B,=0

设平面481c的法向量为〃=（x,y,z）,贝",

n-AtC=0

答案第8页，共12页

y/2x=0厂

即■1-，取y=可得x=0,z=l,所以〃=(0,v2,1).

J2y-2z=0

m-BB]=0

设平面54c的法向量为加=(a,b,c),则＜

m-BC=0

2c=Q

即取a=l,可得〃=1,c=0,

-y/2a+yflb=0

所以m=(1,1,0).

.o石

cosn,m=/:——.=——,

71+1+OXVTFI3

所以平面AB.C与平面BB、C的夹角的正弦值为好.

3

17.⑴/-上=1

3

⑵。

【分析】(1)根据题意，结合双曲线的几何性质，求得。，瓦c的值，即可求解；

(2)当直线/的斜率不存在时，BP/：x=2,求得M(2,3),N(2,-3),得至(1巾济=0；

4%24k2+3

当直线/的斜率存在时，设/：y=/x-2),联立方程组求得占+9=；匚，占9=结

k-3k-3

合％%=犷占彳2-2/(玉+超)+4公，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解.

22

【详解】⑴解：由双曲线C:1-马=1的渐近线方程为y=可得

aba

又由焦点b(c,0)到渐近线的距离为右，可得"==6可得。=2,

2

又因为02=/+/2,可得。=1/=石，所以双曲线的方程为炉-二=1.

3

(2)解:由(1)知。=2,可得尸(2,0),

2

当直线/的斜率不存在时，即/:x=2,将x=2代入/一]_=i,可得％=3或%=-3,

不妨设M(2,3),N(2,-3),

又由A(—l,0),可得AM=(3,3),3=(3,-3),

所以AM-M=3x3+3x(-3)=0；

答案第9页，共12页

当直线/的斜率存在时，即/：'=左（彳-2）,

y=k（x-2）

联立方程组I2/，整理得（3）/+4左2%-4/一3=0,

x---=1

I3

22

设,%）,N（X2，%）,则A=（4左2）+4（3-k）（4/+3）＞0,

4k24k2+3

且可+々=正与，%逮2=r_3，

22

贝!Jyxy2=左2（玉_2）（々-2）=kxxx2-2^（x1+x2）+4k2,

且AM=（玉+l,y）,4V=（々+1,%），

贝U=（玉+1）（入2+1）+%%=西%2+（%+%2）+1+%%

2

=x1x2+（石+/）+1+kx1x2一2左之（％+%）+4归2

=(1—2k2)X]X2+(k2+l)(%i+9)+4k2+1=

2

=(1—2左2).与4^±+32+(F+i)4〃.2f^+4Z2+i

)t2-3k2-3

422

4k之一8k&+4左2+3k2+4)t+3+4V-12^+^-3八

=z=0,

k2-3

综上可得：AMAN=O.

【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值与定值问题的解答策略与技巧：

1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、

图形，以及几何性质求解；

2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数

的最值(或值域)，常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤

导数法等，要特别注意自变量的取值范围.

18.⑴2

10

(2)(i)p=2---；(ii)〃z=3时，g(p)=&^.

m2+3/M+2v7max625

【分析】(1)由古典概型结合组合数公式即可求得答案；

(2)(i)由古典概型结合对立事件的概率公式即可求得答案；

(ii)由"次独立重复试验的概率公式结合导数知识即可求解.

【详解】(1)因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3:5:2,所以这10

答案第10页，共12页

35

人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：l°x而=3，10x—=5,

10x2=2,

10

C2c23

故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率P=胃=旨.

(2)(i)从小+2人中任选2人，有C工种选法，其中购票类型相同的有C：+C；种选法,

C2+C2m2—m+24m

则询问的某组被标为5的概率

m2+3m+2

(ii)由题意，5组中恰有3组被标为5的概率

g(P)=C；p3(l-pf=10p3(l_2p+p?)=10(p3-Zp，+p5),

所以g'O)=10(3p2-8p3+5；/)=i0p2s_D(5p_3),0<p<l,

所以当pe(o,|)时，g'(p)>0,函数g(p)单调递增，

当时，g'(p)<0,函数g(p)单调递减，

所以当P=]时，g(p)取得最大值，且最大值为g]£|=C；x[[x[]-g：=|||

4根3

由〃=二一;---=-,心2且mEN*,得m=3,

m2+3m+25

当机=3时，5组中恰有3组被标为8