2024届甘肃省渭源县中考数学最后一模试卷含解析

2024届甘肃省渭源县中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位。C：-6,-1,x,

2,-1,1.若这组数据的中位数是-1,则下列结论错误的是（）

A.方差是8B.极差是9C.众数是-1D.平均数是-1

2.下列运算正确的是（）

A.a2*a3=a6B.a3+a3=a6C.a2|=a2D.（—a2）3=a6

3.提出“金山银山，不如绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，空气质量明显好转，将惠及13.75亿中国人，这

个数字用科学记数法表示为（）

A.13.75x106B.13.75X105C.1.375xl08D.1.375X109

4.“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）

A.确定事件B.必然事件C.不可能事件D.不确定事件

5.如图,△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得小ABF,连接EF交AB于H,有如下五个结论①AE,AF；

②EF：AF=0：1；®AF2=FH«FE；@ZAFE=ZDAE+ZCFE@FB：FC=HB：EC.则正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

,------1

6.方程(k-1)x2-JT工X+1=0有两个实数根，则k的取值范围是().

A.QIB.k<lC.k>lD.k<l

7.下列运算中，正确的是()

A.(ab2)2=a2b4B.a2+a2=2a4C.a2*a3=a6D.a64-a3=a2

8.在0,n,-3,0.6,0这5个实数中，无理数的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线.不考虑空气阻力，足球距离地

面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

t01234567・・・

h08141820201814・・・

9

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线/=—；③足球被踢出9s时落地；④

2

足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

10.平面直角坐标系中的点P（2-m,-m）在第一象限，则m的取值范围在数轴上可表示为（）

2

A.TX1：-1o

1?

cii-ni।、

-1012--161

11.已知3x+j=6,则xy的最大值为（）

A.2B.3C.4D.6

-叵的绝对值是（）

12.

3

-逑B.-巫C.显D.还

A.

2332

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.在平面直角坐标系中，已知，A（20,0）,C（0,-1）,若尸为线段04上一动点，则CP+ga尸的最小值为

14.函数y=41M中，自变量x的取值范围是.

x+2

15.如图，在RtAABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10,贝！）CE=

17.如图，线段AB是。0的直径，弦CDJ_A8,AB=8,NCA3=22.5。,则的长等于.

18.已知一组数据1,2,x,2,3,3,5,7的众数是2,则这组数据的中位数是

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次

用字母A,B,C表示这三个材料），将A,B,C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在

桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按

各自抽取的内容进行诵读比赛.小礼诵读《论语》的概率是；（直接写出答案）请用列表或画树状图的方法求

他俩诵读两个不同材料的概率.

20.（6分）如图，。。是△ABC的外接圆，A8为直径，OD〃BC交OO于点、D,交AC于点E,连接AO、BD、CD.

（1）求证：AD—CDi

(2)若48=10,OE=3,求tanNDBC的值.

21.（6分）如图，在AABC中，NC=90。，BC=4,AC=L点尸是斜边A3上一点，过点尸作交边AC或

5c于点M.又过点尸作AC的平行线，与过点M的尸M的垂线交于点N.设边AP=x,A与△A5C重合部分

图形的周长为y.

（1）AB=.

（2）当点N在边5c上时，x=.

（1）求y与x之间的函数关系式.

（4）在点N位于3c上方的条件下，直接写出过点N与AABC一个顶点的直线平分AABC面积时x的值.

22.（8分）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A,B,C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种

颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A,C两个区域所涂颜色不相同的概率.

23.（8分）庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲，乙两种T恤共400件，其每件的售价与进货量相（件）之间的

关系及成本如下表所示:

T恤每件的售价/元每件的成本/元

甲-0.1m+10050

-0.2m+120(0<m<200)

乙60

^^+50(200<m<400)

m

（1）当甲种T恤进货250件时，求两种T恤全部售完的利润是多少元；若所有的T恤都能售完，求该商店获得的总

利润V（元）与乙种T恤的进货量x（件）之间的函数关系式；在（2）的条件下，已知两种T恤进货量都不低于100

件，且所进的T恤全部售完，该商店如何安排进货才能使获得的利润最大？

24.（10分）已知：如图，在半径为2的扇形A08中，NAO5=90°°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA

（2）若E是弧AB的中点，求证：BE^=BO・BC;

（3）联结CE,当ADCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长.

3Y+1

25.（10分）解不等式^——3>2%-1,并把解集在数轴上表示出来.

2

-4-3-2-10~1~2~34>

26.(12分)某工厂去年的总收入比总支出多50万元，计划今年的总收入比去年增加10%,总支出比去年节约20%,

按计划今年总收入将比总支出多100万元.今年的总收入和总支出计划各是多少万元？

27.(12分)“不出城郭而获山水之怡，身居闹市而有林泉之致”，合肥市某区不断推进“园林城市”建设，今春种植了

四类花苗，园林部门从种植的这批花苗中随机抽取了2000株，将四类花苗的种植株数绘制成扇形统计图，将四类花苗

的成活株数绘制成条形统图.经统计这批2000株的花苗总成活率为90%,其中玉兰和月季的成活率较高，根据图表中

的信息解答下列问题：扇形统计图中玉兰所对的圆心角为,并补全条形统计图；该区今年共种植

月季8000株，成活了约株；园林部门决定明年从这四类花苗中选两类种植，请用列表法或画树状

图求恰好选到成活率较高的两类花苗的概率.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、A

【解析】

根据题意可知x=-l,

平均数=(-6-1-1-1+2+1)+6=-1,

•数据-1出现两次最多，

.••众数为-1,

极差=1-(-6)=2,

方差=工[(-6+1)2+(-1+1)2+(-1+1)2+(2+1)2+(-1+1)2+(1+1)2]=2.

6

故选A.

2、C

【解析】

根据同底数塞相乘，底数不变指数相加；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数塞相除，底

数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解.

【详解】

a2-a3=a5,故A项错误；a3+a3=2a3,故B项错误;a3+a3=-a6,故D项错误，选C.

【点睛】

本题考查同底数塞加减乘除及乘方，解题的关键是清楚运算法则.

3、D

【解析】

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axion,其中n为整数，据此判断即可.

【详解】

13.75亿=1.375x109.

故答案选D.

【点睛】

本题考查的知识点是科学记数法，解题的关键是熟练的掌握科学记数法.

4、D

【解析】

试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，

故选D.

考点：随机事件.

5、C

【解析】

由旋转性质得到△AFB丝Z\AED,再根据相似三角对应边的比等于相似比，即可分别求得各选项正确与否.

【详解】

解：由题意知，AAFB丝4AED

AAF=AE,NFAB=NEAD,ZFAB+ZBAE=ZEAD+ZBAE=ZBAD=90°.

.\AE±AF,故此选项①正确；

；.NAFE=NAEF=NDAE+NCFE,故④正确；

•.•△AEF是等腰直角三角形，有EF:AF=0：1,故此选项②正确；

,/AAEF与4AHF不相似，

.\AF2=FHFE不正确.故此选项③错误，

VHB//EC,

/.△FBH^AFCE,

/.FB:FC=HB:EC,故此选项⑤正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练地应用旋转的性质以

及相似三角形的性质是解决问题的关键.

6^D

【解析】

当k=l时，原方程不成立，故k#l,

当k班时，方程(k-l)x2-JT工x+；=0为一元二次方程.

•.•此方程有两个实数根，

Ab2-4ac=(-VT:k)2-4x(k-l)x-=l-k-(k-l)=2-2k>0,解得：k<l.

4

综上k的取值范围是kVL故选D.

7、A

【解析】

直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则和同底数塞的乘除运算法则分别分析得出答案.

【详解】

解：A、(ab2)2=a2b3故此选项正确；

B、a2+a2=2a2,故此选项错误；

C、a2.a3=a5,故此选项错误；

D、a6^a3=a3,故此选项错误；

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和同底数幕的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键.

8、B

【解析】

分别根据无理数、有理数的定义逐一判断即可得.

【详解】

解：在0,n,-3,0.6,应这5个实数中，无理数有小正这2个，

故选B.

【点睛】

此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.如7T,爬,

0.8080080008...(每两个8之间依次多1个0)等形式.

9、B

【解析】

试题解析：由题意，抛物线的解析式为尸ax(x-9),把(1,8)代入可得a=-1,.R=-理+9/=-(f-4.5)?+20.25,

，足球距离地面的最大高度为20.25m,故①错误，.•.抛物线的对称轴U4.5,故②正确，Tug时，y=0,.•.足球被踢

出9s时落地，故③正确，•.•U1.5时，y=11.25,故④错误，...正确的有②③，故选B.

10、B

【解析】

2-m>0

根据第二象限中点的特征可得：1八，

12

在数轴上表示为：一—

—1012

故选B.

考点：(1)、不等式组；(2)、第一象限中点的特征

11、B

【解析】

根据已知方程得到y=-lx+6,将其代入所求的代数式后得到：xy=-lx2+6x,利用配方法求该式的最值.

【详解】

解：,.,lx+y=6,

:.y=-lx+6,

.,.xy=-lx2+6x=-l(x-1)2+l.

V(x-1)2>0,

•*•-1(x-1)2+1<1,即xy的最大值为1.

故选B.

【点睛】

考查了二次函数的最值，解题时，利用配方法和非负数的性质求得xy的最大值.

12、C

【解析】

根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案.

【详解】

I-逑|=迪，A错误；

22

卜，II=，I,B错误；|£i|=m,D错误；

3322

|立|=立，故选C.

33

【点睛】

本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的概念进行解题.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、逑

3

【解析】

可以取一点0(0,1),连接A。,作CNLAD于点N,PMLAD于点M,根据勾股定理可得40=3,证明△APM<-AADO

PMAP11

得——=——，PM=-AP.当CPLAO时，CP+—AP=CP+PM的值最小，最小值为。V的长.

ODAD33

【详解】

取一点0(0,1),连接AO,作CN_LAO于点N,于点拉,

在RtAAOD中，

V04=272.OD=1,

'-AD=yjo^+OD2=3,

■:ZPAM^ZDAO,NAMP=ZA0D=9Q°,

：./\APM^/\ADO,

.PMAP

••一9

ODAD

PMAP

a即n——=—,

13

1

：.PM=-\P,

3

1

.,.PC+-AP=PC+PM,

3

当CP_LAO时，CP+』AP=CP+PM的值最小，最小值为CN的长.

3

■:MCNDsAAOD,

,CNCD

••一9

AOAD

.心=警

所以CP+』AP的最小值为遗.

33

故答案为：巫.

3

【点睛】

此题考查勾股定理，三角形相似的判定及性质，最短路径问题，如何找到;AP的等量线段与线段CP相加是解题的关

键，由此利用勾股定理、相似三角形做辅助线得到垂线段PM,使问题得解.

14、x<l且x彳-1

【解析】

由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得结论.

【详解】

根据题意，得：〈»解得：烂1且中-L

、x+2Ho

故答案为烂1且中-L

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑:

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(1)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

15、5

【解析】

试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=^AB=5.

2

考点：直角三角形斜边上的中线.

16、1.

【解析】

利用同分母分式加法法则进行计算，分母不变，分子相加.

【详解】

m+m+l2m+1

解:原式=

2m+12m+1

【点睛】

本题考查同分母分式的加法，掌握法则正确计算是本题的解题关键.

17、40

【解析】

连接OC,如图所示，由直径AB垂直于CD,利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE,由OA=OC,利用

等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出CE的长，进而得出CD.

【详解】

连接OC,如图所示：

VAB是。。的直径，弦

1

/.OC=-AB=4,

2

'：OA=OC,

:.ZA=ZOCA=22.5°,

,：ZCOE为XAOC的外角,

:.ZCOE=45°,

...△COE为等腰直角三角形,

：.CE=1±OC=20，

2

：.CD=2CE=4y/2,

故答案为4百.

【点睛】

考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.

18、2.1

【解析】

试题分析：••,数据1,2,x,2,3,3,1,7的众数是2,

x=2,

这组数据的中位数是(2+3)+2=2.1；

故答案为2.1.

考点：1、众数；2、中位数

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1?

19、(1)-；(2)

【解析】

(1)利用概率公式直接计算即可；

(2)列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多少即可.

【详解】

(1)•.•诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种，

•••小明诵读《论语》的概率=g,

(2)列表得：

小明

ABc

小亮

A(A,A)(A,B)(A,C)

B(B,A)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(C,C)

由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有6种.

所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率=[=：.

【点睛】

本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求

的情况数是解决本题的易错点.

20、(1)见解析；(2)tanZDBC=-.

2

【解析】

(1)先利用圆周角定理得到NACB=90。，再利用平行线的性质得NAEO=90。，则根据垂径定理得到人。=℃，从

而有AD=CD；

(2)先在R3OAE中利用勾股定理计算出AE,则根据正切的定义得到tanNDAE的值，然后根据圆周角定理得到

ZDAC=ZDBC,从而可确定tanNDBC的值.

【详解】

(1)证明：•••AB为直径，

AZACB=90°,

VOD/7BC,

:.NAEO=ZACB=90°,

/.OE±AC,

AAD=DC，

AAD=CD；

(2)解：VAB=10,

:.OA=OD=5,

.\DE=OD-OE=5-3=2,

在RtAOAE中，AE=^52-32=4,

DE21

tanZDAE=-----=—=—

AE42

VZDAC=ZDBC,

tanz^DBC——.

2

【点睛】

垂径定理及圆周角定理是本题的考点，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键.

21、(1)2；(2)—；(1)详见解析；(4)满足条件的了的值为上或上.

345943

【解析】

(1)根据勾股定理可以直接求出(2)先证明四边形是平行四边形，再根据三角函数值求解(1)分情况根据t

的大小求出不同的函数关系式(4)不同条件下：当点G是AC中点时和当点。是45中点时，根据相似三角形的性质

求解.

【详解】

解：(1)在RtABC中，AB=VAC2+BC2=732+42=5

故答案为2.

(2)如图1中，PAMN,PNAM,

，四边形PAMN是平行四边形，

pA5

MN=PA=x,AM=PN=---=—x

cosA3

图1

PN3

当点N在BC上时，sinA=—=-,

PB5

5

3=3

5—x5

45

x=—・

34

4545

(1)①当原|一时，如图1,|PM=—x,AM=—x

3433

45

I.,,y=PN+MN+PM=x+—x+—x=4x.

"33

459

②当」＜/＜二时，如图2,

345

y=4x-EN-NF+EF

544

=4x-EN——EN+-EN=4x——EN,

333

5334

EN=PN-PE=-X--(5-X)=—X-3

3515

44,

y=-x+4

Q

③当］效巾5时，如图1,

图3

3412

y=PM+PE+EM=PM+-PM+-PM=—PM,

555

3

PM=-(5-x)

y=-x+9

5

(4)如图4中，当点G是AC中点时，满足条件

C

图4

PNHAG

,PNBP

"~AG~~BA

5

—x<

.3_5—x.

..--——-------

35

2

45

二.x——

59

如图2中，当点D是AB中点时，满足条件.

图5

MN//AD

MN_CM

~AD^^CA

c5

3—x

£=3

53

2

综上所述，满足条件的x的值为上或」.

5943

【点睛】

此题重点考查学生对一次函数的应用，勾股定理，平行四边形的判定，相似三角形的性质和三角函数值的综合应用能

力，熟练掌握勾股定理和三角函数值的解法是解题的关键.

1

22、一・

2

【解析】

试题分析：先根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与A,C两个区域所涂颜色不相同的的情况,

利用概率公式求出概率.

试题解析：解：画树状图如答图：

结果

红红红

红红蓝

红蓝红

irEvE

--11111III1

蓝红红

_nn_--_i__nn.

落箔幺T

rmrm--1

♦・・・・，

监监监

•:共有8种不同的涂色方法，其中A,C两个区域所涂颜色不相同的的情况有4种,

41

・・・P(A,C两个区域所涂颜色不相同)=7=彳.

o2

考点：L画树状图或列表法；2.概率.

-0.3%2+90x+4000(0<x<200)

23、(1)10750；(2)y=<(3)最大利润为10750元.

-O.lx2+20x+10000(200<x<400)

【解析】

(1)根据“利润=销售总额-总成本”结合两种T恤的销售数量代入相关代数式进行求解即可；

(2)根据题意，分两种情况进行讨论：①0<m<200；②200Sm*00时，根据“利润=销售总额-总成本”即可求得各相关

函数关系式；

(3)求出(2)中各函数最大值，进行比较即可得到结论.

【详解】

(1)I•甲种T恤进货250件

:.乙种T恤进货量为：400-250=150件

故由题意得，(75-50)x250+(90-60)x150=1075。；

(2)①0<x<200,y=(-O.2x+120-60)%+[-0.1(400-%)+100-50](400一x)=-0.3/+90x+4000

②200VxV400,y=[-0.1(400-x)+100-50](400-x)++50-60)x=-0.lx2+20x+10000；

皿f-0.3x2+90x+4000(0<%<200)

故y=〈c.

"-0.lx2+20x+10000(200<%<400)

2

(3)由题意，100<X<300<①100Vx<200,y=-0.3(x-150)+10750,=15。,>1mx=10750

②200VxM400,y=-0.1(x-100)2+11000,.'.y<10000,

综上，最大利润为10750元.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，找出题中的等量关系以及根据题意确定二次函数的解析式是解题的关键.

3L

24、(2)sinZ(9CD=-;(2)详见解析；(2)当DCE是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或26-2.

【解析】

(2)先求出03=2,设OZ>=x,得出CD=AZ>=04-0。=2-x,根据勾股定理得：(2-x)2-3=2求出》，即

2

可得出结论；

(2)先判断出AE=BE，进而得出NCBEMNBCE,再判断出△OBEsaEBC,即可得出结论；

(3)分两种情况：①当CD=CE时，判断出四边形AOCE是菱形，得出NOCE=90。.在RtAOCE中，。。=0®-CE2=4

12

-a.在RtACO。中，-。。2=咫-(2-a),建立方程求解即可；

②当CZ>=OE时，判断出NZME=NOEA,再判断出NOAE=OEA,进而得出NZ>EA=NOEA,即：点。和点。重合，

即可得出结论.

【详解】

(2)是半径QB中点，：.OC^-OB=2.

2

'：DE是AC的垂直平分线，：.AD^CD.设O0=x,:.CD=AD^OA-OD=2-x.

35OD3

在RtAOC。中，根据勾股定理得：(2-X)2-*2=2,.•.X=_,：.CD=~,：.sinZOCD=——=-；

44CD5

(2)如图2,连接AE,CE.

；DE是AC垂直平分线，：.AE=CE.

是弧A3的中点，：•AE=BE，--AE=BE,：.BE=CE,：.ZCBE=ZBCE.

连接OE,：.OE=OB,：.ZOBE=ZOEB,：.ZCBE=ZBCE=ZOEB.