苏科版九年级上册数学期末试题及答案

苏科版九年级上册数学期末试卷

一、单选题

1.下列方程属于一元二次方程的是（）

322

A.X+\=XB.x+X-l=0C.x-3=0D.x+」-4=0

X

2.抛物线y=（x-+2的顶点坐标是（）

A.（-1,2）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（1,2）

3.关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）

A.m>-1B.m>-1C.m<-1Km/0D.mN-1且mrO

4.如图，MN为。O的弦，NMON=76。，则/OMN的度数为（）

5.已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是（）

A.-3B.-2C.3D.6

6.如图，二次函数y=ax?+bx+c的图像与x轴交于点A（―1,0）,与y轴的交点B在

（0,2）与（0,3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2,下列结论：①abc<0；②9a

+3b+c>0；③若点点是函数图像上的两点，则yi>y2；④

7.二次函数y=x2—（m—l）x+4的图像与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）

A.1或一3B.5或一3C.-5或3D.以上都不对

8.如图，在扇形BOC中，/BOC=60。，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点,

若0B=2,则阴影部分周长的最小值为（）

C

A.2+2B.+|C.+fD.2及+?

二、填空题

9.抛物线y=-2x2+8x—5的对称轴是.

10.粉笔盒中有10支白色粉笔盒若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿

一支粉笔，拿到白色的概率为：，则其中彩色粉笔的数量为支.

11.已知圆锥的底面圆半径为4,母线长为5,则圆锥的侧面积是.

12.将抛物线y=x2-2x+2向上左移一个单位后，那么新的抛物线的表达式是.

13.已知一元二次方程：x2-3x-l=0的两个根分别是XI、X2，则X,X2+X1X22=.

14.如图，OEJ_AB于E,若的半径为10,OE=6,则AB=.

15.己知二次函数y=x?—2mx+1,当xNl时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是

16.如图所示，AB是。0的直径，弧BC=MCD=MDE,ZCOD=34°,则NAEO的度

数为.

2

ED

C

17.如图，一段抛物线：y=-x(x-2)(0<x<2)记为Ci，它与x轴交于两点0、AI；将

Cl绕Al能转180。得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180。得到C3,交x轴于A3.此进

行下去，直至得到C2021，若顶点P(m,n)在第2021段抛物线C2021上，则m

18.用适当的方法解一元二次方程.

(l)x(X-3)=—(x—3)

(2)X2+4X-3=0

19.疫情防控人人有责，为此我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，七、八年

级根据初赛成绩，各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队

各选出的5名选手的决赛成绩如图所示.

W

95

90

85

80

乃

70

(1)根据所给信息填空:

平均数(分)中位数(分)众数(分)方差

3

七年级8585

八年级—80—160

(2)八年级说他们的最高分人数高于七年级，所以他们的决赛成绩更好，但是七年级说他们

的成绩更好，请你说出2条支持七年级的理由.

20.现有5张除数字外完全相同的卡片，上面分别写有-2,-1,0,1,2这五个数，将卡

片背面朝上洗匀，从中任意抽取两张，将卡片上的数字记为(〃?,").

(1)用列表法或画树状图法列举(根,〃)的所有可能结果.

(2)若将m,n的值代入二次函数y=(x-,〃)2+〃，求二次函数顶点在坐标轴上的概率.

21.已知二次函数y=x?-4x+3.

(1)用配方法求出顶点坐标；

(2)求该二次函数与坐标轴的交点坐标；

(3)在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y<0时，x的取值范围.

22.如图，ZABM^90°,。分别切AB、于点。、£.4c切。于点尸，交BM于

点C(C与B不重合).

(1)用直尺和圆规作出AC；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)若Q半径为1,AD=4,求AC的长.

23.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的公

4

式为：弧田面积=3（弦X矢+矢2）.如图，弧用由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆

弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述公式计算所得弧田面积与其

实际面积之间存在误差.现有圆心角NAO3为120。，弦长AB=26m的弧田.

0

（1）计算弧田的实际面积.

（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差

多少平方米？（取乃近似值为3,G近似值为1.7）

24.已知关于x的一元二次方程x2—（m+3）x+m+2=0

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值.

25.如图所示，已知在。O中，AB是。O的直径，弦CGLAB于D,F是。。上的点，且

CF=CB，BF交CG于点E,求证：CE=BE.

26.某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，

若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：

（1）每天增长的百分率是多少？

（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生

产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生

产口罩3900万个，应该建几条生产线？

27.如图1,若二次函数丁=分2+打+4的图像与x轴交于点A（T,O）、8（4,0）,与y轴交

于点C,连接AC、BC.

5

(1)求二次函数的解析式；

(2)若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接P&PC,当，PBC的面积最大时，求出点P

的坐标；

(3)如图2,若点Q是抛物线上一动点，且满足NQBC=45。-NACO,请直接写出点Q坐标.

参考答案

1.B

【分析】根据一元二次方程的定义判断即可.

【详解】解：A、方程中未知数的最高次数是3,不是一元二次方程，故该选项不符合题意;

B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2,故该选项符合题意；

C、方程中未知数的最高次数是1,不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；

故选:B.

【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程叫一元二次方程是解题的关键.

2.D

6

【分析】根据顶点式y=a（x-/?尸+A,顶点坐标是（h,k）,即可求解.

【详解】：顶点式y=a（x—力＞+笈，顶点坐标是（h,k）,

抛物线》=（》-1）2+2的顶点坐标是（1,2）.

故选：D.

3.A

【分析】根据方程有实数根，得出△＞（）,建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可.

【详解】解:由题意知,△=4+4m＞0,

故选A.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式.

4.B

【分析】根据圆的基本性质，可得=,从而得到NOMN=NONM,再由三角形的

内角和定理，即可求解.

【详解】解：:MN为。O的弦，

：.OM=ON,

：・/OMN=NONM,

VZMON=76°,

二NOMN=g（180°-NMON）=52°.

故选：B

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握同圆（或等圆）的半

径是解题的关键.

5.A

【详解】设方程的另一个根为t,

根据题意得2+t=-1,解得t=-3,

即方程的另一个根是-3.

故选A.

6.C

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与

7

x轴交点(-1,0)及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得x=3时y>0,

进而判断②，根据M,N两点与抛物线对称轴的距离判断③，由抛物线对称轴可得b=-4a,

再根据x=-l时y=0及2<c<3可判断④，根据x=l时y>0可判断⑤.

【详解】解：•••抛物线开口向下，

.,.a<0,

•.•抛物线对称轴为直线x=3>0.

2a

Ab>0.

・・•抛物线与y轴交点在x轴上方，

Ac>0,

/.abc<0,①正确.

・・•抛物线与x轴交点坐标为(-1,0),对称轴为直线x=2,

・•・抛物线与x轴另一交点为(5,0),

:.当x=3时，y=9a+3b+c>0,②正确.

v1-2<2-l抛物线开口向下，

22

.,.yi<y2>③错误.

..b

•一-=z,

2a

/.b=-4a,

x=-1时，y=a+4a+c=5a+c=0,

V2<c<3,

A-3<5a<-2,

32

解得

・••④正确，

Vx=l时，y=a+b+c=-3a+c>0,

Ac-3a>0,⑤正确.

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次

函数与方程及不等式的关系.

7.B

8

【详解】解：•.•二次函数y=x2-(m-1)x+4的图象与x轴有且只有一个交点，

A=b2-4ac=[-(m-1)]2-4x1x4=0.

(m-1)2=16,

解得：m—\=±4,

...mi=5,m2=-3.

Am的值为5或-3.

故选B.

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点.

8.D

【分析】作点C关于OB对称点点A,连接AD与OB的交点即为E,此时CE+ED最小，

进而得到阴影部分的周长最小，再由勾股定理求出AD的长，由弧长公式求出弧CD的长.

【详解】解：阴影部分的周长=©£+£口+弧CD的长，由于C和D均为定点，E为动点，故

只要CE+ED最小即可，作C点关于OB的对称点A,连接DA,此时即为阴影部分周长的

最小值，如下图所示：

C

■:A、C两点关于OB对称，；.CE=AE,

，CE+DE=AE+DE=AD,

又D为弧BC的中点，ZCOB=60°,

二ZDOA=ZDOB+ZBOA=30°+60°=90°,

在RtaODA中,DA=yjoif+OA2=2>f2>

弧CD的长为万x2=],

1oO3

9

.•.阴影部分周长的最小值为2夜+2,

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称图形求线段的最小值，弧长公式，勾股定理等，本题的关键是找

出阴影部分周长最小值时点E的位置进而求解.

9.x=2

【分析】用配方法配出顶点式即可得到答案.

【详解】解：•.•y=-2x2+8x-5=-2（x-2y+3

二抛物线的顶点坐标为（2,3）,对称轴为x=2

【点睛】本题考查二次函数顶点式的图像和性质，用配方法配出顶点式是解题的关键.

10.15

【分析】设彩色笔的数量为x支，然后根据概率公式列出方程求解即可.

【详解】解：设彩色笔的数量为x支，

102

由题意得：=

10+x5

解得x=15,

经检验x=15是原方程的解，

.••彩色笔为15支，

故答案为：15.

【点睛】本题主要考查了概率公式和分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握概率公式列出

方程进行求解.

11.20兀

【分析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案.

【详解】解：：圆锥的底面圆半径为4,母线长为5

二圆锥的侧面积S=4x4x5=20万

故答案为：20万.

【点睛】本题考查了圆锥的知识，解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解.

12.j=x2+1

【分析】根据函数图像的平移方法，左加右减，上加下减判断即可；

【详解】抛物线y=x2-2x+2向上左移一个单位后得：

10

)=(x+l)--2^x+l)+2-x2+2x+i-2x-2+2-x2+1；

故答案是：y=x2+\.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确分析计算是解题的关键.

13.-3

【分析】根据根与系数的关系，直接带入求值即可.

【详解】解：根据题意得X|+X2=3,X1・X2=-1,

所以X12X2+X1X22=X1X2*（Xl+X2）=一1x3=-3.

故答案为-3

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系.提公因式将所求代数式转为根与系数的形

式是解题的关键.

14.16

【分析】连接。4,由垂径定理可得他=2AE,在向A4OE中利用勾股定理即可求得AE的

长，进而求得A8.

【详解】解：连接

V0E1AB于E,

,AB=2AE,

在RrAAOE中，04=10,0E=6,

AE=JOA2-OE2=V102-62=8-

/.AB=2AE=16,

故答案为：16

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键.

15.m<l

【分析】先把抛物线的解析式化为顶点式找出抛物线的对称轴直线，再根据增减性即可确定

m的取值范围.

11

【详解】解：；y—^—lmx+X,

y=(x—/??)+1一加2,

，对称轴直线为x=m,且抛物线开口线上，

•当x之1时，y随x的增大而增大,

/.m<l

16.51°

【分析】根据圆周角定理及其推论可知NEO£>=NCOB=NCO/)=34。，即可求出

NEOB=102。，再根据三角形外角性质结合等边对等角即可求出ZAEO=；NEOB=51。.

【详解】•.•弧BC=MCD=MDE,

ZEOD=ZCOB=ZCOD=34°,

二AEOB=ZEOD+ZCOB+NCOD=102°.

VOA=OE,

,ZAEO=ZEAO.

'：ZEOB=ZAEO+ZEAO,

：.ZAEO=-ZEOB=5l0.

2

故答案为:51°.

【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.掌握圆周

角定理及其推论是解题关键.

17.4041

【分析】根据题意，通过求解一元二次方程，得G(0,2)；根据二次方程的性质，得抛物线

对称轴，从而求得Ci的顶点；根据旋转的性质，得C2的顶点，同理得C3的顶点；根据数

字规律的性质计算，即可得到答案.

【详解】V-x(x-2)=0

**•X]=o,七=2

1C1与x轴交于两点O、A1；

AC,(0,2)

12

•.•一段抛物线:y=-x(x-2)(0<x<2)记为Ci，

二抛物线对称轴为：x=U=l

...Ci的最大值为：y=l

.••G的顶点为：(1,1)

将C绕A能转180。得到C2,交x轴于A2；

••.C2的顶点为：(3,-1),即12x2—1,(一1)2T]

将C2绕A2旋转180。得到C3,交X轴于A3.

••.C3的顶点为：(5,1),即[2、3-1,(一1广[

；.C2⑼的顶点为：[2*2()21-1,(一1户21],即(4041,1)

•.•顶点P(m,n)在第2021段抛物线Q021上

/.6=4041

故答案为：4()41.

【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程、旋转、数字规律的知识；解题的关键是熟练

掌握二次函数、旋转的性质，从而完成求解.

18.(1)Xi—1,X2=3

(2)X]=・2+近,X2=-2-y/1

【分析】(1)利用移项法则、提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；

(2)利用配方法解出方程.

(I)

解:x(x-3)="(x-3)

x(x-3)+(x-3)=0,

(x+l)(x-3)=0,

Xi=-1,X2=3；

(2)

解：X2+4X-3=0,

X2+4X=3,

X2+4X+4=7,

(X+2)2=7,

13

x+2=±V7,

xi=-2+J7，X2=-2-J7.

19.（1）85；70；85；100

（2）理由见解析

【分析】（1）从图上读取信息，由平均数、中位数、众数、方差的定义即可得到答案.

（2）对比七、八年级的相关数据，从中位数、方差的意义分析即可得到答案.

⑴

解:

平均数（分）中位数（分）众数（分）方差

七年级85858570

八年级8580100160

（2）

解：①七年级成绩的方差低于八年级，成绩比八年级稳定，

②七年级的中位数比八年级高，所以七年级成绩好一些.

2

20.（1）见解析；（2）

【分析】（1）画出树状图即可；

（2）共有20种可能的结果，其中二次函数顶点在坐标轴上的结果有8种，再由概率公式求

解即可.

【详解】（1）画树状图得

开始

m-2-1012

/TVx/TV.

n-1012-2012-2-112-2-102-2-101

共有20种可能的结果；

(2)从-2,-1,0,1,2这五个数中任取两数m,n,共有20种可能,

其中二次函数y=（x-/n）2+〃顶点在坐标轴上（记为事件A）的有8种,

oo

所以P（A）=^=q

14

【点睛】本题考查了用树状图法求概率以及二次函数的性质.树状图法可以不重复不遗漏的

列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是

不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.(1)顶点坐标为(2,-1)；(2)该二次函数与x轴的交点坐标为(1,0)(3,0)；(3)

当yVO时，l<x<3.

【分析】(1)把y=x2-4x+3通过配方得到y=(x-2)2-1,从而得到抛物线的顶点坐标；

(2)通过解方程X2-4X+3=0得该二次函数与x轴的交点坐标；

(3)利用描点法画出二次函数图形，然后利用函数图形，写出图象在x轴下方所对应的自

变量的范围即可.

【详解】解：(1)因为y=x2-4x+3=x2-4x+4-l=(x-2)2-1,

所以抛物线的顶点坐标为(2,-1)；

(2)当y=0时，X2-4X+3=0,解得XI=1,X2=3,

所以该二次函数与x轴的交点坐标为(1,0)(3,0)；

(2)当x=0时,y=3,当x=4时，y=42-4x4+3=3,

描点，连线，函数图象如图：

由图象可知，当y<0时，l<x<3.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax?+bx+c(a,b,c是常数，a/0)

与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

17

22.(1)见解析；(2)y

【分析】(1)以A为圆心，为半径画弧交C。于尸，作直线新交于点C,直线AC

即为所求.

(2)设CV=CE=x,利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【详解】解：(1)如图，直线AC即为所求.

15

(2)连接OE,OD.

.)。是A4BC的内切圆，D,E,〜是切点,

NOEB=NODB=ZB=90。,

，四边形OE3O是矩形，

,OE=OD=1,

••・四边形O£BO是正方形，

:.BD=BE=\,

AF=AD=4,设CF=CE=x,

在RtAABC中，.=.2+,

(4+%)2=52+(1+X)2,

:.x=-

3

517

AC=AF+CF=4+-=—.

33

【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

23.（1）弧田的实际面积为（子-6）n?；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算

所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差O.lmt

【分析】（1）先利用勾股定理及含30。的直角三角形的性质求解A0与AB的长度，接着算

16

出AAO8的面积，再通过扇形面积公式求解扇形AOB的面积，最后利用割补法求解弧田面

积.

（2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（1）中的结果相减，求出两者之

差.

【详解】（1）解：8_1_弦人8,

二由垂径定理可知：。。平分AB,并且0D还平分NAO8.

:.AC=—=4im,N4OC=^^=60。

22

在RfAACO中，0C对应的角的为30。

•••设OC=x,则AO=2x.

由勾股定理可知：/+4?=（级）2

解得x=l（户一1舍去）

OC=\m，AO=2m.

2

S=—ABxOC=gm,扇形AOB的面积为120x2乃_包_团?

23603

••・弧田实际面积为（与

（2）解：由题（1）可得圆心到弦的距离等于1,故矢长为1.

按照题中弧田的面积公式得：弧田面积为:X（2jixl+F）=（4+；）机2,

两者之差面积之差为仔一6）-（6+40.此

【点睛】本题主要是考察了扇形面积公式以及圆和直角三角形的相关性质，注意此题利用了

割补法求解弧田面积，这是初中数学求解面积常用的方法之一，一定要熟练掌握.

24.（1）见解析；（2）-3或-1

【分析】（1）先求出判别式△的值，再对利用完全平方公式变形即可证明；

（2）根据求根公式得出x产m+2,x2=l,再由方程两个根的绝对值相等即可求出m的值.

【详解】解：⑴VA=（m+3）2-4（m+2）=（m+l）2>0,

方程总有两个实数根；

17

(2)...W+3)土

A一

2

..X1=m+2,X1=1-

•.•方程两个根的绝对值相等，

•*-m+2=+1.

m=—3或-1.

【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答(2)时得到方程的两个根是

解题的关键.

25.见解析.

【分析】证法一：连接CB,可证CF=GB，从而可证明CE=BE；

证法二：作ON_LBF,垂足为N,连接OE,ijE^AONE^AODE,可得NE=DE,再结合

垂径定理可得BN=CD,再根据线段的差即可证明结论：

证法三：连接0C交BF于点N,只需要证明△CNE丝Z\BDE即可证明结论.

【详解】证法一：如图(1),连接BC,

VAB是。0的直径，弦CG1AB,

,,CB—GB,

,:CF=BC，

:.CF=GB，

AZC=ZCBE,

・・・CE=BE.

』一

GG

(1)(：2)(3)

证法二：如图(2),作ONLBF,垂足为N,连接0E.

；AB是。0的直径，且AB_LCG,

18

・CB=BG，

•：CB=CF，

：•CF=BC=BG，

・・・BF=CG,ON=OD,

VZONE=ZODE=90°,OE=OE,ON=OD,

AAONE^AODE(HL),

ANE=DE.

VBN=-BF,CD=-CG,

22

・・・BN=CD,

・・・BN-EN=CD-ED,

・・・BE=CE.

证法三：如图(3),连接OC交BF于点N.

,:CF=BC，

AOC1BF,

TAB是(DO的直径，CG1AB,

：・BG=BC，

:.CF=BG=BC，

:.BF=CG，ON=OD,

VOC=OB,

.\OC-ON=OB-OD,

即CN=BD,

又NCNE=NBDE=90。，

ZCEN=ZBED,

AACNE^ABDE,

・・・CE=BE.

26.(1)每天增长的百分率是20%；(2)应该建5条生产线

【分析】(1)设每天增长的百分率是x,然后根据开工第一天生产300万个，第三天生产432

19

万个，列出方程求解即可；

(2)设应该建y条生产线，然后根据每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线

的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，列出方程求解即可.

【详解】解：(1)设每天增长的百分率是X,

由题意得：300(l+x)2=432,

解得x=0.2,

,每天增长的百分率是20%：

(2)设应该建y条生产线，

由题意得：y[900—30(y—1)]=3900,

整理得：/-31j+130=0,

解得y=5或y=26(舍去)，

，应该建5条生产线，

答：应该建5条生产线.

【点睛】本题主要考查可一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确理解题意列出

方程求解.

27.(l)y=-x2+3x+4

⑵(2,6)

⑶(3,4、)或(二3J9).

416

【分析】(1)将4-1,0)、8(