2024年高考数学真题重组卷3（新高考新题型专用）（新七省专用）

冲刺2024年高考数学真题重组卷

真题重组卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

2

1.（2023新课标全国I卷）已知集合加={-2,-1,0,1,2},N=[X\X-X-6>0^,则MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.（2023新课标全国U卷）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2022•新高考I）在AABC中，点。在边AB上，BD=2DA.记=CD=n,则CB=（）

A.3m—2HB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.（2023全国乙卷数学（理））甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰

有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

6.（全国甲卷数学（理））“sin%+sin2/7=l”是“sin&+cos£=0”的（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

22

7.（全国甲卷数学（文）（理））已知双曲线的离心率为君，其中一条渐近线与圆

ab

（x—2）2+（y-3）2=l交于A,8两点，贝（）

8.（2023全国乙卷数学（文））函数/（彳）=丁+依+2存在3个零点，则。的取值范围是（）

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A.（-8,-2）B.（-8,-3）C.（T,-l）D.（-3,0）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.（2023新课标全国I卷）有一组样本数据外,马，•••，%,其中々是最小值，%是最大值，贝。（）

A.尤2，W,4玉的平均数等于国,马,…,毛的平均数

B.x2,x3,x4,x5的中位数等于士,马，…，尤6的中位数

C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于毛,马，…，%的标准差

D.孙龙3,%,%的极差不大于…％的极差

10.（2023新课标全国n卷）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，ZAPB=120°,PA=2,

点C在底面圆周上，且二面角尸—AC-O为45。，贝U（）.

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为4年

C.AC=272D.4c的面积为百

11.（2023新课标全国n卷）设。为坐标原点，直线y=-g（x-l）过抛物线。：炉=2/（2>0）的焦点，

且与C交于M,N两点，/为C的准线，则（）.

Q

A.p=2B.=m

C.以MN为直径的圆与/相切D.QMN为等腰三角形

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2023•甲卷）若丁=（x-1）2+以+sin（x+q）为偶函数，贝Ua=.

13.（2023新课标全国II卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

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14.（2023新高考天津卷）过原点的一条直线与圆。:。+2）2+产=3相切，交曲线V=2px（p>0）于点尸，

若|OP|=8,则P的值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（新题型）设函数〃x）=lnx+«x+6,曲线y=〃x）在点（L〃l））处的切线方程为y=6尤-3.

⑴求凡6；

⑵证明：/（%）>-—.

3X

16.（15分）（2022•新高考H）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得

到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的概率；

（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区总人口的

16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）,求此人患这种疾病的概率（以样本数据中

患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

I频率/组距

0.023-------------------------

0.020--------------------------------

0.017---------------I----------------------

0.012---------—

0.006-------------------------------------------,

摘

0102030405060708090

年龄/岁

17.（15分）（2023•新高考II）如图，三棱锥A—3CD中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADB=ZADC=60°,

E为BC中点.

（1）证明BCLZM；

（2）点尸满足EF=ZM,求二面角£>—AB-尸的正弦值.

DB

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22

18.（17分）（2022•新高考I）已知点A（2,l）在双曲线C:二--\=1（。>1）上，直线/交C于P,。两

aa-1

点，直线AP,A。的斜率之和为0.

（1）求/的斜率；

（2）若tan/PAQ=2后，求APAQ的面积.

19.（17分）（2016.江苏.高考真题）记。={1,2,,100}.对数列和U的子集T,若7=0,定

义»=0；若7=卜］J?,.,定义，-=%+%++%.例如：T={1,3,66}时，S、=%+4+a6g.现设

是公比为3的等比数列，且当7={2,4}时，5r=30.

（1）求数列{4}的通项公式；

（2）对任意正整数人（14左4100）,若Tu{l,2,,k},求证：ST<aM.

（3）设=求证：Sc+SCnD>2SD.

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冲刺2024年高考数学真题重组卷

真题重组卷01（参考答案）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

91011

BDACAC

第口卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.213.2814.6

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）

【解】（1）函数的定义域为（0,+功,-（无）=；+。.

将x=l代入y=6x-3,解得y=3,即/⑴=3,

由切线方程＞=6x-3,则切线斜率,尸⑴=6.

故。+6=3,1+。=6,解得。=5,b=-2.

（2）证明：由（1）知2（x）=lnx+5x-2,

33

从而f（x）＞-----等价于41皿＞—5%2+2x—.

5x5

设函数g（x）=xln4则/⑺=l+hrr.

所以当时，g'（x）＜0,当xeg,+ooj时，g'（x）＞0.

故g（尤）在（0,:上单调递减,在1%+j上单调递增,

从而且⑴在（0,+功上的最小值为

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2

5

21

从而h(x)在(0,+e)上的最大值为h

5e

3

故g(x)>/z(x),即

16.(15分)

【解析】(1)由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为:

x=5x0.001x10+15x0.002x10+25x0.012x10+35x0.017x10+45x0.023x10+55x0.020x10+65x0.017x10+75x0.006x10+85x0.002x10=47.9

(2)该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的频率为：

(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)x10=0.89,

，估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率为0.89.

(3)设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间［40,50)为事件3,此人患这种疾病为事件C,

P(BC)0.1%x0.023x10

则P(C|2)=

P(B)

17.(15分)

【解析】证明：(1)连接AE,DE,

DB=DC,E为中点.

:.DE±BC,

X-DA=DB=DC,ZADB=ZADC=60°,

与AABZ)均为等边三角形，

AC=AB,

:.AErBC,AE「'DE=E,

3C_L平面ADE,

ADu平面ADE,

:.BCLDA.

(2)选DA=DB=DC=2,

BC=2y/2,

DE=AE=V2,AD=2,

:.AE2+DE2=4=AD2,

:.AE±DE,

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又1AE1.3C,DE「BC=E,

;.AE_L平面BCD,

以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

0(72,0,0),A(0,0,4,B(0,应,0),£(0,0,0),

EF=DA,

F(-A/2,0,A/2),

DA=(-72,0,A/2),AB=(0,-应)，AF=(-垃,0,0),

设平面ZMB与平面钻尸的一个法向量分别为4=（和％,Z］）,电=口2,为，

'+fz'°,令玉=1,解得％=%=1,

则

-任।=0

后Z?°,令%=1,解得％=0,Z2=1,

7=0

故%=(1,1,1),%=(0,1,1),

设二面角。-尸的平面角为6,

i||ZHI々•%I2瓜

则mIcos。|=一!J=—~~1==-，

I411%IV3xV23

故sin6=—

3

所以二面角O-产的正弦值为走

3

18.(17分)

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（1）将点A代入双曲线方程得二-二一=1,

aa—1

化简得4—4/+4=0,/.^2=2,故双曲线方程为反―V=i,

2

由题显然直线/的斜率存在，设/:y=Ax+根，设P（%,%）。（%2，%），

则联立双曲线得：（2左2_1优+4.+2/+2=0,

14km2m2+2

/rx.+x=--------，

勺?22k2-1,22k2-1

—1y2~^kx1+m—1^kx2+m-1

^AP十^AQ==0，

玉一2x2—24一2%2-2

化简得：2g％2+（加一1一2左）（玉+々）一4（加一1）=。，

,,2Z:（2m2+2）/qc7、/4km...八八

故—；2+（加一I—2k）（~——-）-4（根-1）=0,

ZK—1ZK—1

即伏+1）0+2左一1）=0,而直线/不过A点，故左=—1；

（2）设直线AP的倾斜角为a,由tanN尸AQ=2夜,

c/PAQ

T^二2-符邛

2

由2a+NPAQ=»,aJ-qAQ

得％AP=tana=y/2,即———-=，

'x—2

联立且二=&,及寸_,=1得％=10-4后,％=迪9,

x1-2233

日工田10+4A叵-4^历-5

问理/=---,%=---，

痂2068

改%+々=—,x1x2=—,

而|42|=百|%-2|,|4。|=班|尤2-2|,由tanNPAQ=2&,得sin/PAQ=当，

故“怂=^\AP\\AQ\sinZPAQ=应\x{x2-2（玉+x2）+4|=.

19.（17分）

【解】（1）由已知得％=a「3i,〃eN*.

于是当T={2,4}时，Sr=4+。4=3q+27q=30q.

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又S,=30,故30q=30,即q=1.

所以数列｛%｝的通项公式为an=3*',〃三N*.

(2)因为T=｛1,2,左｝,见=3"T>0,,?eN*,

所以为++必=1+3++3^'=1(3"-1)<3\

因此，Sr<ak+l.

(3)下面分三种情况证明.

①若。是C的子集，则Sc+SCryD=Sc+SD>SD+SD=2SD.

②若C是。的子集，则7+Sc廿Sc+Sc=2Sc>2SD.

③若。不是C的子集，且C不是。的子集.

々E=Cc3uD,尸=QcduC则EH0,F^0,ECF=0.

于是SC=SE+SS0,SD=SF+SCnD,进而由Sc»S。,得“沼.

设％是E中的最大数，/为尸中的最大数，贝必

由(2)知，SE<ak+1,于是3'T="WSE<4+i=3*,所以/-1<一,即/W左.

又k手I,故1,

从而S/Yq+%++q=l+3++3M,

故SEN2SF+1,所以5「几”2(品一SC0)+1,

即$c+SceD-25D+L

综合①②③得，SC+SCD>2SD.

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冲刺2024年高考数学真题重组卷

真题重组卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（2023新课标全国I卷）己知集合知={—2,-1,0,1,2},^={X|X2-X-6>0）,则MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

【答案】C

【详解】方法一：因为"=同尤2-％-620}=（一双一2]63,+动，而河={-2,—1,0,1,2},

所以A/cN={-2}.故选：C.

方法二：因为〃={-2,-1,0」,2},将-2,-1,0,1,2代入不等式/一工一620,只有-2使不等式成立，所以

MCN={-2}.故选：C.

2.（2023新课标全国H卷）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【详解】因为（l+3i）（3-i）=3+8i—3i2=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.故选：A.

3.（2022•新高考I）在AABC中，点。在边上，BD=2DA.记C4=机，CD=n,贝!]CB=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

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CD=CA+AD=CA+-DB=CA+-(CB-CD)=CA+-CB--CD,

2222

i3

-CB=-CD-CA,BPCB=3CD-2CA=3n-2m.故选：B.

22

4.(2023全国乙卷数学(理))甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰

有1种相同的选法共有()

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【详解】首先确定相同得读物，共有《种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有C2A：=120种，故选：C.

【解析】/(x)=(3A-3-x)cosx,可知/(-%)=(3~x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-/(%),

函数是奇函数，排除或)；当x=l时，f(1)=(3-3-1)cosl>0,排除C.故选：A.

6.(全国甲卷数学(理))“sin2a+sin2£=l”是“sina+cos尸=0”的()

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【详解】当sin2a+sin2尸=1时，例如。=万,夕=0但sina+cos,w0,

即sin2a+sin20=1推不出sin。+cos/?=0；

当sina+cos/7=0时，sin?0+sin?0=(-cos/?)2+sin2°=1,

即sina+cos夕=0能推出sin2a+sin20=1.

综上可知，sin2a+sin2尸=1是sina+cos夕=0成立的必要不充分条件，故选B

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7.（全国甲卷数学（文）（理））已知双曲线W-[=im>o,b>o）的离心率为石，其中一条渐近线与圆

ab

（尤-2）2+0-3）2=1交于A,B两点,贝||AB|=（）

A.-B.立C.撞D.拽

5555

【答案】D

【详解】由6=有，则<=^^^=1+4=5,解得=2,

aaaa

所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2无，

则圆心（2,3）到渐近线的距离d=出：2-3|=g,

所以弦长|48|=21下一屋=¥.故选:D

8.（2023全国乙卷数学（文））函数/（%）=^+依+2存在3个零点，则。的取值范围是（）

A.(一8,-2)B.(-8,-3)C.(Y,-1)D.(-3,0)

【答案】B

【详解】/(x)=/+办+2,贝I］广(x)=3x?+a,

若了（尤）要存在3个零点，则〃尤）要存在极大值和极小值，则a<0,

或

八元）>0

解得”一3,

二'多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

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要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（2023新课标全国I卷）有一组样本数据玉,多,•••,%，其中々是最小值，%是最大值，则（）

A.%，尤3，%,当的平均数等于菁,X2，…，%的平均数

B.尤2,无3，匕，%的中位数等于网,马,…,乙的中位数

C.马，%3，5,当的标准差不小于尤1，/，…，毛的标准差

D.%,W，乙,％的极差不大于士,/,…’％的极差

【答案】BD

【解析】对于选项A：设%,鼻,%,%的平均数为加，玉,％，…，毛的平均数为"，

同"&+X?+X3+彳4+%+毛尤2+%+“4+尤52（西+/）一（毛+/+F+匕）

则TI-m=------------------------=-----------------,

6412

因为没有确定2（%+/）,无5+九2+犬3+%4的大小关系，所以无法判断九〃的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得一=二=3.5；

例如1』,1』」,7,可得机=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得根=2,〃=?；故A错误；

6

对于选项B：不妨设％Vx2V%VX4V%4天，

可知为,三,尤4,三的中位数等于无，1…％的中位数均为玉产，故B正确；

对于选项C：因为看是最小值，%是最大值，

则吃,鼻,工4，%的波动性不大于无1，毛，…，%的波动性，即x2,x3,x4,x5的标准差不大于玉,马，…，%的标准差,

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数"=,（2+4+6+8+10+12）=7,

6

标准差为二^|^（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2J,

4,6,8,10,则平均数根=；（4+6+8+10）=7,

标准差S?=^[（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2]=也,

显然巫|＞石，即心＞与；故c错误；

3

对于选项D：不妨设不（无24X3V尤44X5V%,

第13页共22页

则天-王3三-尤2，当且仅当玉=々，X5=%时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

10.（2023新课标全国I[卷）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，ZAPB=120°,PA=2,

点C在底面圆周上，且二面角P—AC—O为45。，则（）.

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为46兀

C.AC=20D.△PAC的面积为百

【答案】AC

【解析】依题意，ZAPB=120°,PA=2,所以OP=1,OA=O2=JL

A选项，圆锥的体积为:X7tx（石）xl=7t,A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为兀*百*2=26兀，B选项错误；

C选项，设。是AC的中点，连接。口,也>,

则AC_LO2AC_LP。，所以NPDO是二面角尸—AC—O的平面角，

则NPDO=45。，所以OP=OD=1,

故A£>=CD==贝l|AC=20,C选项正确；

D选项，PD=712+12=72>所以SPAC=；乂2血义无=2,D选项错误.

故选：AC.

11.（2023新课标全国H卷）设。为坐标原点，直线y=-6（x-l）过抛物线。：丁=2加（2>0）的焦点,

且与C交于M,N两点，/为C的准线，则（）.

Q

A.p=2B.=]

C.以MN为直径的圆与/相切D.一OMN为等腰三角形

【答案】AC

【解析】A选项：直线>=-6（》-1）过点。,0）,所以抛物线C：V=20X（0>O）的焦点F（1,0）,

第14页共22页

所以5=l,P=2,2p=4,则A选项正确，且抛物线C的方程为V=4x.

B选项：设（占,%）,河%,%）,

由卜:一6（工一1）消去>并化简得3d_]0x+3=a-3）（3x—1）=0,

y=4x

解得%]=3,%2=耳,所以[MN]=%+%2+P=3+§+2=可，B选项错误.

C选项：设MN的中点为A,",N,A到直线/的距离分别为44,人

因为d=g（4+&）=；（|MF|+|阿）=g|MV|,

即A到直线/的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线/相切，C选项正确.

D选项：直线y=-6（%-1）,即6元+y-四=0,

0至U直线后+y—代=0的星巨离为d二立，

2

所以三角形OMN的面积为'更x1=逑，

2323

由上述分析可知％=-6(3-1)=-2近%=

所以|OM|=护+㈠⑹?=向,[0叫==理

所以三角形。不是等腰三角形，D选项错误.

故选：AC.

第口卷（非选择题）

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共14分。

12.(2023•甲卷)若y=(%-1)?+ox+sin(x+g)为偶函数，贝

第15页共22页

【答案】2.

【解析】根据题意，设/(%)=(工一1)2+ox+sin(x+^-)=x2-2x+ox+l+cosx,

其定义域为H,

若/(x)为偶函数，贝!J/(-%)=x2+2x—ax+1+cosx=x2—2x+ax+l+cosx=f(x),

变形可得(〃一2)x=0,必有a=2.

13.(2023新课标全国II卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

【答案】28

21

【详解】方法一：由于彳=而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为gx(4x4)x6=32,

截去的正四棱锥的体积为:x(2x2)x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为gx3x(16+4+Vi数)=28.

14.(2023新高考天津卷)过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切，交曲线;/=2px(p>0)于点P,

若|0P|=8,则P的值为.

【答案】6

【详解】易知圆(x+2y+y2=3和曲线y2=2px关于无轴对称，不妨设切线方程为，=履，k>0,

2P

所以七S解得：由，吸解得：■或3

2-p'

3

=—=8,解得：P=6.

3

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当左=-6时，同理可得.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(新题型)设函数〃x)=lnx+«x+6,曲线y=在点(L〃l))处的切线方程为y=6尤-3.

⑴求凡6；

⑵证明：/(%)>-—.

3X

【解】(1)函数“X)的定义域为(0,+8)"'(x)=—+a.

将x=l代入y=6x-3,解得y=3,即/⑴=3,

由切线方程>=6x-3,则切线斜率-⑴=6.

故a+〃=3,l+a=6,角星得a=5,b=—2.

(2)证明：由(1)知f(x)=lnx+5x-2,

3c3

从而f(X)>---等价于xlwc>—5%2+2x—.

5x5

设函数g(%)=xln3则g'a)=l+ln¥.

所以当时，g,(x)<0,当xeg,+oo］时，gr(x)>0.

故g(%)在L上单调递减，在g,+［上单调递增,

从而g(x)在(0,+8)上的最小值为g口］=」.

设函数力(无)=-5尤2+2无一］=一5A：l-t

从而h(x)在(0,+8)上的最大值为=

故g(x)>//(x),HP/(%)>-—.

16.(15分)(2022•新高考II)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得

到如下的样本数据的频率分布直方图:

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区总人口的

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16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）,求此人患这种疾病的概率（以样本数据中

患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

♦频率/组距

0.023-------------------

0.020-------------------

0.017---------------]-

0.012--------q—

0.006--------------------------------------------

0.002------------------------------------J_.

non!-----------------------------------1----1一.

0102030405060708090

年龄/岁

【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为:

x=5x0.001x10+15x0.002x10+25x0.012x10+35x0.017x10+45x0.023x10+55x0.020x10+65x0.017x10+75x0.006x10+85x0.002x10=47.9^•

（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的频率为:

（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）x10=0.89,

.•・估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的概率为0.89.

（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间［40,50）为事件5,此人患这种疾病为事件C,

则P（C|B）=3=心。吆1。.0Q014.

P（B）16%

17.（15分）（2023•新高考II）如图，三棱锥中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADB=ZADC=6Q°,

E为3C中点.

（1）证明3C_LD4；

（2）点/满足所=D4,求二面角。-AB—产的正弦值.

【解析】证明：（1）连接AE,DE,

DB=DC,E为BC中点..

:.DE±BC,

又,DA=DB=DC,ZADB=ZADC=60°,

.〔AACD与AABD均为等边三角形,

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/.AC=AB，

.\AE±BC,AErDE=E,

3c_L平面ADE,

ADu平面

:.BC±DA.

(2)T§1DA=DB=DC=2,

BC=2应,

DE=AE=,AD=2，

:.AE2+DE2=4=ADi,

:.AE±DE,

又♦'AE_LBC,DEBC=E,

.•.AE_L平面3CD,

以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

0(72,0,0),4(0,0,伪，8(0,应,0),E(0,0,0),

EF=DA,

：.F(-应,0,应),

:.DA=(-肥,0后,AB=(O,0,-0),AF=(-应,0,0),

设平面ZMB与平面尸的一个法向量分别为4=(%,%,4),n2=(x2,y2,z2),

则广步+步=。，令菁=i,解得%=z=l,

［岛_丹=0

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应Z2°,令y?=1,解得x2=0,z2=1,

,,=0

故％=(1,1,1),%=(0,1,1),

设二面角。-产的平面角为6,

MilIn,In,-«2I2A/6

贝uIcose\=—!~产=—，

I»111M21V3xV23

故sin6=—

3

所以二面角。-钻-产的正弦值为走

3

22

18.（17分）（2022•新高考I）已知点A（2,l）在双曲线C:1--口=上，直线/交C于P,。两

a~a-1

点，直线"，A2的斜率之和为0.

（1）求/的斜率;

（2）若tanNPAQ=2后，求APAQ的面积.

【解析】（1）将点A代入双曲线方程得之--一=1,

化简得4片+4=0,.•./=2,故双曲线方程为工―尸=1,

2

由题显然直线/的斜率存在，设/:y=fcr+m,设P（玉，%）。（%2，%），

则联立双曲线得：（2左2-1）尤2+4物氏+2根2+2=0,

4km2m2+2

故玉+/=一

2k2-1

%—1+%1fcvj+m—l^Ax+m