山西省晋城市2024届高三一模数学试题及答案

山西省晋城市2024届高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合M=V%V5},N={y\y=x-lfxEM},则MUN=()

A.(-2,5)B.(—1,4)

C.(—2,4)D.(—1,5)

2.设z在复平面内对应的点为（1,-2）,则Z在复平面内对应的点为（）

A-（一行B-

C.—3)D.一1)

2222

3.若sinl80=m,则sin63°=()

A.(V1—m2—m)B.-mV1—m2

222

C.近(znV1—m2)D.6m-V1—m2

222

4.已知定义在（0,8让的函数/（%）满足e（0,8）y)=f(%)/(y)

,—二，/(x)>0,且/(l)"(2)=5,则f(l)=()

xyxy

A.1B.2C.2D.5

22

5.若生皿0ieN*）的展开式存在常数项，则常数项为（）

。2匕5

A.-35B.35C.-21D.21

6.吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江

东路.雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均

为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为p米）的一部分，左：右两边的悬索各连

接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为a米（将每根吊索视为线

段）.已知最中间的吊索的长度（即图中点4到桥面的距离）为匕米，则最靠近前主塔的

吊索的长度（即图中点B到桥面的距离）为（）

试卷第1页，共6页

Q169a2曾呼^D169a221蛛^

P2p

7.定义min{p,q,r}表示p,q,r中的最小值.已知实数a,b,c满足abc=O,abc=-1,

则（）

A.min{a,b,c}的最大值是一1B.min{a,b,c}的最大值是一游

C.min{a,b,c}的最小值是一1D.min{a,b,c}的最小值是一四

8.生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼

品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分.若

某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始.某会员参与打卡活

动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡

的那天是（）

A.3月5日或3月16日B.3月6日或3月15日

C.3月7日或3月14日D.3月8日或3月13日

二、多选题

9.若一个函数在区间。上的导数值恒大于0,则该函数在C上纯粹递增，若一个函数在

区间。上的导数值恒小于0,则该函数在D上纯粹递减，则（）

A.函数/（久）=X2-2%在［1,8让纯粹递增

B.函数/1（x）=X3—2%在［1,2］上纯粹递增

C.函数/（x）=sinx-2x在［0,1］上纯粹递减

D.函数f（无）=ex—3x在［0,2］上纯粹递减

10.如图，在正四棱柱2BC0-中,AB=2,4％=4,C^E=3EC,平面ABE

将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为。上，下部分对应的几何体

为。丁，则（）

下

A.Q的体积为2

下

B.。上的体积为12

试卷第2页，共6页

C.Q的外接球的表面积为9Tl

下

D.平面4BE截该正四棱柱所得截面的面积为2遍

11.双曲线C:%2一y2=>0)的左、右焦点分别为FjF?,P(t,s)(s大0)为C的右

支上一点，分别以线段PF］,P%为直径作圆。1，圆。2,线段。。2与圆°2相交于点M，其

中。为坐标原点，则()

A.1。1。21=V3ni

B.\OM\=m

C.点(t,0)为圆0］和圆。2的另一个交点

D.圆。，与圆0,有一条公切线的倾斜角为汉

1z4

12.已知函数/(%)=+Inx,贝！］()

A.是"/(为，0一无+上乎的充要条件

X

B.“x>1”是“/(x)>e-x+In”，的充分不必要条件

X

C.当/'(%)=(e2—1)%+2时，x+Inx=2

D.当/'(x)=(e2-l)x+2时，x+Inx=e

三、填空题

13.若一个正九棱台的棱数大于15,且各棱的长度构成的集合为{2,3},贝版的最小值

为,该棱台各棱的长度之和的最小值为.

14.已知两个单位向量另的夹角为70。，则一日与1+3的夹角为.

15.某羽毛球超市销售4种品牌(品牌4,B,C,D)的羽毛球，该超市品牌4B,C,

。的羽毛球的个数的比例为4:3:2:3,品牌4,B,C,。的羽毛球的优品率分别为0.8,

0.9,0.7,0.6.若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛

球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8,则可推测他不买

的羽毛球的品牌为(填入4,B,C,。中的1个).

16.若函数f(x)=costi)x(0<a><100)在(it,室)上至少有两个极大值点和两个零点，则

a)的取值范围为.

试卷第3页，共6页

四、解答题

17.在△ABC中，AB=3圾,AC=5A/3,BC=7依.

(1)求力的大小；

(2)求△ABC外接圆的半径与内切圆的半径.

18.已知数列｛3X2naJ的前?1项和S”=4ni-4.

(1)求数列｛aj的通项公式；

2

(2)设％=3(a“_2)2,求数列｛、｝的前71项和7^.

试卷第4页，共6页

19.某果园种植了一种水果，现随机抽取这种水果的成熟果实200个，统计了这200个

果实的果籽数量，得到下列频数分布表：

果籽数量1234

水果数100504010

(1)求这200个果实的果籽数量的第75百分位数与平均数.

(2)已知这种水果的成熟果实的果籽数量会影响其市场售价，每个果实的果籽数量与果实

的价格如下表所示：

果籽数量1234

价格阮201286

以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自

对应的概率，从该果园的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的

果籽数量为1的前提下，设这2个果实的市场售价总和为X元，求X的分布列与数学期

望.

20.如图，P是边长为2的正六边形ABCDE尸所在平面外一点，BF的中点。为P在平面

4BCDEF内的射影，~PM=2MF.

(1)证明：ME〃平面PBD.

(2)若P4=2,二面角4—PB—D的大小为仇求cos20.

试卷第5页，共6页

21.已知函数/(%)=e2x—a——.

e%

(1)若/(%)20恒成立，求a的取值范围；

(2)若/(x)有两个零点4，芍，证明：\+<0.

22.已知椭圆P:迎+以=1的焦点是椭圆E的顶点，椭圆Q:蛙+运=1的焦点也是E的顶

6269

点.

(1)求E的方程；

(2)若/(/，彘)，C,D三点均在E上，且CF1DF,直线CF,DF,CD的斜率均存在，证

明：直线CD过定点(用％,为表示).

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】先化简集合N,再求并集.

【详解】因为M={x|—1<比<5},所以N={y[—2<y<4},所以MUN=(―2,5).

故选：A

2.C

【分析】利用复数运算法则化简且即可求解.

zi

【详解】依题意得z=1—2i,

所以Z=」i=(l2i)(li)=-l3i=_13i；

zi1-ii)222

则z在复平面内对应的点为(_\a).

zi22

故选：c

3.C

【分析】利用和角公式及同角三角函数关系进行求解.

【详解】sin63°=sin(18°45°)=应(sinl8°cos18°)=(mV1—m2).

'22

故选：C

4.B

【分析】对于抽象函数的关系式，可考虑对进行赋值,借助于f(l)"(2)=5建立方程组,

求解即得.

【详解】令x=y=l,得f(2)=2/(l)1-2,即f(2)-2/(1)=-KD

22

因/⑴•/(2)=5②,联立①②解得：/(I)=2或/■(1)=-3,又f(x)>0,所以"1)=2.

4

故选：B.

5.C

【分析】先确定〃值，再利用通项公式求解.

【详解】若正如的展开式存在常数项，则n=25=7,且常数项为第。2「亦=—嘴=

。2匕5匕5'

-C2=-21.

故选：C

6.A

【分析】建立坐标系，求出点8横坐标，代入抛物线即可求解.

答案第1页，共12页

【详解】以4为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系(横坐

标与纵坐标的单位均为米)，

依题意可得抛物线的方程为/=2py.

因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为a米，则点B的横坐标

为—14a,

故选：A.

7.B

【分析】由题先分析出实数a,b,c一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大

值即可.

【详解】因为abc=—1,所以在a,b,c中，负数的个数为1或3,

又abc=0,所以在a,b,c中，1个为负数,2个为正数，不妨设c<0,则min{a,b,c}=c.

因为2AoWab=-c,所以因为c<0,所以a'W-l,贝lieW—涧，

44

故min{a,b,c}的最大值是-必?，无最小值.

故选：B.

8.D

【分析】利用等差数列求和公式列方程求解.

【详解】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1,

公差为2,第71天所得积分为271—1.

假设他连续打卡几天，第n1天中断了，

则他所得积分之和为(13•••2n-1)[132(19-n)-1]

_n(l2n-l)=193,化简得点2-197184=0,

22

解得九=7或12,所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的应用，注意审题“一天中断''两次求和公式的应用.

答案第2页，共12页

9.BC

【分析】求各选项函数的导数，利用所给定义判断即可求解.

【详解】若/(%)=%2-2无，则/，(%)=2%一2,因为"(1)=0,所以A错误.

若/(%)=%3—2%,贝(］f，(%)=3%2—2,当％E［1,2］时，"(%)>0恒成立，所以B正确.

若/(%)=sin%—2x,则/，(%)=cosx—2<0,所以C正确.

若/(%)=e%—3%,则户(%)=ex-3<0在［0,2］上不恒成立，所以D错误.

故选：BC

10.ACD

【分析】根据题意求截面，可知Q一为直三棱柱40F-BCE,进而可求相应的体积，即可判

下

断AB；利用补形法结合长方体的性质求外接球的半径和表面积，即可得判断C；可知平面

48E截该正四棱柱所得截面为矩形4BEF,即可得面积判断D.

［详解］设庠=3丽，平==3HB,

连接EF,AF,BE,GF,GH,EH,

由长方体的性质可知：EF//AB,可知/,B,E,F四点共面，

所以。为直三棱柱ADF—BCE,其体积为工X1X2X2=2,故A正确；

下2

Q上的体积为22X4—2=14,B错误.

Q的外接球即为长方体4BCD-GHEF的外接球，

下

所以。一的外接球的半径R=逅三9=a,

下22

则Q的外接球的表面积为4TIR2=9冗，C正确.

下

平面ABE截该正四棱柱所得截面为矩形48EF,其面积为2x71^—22=2A/5,D正确.

故选：ACD.

11.BCD

答案第3页，共12页

【分析】由中点中位线性质判断AB；由圆与圆关系及切线性质求得sin乙40,01=e判断CD.

212

【详解】C的方程可化为正一m=1,可得a=m,b=m,c=V2m.

m2m2

由。，为PF,的中点，。，为PF,的中点，得|。,。,|=工区玛I=«m,A错误.

由。，为P工的中点，。为工工的中点，得|0。0|=I|PF,I,

ZZ_Lzz2，

则|0M|=\00\-\M0\=^\PF\~\P0\=^\PF\-^\PF\=a=m,B正确.

z乙2、乙2\2乙

设点Q为圆。1和圆。2的另一个交点，连接PQ,由。1。2〃、轴，

可得。1。2，「(2，0］。2为△PF10的中位线，则直线。1。2平分线段PQ，

则点Q必在x轴上，可得点Q的坐标为(t,0),C正确.

如图，若8。为圆01与圆。2的一条公切线，B,D为切点、,

连接0口，02D,过点。2作。2人1。田，垂足为4

由|0,。,|=<2m,\0A\=\0B\-\0D\=1|PFI-1|PFI=a=m,

得sin乙4。,。，=」4以-==近，

21

\0102\V2nl2

可得44。2。1=；,由。1。2〃、轴，且0247BC,可得公切线BD的倾斜角为jD正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与圆的综合应用，利用圆与圆位置关系求解D是关

键.

12.AC

【分析】利用指对同构构造函数g(t)=et+t结合函数单调性判断各选项.

【详解】因为％2ex=ex+21nx,所以/(尤)>e-%+In*等价于ex+2inx+久+21nx>e+1,构

X

造函数g(t)=et+t,

则g(x+21nx)>g(l),因为g(t)是增函数，所以x+21nx>l.

答案第4页，共12页

因为函数%(%)=%+21nx为增函数，且h(l)=1,所以久+21nx>1<=>%>1,

所以“%>1”是“/(%)>e—%+In殳”的充要条件.

X

当/(%)=(e2—1)%+2时，x+Inx=2,理由如下：

(解法一)

/(%)=(e2—1)%+2可变为e%+2in%+为+21nx=e2x+2+Inx=e2+inx+2+Inx,

则g(x+2Inx)=g(2+Inx).因为g(t)是增函数，所以％+2Inx=2+Inx,即％+Inx=2.

(解法二)设％+In%=则In%=TH—%,em-x=%,即e%=此，

X

代入％2ex+Inx=(e2—l)x+2,得xem+m—x=(e2—l)x+2,即(em—e2)x=2—m.

假设Hl72,则等式左右异号，矛盾.所以m=2,即x+lnx=2.

故选：AC

【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性，关键是将函数变形指对同构构造函数.

13.642

【分析】根据正几棱台共有3n条棱，从而得到不等式，求出n的最小值为6,得到棱的长度之

和最小值.

【详解】因为正n棱台的侧棱有几条，底面有2n条棱，所以正门棱台共有3n条棱，

由3n>15,得n>5,

所以n的最小值为6,该棱台各棱的长度之和的最小值为2x12+3x6=42.

故答案为：6,42

14.145°

【分析】利用向量加减运算结合夹角定义求解.

【详解】设2=瓦?，b=OB,a-b=0C,因为乙3均为单位向量，

所以四边形04CB为菱形，且0C平分乙40B,

所以日与R+3的夹角为70。+2=35°,则一日与2+3的夹角为180。-35。=145°.

-aa

故答案为:145°

答案第5页，共12页

15.D

【分析】先确定不是品牌B,再利用全概率公式分别计算不买品牌的概率即可求解.

【详解】因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8,且0.8,0,9,0,7,0.6中只有0.9>0.8,

所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌B.

若他不买品牌4的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.9X=一0.7

323323

0.6x^—=3=0.7375.

3238

若他不买品牌C的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.80.9X」一

433433

0.6x」一=9=0.77.

43310

若他不买品牌。的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.8x^—0.9X—2—

432432

0.7x^—=0.81.

4329

故答案为：D

16.(2,2)U(X100)

【分析】先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解.

【详解】令keZ,得/的极大值点为x=血，keZ,则存在整数k,使得

to>0

—>11

2(/cl)n<51T

(x)2

解得4ki)v3<2k(keN*).

因为函数y=cosx在两个相邻的极大值点之间有两个零点,

所以其u)<3<2k(kEN*).

5

当k=l时，^<a)<2,当k=2时，丝<3<4.

55

当k22时，3^)V3^)<2/C.又0<3<100,

55

所以3的取值范围为g,2)Ue,4)U患，6)u-u(皆,100)=g,2)U已,100).

故答案为:e，2)u《,i。。)

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出MDvo)<2/c(/cGN*)并

5

答案第6页，共12页

赋值计算是解决问题关键.

17.(1)4=①

3

(2祥

2

【分析】（1）由余弦定理即可求解;

（2）由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.

【详解】（1）由余弦定理得COS2=4B24aB（?=15

2AB-AC2

因为o<a<n,所以4=生.

3

(2)设△ABC外接圆的半径与内切圆的半径分别为R,r,由正弦定理得2R=工=至=14,

sinAQ

2

则R=7.

△ABC的面积S=1AB-AC-sinX=叁，

24

由工rQ43ACBC)=S,得7=——=3.

2ABACBC2

18.(1)。九=2九

(2)7^=4九14n6n3

【分析】（1）令％=3X2"4,利用当nN2时，Cn=SnS.1求解;

（2）利用分组求和求解.

【详解】(1)令cn=3X2nan.

当n=1时，ci=Si=12；

当心2时，cn=SnSni=4ni4n=3x4、

因为C]=12=3X41,所以c九=3x4九,

所以3X2九a=3X4n,解得a=2".

nn

2

(2)由(1)知b=3(2“工)=3(4”2

n2n力，

所以T=3—2nU—]

n1414

4

4n14111

=3|—-2九3d薪)]=4京]4n6n3

19.(1)2.5,1.8

答案第7页，共12页

（2）分布列见解析，的

5

【分析】（1）由题意计算出200x笈=150对应的果籽数量为2,即得第75百分位数为。=

1002

2.5；

（2）先求得果籽数量为1,2,3,4对应的概率，依题要求至少有1个的果籽数量为1的前提下

这2个果实的售价之和X,属于条件概率，而至少有1个的果籽数量为1的概率为1-

（1—1）2=3,则可对X的四个可能值40,32,28,26分别利用条件概率公式求得概率，写

V274

出分布列即得期望.

【详解】（1）将这200个果实的果籽数量从少到多排列，因为200X笈=150,对应的果籽

100

数量为2,

故这200个果实的果籽数量的第75百分位数为口=2.5.

2

工黑口取泌

这200个果实的果籽数量的平均数为5040吐i,8.

200

（2）依题意可得果籽数量为1,2,3,4对应的概率分别为1,1,工，工.

24520

被选的2个成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的概率为1—（1-I）?=&.

12，4

X的可能取值为40,32,28,26,

P（X=40）=专=工，P（X=32）=与i=1,

44

P（X=28）=^i=EP(X=26)=^1i=工

4

则X的分布列为

28X二26X工=3.

15155

20.（1）证明见解析

(2)cos20=—0

35

答案第8页，共12页

【分析】(1)设丽=2宿，连接MN,可证四边形EKNM为平行四边形，所以ME〃NK,

从而得证ME〃平面PBD；

(2)由空间向量法求得二面角4—PB—D的大小为。，|cosO|=退，再由二倍角公式求解.

-35

【详解】(1)如图，设丽=2宿，连接MN.

因为丽=2而，所以生=£M,所以MN//BF,且MN=2吕尸.

NBMF3

连接CE交BD于K,连接KN,

由NKDC=30。，所以NKDE=90。，

RgKDE中，KD=LKE,KC=KD,

2

所以EK=^CE=?BF=MN,

33

由CE〃BF,可得EK〃MN,所以四边形EKNM为平行四边形,

所以ME//NK.

又因为MEN平面PBD,NKu平面PBD,

所以ME〃平面P80.

(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

易知。4=1,0D=3,OB=V3,P0=7PA2一。。2=旧,

则P(0,0,V5),B(V3,0,0),0(0,3,0),4(0,—1,0),

则丽=(-73,0,V3),AP=(0,1,V3),BD=(-73,3,0).

设平面P4B的法向量为周=(x,y,z),则■［三,竺=°「即■［丫az:0,-

1=0,1-V3%+V3z=0,

令％=1,得厚=(1,-V3,1).

设平面的法向量为亏=(4兀4),则但,竺二°尸即［一乎+%=°，

令兀=1,得亏=(73,1,73),

由cos〈冗,可〉=%吗==逗，

12In7HnJIV5xV7yf3s

答案第9页，共12页

得|cos6|=S=,

，35

所以cos26=2cos2。-1=2|cos0|2—X=

35

21.(1)(—8,1]

(2)证明见解析

【分析】(1)求导判单调性，求/(%)的最小值，列不等式求解；

(2)通过证明g(%)=/(%)—/(—%)>0求解.

【详解】(1)/，(％)=2e2x—2(1F=2(e3xl%),

e%ex

令九(%)=e3%—1x,易知九(%)单调递增，且九(0)=0.

当%V0时,h(%)V0,即0(%)<0,/(%)单调递减；

当%>0时，九(%)>0,即/，(%)>0,/(%)单调递增.

所以/(%)min=f(0)=1一。之0，即a<1，

所以a的取值范围是(一叫1].

(2)由/(%)的单调性可设%]<0<

令g(X)=/(%)—/(一%)=e2x—e~2x一(——)=(exe-x)(ex—e-x—2%).

exe-x

令3(x)=ex—e-x—2%(x>0),则3(%)=exe-x-2>2jexe-x-2=0,

所以s(x)在(0,8让单调递增，则0(x)>0(0)=0,所以0(4)>0.

所以/(%2)—/(一%2)>仇即/(4)一/(一％2)>°，即/(4)>

因为当久<0时，/(久)单调递减，且一汽2<°，所以即%“2<0，

【点睛】关键点点睛：本题考查函数恒成立问题及证明不等式，第二问将g(x)=/(%)-

八-久)分解因式判断符号是本题关键.

22.(1声史=]

43

(2)过定点(4,一区),证明见解析.

77

【分析】(