河北省唐山市乐亭县2024届中考数学最后一模试卷含解析

河北省唐山市乐亭县重点达标名校2024届中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，数轴A、B上两点分别对应实数a、b,则下列结论正确的是（）

b-10a1

A.a+b>0B.ab>0C.D.

2.甲乙两同学均从同一本书的第一页开始，按照顺序逐页依次在每页上写一个数，甲同学在第1页写1,第2页写3,

第3页写1.............每一页写的数均比前一页写的数多2；乙同学在第1页写1,第2页写6,第3页写11,……，每

一页写的数均比前一页写的数多1.若甲同学在某一页写的数为49,则乙同学在这一页写的数为（）

A.116B.120C.121D.126

3.如图，AB〃CD,DEICE,Zl=34°,则NDCE的度数为（）

AEB

工

DC

A.34°B.56°C.66°D.54°

4.如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（）

另一

前1认可

复1习

A.认B.真C.复D.习

5.如图图形中，可以看作中心对称图形的是（）

A'◎C-

D.（3C）

6.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点•若

点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，贝！］CDM周长的最小值为（

£

M

C.10D.12

-18的倒数是（

A.18B.-18

8.下列说法中，正确的是（）

A.长度相等的弧是等弧

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

C.经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

D.在同圆或等圆中90。的圆周角所对的弦是这个圆的直径

9.在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7,5,3,5,10,则关于这组数据的说法不正确的是（）

A.众数是5B.中位数是5C.平均数是6D.方差是3.6

10.对于任意实数k,关于X的方程x2—2（k+l）x—k?+2k—1=0的根的情况为

A.有两个相等的实数根B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，ZMAD=45°,

ZMBC=30°,则警示牌的高CD为______米（结果保留根号）.

12.如图，AB是。O的直径，且经过弦CD的中点H,过CD延长线上一点E作的切线，切点为F.若NACF=65。,

则NE=.

13.在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只.某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一

个，记下颜色，再放回袋中，不断重复.下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是

摸球的次数n1001502005008001000

摸到白球的次数m5896116295484601

摸到白球的频率m/n0.580.640.580.590.6050.601

14.如图，直线x=2与反比例函数丫=2和丫=-工的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB

XX

的面积是.

16.二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc>0；②4acVb2；③2a+b>0；④其顶点坐标为（；，

-2）；⑤当x<g时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c>0中，正确的有.（只填序号）

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着

承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小

组想测量位于芙蓉湖两端的A,B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走,走到点C处，测得NACF=45。,

再向前走300米到点D处，测得NBDF=60。.若直线AB与EF之间的距离为200米，求A,B两点之间的距离（结

果保留一位小数）

18.（8分）如图，已知反比例函数片=七和一次函数%=以+1的图象相交于第一象限内的点A,且点A的横坐标

x

为1.过点A作ABJ_x轴于点B,AAOB的面积为1.

求反比例函数和一次函数的解析式.若一次函数%="X+1的图象与x轴相交于

点C,求NACO的度数.结合图象直接写出：当月>%>0时，x的取值范围.

19.（8分）如图，平行四边形A5C。的对角线AC,3。相交于点。，E尸过点。且与A3、分别交于点E、F.求

证：OE—OF.

20.（8分）已知：如图所示，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1,0）,B（3,0）

⑴求抛物线的表达式；

⑵设点P在该抛物线上滑动，且满足条件SAPAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标.

21.（8分）（1）解方程：」-----1=0；

l-2xx+2

f3x-2>l

（2）解不等式组旧9<3（用）’并把所得解集表示在数轴上

22.（10分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查

的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列

问题：

扇榔榴鼎统十图

“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为.度；请补全条形统计图；若该中学共有学生900人，请根据上述调查结

果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数.

23.（12分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度•他们在C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为45，

再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为60，求建筑物的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到01米,

石仪1.732,0=1.414）

建

筑

物

24.一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把1,3,6,10,15,21,…，称为“三角形数”；把

1,4,9,16,25,…，称为“正方形数”.

1361014916

将三角形、正方形、五边形都整齐的由左到右填在所示表格里：

三角形数136101521a・・・

正方形数1491625b49・・・

五边形数151222C5170・・・

（1）按照规律，表格中a=___，b=___,c=___.

（2）观察表中规律，第n个“正方形数”是；若第n个“三角形数”是x,则用含x、n的代数式表示第n个“五

边形数”是____________

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

本题要先观察a,b在数轴上的位置，得b<-lV0Va<l,然后对四个选项逐一分析.

【详解】

A、因为bV-lVOVaVl,所以|b|>|a|,所以a+bVO,故选项A错误；

B、因为bVO<a,所以ab<0,故选项B错误；

C、因为bV-lVOVaVl,所以+>0,故选项C正确；

D、因为bV-lV0<a<l,所以>0,故选项D错误.

故选C.

【点睛】

本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上右边的数总是大于左边的数.

2、C

【解析】

根据题意确定出甲乙两同学所写的数字，设甲所写的第"个数为49,根据规律确定出"的值，即可确定出乙在该页写

的数.

【详解】

甲所写的数为1,3,1,7,…，49,...；乙所写的数为1,6,11,16,…，

设甲所写的第"个数为49,

根据题意得：49=1+(/I-1)x2,

整理得：2("-1)=48,即"-1=24,

解得：”=21,

则乙所写的第21个数为1+(21-1)xl=1+24x1=121,

故选：C.

【点睛】

考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键.

3、B

【解析】

试题分析：；AB〃CD,

/.ZD=Z1=34°,

VDE±CE,

/.ZDEC=90°,

:.ZDCE=180°-90°-34°=56°.

故选B.

考点：平行线的性质.

4、B

【解析】

分析：由平面图形的折叠以及正方体的展开图解题，罪域正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形.

详解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”.

故选B.

点睛：本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手分析及解答问题.

5、D

【解析】

根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形,

这个点叫做对称中心进行分析即可.

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选D.

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形，关键掌握中心对称图形定义.

6、C

【解析】

连接AD,由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADLBC,再根据三角形的面积公式求出AD的长，

再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的最小值，

由此即可得出结论.

【详解】

•.•△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

/.AD1BC,

11A”

SABC=-BC«AD=-x4xAD=16,解得AD=8,

A22

VEF是线段AC的垂直平分线，

点C关于直线EF的对称点为点A,

AAD的长为CM+MD的最小值，

.,.△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+-BC=8+-x4=8+2=l.

22

故选C.

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

7、C

【解析】

根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数.

【详解】

../1、

•-18x(------)=1,

18

-18的倒数是—工，

18

故选C.

【点睛】

本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键.

8、D

【解析】

根据切线的判定，圆的知识，可得答案.

【详解】

解：A、在等圆或同圆中，长度相等的弧是等弧，故A•错误；

B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故B错误；

C、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故C错误；

D、在同圆或等圆中90。的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故D正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了切线的判定及圆的知识，利用圆的知识及切线的判定是解题关键.

9、D

【解析】

根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可.

【详解】

A、数据中5出现2次，所以众数为5,此选项正确；

B、数据重新排列为3、5、5、7、10,则中位数为5,此选项正确；

C、平均数为(7+5+3+5+10)4-5=6,此选项正确；

D、方差为gx[(7-6)2+(5-6)2x2+(3-6)2+(10-6)2]=5.6,此选项错误；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式,

此题难度不大.

10、C

【解析】

判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式A=b2-4ac的值的符号即可：

Va=l,b=-2(k+l),c=-k2+2k—1，

A=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4x1x(-k2+2k-1)=8+8k2>0.

此方程有两个不相等的实数根.故选C.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、一4

【解析】

分析:利用特殊三角函数值，解直角三角形再用正切函数，利用拉3求。他作差可求OC

【详解】

因为NMAZ>=45。,AM=4,所以MD=4,

因为45=8,所以M8=12,

因为/MBC=30。，所以CM=M8tan3(r=4百.

所以C0=4G-4.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的相关定义以及变形是解题的关键.

12、50°.

【解析】

解：连接DF,连接AF交CE于G,

；EF为。O的切线，

.\ZOFE=90°,

；AB为直径，H为CD的中点

AAB1CD,即NBHE=90。，

■:NACF=65。，

.\ZAOF=130°,

:.ZE=360°-ZBHE-ZOFE-ZAOF=50°,

故答案为：50°.

13、0.1

【解析】

根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.1左右，即为摸出白球的概率.

【详解】

解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到白球的频率稳定在0.1左右，

则P白球=0.1.

故答案为0.1.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近.

14、3.

2

【解析】

211

解：,把x=l分别代入丫=—、y=--,得y=l、y=--»

xx2

/.A(1,1)»B(1,-----).:.AB=1—I—|=—.

xI2；2

；P为y轴上的任意一点，.•.点P到直线BC的距离为1.

1133

*•.△PAB的面积——ABx2——x—x2——.

2222

3

故答案为：一.

2

15、75°

【解析】

【分析】根据绝对值及偶次方的非负性，可得出cosA及sinB的值，从而得出NA及NB的度数，利用三角形的内角

和定理可得出NC的度数.

1、历

【详解】•；|cosA——|+(sinB------)2=0,

22

・A-1・哈亚

••cosA--9SIHIJ--------，

22

.•.ZA=60°,ZB=45°,

二ZC=180°-ZA-ZB=75°,

故答案为：75°.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA及sinB的值，另外要求我们

熟练掌握一些特殊角的三角函数值.

16、①②③⑤

【解析】

根据图象可判断①②③④⑤，由x=l时，yVO,可判断⑥

【详解】

由图象可得，a>0,c<0,b<0,△=b2-4ac>0,对称轴为*=,，

2

/.abc>0,4ac<b2,当x<g时，y随x的增大而减小.故①②⑤正确，

/.2a+b>0,

故③正确，

由图象可得顶点纵坐标小于-2,则④错误，

当x=l时，y=a+b+c<0,故⑥错误

故答案为:①②③⑤

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物

线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.

三、解答题(共8题，共72分)

17、215.6米.

【解析】

过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点,

根据RtAACM和三角函数tan邛求出CM、DN,然后根据ACV=MD+DN=A3即可求出A、B两点间的距

离.

【详解】

解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点

在RtAACM中，*.•ZACF=45°,

，AM=CM=200米，

XVCD=300^,所以MD=CD—&W=100米，

在RtABDN中，NBDF=60°,BN=200米

BN

：.DN=—:a115.6米，

tan60

:.MN=MD+DN=ABx2156米

即A,B两点之间的距离约为215.6米.

【点睛】

本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.

2

18、(1)y尸一；y2=x+l；(2)ZACO=45°；(3)0<x<l.

x

【解析】

(1)根据AAOB的面积可求AB,得A点坐标.从而易求两个函数的解析式；

(2)求出C点坐标，在△ABC中运用三角函数可求NACO的度数；

(3)观察第一象限内的图形，反比例函数的图象在一次函数的图象的上面部分对应的x的值即为取值范围.

【详解】

(l)VAAOB的面积为1,并且点A在第一象限，

2

.,.k=2,/.y1=—；

・・,点A的横坐标为1,

AA(1,2).

把A(l,2)代入y2=ax+l得，a=l.

•\y2=x+l.

⑵令y2=0，0=x+L

•*.X=-l,

/.C(-l,0).

/.OC=1,BC=OB+OC=2.

.\AB=CB,

:.ZACO=45°.

(3)由图象可知，在第一象限，当y1>y?>0时

在第三象限，当y,>y2>0时,舍去).

【点睛】

此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于结合函数图象进行解答.

19、见解析

【解析】

由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，即可得OA=OC,易证得△AEO电△CFO,由全等三角形

的对应边相等，可得OE=OF.

【详解】

证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.OA=OC,AB〃DC,

ZEAO=ZFCO,

一NEAO=NFCO

在△AEO和△CFO中OA=OC

ZAOE=Z.COF

...AAEO^ACFO(ASA),

/.OE=OF.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，属于简单题，熟悉平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解

题关键.

20、⑴y=-x?+4x-3；(2)满足条件的P点坐标有3个，它们是(2,1)或(2+叵,-1)或(2--1).

【解析】

(1)由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式；

(2)根据二次函数图象上点的坐标特征，可设P(t,矛+4b3),根据三角形面积公式得到;.2.|-t2+4t-3|=l,然后去

绝对值得到两个一元二次方程，再解方程求出t即可得到P点坐标.

【详解】

解:⑴抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3；

⑵设P(t,-t2+4t-3),

因为SAPAB=1>AB=3-1=2,

所以;・2”-t2+4t-3|=l,

当-t?+4t-3=1时，ti=t2=2,此时P点坐标为(2,1)；

当-t2+4t-3=-l时，tl=2+e■,t2=2-0■,此时P点坐标为(2+应，-1)或(2-&,-1),

所以满足条件的P点坐标有3个，它们是(2,1)或(2+叵,-1)或(2-、反，-1).

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择

恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元

一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交

点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

21、(1)x=1;⑵x>3;数轴见解析；

【解析】

(1)先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；

(2)先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

【详解】

解：(1)方程两边都乘以(l-2x)(x+2)得：x+2-(l-2x)=0,

解得：x=—

检验：当X=—J时，(l-2x)(x+2)邦，所以x=-J是原方程的解，

33

所以原方程的解是x=-』；

3

f3x-2>l(D

⑵|x+9<3(x+l)(2)，

•••解不等式①得：x>l,

解不等式②得：x>3,

二不等式组的解集为x>3,

在数轴上表示为：----------------匚二t——>.

-5-4-3-2-1012345

【点睛】

本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，能把分式方程转化成整式方

程是解(1)的关键，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解(2)的关键.

22、(1)60,90；⑵见解析;(3)300人

【解析】

(1)由了解很少的有30人，占50%,可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应

扇形的圆心角；

(2)由(1)可求得了解的人数，继而补全条形统计图；

(3)利用样本估计总体的方法，即可求得答案.

【详解】

解：(1)•••了解很少的有很人,占50%,

,接受问卷调查的学生共有：304-50%=60(人)；

二扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：—x360°=90°；

60

故答案为60,90；

(2)60-15-30-10=5；

补全条形统计图得：

翱前十图

则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人.

【点睛】

本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点.

23、14.2米；

【解析】

RtAADB中用AB表示出BD、RtAACB中用AB表示出BC,根据CD=BC-BD可得关于AB的方程，解方程可得.

【详解】

设45=*米

VZC=