立体几何-冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）（原卷版）

立体几何

鬟题型简介

立体几何一般作为全国卷第20题21题.重点题型主要是

1体积问题及表面积问题

2线面距离及线面角问题

3二面角问题

4空间几何综合问题

学,典例在线

题型一：体积及表面积问题

1.在如图所示的多面体中，AE_L平面ABC,AE//CD,AE=2CD=2,CA=CB=3,AB=20

B

⑴证明：平面ABE2平面

(2)求多面体ABCDE的体积.

1.如图①，在平面四边形A8CD中，AB=AD^2,BC=CD=6,ABAD=60.将△BCD沿着BD折

叠，使得点C到达点C的位置，且二面角A-8L»-C为直二面角，如图②.已知产,G,F分别是AC,ARAB

的中点，E是棱AB上的点，且C£与平面板)所成角的正切值为撞.

3

⑴证明：平面PGV〃平面C'DB；

(2)求四棱锥P-GEE。的体积.

题型二：线面距离及线面角问题

1如图，在多面体ABCDE中，已知ABC,AGO,3CE均为等边三角形，平面ACDL平面ABC,平面5CEL

平面ABC,X为A8的中点.

⑴判断。£与平面ABC的位置关系，并加以证明;

⑵求直线。〃与平面ACE所成角的正弦值.

1如图，尸£＞垂直于梯形ABCD所在平面，ZADC=ZBAD^90,尸为上4的中点，PD=&，

AB=AD=^CD=1,四边形PDCE为矩形.

⑴求证：AC〃平面DEF；

⑵求平面ABCD与平面BCP的夹角的大小;

⑶求点F到平面BCP的距离.

题型三：二面角问题

1如图，四棱锥尸-ABC。中，已知AD〃台C,BC=2AD,AD=DC,0BC£)=6O°,CD3\PD,PB5\BD.

⑴证明：PBSAB；

(2)设E是尸C的中点，直线AE与平面ABC。所成角等于45。，求二面角B-PC-。的余弦值.

1如图，在四棱锥S-ABCD中，底面A8CO为梯形，AB//CD,AB=2CD,AD=SD,ASAB为正三角

形，SCLBC,CB=CS.

A

⑴求证：平面SA5_L平面SBC；

⑵求二面角C-的余弦值.

题型四：空间几何综合问题

L如图所示,正方形A8CD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，AN//BM,AN=AB=BC=2,BM=4,

CN=2+.

⑴证明：平面A3CD；

(2)在线段CM(不含端点)上是否存在一点E,使得二面角E-BN-M的余弦值为也.若存在,求出的段值;

3EM

若不存在，请说明理由.

1如图，在四棱锥E-4BC。中，平面平面ABC。，0、M分别为线段A。、DE的中点，四边形BC。。是

边长为1的正方形，AE=DE,AEB1DE.

E

M

/O\\

zqJ-7----

BC

⑴求证：CM〃平面ABE；

⑵求直线CM与8。所成角的余弦值；

⑶点N在直线A。上，若平面BM厢平面ABE,求线段AN的长.

铲刷模拟

--

1.（2023・山东•潍坊一中校联考模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，_皿>为等边三角形，M为PA的

中点，PD±AB,平面E4£>_L平面A5co.

⑴证明：平面MCDJL平面R4B；

（2偌AD//BC,AD=2BC,CD=2AB,求平面MCD与平面P5C夹角的余弦值.

2.（2023•山东•日照一中校考模拟预测）如图，直三棱柱A2C-44。的体积为4,A^C的面积为2近.

⑴求A到平面ABC的距离；

(2)设。为AC的中点，AAi=AB,平面ABC，平面4网4,求二面角A—m―C的正弦值.

3.(2023•吉林•长春十一高校联考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A4C中，4Al，平面ABC,。为线段

AB的中点，CB=4,AB=4y/3,AG=8,三棱锥A-&DC的体积为8.

(1)证明：4。，平面与CQ;

(2)求平面AC。与平面ABC夹角的余弦值.

4.(2022•江苏南京•南京师大附中校考模拟预测)如图，在四棱锥尸-A8CD中，底面A3CD是边长为2的

菱形，NADC=60。，.E4D为等边三角形，。为线段AD的中点，且平面R4D，平面ABCD,M是线段PC

上的点.

p

⑴求证：OMVBC-,

⑵若直线与平面R4B的夹角的正弦值为巫，求四棱锥M-ABCD的体积.

10

5.(2023•河北衡水・衡水市第二中学校考模拟预测)如图，直四棱柱ABCD-4qGR中，相="，E是&A

的中点，底面ABC。是平行四边形，若ACJ■平面BOQ.

(1)若A2=A4,,证明：底面A3CD是正方形

⑵若/区4。=60。，求二面角四-BE-。的余弦值

6.(2022•河北衡水•河北衡水中学校考模拟预测)直四棱柱ABC。-AqG2被平面1所截，所得的一部分

如图所示，EF=DC.

(1)证明：即//平面AC尸；

(2)若r>C=2AD=4AE=2,ZADC=^,平面£FCD与平面A8CD所成角的正切值为,求点E到

平面ACF的距离.

售，刷真题

1.(2021•全国•统考高考真题)如图，四棱锥尸-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,PD=DC=LM

为BC的中点，且尸3,40.

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

2.(2021,全国,统考图考真题)已知直二棱柱ABC-A]B|G中，侧面A41gl8为正方形，AB—BC=2,E,F

分别为AC和CG的中点，。为棱44上的点.BF1A.B,

(1)证明：BF±DE；

（2）当片。为何值时，面与面DEE所成的二面角的正弦值最小?

3.（2021•全国•统考高考真题）如图，在三棱锥A-3CD中，平面平面BCD,AB=AD,。为8。的

中点,

（1）证明：OALCD-,

（2）若_OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱4。上，DE=2E4,且二面角E-BC-D的大小为45。,

求三棱锥A-3co的体积.

4.（2022•全国•统考高考真题）如图，四面体A8CD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,£为AC的中

点.

⑴证明：平面平面ACD；

（2）设AB=3£>=2,NACB=60。，点尸在BD上，当△的（；的面积最小时，求与平面所成的角的正弦

值.

5.（2022•全国•统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示:

底面ABC。是边长为8（单位：cm）的正方形，E4及一FBC“GC£>,_HD4均为正三角形，且它们所在的平

面都与平面A8CD垂直.

（1）证明：£F//平面ABCD；

⑵求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

6.（2022•全国•统考高考真题）如图，直三棱柱ABC-AUG的体积为4,A^C的面积为2忘.

B

⑴求A到平面A8C的距离；

（2）设。为4C的中点，AAi=AB,平面ABC，平面AB瓦A，求二面角A—BD—C的正弦值.

7.（2022•全国•统考高考真题）如图，PO是三棱锥尸-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中点.

p

(1)证明：OE//平面PAC；

(2)^ZABO=ZCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

8.(2022•北京•统考高考真题)如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧面BCC4为正方形，平面8。6耳，平面

ABB.A，AB=BC=2,M,N分别为4旦，AC的中点.

C

⑴求证：MN〃平面BCC4；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线A8与平面8MN所成角的正弦值.

条件①：AB1MN