专题05 二次函数图像与系数的关系型问题（中考数学特色专题训练卷）（解析版）

专题05二次函数图像与系数的关系型问题（中考数学特色专题训练卷）1．（2021•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x=-12，且经过点（﹣2，A．bc＜0 B．a＝b C．当x1＞x2≥-12时，y1＞y2 D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜【思路点拨】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解题过程】解：由图象可得，b＞0，c＜0，则bc＜0，故选项A正确；∵该函数的对称轴为x=-1∴−b2化简得b＝a，故选项B正确；∵该函数图象开口向上，该函数的对称轴为x=-1∴x≥-12时，y随当x1＞x2≥-12时，y1＞y2，故选项∵图象的对称轴为x=-12，且经过点（﹣2，∴图象与x轴另一个交点为（1，0），不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜1，故选项D错误；故选：D．2．（2021•毕节市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（）A．abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0【思路点拨】利用函数图象的开口，与y轴交点坐标，和对称轴，分别判断出a，b，c的正负，可以判断出A选项，由抛物线与x轴交点个数，可以判断Δ＝b2﹣4ac的正负，可以判断出B选项，又当x＝2时，y＝4a+2b+c，根据图象可以判断C选项，由对称轴为x＝1，可以判断D选项．【解题过程】解：由图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，由于抛物线与y轴交点坐标为（0，c），由图象可得，c＜0，对称轴为x=-b∴-b∴b＝﹣2a，∵a＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故A选项正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故B选项正确；由图象可得，当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故C选项错误；∵抛物线的对称轴为x＝1，∴-b∴2a+b＝0，故D选项正确，故选：C．3．（2021•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A．abc＞0 B．函数的最大值为a﹣b+c C．当﹣3≤x≤1时，y≥0 D．4a﹣2b+c＜0【思路点拨】利用抛物线开口方向得到a＜0，根据抛物线的对称性得到b＝2a＜0，根据抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对A进行判断；利用二次函数的最值问题可对B进行判断；利用抛物线与x轴的交点与图象可对C进行判断；利用x＝﹣2，y＞0可对D进行判断．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-b2∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以A不符合题意；当x＝﹣1时，函数的最大值为：a•（﹣1）2+b•（﹣1）+c＝a﹣b+c，故B不符合题意；由图可知，抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），所以﹣3≤x≤1时，y≥0，故C不符合题意；当x＝﹣2时，y＞0，所以，a•（﹣2）2+b•（﹣2）+c＞0，即4a﹣2b+c＞0，故D符合题意，故选：D．4．（2021•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（）A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0【思路点拨】法一：由图象得x＝1时，y＜0即a+b+c＜0，当y＝0时，得抛物线与x轴有两个交点，x1x2=ca＜0法二：根据抛物线开口方向和与y轴交点位置确定a，c的取值范围，结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，求得a+b+c＜0，从而求解．【解题过程】解：方法一：∵OP＝1，P不在抛物线上，∴当抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），x＝1时，y＝a+b+c＜0，当抛物线y＝0时，得ax2+bx+c＝0，由图象知x1x2=ca∴ac＜0，∴ac（a+b+c）＞0，即M＞0，方法二：∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵与y轴的交点在正半轴，∴c＞0；由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，即a+b+c＜0，∴M＝ac（a+b+c）＞0．故选：D．5．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根；③a+b+c＞7．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】①当x＝0时，c＝1，由点（﹣1，﹣1）得a＝b﹣2，由x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1可得b＞4，进而得出abc＞0；②将a＝b﹣2，c＝1代入方程，根据根的判别式即可判断；③将a＝b﹣2，c＝1代入a+b+c，求解后即可判断．【解题过程】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1，∴a＝b﹣2，∵当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．∴4a﹣2b+1＞1，∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，解得：b＞4，∴a＝b﹣2＞0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＝b﹣2，c＝1，∴（b﹣2）x2+bx+1﹣3＝0，即∴（b﹣2）x2+bx﹣2＝0，∴Δ＝b2﹣4×（﹣2）×（b﹣2）＝b2+8b﹣16＝b（b+8）﹣16，∵b＞4，∴Δ＞0，∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根，故②正确；③∵a＝b﹣2，c＝1，∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1，∵b＞4，∴2b﹣1＞7，∴a+b+c＞7．故③正确；故选：D．6．（2021•丹东）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c=-12，a﹣b+c=-32．判断下列结论：①abc＜0；②2a+2b+c＞0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2≤x≤3时，y最小＝3a；⑤该抛物线与直线y＝A．2 B．3 C．4 D．5【思路点拨】由题意易知b=12，c＝﹣1﹣a，则有c＜0，进而可判定①②；当x＝1时，则y＝a+b+c=-12，当x＝﹣1时，则有y＝a﹣b+c=-32，然后可判定③；由题意可知抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-14a【解题过程】解：∵a+b+c=-12，a﹣b+c∴两式相减得b=12，两式相加得c＝﹣1﹣∴c＜0，∵a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确；∴2a+2b+c＝2a+2×12-1﹣a＝a＞0∵当x＝1时，则y＝a+b+c=-12，当x＝﹣1时，则有y＝a﹣b+c∴当y＝0时，则方程ax2+bx+c＝0的两个根一个小于﹣1，一个根大于1，∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意知抛物线的对称轴为直线x=-b∴当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时，有最小值，即为y＝4a+2b+c＝4a+1﹣1﹣a＝3a，故④正确；联立抛物线y＝ax2+bx+c及直线y＝x﹣c可得：x﹣c＝ax2+bx+c，整理得：ax∴Δ=1∴该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故选：D．7．（2021•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【思路点拨】根据题意得出x＝﹣2时函数值的符号和x＝1时函数的值，以及顶点的纵坐标即可得出答案．【解题过程】解：根据题意得a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，当x＝﹣2时，有4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，∴2a+c＜0，∴②正确，由2a+c＜0，得﹣2a﹣c＞0，∴2（﹣a﹣c）+c＞0，∴2b+c＞0，∴①正确，若a（m+1）﹣b+c＞0，则a﹣b+c＞﹣am，取x＝﹣1，则y＝a﹣b+c＞0，又∵抛物线开口向下，∴a＜0，m＜0，∴﹣am＜0∴﹣am＜a﹣b+c，即a（m+1）﹣b+c＞0成立，∴③正确，若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，即a（x﹣m）（x﹣1）＝1有两个不相等的实数根，∴顶点的纵坐标4ac∵a＜0，∴4ac﹣b2＜4a，∴④正确，故选：A．8．（2020•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③c﹣4a＝1；④b2＞4ac；⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【思路点拨】①抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断；②根据x＝﹣1时，y＜0，即可判断．③根据对称轴x=-b2③根据抛物线与x轴有两个交点，可知Δ＞0，即可判断．④根据抛物线的顶点坐标为（2，1），函数有最大值，由此即可判断．【解题过程】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的负半轴，∴a＜0，b＞0，c＜0，∴abc＞0，故①错误；由图象可知，x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②错误；∵抛物线的顶点坐标为（2，1），∴-b2a=2，b∵4a+2b+c＝1，∴4a﹣8a+c＝1，即c﹣4a＝1，故③正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故④正确．∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，1），∴am2+bm+c≤1（m为任意实数），故⑤正确．故选：B．9．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系．【解题过程】解：①∵由抛物线的开口向上知a＞0，∵对称轴位于y轴的右侧，∴b＜0．∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0；故错误；②对称轴为直线x=-b2a＜1，得2a＞﹣b，即2a+故错误；③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，故正确；④∵当x＝﹣1时，y＝0，∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．故正确．综上所述，有2个结论正确．故选：B．10．（2020•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系综合判断即可．【解题过程】解：对于①：二次函数开口向下，故a＜0，与y轴的交点在y的正半轴，故c＞0，故ac＜0，因此①错误；对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0），由对称性可知，其对称轴为：x=-2+1对于③：设二次函数y＝ax2+bx+c的交点式为y＝a（x+2）（x﹣1）＝ax2+ax﹣2a，比较一般式与交点式的系数可知：b＝a，c＝﹣2a，故2a+c＝0，因此③正确；对于④：当x＝﹣1时对应的y＝a﹣b+c，观察图象可知x＝﹣1时对应的函数图象的y值在x轴上方，故a﹣b+c＞0，因此④正确．∴只有③④是正确的．故选：C．11．（2020•滨州）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解题过程】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∵-b2∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，∴3a+c＞0，故④正确；⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，故选：A．12．（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【思路点拨】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．【解题过程】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以-b2a=1，可得b由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正确；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．13．（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解题过程】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；②由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故②错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x=-b2a=1，即a=-b2，代入得9（-b2）+3b+c＜0，得故④⑤正确．故选：D．14．（2021•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】把点A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c，可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a，由图象可知，函数图象开口向下，所以a＜0，可得b和c的符号，及a和c的数量关系；由函数解析式可得抛物线对称轴为直线：x=-b2a=1，根据函数的增减性和最值，可判断【解题过程】解：把点A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c，可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∵该函数图象开口方向向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，∴ac＜0，3a+c＝0，①错误，③正确；∵对称轴为直线：x=-b2∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小；②错误；∴当x＝1时，函数取得最大值，即对于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确．综上，正确的个数有2个，故选：B．15．（2020•资阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点（3，0）的右侧，直线y=-12x+c经过A、B两点．给出以下四个结论：①b＞0；②c＞32；③3a+2b+c＞0；④-A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【思路点拨】根据抛物线开口方向和对称轴即可判断①；把A（3，0）代入y=-12x+c，求得c的值，即可判断②；由3a+2b+c整理得到3a﹣4a+c＝﹣a+c即可判断③；根据图象即可判断【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵-b2∴b＝﹣2a＞0，故①正确；∵直线y=-12x+c经过点A，点A在点（3，∴-12×3+c∴c＞32，故∵a＜0，c＞0，b＝﹣2a，∴3a+2b+c＝3a﹣4a+c＝﹣a+c＞0，故③正确；由图象可知，当x＝3时，9a+3b+c＞-3∴9a+3b＞-∴3a＞-∴a＞-∴-12＜a＜0故选：D．16．（2020•日照）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【思路点拨】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b＝2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，得②正确；由x＝﹣1时，y有最大值，得a﹣b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），另一个交点为（1，﹣2），即x1＝1，x2＝﹣3，进而得出④正确，即可得出结论．【解题过程】解：由图象可知：a＜0，c＞0，-b∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；∵x＝﹣1时，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），即x1＝1，x2＝﹣3，∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C．17．（2021•枣庄）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（-12，y1），（52，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤14b+c＞m（am+b）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【思路点拨】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x=12，推导出a＜0，b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：b＝﹣a；根据二次函数图象经过点（2，0），可得出0＝4a+2b+c；再由二次函数的对称性，当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是x=12，可知当x【解题过程】解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵对称轴x=-b2a=1∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），∴0＝4a+2b+c，故③不正确；又可知b＝﹣a，∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=12，且12-(-∴y1＞y2，故选④不正确；∵抛物线开口向下，对称轴是x=1∴当x=12时，抛物线y取得最大值ymax当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠1∴ymax＞ym，故⑤正确，综上，结论①②⑤正确，故选：B．18．（2020•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（）①abc＞0；②4a+b＞0；③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．A．5 B．4 C．3 D．2【思路点拨】根据图象得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图象可得对称轴在直线x＝2右侧，可得-b2a＞2，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x＝3，得出b＝﹣6a，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x＝4时，得出16a+4b+c＝0，变形为a=4b+c-16【解题过程】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，c＜0，-b2a＞0，∴abc＞0，故①正确；如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，∴对称轴在直线x＝2右侧，即-b∴2+b2a=4a+b2a＜0，又a∵M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，0＜x1＜x2，可得：抛物线y＝ax2+bx+c在0＜x＜-b在x＞-b2a∴y1＞y2不一定成立，故③错误；若抛物线对称轴为直线x＝3，则-b2a=3，即b则a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m），故④正确；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，当x＝1时，代入，y＝a+b+c≥0，当x＝4时，16a+4b+c＝0，∴a=4则4b+c-16+b+c≥0，整理得：4b+5c≥0，则4b+3﹣2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正确，故正确的有4个．故选：B．19．（2021•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】①将（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c可对①进行判断；②根据开口方向和与y轴的交点位置可得a＞0，c＜0，根据抛物线的对称轴方程得到-b2a=-③利用二次函数的对称性可对③进行判断；④因为抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，可对④进行判断；⑤根据二次函数的性质，根据x＝﹣1时y有最小值可对⑤进行判断．【解题过程】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x=-b2∴b＝2a，∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴a﹣2b+c＝c﹣3a＜0，故②正确；③由对称得：抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，故③正确；④∵对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，∴离对称轴越近，y值越小，∵|﹣4+1|＝3，||﹣2+1|＝1，|3+1|＝4，点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，∴y2＜y1＜y3，故④不正确；⑤∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），∴a﹣b≤m（am+b），故⑤不正确．所以正确的结论有①②③，共3个．故选：C．20．（2021•鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】由已知条件得出：a＜0，-b2a=1，c＞0，a﹣b+【解题过程】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0．∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴-b∴b＝﹣2a，b＞0．∵抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0．①∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵b＝﹣2a，∴4a+2b+c＝4a+2×（﹣2a）+c＝4a﹣4a+c＝c＞0．故②错误；③∵a﹣b+c＝0，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0．∴8a+c＝3a+c+5a＝5a＜0．故③正确；④∵抛物线经过点（﹣3，n），其对称轴为直线x＝1，∴根据对称性，抛物线必经过点（5，n），∴当y＝n时，x＝﹣3或5．∵y＝ax2+bx+c（a≠0），∴当ax2+bx+c＝n（a≠0）时，x＝﹣3或5．即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．故④正确；综上，正确的结论有：①③④．故选：C．21．（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c=12A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得abc的符号，结论①错误；②由抛物线与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），可判断出抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即-b2a=-1，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化简得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c并计算可得b=-12m，由对称轴可得b＝2a，∴a=-14m，由a+b+c＝0可得c=3【解题过程】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x=-b∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b=-1∵b＝2a，∴a=-1∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c=3∴b+c=-1故选：B．22．（2021•达州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x=12，有下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（c2a，0）；⑤4am2+4bmA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】由题意得到抛物线的开口向上，对称轴-b2a=12，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到根据抛物线对称轴方程可得a+b＝0，即可判断②；根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0）以及c＜0，得到4a+2b+3c＜0，即可判断③；先根据a+b＝0和4a+2b+c＝0得c＝﹣2a，再根据对称性可知：抛物线过（﹣1，0），即可判断④；根据b＝﹣a，把b换成﹣a，提公因式，分解因式，根据平方的非负性即可判断⑤．【解题过程】解：①∵抛物线的对称轴为直线x=12，即对称轴在∴ab＜0，∵抛物线与y轴交在负半轴上，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x=1∴-b∴﹣2b＝2a，∴a+b＝0，故②不正确；③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∵c＜0，∴4a+2b+3c＜0，故③正确；④由对称得：抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0），∵a+∴c＝﹣2a，∴c2a∴当a≠0，无论b，c取何值，抛物线一定经过（c2a，故④正确；⑤∵b＝﹣a，∴4am2+4bm﹣b＝4am2﹣4am+a＝a（4m2﹣4m+1）＝a（2m﹣1）2，∵a＞0，∴a（2m﹣1）2≥0，即4am2+4bm﹣b≥0，故⑤正确；本题正确的有：①③④⑤，共4个．故选：D．23．（2020•丹东）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2．有以下结论：①abc＞0；②若点M（-12，y1），点N（72，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；③-35＜A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】由-b2a=2，得b＝﹣4a，由点A坐标与点C坐标得a﹣b+c＝0，2＜c＜3，由二次函数图象可知a＜0，则b＞0，得出abc＜点N（72，y2）关于对称轴x＝2的对称点为（12，y2），12＞-12，y随x的增大而增大，则y由b=-4aa-b+c易求AB＝6，DA＝DB，则△ADB是等腰三角形，如果△ADB是等腰直角三角形，则点D到AB的距离等于12AB＝3，则a-b+c=0b=-4a3=4a+2b+c，求出二次函数解析式为y=-13x2+43x+53，当x【解题过程】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为：x=-b∴-b2∴b＝﹣4a，∵点A坐标为（﹣1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间，且都在抛物线上，∴a﹣b+c＝0，2＜c＜3，由二次函数图象可知，a＜0，∴b＞0，又∵c＞0，∴abc＜0，故①不正确；∵点N（72，y2）关于对称轴x＝2的对称点为（12，y2），12＞-∴y1＜y2，故②正确；∵b=-4解得：-35＜故③正确；∵抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2，∴点A与点B关于直线x＝2对称，点D在直线x＝2上，∴AB＝6，DA＝DB，∴△ADB是等腰三角形，如果△ADB是等腰直角三角形，则点D到AB的距离等于12AB＝3，即D（2，3则a-解得：a=-∴二次函数解析式为：y=-13x2+4当x＝0时，y=53，与点C在（0，2）与（0，∴△ADB不可能是等腰直角三角形，故④不正确；∴正确的有2个，故选：B．24．（2021•日照）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【思路点拨】①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．②把x＝±2分别代入函数解析式，结合图象可得（4a+c）2﹣（2b）2的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c≥m，从而进行判断ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．【解题过程】解：①∵抛物线图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在直线y轴左侧，∴a，b同号，b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，故①正确．②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b），当x＝2时ax2+bx+c＝4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b＞0，由图象知，当x＝﹣2时，ax2+bx+c＝4a+c﹣2b，由图象可得4a+c﹣2b＜0，∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，故②正确．③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|，∵|x1+1|＞|x2+1|，∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2，故③错误．④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），∴y≥m，∴ax2+bx+c≥m，∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B．25．（2021•随州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①a-bc＞0；②2b﹣4ac＝1；③a=14；④当﹣1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a＞0，b＜0，c＜0，从而可判断①错误；由OB＝2OC可推出点B（﹣2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A（﹣2，0）和点B（﹣2c，0），再结合韦达定理可得x1•x2=ca=（﹣2）×（﹣2c）＝4c，可得a=14，即可判断③正确；根据a=14，2b﹣4ac＝1，可得c＝2b﹣1，从而可得抛物线解析式为y=14x2+bx+（2b﹣1），顶点坐标为（﹣2b，﹣b2+2b﹣1），继而可求得A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．所以对称轴为直线x＝﹣2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，则△APB为等腰直角三角形，PQ＝PQ=12AB=2﹣2b，得P（﹣2b，2b﹣2），且2b﹣2＞﹣b2+2b【解题过程】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，∴C（0，c），B（﹣2c，0）．由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0．①：∵a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，∴a-bc②：把B（﹣2c，0）代入解析式，得：4ac2﹣2bc+c＝0，又c≠0，∴4ac﹣2b+1＝0，即2b﹣4ac＝1，故②正确；③：∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（﹣2c，0），∴x1＝﹣2和x2＝﹣2c为相应的一元二次方程的两个根，由韦达定理可得：x1•x2=ca=（﹣2）×（﹣2c）＝∴a=14．故④：如图，∵a=14，2b﹣4ac＝∴c＝2b﹣1．故原抛物线解析式为y=14x2+bx+（2b﹣1），顶点坐标为（﹣2b，﹣b2+2b﹣∵C（0，2b﹣1），OB＝2OC，∴A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．∴对称轴为直线x＝﹣2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，∵△APB为等腰直角三角形，∴PQ=12AB=12[2﹣4b﹣（﹣2）]∴P（﹣2b，2b﹣2），且有2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1，整理得：b2＞1，解得：b＞1或b＜﹣1，这与﹣1＜b＜0矛盾，故④错误．综上所述，正确的有②③，一共2个，故选：B．26．（2021•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①abc＞0；②﹣2＜b＜-53；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①②根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得a，b符号和关系，与y轴交点判断c的取值范围，③利用当x为1，﹣1时，y对应的值进行判断对错，④依据顶点坐标可以判断出系数与n关系式．【解题过程】解：①∵函数图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，∴b＜0，∵函数图象与y轴交负半轴，∴c＜0，故abc②∵顶点坐标（1，n），对称轴x=-b2∴b＝﹣2a＜0，a=-b∴B点（3，0）关于对称轴x＝1对称点为（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，得c=32∵﹣3＜c＜﹣2，∴﹣3＜32∴﹣2＜b＜-③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，正确．④当x＝1，时，y＝a+b+c＝n，∵a=-b2，c=∴n＝2b，∴2c﹣a=7∵b＜0，∴72b＞4b，即2c﹣a＞故选：B．27．（2020•黑龙江）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（-52，y1），（52，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤14b＞m（amA．①②④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．③④⑤【思路点拨】①根据抛物线开口向下，可得a＜0，根据抛物线对称轴为x=-b2a=12，可得b＝﹣a＞0，根据抛物线与y轴的交点在②根据对称轴为x=12，且经过点（2，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），可得ca=-1×2＝﹣2，即c③根据抛物线经过（2，0），可得当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0，进而可以判断；④根据点（-52，y1）离对称轴要比点（52，y2）离对称轴远，可得y1＜⑤根据抛物线的对称轴x=12，可得当x=12时，y有最大值，即14a+12b+c＞am2+bm+c（其中【解题过程】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为x=-b∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；②∵对称轴为x=12，且经过点（2，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴ca=-1×2＝﹣∴c＝﹣2a，∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0所以②正确；③∵抛物线经过（2，0），∴当x＝2时，y＝0，∴4a+2b+c＝0，所以③错误；④∵点（-52，y1）离对称轴要比点（52，∴y1＜y2，所以④正确；⑤∵抛物线的对称轴x=1∴当x=12时，∴14a+12b+c＞am2+bm+c（其中∵a＝﹣b，∴14b＞m（am+b）（其中m≠所以⑤正确．所以其中说法正确的是①②④⑤．故选：A．28．（2021•黔东南州