专题06 二次函数的实际应用（中考数学特色专题训练卷）（解析版）

专题06二次函数的实际应用（中考数学特色专题训练卷）1．（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960．（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）【思路点拨】（1）根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）根据题意写出利润关于种植面积的解析式，然后根据x≤240，根据二次函数的性质求出利润的最大值．【解题过程】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0），依题意得：840=160k解得：k=4∴y与x之间的函数关系式为y＝4x+200；（2）设老张明年种植该作物的总利润为W元，依题意得：W＝[2160﹣（4x+200）+120]⋅x＝﹣4x2+2080x＝﹣4（x﹣260）2+270400，∵﹣4＜0，∴当x＜260时，W随x的增大而增大，由题意知：x≤240，∴当x＝240时，W最大，最大值为﹣4（240﹣260）2+270400＝268800（元），答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．2．（2021•武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．【思路点拨】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；（2）根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；（3）根据（2）中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．【解题过程】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，根据题意，得900m-解得m＝3，经检验m＝3是方程的解，∴1.5m＝4.5，∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），答：每盒产品的成本为30元；（2）根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，当60＜a＜70时，每天的最大利润为（﹣10a2+1400a﹣33000）元．3．（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？【思路点拨】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．【解题过程】解：（1）由题意可得：y＝20+2（70﹣x），整理，得：y＝﹣2x+160，∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+160（30≤x＜70）；（2）设销售所得利润为w，由题意可得：w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，整理，得：w＝﹣2（x﹣56）2+1152，∵﹣2＜0，∴当x＝56时，w取最大值为1152，∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．4．（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【思路点拨】（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可，将x＝2代入函数关系式即可求解；（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；（3）首先由（2）中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．【解题过程】解：（1）由题意得：W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，∵﹣50＜0，∴x＝4时，W最大为9800，即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，解得：x1＝3，x2＝5，∵让利于民，∴x1＝3不合题意，舍去，∴定价应为48﹣5＝43（元），答：定价应为43元．5．（2021•德州）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60万元．（1）当A城生产多少件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？（2）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A，B两城运费的和最小？【思路点拨】（1）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W（万元），则W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D地的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组求得n的取值范围，然后用含n的式子表示出A，B两城总运费之和P，根据一次函数的性质可得答案．【解题过程】解：（1）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W（万元），则W＝x2+20x+100+60（100﹣x）＝x2﹣40x+6100＝（x﹣20）2+5700，∴当x＝20时，W取得最小值，最小值为5700万元，∴A城生产20件，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为（20﹣n）件；从B城把该产品运往C地的产品数量为（90﹣n）件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，运费的和为P（万元），由题意得：20-n解得10≤n≤20，P＝n+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n）＝n+60﹣3n+90﹣n+2n﹣20＝n﹣2n+130＝﹣n+130，根据一次函数的性质可得：P随n的增大而减小，∴当n＝20时，P取得最小值，最小值为110，∴从A城把该产品运往C地的产品数量为20件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为0件；从B城把该产品运往C地的产品数量为70件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为10件时，可使A，B两城运费的和最小．6．（2021•黄冈）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元，月销售最大利润是78万元，求a的值．【思路点拨】（1）根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；（2）根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；（3）根据（2）中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围，确定a值即可．【解题过程】解：（1）由题知，①当40≤x≤50时，y＝5，②当50＜x≤100时，y＝5﹣（x﹣50）×0.1＝10﹣0.1x，∴y与x之间的函数关系式为：y=5(40≤（2）设月销售利润为z，由题知，①当40≤x≤50时，x＝50时利润最大，此时z＝（50﹣40）×5＝50（万元），②当50＜x≤100时，z＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（10﹣0.1x）＝﹣0.1x2+14x﹣400＝﹣0.1（x﹣70）2+90，∴当x＝70时，z有最大值为90万元，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）由题知，利润z＝（x﹣40﹣a）（10﹣0.1x）＝﹣0.1x2+（14+0.1a）x﹣400﹣10a，此函数的对称轴为：直线x=-14+0.1a2×(-0.1)=70+0.5∴当月销售单价是70元时，月销售利润最大，即（70﹣40﹣a）×（10﹣0.1×70）＝78，解得a＝4，∴a的值为4．7．（2021•南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价；（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式；（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z=-1100x+12．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润【思路点拨】（1）设苹果的进价为x元/千克，根据题意列出分式方程，解出即可得出结果；（2）根据自变量的不同取值范围：0≤x≤100和x＞100，得出两个函数关系式即可；（3）根据自变量的不同取值范围：0≤x≤100和100＜x≤300，得出两个二次函数关系式，分别求出最大值比较后即可得出结果．【解题过程】（1）解：设苹果的进价为x元/千克，根据题意得：300x解得：x＝10，经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克．（2）解：当0≤x≤100时，y＝10x；当x＞100时，y＝10×100+（x﹣100）（10﹣2）＝8x+200；∴y=10（3）解：当0≤x≤100时，w＝（z﹣10）x＝（-1100=-1∴当x＝100时，w有最大值为100；当100＜x≤300时，w＝（z﹣10）×100+（z﹣8）（x﹣100）＝（-1100x+12-10）×100+（-1=-1=-1∴当x＝200时，w有最大值为200；∵200＞100，∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元．答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大．8．（2021•阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？【思路点拨】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系数法求解即可；（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【解题过程】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），将（60，600），（80，400）代入，得：60k解得：k=-10∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；（2）由题意得：w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）＝﹣10x2+1700x﹣60000＝﹣10（x﹣85）2+12250，∵﹣10＜0，∴当x≤85时，w随x的增大而增大，∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，∴x≤50×（1+30%），即x≤65，∴当x＝65时，w取得最大值：最大值＝﹣10（65﹣85）2+12250＝8250．∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．9．（2021•鄂尔多斯）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？【思路点拨】（1）根据图象设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据宾馆利润数＝单个房间的利润×游客居住房间数列出二次函数的关系式，再根据二次函数的性质解决问题．【解题过程】解：（1）由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，把（280，40，），（290，39）代入得：280k解得：k=-∴y与x之间的函数解析式为y=-110x+68（200≤x（2）设宾馆的利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（-110x+68）=-110x2+70x﹣1360=-110（x∵-110∴当x＜350时，w随x的增大而增大，∵200≤x≤320，∴当x＝320时，w取得最大值，最大值为10800元，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是10800元．10．（2021•锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．【思路点拨】（1）利用待定系数法求函数关系式；（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；（3）设销售总利润为W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．【解题过程】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（20，15），（30，12.5）代入，可得：20k解得：k=-∴y与x之间的函数关系式为y=-14x（2）设销售收入为P（万元），∴P＝（1﹣20%）xy=45（-14x+20）x=-1∴P与x之间的函数关系式为P=-15x2+16（3）设销售总利润为W（万元），∴W＝P﹣6.2x﹣m=-15x2+16x﹣6.2x﹣（50+0.2整理，可得：W=-15x2+485W=-15（x﹣24）2∵-15∴当x＝24时，W有最大值为65.2，∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．11．（2021•营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？【思路点拨】（1）先设出一次函数关系式，分40≤x≤60和60＜x≤70两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；（2）设获得的利润为w元，分①当40≤x≤60时和②当60＜x≤70时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．【解题过程】解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得：300=40k解得：k=-10∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），将点（60，100）、（70，150）代入上式得：60m解得：m=5∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），∴y与x的函数关系式为：y=-（2）设获得的利润为w元，①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝50时，w有最大值，最大值为4000元；②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，∵5＞0，∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，∴当x＝70时，w有最大值，最大值为：5（70﹣50）2+2500＝4500（元），综上，当售价为70元/件时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．12．（2021•铁岭三模）元宵节前“便民超市”购进一批元宵，进价为每袋8元，售价为每袋12元，随着节日的临近，销售量稳步增加，第m天时销售量最大，之后每天少售出1袋，其销售量y（袋）与天数x（天）之间的关系图象如图1所示．超市从第m天开始调整价格，第24天为元宵节，之后价格保持不变，其每袋售价p（元）与x（天）之间的关系如图2所示．（1）直接写出y（袋）与x（天）之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；（2）设每天的销售利润为w（元），求前24天中第几天销售利润的最大，最大利润为多少元？【思路点拨】（1）利用待定系数法分段求出关系式即可；（2）分0≤x≤18和18＜x≤24时两种情况，分别求出最大值，再比较即可．【解题过程】解：（1）设线段OA的关系式为y＝kx，则12k＝16，解得k=4所以y=43设线段AB的关系式为y＝kx+b，则18=24k解得k＝﹣1，b＝42，所以y＝﹣x+42；当43x＝﹣x+42解得x＝18，所以m＝18，综上，y=4（2）当18＜x≤24时，设p＝kx+b，则18k解得k＝0.5，b＝3，∴p＝0.5x+3；当0≤x≤18时，w=(12-8)⋅∵163∴w随x增大而增大，∴当x＝18时，w最大＝96；当18＜x≤24时，w＝（0.5x+3﹣8）（﹣x+42）＝﹣0.5x2+26x﹣210＝﹣0.5（x﹣26）2+128，∵a＝﹣0.5＜0，开口向下，∴当x＜26时，w随x的增大而增大，∴当x＝24时，w最大＝126，答：第24天时销售利润最大，最大为126元．13．（2021•湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点ABA和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【思路点拨】（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，根据增长率问题应用题列出方程，解之即可；（2）①根据题意丙种门票价格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）计算，即可求景区六月份的门票总收入；②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意可得W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），化简得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，然后根据二次函数的性质即可得结果．【解题过程】解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，由题意，得4（1+x）2＝5.76，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；（2）①由题意，得100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．答：景区六月份的门票总收入为798万元．②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意，得W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），化简，得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，∵﹣0.1＜0，∴当m＝24时，W取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．14．（2021•湖北）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），下表是某4个月的销售记录，每月销售量y（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系（6≤x＜9）．月份…二月三月四月五月…销售价x（元/件）…677.68.5…该月销售量y（万件）…3020145…（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴）【思路点拨】（1）设出一次函数解析式，用待定系数法求解析式即可；（2）先求出x＝3时，销售量y的值，再求政府补贴；（3）纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴列出函数解析式，根据二次函数的性质求最值．【解题过程】解：（1）∵每月销售量y与该月销售价x之间成一次函数关系，∴设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，则6k解得：k=-10∴y与x的函数关系式y＝﹣10x+90（6≤x＜9）；（2）当x＝8时，y＝﹣10×8+90＝10（万件），∵a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），∴当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴为：10a＝10×20%（10﹣8）＝4（万元），答：当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴4万元；（3）设该月的纯收入w万元，则w＝y[（x﹣6）+0.2（10﹣x）]＝（﹣10x+90）（0.8x﹣4）＝﹣8x2+112x﹣360＝﹣8（x﹣7）2+32，∵﹣8＜0，6≤x＜9∴当x＝7时，w最大，最大值为32万元，答：当销售价定为7时，该月纯收入最大．15．（2021•荆州模拟）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x/（元/件）506080周销售量y/件1008040周销售利润w/元100016001600注；周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）①求y关于x的函数解析式；②当x是多少时，周销售利润最大？最大利润是多少？（2）由于某种原因，该商品的进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品的售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数解析式．若周销售的最大利润是1400元，求m值．【思路点拨】（1）①依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝（x﹣40）（﹣2x+200），再利用二次函数的性质可得到结论；（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣800﹣200m，把x＝65，w＝1400代入函数解析式，解方程即可得到结论．【解题过程】解：（1）①依题意设y＝kx+b，则有50k解得：k=-2所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润为w元，则有w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣8000﹣200m＝﹣2（x-m+1402）2+12m2∵﹣2＜0，对称轴x＞70，∴抛物线的开口向下，∵x≤65，∴w随x的增大而增大，当x＝65时，w最大＝1400，即1400＝﹣2×652+（280+2m）×65﹣8000﹣200m，解得：m＝5．16．（2021•铜仁市）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：x45678y100.511.52（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1＝12x﹣2（x≥4）．（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4）为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？【思路点拨】（1）由表格数据判断y1与x成一次函数关系；（2）根据公式：每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，求出利润y与x间的关系，利用二次函数的性质求出利润最大值和月销售量．【解题过程】解：（1）由题意可知：y1与x成一次函数关系，设y1＝kx+b（k≠0），∵x＝4时，y1＝0，x＝6时，y1＝1，∴4k解得：k=∴y1=12x﹣2（x故答案为：y1=12x﹣2（x（2）由（1）得：y1=12x﹣2（x∴y＝[22﹣（12x﹣2）﹣16]x=-12x2+8x=-12（x﹣∴x＝8时，ymax＝32，答：月销售量为8时，最大销售利润为32万元．17．（2021•黄岛区模拟）某科技公司在国家专项资金的支持下，成功研发出一种电子产品．第1年该产品正式投产后，生产成本为6元/件，第1年获得100万元的利润据统计，此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如表关系：售价（元/件）…15171820…年销售量（万件）…11986…（1）求该产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式．（2）该产品第1年的售价是多少？（3）第2年，该公司投入20万元（20万元计入第2年的成本）对该产品进行升级研发，使产品的生产成本降为5元/件，为保持市场的占有率，公司规定第2年的产品售价不高于第1年的售价，另外受产能限制，该产品的年产量不能超过12万件，求该公司第2年的利润W（万元）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式，并求至少为多少万元．【思路点拨】（1）由表格可知，该产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的是一次函数，然后设y＝kx+b，把（15，11），（17，9）代入，解出k，b即可求出一次函数关系式；（2）根据第1年获得利润100万元可构建方程解决问题；（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质即可解决问题．【解题过程】解：（1）由表格可知，该产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）是一次函数关系，设y＝kx+b，把（15，11），（17，9）代入y＝kx+b中得：11=15k解得：k=-1∴y＝﹣x+26；（2）由题意得：（x﹣6）（﹣x+26）＝100，解得：x1＝x2＝16，答：该产品第1年的售价是16元/件；（3）由题意得：﹣x+26≤12，且x≤16，∴14≤x≤16，W＝（x﹣5）（﹣x+26）﹣20＝﹣（x﹣15.5）2+90.25∵a＝﹣1＜0，抛物线开口方向向下，对称轴为：直线x＝15.5，∴x＝14时，W最小＝88，答：第2年的利润W（万元）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式为W＝﹣（x﹣15.5）2+90.25，至少为88万元．18．（2021•洪山区校级模拟）某公司投入研发费用120万元（120万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品，产品正式投产后，生产成本为8元/件．经试销发现年销售量y（万件）与售价x（元/件）有如表对应关系．x（元/件）135y（万件）393735（1）直接写出y关于x的函数关系式：．（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过150%，当第一年的产品的售价x为多少时，年利润W最大，其最大值是多少？（3）为了提高利润，第二年该公司将第一年的最大利润再次投入研发（此费用计入第二年成本），使产品的生产成本降为5元/件，但规定第二年产品的售价涨幅不能超过第一年售价的20%，在年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系不变的情况下，若公司要求第二年的利润不低于166万元，求该公司第二年售价x（元/件）应满足的条件．【思路点拨】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解或直接观察表中数据可得答案；（2）根据年利润W等于每件的利润乘以销售量，再减去研发费用120万元，可得W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（3）根据第二年产品的售价涨幅不能超过第一年售价的20%，可得x≤24，又第二年的利润不低于166万元，故（x﹣5）（﹣x+40）﹣120≥166，即可解得答案．【解题过程】解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（1，39），（3，37）代入，得：k+解得k=-1∴y关于x的函数关系式为y＝﹣x+40，故答案为：y＝﹣x+40；（2）∵每件商品的利润率不得超过150%，∴x≤8（1+150%），即x≤20，由题意得：W＝（x﹣8）（﹣x+40）﹣120＝﹣x2+48x﹣440＝﹣（x﹣24）2+136，∵﹣1＜0，x≤20在对称轴直线x＝24左侧，W随x的增大而增大，∴当x＝20时，年利润W最大，Wmax＝﹣（20﹣24）2+136＝120，∴售价x为20元时，年利润W最大，其最大值是120万元；（3）∵第二年产品的售价涨幅不能超过第一年售价的20%，∴第二年产品的售价x≤20×（1+20%），即x≤24，根据题意得：（x﹣5）（﹣x+40）﹣120≥166，解得18≤x≤27，∴该公司第二年售价x（元/件）应满足的条件是18≤x≤24．19．（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y=0.25x+30(1≤x≤20且x时间x（天）13610…日销量m（kg）142138132124…（1）填空：m与x的函数关系为m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．【思路点拨】（1）根据题意建立一次函数模型，利用待定系数法求解即可；（2）根据题意找到等量关系式：日销售利润＝（销售单价﹣单件成本）×销售量，列出方程，再分情况进行讨论总结即可；（3）根据题意列出方程，根据二次函数的图象与性质进行求解即可．【解题过程】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），将（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：142=k解得k＝﹣2，b＝144，故m与x的函数关系为：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：当1≤x≤20且x为整数时，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，此时当x＝21时，取得最大日销售利润W＝﹣30×21+2160＝1530（元），综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：P＝﹣0.5x2+16x+1440﹣n（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x＝16+2n，∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5∴16+2n＞19.5，求得n＞1.75，又∵n＜4，∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，答：n的取值范围是1.75＜n＜4．20．（2021•怀化）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：进货批次A型水杯（个）B型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？【思路点拨】（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；（3）设总利润为w元，购进A种水杯a个，根据总利润＝单个利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，由w值与a值无关可得出b的值，再代入b值即可求出w的值．【解题过程】解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据题意得：100x解得：x=20答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；（2）设超市应将B型水杯降价m元时，每天售出B型水杯的利润为W元，根据题意，得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m）＝﹣5m2+50m+280＝﹣5（m﹣5）2+405，∴当m＝5时，W取得最大值，最大值为405元，答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）∵设总利润为w元，购进A种水杯a个，依题意，得：w＝（10﹣b）a+9×10000-20a30=（10﹣6﹣b∵捐款后所得的利润始终不变，∴w值与a值无关，∴10﹣6﹣b＝0，解得：b＝4，∴w＝（10﹣6﹣4）a+3000＝3000，答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3000元．21．（2021•盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．（1）当x＞4时，完成以下两个问题：①请补全下面的表格：A型B型车床数量/台14﹣xx每台车床获利/万元1021﹣x②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．【思路点拨】（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，生产并销售A型车床（14﹣x）台，当x＞4时，每台B型车床可以获利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）万元，②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，解得x1＝10，x2＝21（舍去）；（2）当0＜x≤4时，W＝10（14﹣x）+17x，整理得，W＝3x+140，因为3＞0，故当x＝4时总利润W最大为3×4+140＝152（万元）；当x≥＞4时，W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，整理得W＝﹣x2+11x+140，因为﹣1＜0，所以当x=-112(-1)=5.5时总利润W最大，又由题意x只能取整数，所以当x＝5或x＝6时，总利润W最大为﹣52+11×5+140【解题过程】解：（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，生产并销售A型车床（14﹣x）台，当x＞4时，每台B型车床可以获利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）万元．故答案应为：14﹣x，21﹣x；②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，解得x1＝10，x2＝21（舍去），答：生产并销售B型车床10台；（2）当0＜x≤4时，总利润W＝10（14﹣x）+17x，整理得，W＝7x+140，∵7＞0，∴当x＝4时总利润W最大为7×4+140＝168（万元）；当x＞4时，总利润W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，整理得W＝﹣x2+11x+140，∵﹣1＜0，∴当x=-112(-1)=5.5又由题意x只能取整数，∴当x＝5或x＝6时，∴当x＝5时，总利润W最大为﹣52+11×5+140＝170（万元）又∵168＜170，∴当x＝5或x＝6时，总利润W最大为170万元，而14﹣5＝9，14﹣6＝8，答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170万元．22．（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．【思路点拨】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，由（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可；（3）根据题意得到利润差为y＝﹣50x2+（1800﹣a）x+1850，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x为整数可得关于a的不等式，即可求出a的范围．【解题过程】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，解得：x＝37或x＝﹣1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，y乙＝3500x﹣1850，当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，y＝y甲﹣y乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）＝﹣50x2+1800x+1850，当x=-1800-50×2=当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，y＝y乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x＝50x2﹣1800x﹣1850，∵对称轴为直线x=--180050×2=18，∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，∴当x＝50时，利润差最大，且为33150元，综上：两公司月利润差的最大值为33150元；（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为y＝﹣50x2+1800x+1850﹣ax＝﹣50x2+（1800﹣a）x+1850，对称轴为直线x=1800-∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，∴16.5＜1800-a解得：50＜a＜150．23．（2021•桐乡市一模）今年国内旅游市场逐步回暖，“周末自驾旅游”成为出游新趋势，但游客进入景区仍需要检测体温．“百花园”景点每天9点钟开园，游客入园高峰时段是开园后半小时，为做好防疫工作，景点调查了某周六开园后半小时内进入景点的游客累计人数y（人）与经过的时间x分钟（x为自然数）之间的变化情况，部分数据如下：经过的时间x/分钟012345…10111213…30累计人数y（人）0190360510639750…1000102010401060…1400已知游客测量体温均需排队，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人．（1）根据上述数据，请利用已学知识，求出y与x之间的函数关系式；（2）排队人数最多时有多少人？前1000位游客都完成体温检测需要多少时间？（3）若开园x分钟后增设m个体温检测点（受场地限制，检测点总数不能超过10个）以便在9点10分时正好完成前1000位游客的体温检测，求x，m的值．【思路点拨】（1）由表格观察前十分钟呈抛物线变化，十分钟以后呈直线变化，当0≤x≤10时，当10＜x≤30时，分别利用待定系数法求函数解析式；（2）①设排队人数为w，根据函数分段表示：当0≤x≤10时，w＝﹣10（x﹣8）2+640，当10＜x≤30时，w＝y﹣40x＝﹣20x+800，可得排队人数最多时有640人；②根据体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人．检测完的人数y与时间x的关系为y＝40x，利用函数值可求自变量x＝25；（3）若开园x分钟后增设m个体温检测点，在9点10分时正好完成前1000位游客的体温检测，可列方程与不等式，然后利用整除方法找出10﹣x为30的正约数讨论即可．【解题过程】解：（1）由表格观察前十分钟呈抛物线变化，十分钟以后呈直线变化，当0≤x≤10时，设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把（0，0），（1，190），（2，360）代入解析式，得：c=0解得：a=-10∴y＝﹣10x2+200x；当10＜x≤30时，设直线解析式为y＝kx+b，把（11，1020），（12，1040）代入解析式，得：11k解得：k=20∴y＝20x+800；（2）①设排队人数为w，则：当0≤x≤10时，w＝y﹣40x＝﹣10x2+160x，∴w＝﹣10（x﹣8）2+640，当x＝8时，w有最大值640；当10＜x≤30时，w＝y﹣40x＝﹣20x+800，∴200≤w＜600，∴排队人数最多时有640人；②∵体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人．∴检测完的人数y与时间x的关系为y＝40x，当1000﹣40x＝0时，x＝25，∴前1000位游客都完成体温检测需要25分钟；（3）若开园x分钟后增设m个体温检测点，在9点10分时正好完成前1000位游客的体温检测，∵m，x都是自然数，∴40x解得：m=∴10﹣x为30的正约数，∵10﹣x≤10，不大于10的30的正约数为1，2，3，5，6，10，当10﹣x＝1时，x＝9，m＝30＞8舍去，当10﹣x＝2时，x＝8，m＝15＞8舍去，当10﹣x＝3时，x＝7，m＝10＞8舍去，当10﹣x＝5时，x＝5，m＝6＜8，当10﹣x＝6时，x＝4，m＝5＜8，当10﹣x＝10时，x＝0，m＝3＜8，综上，x＝5，m＝6或x＝4，m＝5或x＝0，m＝3．24．（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=-112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=-18x（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．【思路点拨】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：y=-18x2+bx+c求出b、c的值即可写出C（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：-18m2+32m+4﹣（-112m2+7（3）求出山坡的顶点坐标为（7，6112），根据题意即-18×72+7b+4＞3【解题过程】解：（1）由题意可知抛物线C2：y=-18x2+bx+c过点（0，4）和（4，4=c8=-1∴抛物线C2的函数解析式为：y=-18x2+3（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：-18m2+32m+4﹣（-112m2整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）C1：y=-112x2+76x+1=-112（x当x＝7时，运动员到达坡顶，即-18×72+7b+4＞解得：b＞3525．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-16（x﹣5）2（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．【思路点拨】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；（3）代入x＝10求出y值，进而可得出点（10，116）在抛物线y=-16（x﹣5）2+6上，将116与【解题过程】解：（1）当x＝0时，y=-16×（0﹣5）2∴点A的坐标为（0，116∴雕塑高116m（2）当y＝0时，-16（x﹣5）2+6＝解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．（3）当x＝10时，y=-16×（10﹣5）2∴点（10，116）在抛物线y=-16（x﹣5）又∵116≈1.83＞∴顶部F不会碰到水柱．26．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；（2）求出y2与x之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？【思路点拨】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）用待定系数法求函数解析式即可；（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2﹣y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1﹣y2，然后进行比较判断即可．【解题过程】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则k+解得：k=5∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，∵y2的图象是过原点的抛物线，设y2＝ax2+bx，∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，∴a+解得：a=-5∴y2＝﹣5x2+40x，答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，①1＜x≤6时，y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x-72）∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，又∵1＜x≤6，∴当x=72时，y的最大值为②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x-72）2∵a＝5＞0，∴抛物线开口向上，又∵对称轴是直线x=7∴当x＞72时，y随∵6＜x≤8，∴当x＝8时，y的最大值为70，∵1254＜∴高度差的最大值为70米．27．（2021•随州）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y=-16x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为（1）直接写出b，c的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4【思路点拨】（1）根据题意可推出点A坐标为（0，1），点B坐标为（6，2），将这两点坐标代入二次函数表达式即可求得b、c的值；（2）将二次函数一般式化为顶点式，即可求得大棚的最高点；（3）先求出大棚内可以搭建支架土地的宽，再求需要搭建支架部分的面积，进而求得需要准备的竹竿．【解题过程】解：（1）b=76，c＝（2）由y=-1可知当x=72时，y有最大值故大棚最高处到地面的距离为7324（3）令y=3724，则有解得x1=12，x2又∵0≤x≤6，∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6-1又大棚的长为16米，∴需要搭建支架部分的土地面积为16×112故共需要88×4＝352（根）竹竿，答：共需要准备352根竹竿．28．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平