专题04 实数重难点及规律性探究讲义（原卷版）

专题04实数重难点及规律性探究讲义【重点知识辨析】1.【算术平方根与平方根区别与联系】算术平方根平方根区别定义一个正数x2=a，称x为a的算术平方根，x=一个数x2=a，称x为a的算术平方根，x=±个数1个；0的算术平方根为0正数平方根有2个（互为相反数），0的平方根为0联系存在性条件1.只有非负数有平方根，算术平方根2.算术平方根属于平方根2.【立方根】一个数x3=a，称x为a的立方根，x=3.【几个公式与结论】（1）（2）（3）；；（4）（a=0或1）；平方根等于本身的数为0；（a=0、1、-1）（5）若a+b=0，则（6）被开方数小数点每向右（左）移动2位，算术平方根小数点每向右（左）移动1位.被开方数小数点每向右（左）移动3位，立方根小数点每向右（左）移动1位.4.【实数】实数分为：有理数、无理数.实数比较大小：（1）作差法；（2）作商法；（3）倒数法；（4）平方法a>b→；a>b→.数轴右边的数比左边的数大.【典例解析】【例1】的平方根是（）A．±4 B．4 C．±2 D．+2【变式1】（2020·广东深圳期末）下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．【例2】（2021·河南南阳期末）下列各数：0、3π、、、、1.1010010001…，其中无理数的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】下列说法其中错误的个数（）①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．A．0 B．1 C．2 D．3【例3】（2020·广东深圳市期末）设n为正整数，且n＜＜n＋1，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【变式3】（2021·广西贵港期末）估算的值在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【例4】如图，把半径为0.5的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（）A．或 B．或 C．或 D．或【变式4-1】（2021·北京海淀月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是（）．

A．3 B．3.1 C． D．3.2【变式4-2】（2021·浙江湖州市·七年级期末）如图，若数轴上的点A，B，C，D分别表示数，1，2，3，则表示数的点应在（）A．点A与点O之间 B．点O与点B之间C．点B与点C之间 D．点C与点D之间【例5】（2021·山东烟台期末）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：按键的结为：为，则下列结果判断正确的是（）．A． B． C． D．无法确定【变式5】若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如图，则输出结果应为（）A．8 B．4 C． D．【例6】（2020·吴江市月考）解方程：（1）（2）．

【例7】（2021·辽宁沈阳市期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（）

A． B．± C．3 D．±3【变式7-1】（2021·湖北十堰市期末）下面是一个按某种规律排列的数表，那么第7行的第2个数是：（）第1行1第2行2第3行第4行……A． B． C． D．【变式7-2】（2021·武冈市月考）观察下列各式：……请利用你所发现的规律，计算＋＋……其结果为多少？【例8】（2020·苏州市月考）（1）已知和都是非负数m的平方根，求m的值；（2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根．【变式8-1】（2020·四川成都月考）解答下列各题．（1）已知，ab＜0，求（b﹣a）a的值．（2）已知，求的值．

【变式8-2】（2021·江苏盐城期末）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．【例9】（2021·武冈市月考）已知a，b满足，则a+b的值为（）A．－2 B．0 C．﹣1 D．2【例10】（2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级开学考试）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|﹣b|+|a+|+的值_____．【例11】（2020·浙江杭州期末）如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位．（1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．（2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数．

【变式11】（2021·浙江宁波期末）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；（2）请你参照上面的方法：①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）

【例12】（2020·山东威海期末）本学期第四章《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：平方根立方根定义一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．运算求一个数的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算．求一个数的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数：的平方根是；负数没有平方根．正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数．表示方法正数的平方根可以表示为“”一个数的立方根可以表示为“”今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．（类比探索）（1）探索定义：填写下表类比平方根和立方根，给四次方根下定义：．（2）探究性质：①的四次方根是；②的四次方根是；③的四次方根是；④的四次方根是；⑤的四次方根是；⑥（填“有"或"“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：；（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：．（拓展应用）（1）；（2）；（3）比较大小：．【变式12】（2020·湖南娄底期末）规定：求若千个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”，一般地，把记作，读作“”的圈次方．（初步探究）（1）直接写出计算结果：；；（2）关于除方，下列说法错误的是（）A．任何非零数的圈次方都等于B．对于任何正整数C．D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试：，依照前面的算式，将，的运算结果直接写成幂的形式是，；（4）想一想：将一个非零有理数的圆次方写成幂的形式是：；（5）算一算：．【例13】“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即例如：比较与2的大小；，，则，，．请根据上述方法解答以下问题：（1）比较大小：_______3；（2）比较与的大小，并说明理由．【例14】（2021·江苏连云港市期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．（1）求的值；（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．【例15】（2020·浙江期末）阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为；根据上述信息，回答下列问题：（1）的整数部分是___________，小数部分是______________；（2）若，则的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；（3）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则______；（4）若，其中是整数，且，请求的相反数．【例16】先阅读材料，再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是______