专题04 子母型（解析版）-2022-2023学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题04子母型【基本模型】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．【例题精讲】例1.如图，在中，，点P、D分别是边上的点，且．（1）求证：；（2）若，当时，求的长．【解析】（1）∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴；（2）如图，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．例2．在中，，平分．（1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值．【答案】（1）；（2）①见解析；②【详解】解：（1）∵在中，，平分，∴，又∠A=∠A，∴，∴，∵，，∴；（2）①∵交于，于，∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，∴，∴，∵，，∴；②过作，与的延长线交于，∵，∴，∴、和均为等腰三角形，∴，∵在等腰中，于，∴，即，∴的值为．例3．如图，在中，，，，，，则CD的长为______．【答案】5【详解】解：在CD上取点F，使，，，由，，，，且，，，∽，，，，又，，∽，，又，，或舍去，经检验：符合题意，．故答案为：5．例4．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．求证：与互为母子三角形．（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3．【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2，故选：C（2）是的角平分线，，，．又，与互为母子三角形．

（3）如图，当分别在线段上时，与互为母子三角形，，，是中线，，又，．，，．如图，当分别在射线上时，与互为母子三角形，，，是中线，，又，．，，．综上所述，或3【变式训练1】如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴．∵AB=10，BC=12，∴，∴BP=．【变式训练2】如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中线，，，即：，∴．【变式训练3】如图，在矩形中，点是边上的一点，且垂足为点．_．若四边形的面积为，求的面积．【答案】（1）；（2）2【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∠DAE=2∠BAE，∴∠DAE=60°，∠BAE=30°，又∵AE⊥BD，∠BAD=90°，∴BD=2AB，AB=2BF，∴BD=4BF，∴DF=3BF，∴BF：DF=1：3，故答案为：1：3；（2）∵∠BAE=30°∴∠AEB=60°，∵AE⊥BD，∴∠DBC=30°，∠BFE=∠BCD=90°∴，∴，∵∠FBE=∠CBD，∠BFE=∠DCB，∴△BEF∽△BDC，∴，∵四边形的面积为，∴12S△BEF=S△BCD=S△BEF+S四边形EFDC，∴S△BEF=2．【变式训练4】在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．①求证：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②．【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝（2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如图，取CE的中点M，连接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．【课后训练】1.如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，ADAB=12，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为SA．116 B．15 C．14 【解析】∵ADAB=12，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC∴a2＝CE•5a，4a2＝AE•5a，∴CE=5a5，AE=4∵△CEF∽△AEB，∴S1S2=（CEAE）2．如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为_____．【答案】【详解】解：∵BD平分∠ABC，DE=BD∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD∴∠DBC=∠AED如图，在BC上取点，使BF=AE则在与中，∴∴AE=BF=2，，，∴CF=BC-BF=8-2=6∵∠BAD=，∠DFC=∴∠BAD=∠DFC又∵∠C=∠C，∴CFD∽CAB∴∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∠BAD=∠DFC∴∵，∴∴DF=FC=6，则AD=DF=6，∴CA=6+CD又∵CF=6，BC=8，∴，解得．故答案为：．3．如图，中，点分别是的中点，与点．（1）求证：；（2）求的大小；（3）若，求的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2．【详解】（1），，在和中，，，，；（2），是等腰直角三角形，，由（1）可知，，，点E是AC的中点，，，在和中，，，，又，，；（3）设，是等腰直角三角形，，点分别是的中点，，在中，，，由（1）知，，，即，解得，在中，，，在和中，，，，即，解得，又，，解得，，则的面积为．4．（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：；（2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值；（3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】解：（1）证明：∵，，，∴，∵，∴，∴．(2)解：如解图，与交于点，∵，，∴，∴，即，解得，∴，，设，∴，∴，∴，∴，设，∴，∴，解得，∴；（3）解：如解图，∵，，∴，∴，∴，解得，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，∵，，，∴，∴，∵，，，∴，∴．5．如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于．（1）求证：；（2）若，，求．【答案】(1)见解析;(2).【详解】（1）∵，∴．又∵，，∴．而，，∴，∴，∴．又，，∴∽，∴，∴，∴．（2）由（1）可知，而，，∴，∴，∴在中根据勾股定理可知．∵∽，∴，．6．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．【答案】(1)为的理想点,理由见解析；(2)或【解析】(1)解：点是的“理想点”，理由如下：是中点，，，，，，，，，，，点是的“理想点”；(2)①在上时，如图：是的“理想点”，或，当时，，，，即是边上的高，当时，同理可证，即是边上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想点”不可能在边上，③在边上时，如图：是的“理想点”，，又，，，即，，综上所述，点是的“理想点”，的长为或．7．如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、．（1）求证：；（2）连接，若．求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形∴∠ABE=90°∴∠ABG+∠EBG=90°∵∴∠ABG+∠BAG=90°∴∠EBG=∠BAG∴Rt△BEG∽Rt△AEB∴∴（2）由（1）有：∵BE=CE∴∴∵∠CEG=∠AEC∴△CEG∽△AEC∴∠CGE=∠ACE∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD∴OB=OC∴∠DBC=∠ACE∴8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为____