专题03 圆中最值之一箭穿心、瓜豆原理与相切（原卷版）

专题03圆中最值之一箭穿心、瓜豆原理与相切一箭穿心得最值圆外一定点A到圆上一动点P的距离最值，分两种情况：（核心---AP所在直线过圆心）瓜豆原理之圆一、模型：A为圆外一定点，当点P在圆O上运动时，则AP中点M（如上图）的运动轨迹为：以AO中点O’为圆心，O‘M为半径的圆。二、模型结论：1.轨迹：点M的轨迹是个圆。2.圆心：O'是AO的中点。3.O’M=1三、模型的五种常考图典例分析典例分析：典例1如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为5-1≤PC≤5典例1解题思路：据条件可知线段AB是定值且AB所对的张角∠APB是定值，根据直径所对圆周角为直角可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上（不与A、B重合），（隐圆）连接CO并延长交圆O分别为P1、P2，PC的在P1C最小，P2C最大，（一箭穿心）答案详解：解：∵PA⊥PB，即∠APB＝90°，AB＝BC＝2，∴点P在以AB为直径、AB的中点O为圆心的⊙O上，如图，连接CO交⊙O于点P1，并延长CO交⊙O于点P2，∵BO=12AB＝1、BC＝2，∠ABC＝∴CO=B当点P位于点P1时，PC的长度最小，此时PC＝OC﹣OP=5-当点P位于点P2时，PC的长度最大．此时PC＝OC+OP=5+∴5-1≤PC≤5所以答案是：5-1≤PC≤5典例2如图，已知线段OP交⊙O于点B，且OB＝PB＝4，点A是⊙O上的一个动点，那么点B到直线AP距离的最大值为2典例2试题分析：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．利用三角形中位线定理证明BH=12OT，求出答案详解：解：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．∵∠BHP＝∠OTB＝90°，∴BH∥OT，∵BP＝OB，∴TH＝HP，∴BH=12当PA与⊙O相切时，OT＝4，此时BH的值最大，最大值为2，所以答案是：2．实战训练实战训练一．最值之一箭穿心类1．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（）A．23 B．3+1 C．27-2 D2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画⊙A，E是圆⊙A上一动点，P是BC上一动点，则PE+PD最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．233．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为．二．最值之瓜豆原理4．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是．5．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．6．如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为．7．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．43+4 B．4 C．43+8 D三．最值之相切类8．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为3，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（）A．3 B．23 C．32 D．199．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．如图，已知⊙O的直径AB为8，点M是⊙O外一点，若MB是⊙O的切线，B为切点，且MB＝3，Q为⊙O上一动点，则MQ的最小值为．11．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点P在线段AC上，以P为圆心，PA长为半径的圆与边AB相交于另一点D，点Q在直线BC上，且DQ是⊙P的切线，则PQ的最小值为．12．如图所示，在R