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文档简介
专题03圆中最值之一箭穿心、瓜豆原理与相切一箭穿心得最值圆外一定点A到圆上一动点P的距离最值,分两种情况:(核心---AP所在直线过圆心)瓜豆原理之圆一、模型:A为圆外一定点,当点P在圆O上运动时,则AP中点M(如上图)的运动轨迹为:以AO中点O’为圆心,O‘M为半径的圆。二、模型结论:1.轨迹:点M的轨迹是个圆。2.圆心:O'是AO的中点。3.O’M=1三、模型的五种常考图典例分析典例分析:典例1如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,P是△ABC所在平面内一点,且满足PA⊥PB,则PC的取值范围为5-1≤PC≤5典例1解题思路:据条件可知线段AB是定值且AB所对的张角∠APB是定值,根据直径所对圆周角为直角可知,动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上(不与A、B重合),(隐圆)连接CO并延长交圆O分别为P1、P2,PC的在P1C最小,P2C最大,(一箭穿心)答案详解:解:∵PA⊥PB,即∠APB=90°,AB=BC=2,∴点P在以AB为直径、AB的中点O为圆心的⊙O上,如图,连接CO交⊙O于点P1,并延长CO交⊙O于点P2,∵BO=12AB=1、BC=2,∠ABC=∴CO=B当点P位于点P1时,PC的长度最小,此时PC=OC﹣OP=5-当点P位于点P2时,PC的长度最大.此时PC=OC+OP=5+∴5-1≤PC≤5所以答案是:5-1≤PC≤5典例2如图,已知线段OP交⊙O于点B,且OB=PB=4,点A是⊙O上的一个动点,那么点B到直线AP距离的最大值为2典例2试题分析:如图,过点B作BH⊥AP于H,过点O作OT⊥AP于T.利用三角形中位线定理证明BH=12OT,求出答案详解:解:如图,过点B作BH⊥AP于H,过点O作OT⊥AP于T.∵∠BHP=∠OTB=90°,∴BH∥OT,∵BP=OB,∴TH=HP,∴BH=12当PA与⊙O相切时,OT=4,此时BH的值最大,最大值为2,所以答案是:2.实战训练实战训练一.最值之一箭穿心类1.如图,菱形ABCD边长为4,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C的最小值是()A.23 B.3+1 C.27-2 D2.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以A为圆心,1为半径画⊙A,E是圆⊙A上一动点,P是BC上一动点,则PE+PD最小值是()A.2 B.3 C.4 D.233.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,P是△ABC所在平面内一点,且满足PA⊥PB,则PC的取值范围为.二.最值之瓜豆原理4.如图,在直角坐标系中,⊙A的半径为2,圆心坐标为(4,0),y轴上有点B(0,3),点C是⊙A上的动点,点P是BC的中点,则OP的范围是.5.如图,等边△ABC中,AB=2,点D是以A为圆心,半径为1的圆上一动点,连接CD,取CD的中点E,连接BE,则线段BE的最大值与最小值之和为.6.如图,已知A(6,0),B(4,3)为平面直角坐标系内两点,以点B圆心的⊙B经过原点O,BC⊥x轴于点C,点D为⊙B上一动点,E为AD的中点,则线段CE长度的最大值为.7.如图,A是⊙B上任意一点,点C在⊙B外,已知AB=2,BC=4,△ACD是等边三角形,则△BCD的面积的最大值为()A.43+4 B.4 C.43+8 D三.最值之相切类8.如图,等边三角形ABC的边长为4,⊙C的半径为3,P为AB边上一动点,过点P作⊙C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为()A.3 B.23 C.32 D.199.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=12,点D为线段BC上一动点.以CD为⊙O直径,作AD交⊙O于点E,连BE,则BE的最小值为()A.6 B.8 C.10 D.1210.如图,已知⊙O的直径AB为8,点M是⊙O外一点,若MB是⊙O的切线,B为切点,且MB=3,Q为⊙O上一动点,则MQ的最小值为.11.如图,△ABC中,AB=10,BC=8,AC=6,点P在线段AC上,以P为圆心,PA长为半径的圆与边AB相交于另一点D,点Q在直线BC上,且DQ是⊙P的切线,则PQ的最小值为.12.如图所示,在R
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