专题04 几何证明（解析版）

专题04几何证明一、单选题1．下列命题的逆命题是假命题的是A．等腰三角形的两个底角相等 B．两直线平行，内错角相等C．全等三角形三条对应边相等 D．全等三角形的周长相等【答案】D【分析】根据真命题和假命题的定义以及逆命题与逆定理的定义分别判断得出即可．【解析】A、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是：两个角相等的三角形是等腰三角形，说法正确，是真命题；B、两直线平行，内错角相等的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，逆命题为真命题，说法正确，是真命题；C、全等三角形三条对应边相等的逆命题是：三条对应边相等的是全等三角形，说法正确，是真命题；D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形是全等三角形，说法错误，是假命题；故选D．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确根据定义得出是解题关键．2．在下列四组数中，属于勾股数的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．，， D．1，，【答案】B【分析】利用勾股数的定义进行分析．【解析】、，0.4，0.5都不是正整数，，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意；、，，24，25是勾股数，符合题意；、，，都不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意；、，，都不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意．故选：．【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．3．如图，在中，，，，，则的长为（

）A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解．【解析】解：，，，，，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．4．在直角坐标系中，已知点、，则线段的长度是（

）．A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】本题考查的是两点之间的距离公式，根据直角坐标系中两点间的距离等于横坐标差的平方加上纵坐标差的平方，再开算术平方根解答即可【解析】解：将A、B两点坐标代入带距离公式中有，所以答案选B【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式5．如图，在中，，是的中线，，，则的长等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，计算即可得出结果．【解析】解：∵，∴是直角三角形，∵是的中线，∴，∵，∴．故选：D【点睛】本题考查了直角三角形的特征，解本题的关键在熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．6．如图，点D在的边BC上，点P在射线上（不与点A，D重合），连接，．下列命题中，假命题是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【分析】根据等腰三角形性质以及垂直平分线的性质逐项判断即可．【解析】解：若，，则D是中点，∴是的垂直平分线，∴，∴故选项A是真命题，不符合题意；，即，又，∴是的垂直平分线，∴，∴故选项B是真命题，不符合题意；若，，则，D是中点，∴是的垂直平分线，∴，∴故选项C是真命题，不符合题意；若，，不能得到，故选项D是假命题，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握等腰三角形的“三线合一”定理以及“垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等”．7．如图，在中，，的平分线交于点，于点，若的周长为，则的周长为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线的性质得出，再根据全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式即可求解．【解析】解：在中，，的平分线交于点，于点，，的周长为，，，的周长为，，在和中，∵，≌，．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形的周长公式、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．8．一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【答案】D【分析】过点C作，垂足为点D，先求出的长度，再根据勾股定理求出的长度即可．【解析】解：过点C作，垂足为点D，∵，海里，∴海里，∵，∴，根据勾股定理得：海里，∴救援艇到达处所用的时间为：．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理、含有角的直角三角形，以及等腰直角三角形，解题的关键是熟练掌握含有角的直角三角形，所对的边等于斜边的一半．9．如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为8cm,则正方形a、b、c、d、e、f、g面积的和是(

)cm2.A．64 B．81 C．128 D．192【答案】D【分析】根据勾股定理可知，Sg=Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd，求出最大正方形的面积即可求解.【解析】解：根据勾股定理知,Sg=Se+Sf，Se=Sa+Sb，Sf=Sc+Sd，∴Sg=Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd，∵最大的正方形的面积为Sg=（8×8）cm2=64cm2，∴正方形a、b、c、d、e、f、g面积的和是64×3=192cm2，故选D．【点睛】本题考查了勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和，这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长．【解析】解：，，，，，设，则，根据勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，设，则，根据勾股定理，得，或（舍去），，，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．二、填空题11．将命题关于某直线对称的两个三角形全等”，改写成“如果…，那么…”的形式：如果___________________________，那么________________________．【答案】

两个三角形关于某直线对称；

这两个三角形全等．【分析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．【解析】解：关于某直线对称的两个三角形全等，改写成“如果…，那么…”的形式：如果两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形全等故答案为：两个三角形关于某直线对称；这两个三角形全等【点睛】本题考查了命题与定理，命题是有题设和结论构成．命题都能写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．12．以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是________．【答案】以MN为直径圆（除M、N两点外）【分析】根据直角三角形的性质，斜边即为外接圆的直径，故可确定答案．【解析】根据直角三角形的性质，斜边即为外接圆的直径，故以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是以线段MN中点为圆心，MN为直径的圆（不包含M、N两点）．故答案为：以MN为直径圆（除M、N两点外）．【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆，确定直角三角形外接圆的圆心位置是解题的关键．13．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝____．【答案】8或0【分析】根据两点的距离公式解答即可.【解析】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0，故答案为：8或0.【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键.14．如图，，请添加一个条件，使．（1）添加________________，根据是________________；（2）添加________________，根据是________________；【答案】

【分析】（1）添加条件，再由条件：，可根据定理证明；（2）添加，同理由条件可以推导．【解析】解：（1）添加．理由：，，，，（2）添加．理由：，，，，故答案为：，；，（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．15．如图，在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点．若，的周长为15，则___________．【答案】9【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式即可得到答案．【解析】解：∵是的垂直平分线，∴，∴的周长，∵，∴故答案为：9．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．如图，在中，，，，，平分，则______．【答案】【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解析】解：过点作于，∵平分，，，∴，∴：，故答案为：．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．如图，在等腰直角中，，，为边中点，，若，则四边形AEDF的面积为___________．【答案】【分析】先连接，根据等腰直角三角形的性质，求得，，，进而判定，得出即可．【解析】解：连接，如下图由题意可得：，，∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，将四边形的面积转化为的面积．18．如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为________【答案】【分析】连接，延长交于点，作于点，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得三角形为直角三角形，且为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长．【解析】连接，延长交于点，作于点，如图所示，由折叠的性质可得：，，则为的中垂线，，为中点，，，，，，，即，，即，在直角三角形中，由勾股定理可得：，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长．三、解答题19．已知命题“等腰三角形底边上的高线与顶角的平分线重合”．（1）请写出它的逆命题；（2）判断该逆命题的真假，若为假命题，请说明理由，若为真命题，请证明．【答案】（1）底边上的高线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；（2）该逆命题是真命题，证明见解析．【分析】（1）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；据此写出逆命题即可；（2）由（1）中写出的逆命题判断其真假，根据证明的步骤，先写出已知、求证，再写出证明过程即可．【解析】（1）原命题的条件是：三角形是等腰三角形；结论是：底边上的高线和顶角的角平分线重合，∴逆命题是：底边上的高线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形．（2）该逆命题是真命题，证明如下：如图，已知：△ABC中，AD是BC边的高线也是顶角∠BAC的角平分线．求证：AB=AC．∵AD是BC边的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，在△BAD和△CAD中，，∴AB=AC．【点睛】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB=∠B+30°，CE=2cm．求∶（1）∠AEB度数．（2）BC的长．【答案】（1）120°；（2）6cm【分析】（1）根据DE垂直平分斜边AB，可得EA=EB，从而∠EAB=∠B，结合条件可求出∠CAE=30°，然后可求∠AEB度数；（2）在△ACE中，∠C=90°，∠CAE=30°，所以AE=2CE=4，而AE=BE，BC=CE+BE=6．【解析】（1）解：∵DE垂直平分斜边AB∴EA=EB∴∠EAB=∠B∵∠CAB=∠B+30°且∠CAB=∠CAE+∠EAB∴∠CAE=30°∴∠AEB=∠CAE+∠C=30°+90°=120°（2）在△ACE中，∵∠C=90°，∠CAE=30°，∴AE=2CE=4，又∵AE=BE，∴BC=CE+BE=6cm．21．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=15，BC=20，AD=24，CD=7，求四边形ABCD的面积．【答案】234【分析】连接AC，根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．【解析】解：连接AC，如图，∵，∴，∵AD2+CD2=242+72=625，AC2=252=625，∴AD2+CD2=AC2，∴∠D=90°，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．22．如图，在中，(1)用直尺和圆规作的平分线，交边于点（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点）；(2)如果在（1）条件下点是的中点，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据尺规作已知角的角平分线的作图方法进行作图即可；（2）作交于点；作交于点；构造；即可得出结论；【解析】（1）解：作图如下：（2）证明：如图，作交于点；作交于点；由（1）可知：平分∴∵点是的中点∴在和中∴∴【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．23．如图：已知BAC=30°，AT平分BAC，TE∥AC．（1）求证：是等腰三角形；（2）若，垂足为点D，AE=4cm，求TD的长．【答案】（1）见解析；（2）2cm【分析】（1）根据角平分线可得∠EAT=∠TAD,利用平行可得∠TAD=∠ETA,再利用等量代换即可得到∠EAT=∠ETA,进而证得是等腰三角形．（2）AT平分BAC,依据角平分线定理可得DT=TF在RT△TFE中,ET=4cm,∠FET=30°,则TF=2cm,则TD=2cm．【解析】解：（1）∵AT平分BAC．∴∠EAT=∠TAD．∵TE∥AC．∴∠TAD=∠ETA．∴∠EAT=∠ETA．∴是等腰三角形．（2）过点T作TFAB，垂足点F,∵AT平分BAC，TFAB，．∴据角平分线定理可得DT=TF．∵在RT△TFE中，ET=4cm，∠FET=30°，则TF=2cm,∴TD=2cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,如何利用角平分线性质作出辅助线是解决此问题的关键．24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将这个三角形绕点A旋转，使点B落在边BC延长线上的点D处，点C落在点E处．求证：AD垂直平分线段CE．【答案】详见解析.【分析】根据旋转的性质得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，进而利用等边对等角和垂直平分线的判定证明即可．【解析】∵△ADE是由△ABC旋转得到，∴AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，∵AD=AB，∴∠ADC=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵AE=AC，∴AD垂直平分线段CE．【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC．25．如图，在中，，把绕点B逆时针旋转，得到，点E在上，若，求及的长．【答案】【分析】由旋转的性质可得，由勾股定理可得，则有，然后根据勾股定理可求解．【解析】解：由旋转的性质可得，在中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：．【点睛】本题主要考查勾股定理及旋转的性质，熟练掌握勾股定理及旋转的性质是解题的关键．26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD．(1)求证：AD⊥BD；(2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，可证；（2）由“”可证，可得，由“”可证，可得．（1）解：证明：为中点，，平分，，，，，，，，，，，；（2）解：延长，交于点，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加恰当辅助线构造全等三角形．27．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．（1）求证：BE＝CF；（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）证明，；进而证明，即可解决问题；（2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可．【解析】证明：（1）平分，，，，；在和中，，，；（2）平分，，，，，，，，，在中，，，，平分，，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键．28．在平面直角坐标系中有一等腰三角形，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上．(1)如图1，点C在第一象限，若，A、B两点的坐标分别是，，求C点的坐标；(2)如图2，点C在x正半轴上，点E、F分别是边、上的点，若．求证：；(3)如图3，点C与点O重合时点E在第三象限，，连接，求的度数．【答案】(1)；(2)见解析；(3)．【分析】（1）过点C作，垂足为M，则，求出，证明，得出，，则可得出答案；（2）证明，，可得，利用证明，