教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷7

教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷7一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知P是平面α外的一点，则下列说法中正确的是()．A、过点P有且只有一条直线与α平行B、过点P有无数条直线与α垂直C、过点P有且只有一个平面与α平行D、过点P有且只有一个平面与α垂直标准答案：C知识点解析：过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，所以A项错误；过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，所以B项错误；过平面外一点，有无数个平面与该平面垂直，所以D项错误；C项说法正确．2、如图所示，已知面PCD与面ABCD的二面角为90°，ABCD为矩形，AB=2BC=PC=PD=2，O为CD的中点，则S△PAB：S△OAB=()．A、2：1B、C、D、标准答案：A知识点解析：因为△PAB与△OAB同底，所以面积的比即为高的比．如图所示，N为AB边中点，连接ON、PN、PO，又因为面PCD⊥面ABCD，ABCD为矩形，PC=PD=2，所以AB=CD=2，O即为P在底面的投影，OP⊥面ABCD，所以△PON为直角三角形，又OP=，ON=1，所以PN==2，因此S△PAB：S△OAB=PN：ON=2：13、如图所示，BD1为正方体的体对角线，长度为cm，M、N分别为线段AA1、BD1上的动点．t=0s时，M与点A重合，N与点B重合；经过5s后，M与点A1重合，N与点D1重合．则下列图像中能表示．MN长度s与时间t的关系的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据BD1=cm，可知AA1=2cm，vM=cm／s，vN=cm／s，N点到底面的距离等于M点到底面的距离，即MN一直在平行于底面的平面内，如图，过M点作面MEFG∥底面ABCD，N点运动的轨迹的投影在EG上，即EG与BD1的交点为N，连接MN，EN=，MN=，t∈[0，5]．在t=s时，取最小值cm，t=0s或5s时取最大值2cm，且t∈与t∈时的图像关于t=对称，排除C项；s与t非线性关系，排除A项；求MN的导数可得；所以答案选D．4、已知α∥β，，则a与b的位置关系是()．A、平行B、异面C、平行或异面D、无法判断标准答案：C知识点解析：借助长方体模型(如图所示)可知，a与b有两种情况，一种是平行，一种是异面，所以答案选C．5、如图所示，在棱长为1的正方体内，M为AB的中点，P为D1M上的动点，当P点到CC1的距离最小时，P点距D1点的距离是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：取A1B1中点N，连接MN、D1N，过P点作PP′∥MN，P点至CC1，的距离即转化为P′点到C1的距离．P点在面A1B1C1D1射影的轨迹为D1N，当C1P′⊥D1N时，P′距C1最短．因为Rt△C1P′D1∽Rt△D1A1N，所以D1P′=，又因为Rt△D1P′P∽Rt△D1NM，所以D1P=.6、如图所示，多面体为正方体ABCD—A1B1C1D1沿面对角线B1C、CD1、B1D1切割后得到的部分，则它的左视图为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：三视图为正视图、左视图和俯视图．B项为正视图或左视图，C项为俯视图．7、如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两平面的关系为()．A、平行B、相交C、异面D、无法判断标准答案：D知识点解析：一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两个平面既可能相交，也可能平行．面与面的位置关系只有平行和相交，没有异面．所以本题选D．8、某零件如图所示，则它的俯视图为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于零件上突出部分的棱可以看到，故排除B、C；根据零件各部分的面积比例排除A．故本题选D项．9、一个带盖的长方体容器，底面是边长为10cm的正方形，高为11cm，最多可放入()个半径为1cm的圆球．(要求盖子正好盖住容器，厚度忽略不计)A、107B、123C、125D、132标准答案：D知识点解析：根据题意要尽可能多地往容器中放球，有两种摆放方式，一种如图a所示，一层可以放，恰好能盖住盖子，这时可放入125个；一种如图b所示，第一层有25个，第二层有(5—1)×(5—1)=16个，第三层有25个，第四层有16个……以此类推，O1O2O3为边长为2cm的等边三角形，高为cm，两层球时的高度为cm，三层时高度为cm，四层时高度为≈7．196cm，五层时高度为≈8．928cm，六层时高度为≈10．660cm，七层时高度为≈12．392＞11cm，所以只放能六层，此时若第六层放25个球，总高度为≈10．928＜11cm，故这时可放入25+16+25+16+25+25=132个．所以第二种情况放入的球多，最多能放入132个．10、在三棱柱ABC—A1B1C1中，D、E、F分别是A1C1、BB1、CC1的中点，则与面ABB1A1平行且在面DEF内的直线有()．A、0条B、1条C、2条D、无数条标准答案：D知识点解析：作距面ABB1A1距离为d的平行面α，因为面ABB1A1与面DEF相交，所以α与面DEF相交，交线为l，又因为α∥面ABB1A1，，所以l∥面ABB1A1且．α有无数种可能，所以在面DEF中，有无数条直线与l平行，所以答案选D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、如图，在正三棱柱ADE—BCF中，底面边长为4，ME=3MF，AB=4，则S△ACM=__________．FORMTEXT标准答案：10知识点解析：取BC、AD中点G、H并连接，与AC交于P，M在面ABCD上的投影N在GH上．过N点作NO⊥AC，根据三垂线定理得，MO⊥AC，MN=，PN=1．因为△PON∽△PGC，所以NO=，所以OM=。S△ACM=10．12、在棱长为2的正四面体内，对棱间的距离为________，正四面体的高为________，体积为________，表面积为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：可以将棱长为2的正四面体放在边长为的正方体内，如图所示D—ABC，六条棱为六个面的对角线，对棱间的距离为正方体的边长；体对角线BE=hE—ACD+hB—ACD=，因为VE—ACD=VA—CDE，所以hE—ACD=，hB—ACD=；VA—BCD=V正方形—4×VE—ACD=；表面积SA—BCD=4×S△ABC=．13、在一个边长为a的正方体内，能切除的最大球体的体积为_________，球体的表面积为_________．FORMTEXT标准答案：πa3πa2知识点解析：正方体切除的球体的最大直径为a，则体积为V=，表面积为S=4πr2=πa2．14、如图所示的多面体ABCDEF，△ADE是等边三角形，ME∥底面．F为EM延长线上的动点，ME=2，底面四边形ABCD是长为4，宽为2的矩形，面ADE⊥面ABCD，当面BCF与底面ABCD的夹角为_________时，VM—ABCD=VF—BCM+VE—ADM，此时ME：MF=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因为VE—ADM=，VM—ABCD=，所以VF—BCM=；以面CFM为底，B点到面CFM的距离即为A点到面CDEF的距离，C点到FM的距离为2，则，求得MF=6，所以ME：MF=1：3；当MF=6时，F点在底面的射影F′到BC的距离为F′N=6+2—4=4，FF′=，所以tan∠FNF′=，则面BCF与底面ABCD的夹角为∠FNF′的余角，所以夹角为π—．15、分别以Rt△ABC的两条直角边为轴，旋转360°后，得到两种圆锥，体积比为4：1，则它们的侧面积比为________．FORMTEXT标准答案：4：1知识点解析：设Rt△ABC的两直角边长分别为a、b，根据题意旋转后得到的圆锥体积分别为，两圆锥体母线长均为l=，因为=4：1，则a：b=4：1．两圆锥的侧面积S侧1=πal，S侧2=πbl．所以侧面积的比为a：b=4：1．三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)如图所示一不规则的多面体零件，底面是正三角形，AD⊥面ABC，=AD=DF=2，DF∥AC，，∠EBA=．16、证明：AD、BE、CF的延长线交于一点.标准答案：如图取AC中点P，连接FP．假设三线不重合，AD延长线与CF延长线交于M点，AD延长线与BE延长线交于N点．根据题意可知，因为AD⊥面ABC，，所以AD⊥AC，AD⊥AB．因为=AD=DF=2，AB=AC,即=AP，又DF∥AC，所以AD∥FP，且AD=FP=2，FP⊥AC，CP=FP=2，∠PCF=．在Rt△ACM中，∠PCF=，∠MAC=，AC=4，所以AM=4．在Rt△ABN中，∠EBA=，∠NAB=，AB=4，所以AN=4．因为AM=AN且M、N在AD的延长线上，所以M点与N点重合，即AD、BE、CF的延长线交于一点．知识点解析：暂无解析17、求面ABC与面DEF的二面角的值．标准答案：如图过E作EM⊥AB，在EM取一点F′，使EF′=AD，连接AF′，CF′．因为AD⊥AB，所以EF′∥AD．又因为EF′=AD，因为所以面DEF∥面AF′C，面ABC与面DEF的二面角即为面ABC与面AF′C的二面角．又因为AD⊥面ABC，，所以面ABC⊥面ABED，F′在面ABC投射影即为M．可求出CF=，=BM=3，F′M=EM—EF′=1．过M作MN⊥AC，连接F′N，则∠F′NM即为所求角，MN=AMsin60°=，因此tan∠F′NM=,所以面ABC与面DEF的二面角为。知识点解析：暂无解析如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、BD、BB1的中点，AA1=2．18、求异面直线MN、D1P的距离.标准答案：如图建立直角坐标系，则D1(0，0，2)，P(2，2，1)，M(0，2，1)，N(1，1，0)，=(2，2，—1)，=(1，—1，—1)．设公垂线方向的法向量n=(x，y，z)，则取y=1，则n=(—3，1，—4)．又因为=(1，1，1)，所以MN、D1P的距离为d=。知识点解析：暂无解析19、求二面角N—D1P—M的余弦值．标准答案：M在面BB1D1D的射影M′为矩形BB1D1D的中心，连接MM′，过M′作M′Q⊥D1P，连接MQ，则∠MQM′即为所求二面角．在△D1B1P和△PQM′中，已知B1D1=，M′P=，D1P=3，又M′为矩形BB1D1D的中心，P为B1B的中点，则M′P∥D1B1，所以∠M′PQ=∠PD1B1，所以△D1B1P∽△PQM′，M′Q=，又因为MM′=，所以tan∠MQM′==3，求得cos∠MQM′=。知识点解析：暂无解析20、已知直线a、b及它们在面α的投影a′、b′．某同学认为，a′∥b′是a∥b的充要条件．判断该同学的观点是否正确，并说明理由．标准答案：该同学观点错误．如图(1)所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，假设A1D为a，BC1为b，异面直线a与b在底面ABCD的投影分别为AD与BC，即a′与b′，因为AD∥BC即a′∥b′，而a与b异面，所以由a′∥b′不能推出a∥b．如图(2)所示，已知a∥b，过a作平面α，a在面α投影a′即为a，过b作平面β⊥平面α，则交线即为b在面α的投影b′，且．假设a′与b′相交于O点，则a∩面β=O，所以a与面β内的所有直线的位置关系只有相交和异面两种情况，与a∥b矛盾，即a′与b′相交的假设不成立，所以a∥b，则a′∥b′．综上所述，a′∥b′是a∥b必要不充分条件，所以该同学观点错误．知识点解析：暂无解析21、已知四棱锥P—ABCD底面为梯形，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD⊥AB，AB=2PD=2CD=AD=2．求二面角P—BC—D的正切值．标准答案：延长BC，过D作DE垂直于BC并交于E点，∠PED即为所求二面角．取AB中点F，连接CF．因为AF∥CD且AF=CD=1，所以AD∥CF且AD=CF=2．又因为AD⊥AB，所以CF⊥AB，由此求得CB=．在△DEC和△CFB中，因为∠DEC=∠CFB=90°，∠DCE+∠CDE=∠DCE+∠BCF=90°所以∠CDE=∠BCF，所以△DEC∽△CFB．，求得DE=，所以tan∠PED=，即二面角P—BC—D的正切值为.知识点解析：暂无解析在直角梯形中(图a)，AD=AB==1，沿对角线BD将梯形ABCD折叠成如图(b)所示的四面体．当△ABD的面积是△CBD在底面投影面积的2倍时，求：22、二面角A—BD—C的余弦值.标准答案：如图所示，C点在底面的投影为O，E、F为