高中数学学考复习优化练习14平面向量的概念与运算含答案

优化集训14平面向量的概念与运算基础巩固1.给出下列说法:①若向量a与向量b不平行,则a与b的方向一定不相同;②若向量AB,CD满足|AB|>|CD|,且AB与CD同向,则AB>CD;③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;A.1 B.2 C.3 D.42.如图,在正六边形ABCDEF中,设AB=a,AF=b,则AC=()A.a+2b B.2a+3bC.2a+b D.32a+3.在△ABC中,BD+5CD=0,则AD=()A.16AB+5C.15AB+44.已知向量a,b不共线,c=3a+b,d=ma+(m+2)b,若c∥d,则m=()A.-12 B.-9 C.-6 D.-35.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则AF+BD=(A.FD B.FC C.FE D.BE6.在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,AB=a,AD=b,则BE=()A.-12a-b B.-1C.12a-b D.17.在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上靠近点C的三等分点,点F在BE上.若AF=xAB+13AD,则A.23 B.45 C.56 8.若G为△ABC的重心(三角形三边中线的交点),设BG=a,GC=b,则AB=()A.32a-12b B.32aC.2a-b D.b-2a9.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,若PA+PB+PC=AB,则点PA.点P在AC边上B.点P在AB边上或其延长线上C.点P在△ABC外部D.点P在△ABC内部10.(多选)(2023浙江温州新力量联盟)下列说法正确的有()A.a·a·a=|a|3B.λ,μ为非零实数,若λa=μb,则a与b共线C.两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小D.若平面内有四个点A,B,C,D,则必有AC11.设a,b是不共线的两个平面向量,已知PQ=a+kb,QR=2a-b.若P,Q,R三点共线,则实数k的值为.

12.已知四边形ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=60°,则|DC+BC|=13.如图,在△ABC中,AN=13NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+214.在边长为1的正方形ABCD中,设AB=a,BC=b,AC=c,则|b-a-c|=.

15.已知两个非零向量a,b不共线,OA=2a-3b,OB=a+2b,OC=ka+12b.(1)若2OA-3OB+OC=0,求实数(2)若A,B,C三点共线,求实数k的值.16.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.(1)求GA+(2)若PQ过△ABO的重心G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证:1m+1能力提升17.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若AB+AC=2AO,且|AO|=|AC|,则△ABC的面积为(A.3 B.32 C.23 D.18.已知O是△ABC内一点,且OA+OB+OC=0,则O是△A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心19.(多选)(2023浙江A9协作体)已知a,b,c是平面上三个非零向量,下列说法正确的有()A.一定存在实数x,y使得a=xb+yc成立B.如果a·b=a·c,那么一定有a⊥(b-c)C.如果(a-c)⊥(b-c),那么|a-b|=|a+b-2c|D.如果a(b·c)=(a·b)c,那么a,b,c一定相互平行20.如图,在▱ABCD中,BC=2BE,FC=2DF,AE与BF相交于点G.若FG=λFB,则λ=21.(2023浙江浙北G2联盟)如图,圆O是半径为1的圆,OA=2,设B,C为圆上的任意两点,则AC·BC的取值范围是22.(2023浙江浙南名校联盟)如图,在△ABC中,D是线段BC上的点,且DC=2BD,O是线段AD的中点,延长BO交AC于点E,设BO=λAB+μAC.(1)求λ+μ的值;(2)若△ABC为边长等于2的正三角形,求OE·BC

优化集训14平面向量的概念与运算基础巩固1.A解析①正确;②两向量不能比较大小,故不正确;③a与b长度相等,但方向不定,故不正确;④规定0与任意向量平行,故不正确.2.C解析在正六边形ABCDEF中,FC∥AB,FC=2AB,则AC=AF+FC=AF+2AB=2a3.A解析因为BD+5CD=0,所以BD=56BC,AD=4.D解析因为c∥d,所以c=λd,则3a+b=mλa+(m+2)λb,因为向量a,b不共线,所以mλ=3,(m+25.D6.B解析由题意可得BE=BA+AD+DE=-7.C解析由题可知AE=23(AB+AD).∵点F在BE上,∴AF=λAB+(1-λ∴AF=23+13λAB+23-23λAD.∴23-23λ=13,λ=8.D解析因为G为△ABC的重心,所以GA+GB+GC=0.因为BG=a,GC=b,所以GA=BG-GC=a-b,所以AB=9.A解析∵PA+PB+PC=AB,∴PA+PB+PC-AB=0,∴2PA+PC=0,∴PC=-10.BCD解析对于A,a·a·a=|a|2a,故A错误;对于B,因为λ,μ为非零实数,且λa=μb,所以a与b一定共线,故B正确;对于C,向量不能比较大小,向量的模可比较大小,故C正确;对于D,因为BD-BC=AD-AC,所以AC+BD11.-12解析因为P,Q,R三点共线,所以PQ=λQR,即a+kb=λ(2a-b),所以1=2λ,k12.3解析∵四边形ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=60°,∴∠ADC=120°.在△ACD中,由余弦定理得AC=AD∴|DC+BC|=|DC+AD|=|13.19解析∵B,P,N三点共线,∴存在实数λ使得AP=λAB+(1-λ)AN=λAB+1∴λ=m,114.2解析由题|a|=1,a+b=c,∴|b-a-c|=|b-a-a-b|=|-2a|=2|a|=2.15.解(1)∵2OA-3OB+OC=0,∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,又a≠0,∴k=-(2)∵A,B,C三点共线,∴BC=λAB,∴OC-OB=λ(OB-OA),∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共线,k16.(1)解∵GA+GB=2GM=-GO,∴GA+(2)证明易知OM=12(a+b),因为G是△ABO的重心,所以OG=23OM=13(a+b).由P,G,Q三点共线,得QG=tQP,t∈R,即OG-OQ=t(OP-OQ),即OG=tOP+(1-t)OQ,∴13a+13b=mta能力提升17.B解析由于AB+AC=2AO,由向量加法的几何意义,可知O为边BC的中点.∵△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,∴三角形是以BC边为斜边的直角三角形,∠BAC=π2,斜边BC=2.∵|AO|=|AC|,∴AC=1,AB=3.∴S△ABC=12AB·AC=12×1×18.B解析如图,OA+OB所在直线是以OA,OB为邻边所作平行四边形的一条对角线,由平行四边形的性质,得OA+OB所在直线必过线段AB的中点D.因为OA+OB+OC=0,即OA+OB=-OC,所以OC与OA+OB方向相反,所以OC所在直线也过线段AB的中点D.同理可得,OB,OA所在直线分别过边AC,BC的中点.因此,19.BC解析当b,c不是共线向量时,一定存在实数x,y使得a=xb+yc成立,故A不正确;由a·b=a·c⇒a·b-a·c=0⇒a·(b-c)=0⇒a⊥(b-c),故B正确;(a-c)⊥(b-c)⇒(a-c)·(b-c)=0⇒a·b-a·c-c·b+c2=0,|a-b|2-|a+b-2c|2=(a-b)2-[(a-c)+(b-c)]2=-2(a·b-a·c-c·b+c2)=0,故C正确;当a·b=b·c=0时,显然a(b·c)=(a·b)c成立,但是a,b,c不一定互相平行,故D不正确.故选BC.20.58解析延长DC与AE交于点M,则由BC=2BE及△CEM∽△BEA可知,CM=AB又由△FGM∽△BGA及FC=2DF得,FGGB=FMAB=21.[-2,6]解析若D为BC的中点,设OA,BC的夹角为θ,AC·BC=(OC-OA)·BC=OC·BC-OA·BC=|OC||BC|cos∠OCB-|OA||BC|cosθ=又|BC|∈[0,2],由cosθ≤1,得12|BC|2-2|BC|cosθ≥12|BC|2-2当|BC|=2时,AC·BC取最小值由cosθ≥-1,得12|BC|2-2|BC|cosθ≤12|BC|2+2当|BC|=2时,AC·BC取最大值综上,AC·BC的取值范围是[-22.解(1)∵O为AD的中点,DC=2BD,∴BO=BA+AO又BO=λAB+μAC,故λ=-23,μ=16,λ+μ=-(2)(方法1)设AC=tAE,t∈R,∵O为AD的中点,DC=2BD,∴AO=12AD=12∵B,O,E三点共线,∴13+t6=1,故OE=AE-AO