高中数学学考复习优化练习5幂函数含答案

优化集训5幂函数基础巩固1.已知y=x2,y=12x,y=4x2,y=x5+1,y=(x-1)2,y=x,y=ax(a>1),上述函数是幂函数的个数是(A.0 B.1 C.2 D.32.(2023浙江诸暨期末)已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4),若f(m)=4,则实数mA.2 B.±2 C.4 D.±43.(2023浙江温州期末)已知幂函数f(x)=xα,则“α>0”是“此幂函数图象过点(1,1)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y=ax2+a与y=ax(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(5.(2021浙江杭州期末测试)已知函数f(x)=x-2,若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4),则实数a的取值范围是(A.(-∞,12)∪(2,+∞) B.C.(0,12]∪[2,6) D.6.(多选)下列关于幂函数描述正确的有()A.幂函数的图象必过定点(0,0)和(1,1)B.幂函数的图象不可能过第四象限C.当幂指数α=-1,12,3时,幂函数y=xαD.当幂指数α=12,3时,幂函数y=xα7.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点P(4,2),则()A.f(x)=(2)xB.f(x)的定义域为[0,+∞)C.f(x)的值域为[0,+∞)D.f(x)>x2的解集为(0,1)8.若函数y=xα的图象经过点(2,16)与(3,m),则m的值为.

9.已知函数f(x)=x2-ax+2,若函数在[1,+∞)上有两个零点,则a的取值范围是.

10.若幂函数f(x)=(m2-3m-3)·xm在(0,+∞)上为增函数,则实数m=.

11.若(a+1)-1<(3-2a)-1,则实数a的取值范围是.

12.已知幂函数f(x)=x(m2+m)-1(m∈N*),经过点(2,2),若f(2-a)>f13.给出封闭函数的定义:若对于定义域D内的任意一个自变量x0,都有函数值f(x0)∈D,则称函数y=f(x)在D上封闭.若定义域D=(0,1),则函数①f1(x)=3x-1;②f2(x)=-12x2-12x+1;③f3(x)=1-x;④f4(x)=x12,其中在D上封闭的是14.已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m(1)求m的值;(2)当x∈[1,2]时,记f(x)的值域为集合A,若集合B=[2-k,4-k],且A∩B=⌀,求实数k的取值范围.15.已知函数f(x)=x+ax(a>0),具有如下性质:在(0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增(1)若函数y=x+2bx(x>0)的值域为[6,+∞),求(2)已知函数f(x)=4x2-12x-32x16.已知函数f(x)=(a2-a-1)xa(a是常数)为幂函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增.(1)求f(x)的表达式;(2)判断函数g(x)=f(x)+4x17.已知幂函数f(x)=(k2-4k+5)x-m2+4m(m∈Z)的图象关于y(1)求m和k的值;(2)求满足不等式(2a-1)-3<(a+2)-能力提升18.已知a=243,b=425,c=A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b19.若点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,则函数g(x)=n-x+x-A.[0,2] B.[1,2]C.[2,2] D.[2,3]20.(多选)已知a>0,函数f(x)=(2-aA.若f(x)有最小值,则a≥2B.存在正实数a,使得f(x)是R上的减函数C.存在实数a,使得f(x)的值域为RD.若a>2,则存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=f(2-x0)21.已知函数f(x)=x2+(1-2a)x-2a.(1)讨论关于x的不等式f(x)>0的解集;(2)若f(1)=6,求函数y=f(x)x-1在x22.集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的:①函数f(x)的定义域是[0,+∞);②函数f(x)的值域是[-2,4);③函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.试分别探究下列两小题:(1)判断函数f1(x)=x-2(x≥0)及f2(x)=4-6·(12)x(x≥0)是否属于集合A?并简要说明理由(2)对于(1)中你认为属于集合A的函数f(x),不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意的x≥0恒成立?若不成立,为什么?若成立,请说明你的结论.23.已知幂函数f(x)=x-3n2+9(n∈N(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=3f(x)+2tx+3,求函数y=g(x)在区间[2,6]上的最小值G

优化集训5幂函数基础巩固1.C解析形如y=xα(α∈R)的函数是幂函数,幂函数的系数为1,指数α是常数.故选C.2.D解析由题意幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4),则2α=4,解得α=2,则f(x)=x2,由f(m)=4得m2=4,∴m2=16,解得m=±43.A解析由题知,幂函数f(x)=xα,根据幂函数图象性质特点知,幂函数图象恒过点(1,1),所以当α>0时,幂函数图象过点(1,1),幂函数图象过点(1,1)时,α>0,也可以α<0.4.D解析当a>0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向上,且对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,a),排除A,C;当a<0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向下,且对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,a),函数y=ax的图象在第二、四象限.故选D5.C解析由题意,f(x)在[2,+∞)上单调递增,∵f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4),即2≤2a2-5a+4<a2+a+4,∴a2-6a<0且2a2-5a+2≥0,可得2≤a<6或0<a≤12.故选C6.BD解析选项A,幂函数的图象必定过定点(1,1),不一定过(0,0),如y=x-1,故A错误;选项B,幂函数的图象不可能过第四象限,正确;选项C,当幂指数α=12时,幂函数y=xα不是奇函数,故C错误;选项D,当幂指数α=12,3时,幂函数y=xα是增函数,7.BCD解析设f(x)=xα,因为f(x)的图象经过点P(4,2),所以4α=2,解得α=12,所以f(x)=x12=x,显然A不正确;因为只有非负实数有算术平方根,所以f(x)的定义域为[0,+∞),因此B符合题意;因为x≥0,所以有f(x)≥0,因此C符合题意;由f(x)>x2⇒x>x2⇒x≥0,x8.81解析由题意函数y=xα的图象经过点(2,16)与(3,m),则16=2α,解得α=4,则y=x4,故m=34=81.9.(22,3]解析f(x)=x2-ax+2=0即a=x+2x,x∈[1,+∞),考虑函数y=a,y=x+2x,x∈[1,+∞)的图象有两个交点,即a的取值范围是(2210.4解析f(x)是幂函数,所以m2-3m-3=1,m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1.当m=4时,f(x)=x4,在(0,+∞)上单调递增,符合题意.当m=-1时,f(x)=1x,在(0,+∞)上单调递减,不符合题意.综上所述,m的值为411.(-∞,-1)∪(23,32)解析由题意得a+1>0,3-即实数a的取值范围为(-∞,-1)∪(23,12.[1,32)解析∵幂函数f(x)经过点(2,2),∴2=2(m2+m)-1,即212=2(m2+m)-1.∴m2+m=2,解得m=1或m=-2.又m∈N*,∴m=1.∴f(x)=x12,则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数13.②③④解析函数f1(x)=3x-1在(0,1)内单调递增,则f1(x)∈(-1,2),则f1(x)不是封闭函数;f2(x)=-12x2-12x+1在(0,1)内单调递减,则f2(x)∈(0,1),则f2(x)是封闭函数;f3(x)=1-x在(0,1)内单调递减,则f3(x)∈(0,1),则f3(x)是封闭函数;f4(x)=x12在(0,1)内单调递增,则f4(x)∈(0,1),则f4(14.解(1)由题意得(m-1)2=1,∴m=0或2.当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,满足题意.当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,不满足题意,舍去.∴m=0.(2)由(1)知,f(x)=x2.∵f(x)在[1,2]上单调递增,∴A=[1,4].易知B≠⌀,要满足A∩B=⌀,只需4-k<1或2-k>4,解得k>3或k<-2,即k的取值范围为(-∞,-2)∪(3,+∞).15.解(1)对于函数y=x+2bx(x>0),因为其值域为[6,+∞),即最小值为6=22b,解得b=log(2)令t=2x+1,因为x∈[0,1],所以t∈[1,3].所以y=4x2-12x由题可知函数y=t+4t-8在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,则函数f(x)=4x2-12x-32x+1在所以函数f(x)的值域为[-4,-3].16.解(1)由题意可得a2-a-1=1,a>0,解得a=(2)∵g(x)=f(x)∴g(x)在(2,+∞)上单调递增.证明如下:任取2<x1<x2,则g(x1)-g(x2)=(x1+4x1)-(x2+4x2)=(x1-x2)+(∵2<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2-4>0,x1x2>0,∴(x1-x2)(x1x2-4)x1即g(x1)<g(x2),∴g(x)在(2,+∞)上单调递增.17.解∵幂函数f(x)=(k2-4k+5)x-∴k2-4k+5=1,解得k=2.又幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴-m2+4m>0,解得0<m<4.∵m∈Z,∴m=1或m=2或m=3.当m=1或m=3时,f(x)=x3,图象关于原点对称,不合题意;当m=2时,f(x)=x4,图象关于y轴对称,符合题意.综上,m=2,k=2.(2)由(1)知m=2,∴原不等式即为(2a-1)-3<(a+2)-3.而函数y=x-3在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减,且当x>0时,y=x-3>0,当x<0时,y=x-3<0,∴满足不等式的条件为0<a+2<2a-1,或a+2<2a-1<0,或2a-1<0<a+2,解得-2<a<12,或a>故满足不等式(2a-1)-3<(a+2)-3m2的a的取值范围为(-2,12)∪能力提升18.A解析因为a=243=423>425=b19.B解析由已知可得m-2=1,f(m)=mn=81,解得m=3,n=4,故g(x)=4-x+x-3,要使函数有意义,有4-x≥0,x-3≥0,解得3≤x≤4,故函数g(x)的定义域为[3,4],且g(x)=4-x+x-3>0.因为[g(x)]2=(4-x+x-20.AC解析对于A,当a>0时,f(x)在(1,+∞)上单调递增,若f(x)有最小值,则2-a≤0,2-a≤1,解得a≥2,A符合题意;对于B,当x>1时,f(x)=xa,由幂函数性质知,当a>0时,f(x)单调递增,B不符合题意;对于C,∵f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴当x>1时,f(x)>a,若f(x)的值域为R,则2-a>0,2-a≥1,解得0<a≤1,C符合题意;对于D,当x0∈(1,+∞)时,2-x0∈(-∞,1),由f(x0)=f(2-x0),得x0a=(2-a)(2-x0)=(a-2)x0+2(2-a);当a>2,x0>1时,x0a-(a-2)x0-2(2-a)>x∴x0(x0a-1-a+2)>0,∴x0a-(a-2)x0-2(2-a)>0恒成立,∴x0a=(a-2)x0+2(2-a)在(1,+∞)内无解,即不存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=f(221.解(1)由f(x)>0,得x2+(1-2a)x-2a>0,即(x-2a)(x+1)>0,当a=-12时,不等式(x+1)2>0,解得x≠-1,不等式的解集为{x|x≠-1};当-1<2a,即a>-12时,不等式的解集为{x|x<-1或x>2a};当-1>2a,即a<-12时,不等式的解集为{x|x>-1或x<2综上所述,当a=-12时,不等式的解集为{x|x≠-当a>-12时,不等式的解集为{x|x<-1或x>2a当a<-12时,不等式的解集为{x|x>-1或x<2a}(2)由f(1)=6,得f(1)=12+(1-2a)×1-2a=6,解得a=-1,所以f(x)=x2+3x+2,因为x>1,所以x-1>0,y=f(x)x-1=x2+3x+2x-1=x-当且仅当x-1=6x-1,即x=6+1时所以当x=6+1时,函数y=f(x)x-1在(1,+∞)22.解(1)函数f1(x)=x-2不属于集合A.因为f1(x)的值域是[-2,+∞),所以函数f1(x)=x-2不属于集合A.函数f2(x)=4-6·(12)x(x≥0)属于集合A因为①函数f2(x)的定义域是[0,+∞);②f2(x)的值域是[-2,4);③函数f2(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f2(x)=4-6·12x(x≥0)属于集合(2)由f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=6·12x·(-14)<0,所以不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)对任意的x≥23.解(1)因为幂函数f(x)=x-3n2+9(n∈N)在区间(0,+∞)上单调递增,所以-3n2+9>0(n∈N)